int_0^pi left| sin x - frac{2x}{pi} right| dx | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$. फलन $f(x) = \sin x - \frac{2x}{\pi}$ पर विचार करें। $x = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\fr

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) माना $I = \int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$. फलन $f(x) = \sin x - \frac{2x}{\pi}$ पर विचार करें। $x = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1 - 1 = 0$. $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \ge \frac{2x}{\pi}$,इसलिए $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \sin x - \frac{2x}{\pi}$. $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ के लिए,$\sin x \le \frac{2x}{\pi}$,इसलिए $|\sin x - \frac{2x}{\pi}| = \frac{2x}{\pi} - \sin x$. अतः,$I = \int_0^{\pi/2} (\sin x - \frac{2x}{\pi}) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\frac{2x}{\pi} - \sin x) dx$. समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = [-\cos x - \frac{x^2}{\pi}]_0^{\pi/2} + [\frac{x^2}{\pi} + \cos x]_{\pi/2}^{\pi}$. $I = [(-\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{(\pi/2)^2}{\pi}) - (-\cos(0) - 0)] + [(\frac{\pi^2}{\pi} + \cos(\pi)) - (\frac{(\pi/2)^2}{\pi} + \cos(\frac{\pi}{2}))]$. $I = [(0 - \frac{\pi}{4}) - (-1)] + [(\pi - 1) - (\frac{\pi}{4} + 0)]$. $I = 1 - \frac{\pi}{4} + \pi - 1 - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

$\int_0^\pi \left| \sin x - \frac{2x}{\pi} \right| dx$ का मान क्या है?

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$3. \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। फलन $f(x) = \max \{x^2, 1 + [x]\}$ पर विचार करें। तब समाकल $\int_0^2 f(x) dx$ का मान है:

$\int_0^1 \tan^{-1} x \, dx =$

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi /8} \frac{\sec^2 2x}{2} \, dx$

$\int\limits_0^{\sqrt{3}} \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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