किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय की दर उस समय उसके द्रव्यमान के समानुपाती होती है। जब $t=0$ है तो द्रव्यमान $27 \text{ ग्राम}$ है। $3 \text{ घंटे}$ बाद यह पाया गया कि $8 \text{ ग्राम}$ शेष है। तो एक और घंटे बाद बचा हुआ पदार्थ कितना होगा?

समीकरण $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $x = 1$ पर $y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ है।

बैक्टीरिया के एक निश्चित संवर्धन में,वृद्धि की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है। यदि $3$ घंटे के अंत में $10^4$ और $5$ घंटे के अंत में $4 \cdot 10^4$ बैक्टीरिया हैं,तो शुरुआत में $\qquad$ बैक्टीरिया थे।

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

एक गाँव की जनसंख्या किसी भी समय उपस्थित निवासियों की संख्या के समानुपाती दर से निरंतर बढ़ती है। यदि $1999$ में गाँव की जनसंख्या $20,000$ थी और $2004$ में $25,000$ थी,तो $2009$ में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?

एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $h \ days$ है। इसकी प्रारंभिक क्षय दर (decay rate) क्या होगी? (ध्यान दें कि $t = 0$ पर,$M = m_0$ है):