यदि फलन f(x),0 leq x leq pi में सतत है,तो 2a+ | vedclass

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Question

(A) $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत है।$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x \rightarrow

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$\frac{\pi}{12}$

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(A) $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत है।$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$$b = -a - b \Rightarrow a = -2b \quad (ii)$$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.अंत में,$2a + 3b = 2(\frac{\pi}{6}) + 3(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.

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यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{यदि } |2x - 3| \geq 2 \\ 3x + 2 & \text{यदि } \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \end{cases}$ अपने प्रांत पर सतत है,तो $a + b$ का मान क्या है?

दर्शाइए कि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 - b, & 0 \le x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ x + 1, & 1 < x \le 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है,तो $a$ और $b$ के सबसे उपयुक्त मान क्या हैं?

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