रेखा x=frac{a}{sqrt{2}} द्वारा काटे गए वृत्त | vedclass

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Question

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है। रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ है।$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a^2}{2}

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$\frac{a^2}{2}\left|\frac{\pi}{2}-1\right|$

Vedclass · Answer

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है। रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ है।$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a^2}{2}+y^2=a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=\frac{a^2}{2}$,अतः $y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}$.वांछित क्षेत्रफल वृत्त और रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।क्षेत्रफल $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a}) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a$$= 2 \left[ (0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}) - (\frac{a}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{4})) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\pi}{8} \right]$$= 2 \left[ \frac{a^2\pi}{8} - \frac{a^2}{4} \right] = \frac{a^2\pi}{4} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)$.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$2$	$3$	$6$	$11$	$18$	$27$

रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा काटे गए वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के छोटे भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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