MHT CET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हमारे पास है,$\frac{1-2(\cos 60^{\circ}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-2(\frac{1}{2}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-1+2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ}-10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 1$

(A) माना $I = \int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx$
चूंकि $\log(ex) = \log e + \log x = 1 + \log x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^{2}} dx$
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = e^{t}$ और $dx = e^{t} dt$।
$I = \int \frac{t}{(1 + t)^{2}} e^{t} dt$
अंश को $(t + 1 - 1)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int e^{t} \left( \frac{t + 1 - 1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$
$I = \int e^{t} \left( \frac{1}{1 + t} - \frac{1}{(1 + t)^{2}} \right) dt$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1 + t)^{2}}$ है:
$I = e^{t} \cdot \frac{1}{1 + t} + C$
$t = \log x$ और $e^{t} = x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{x}{1 + \log x} + C$

(D) माना $I = \int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}} \, dx$.
हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 1$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 1} \, dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \tan^{-1}\left(x - \frac{1}{x}\right) + c = \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x}\right) + c$.

(A) हमारे पास है,$\tan 2 x = \tan ((x - \alpha) + (x + \alpha))$.
सर्वसमिका $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2 x = \frac{\tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)}{1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2 x (1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)) = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
$\tan 2 x - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
अतः,$\tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)$.
अब,दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x \ d x = \int (\tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)) \ d x$.
$= \frac{1}{2} \log |\sec 2 x| - \log |\sec (x - \alpha)| - \log |\sec (x + \alpha)| + C$.
इसकी तुलना $p \log |\sec 2 x| + q \log |\sec (x + \alpha)| + r \log |\sec (x - \alpha)| + c$ से करने पर:
$p = \frac{1}{2}$,$q = -1$,और $r = -1$.
अतः,$p + q + r = \frac{1}{2} - 1 - 1 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{-3}{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{8-\sin 2x} dx$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
अतः,$8 - \sin 2x = 9 - (1 + 2 \sin x \cos x) = 9 - (\sin x + \cos x)^2$.
इस प्रकार,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{3^2 - (\sin x + \cos x)^2} dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$. तब $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{dt}{3^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2(3)} \log \left| \frac{3+t}{3-t} \right| + C = \frac{1}{6} \log \left| \frac{3+\sin x + \cos x}{3 - (\sin x + \cos x)} \right| + C$.
दी गई अभिव्यक्ति $\frac{1}{p} \log \left[\frac{3+\sin x+\cos x}{3-\sin x-\cos x}\right]+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 6$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{(\tan^2 \theta + 1)^2} = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\sec^4 \theta} = \int \cos^2 \theta d \theta$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 \theta) d \theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}) + c$.
चूँकि $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\theta = \tan^{-1} x$ है,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{1 + x^2} + c = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{x}{2(1 + x^2)} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
हर $f(x) = x^2 + x \cos x$ पर ध्यान दें।
हर का अवकलन $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x \cos x) = 2x + \cos x - x \sin x$ है,जो सीधे अंश से मेल नहीं खाता है।
आइए समाकलन को इस प्रकार फिर से लिखें:
$I = \int \frac{x + \cos x + x \sin x - x}{x(x + \cos x)} dx$
$I = \int \left( \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} + \frac{x \sin x - x}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{x(\sin x - 1)}{x(x + \cos x)} \right) dx$
$I = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\sin x - 1}{x + \cos x} dx$
माना $u = x + \cos x$,तब $du = (1 - \sin x) dx$,जिसका अर्थ है कि $-(1 - \sin x) dx = du$,या $(\sin x - 1) dx = -du$.
$I = \ln|x| - \int \frac{1}{u} du$
$I = \ln|x| - \ln|u| + c$
$I = \ln|x| - \ln|x + \cos x| + c$
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x} d x$ है।
$x = a \sec \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = a \sec \theta \tan \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = \int \frac{a \tan \theta}{a \sec \theta} (a \sec \theta \tan \theta) d \theta$
$I = a \int \tan^2 \theta d \theta$
$I = a \int (\sec^2 \theta - 1) d \theta$
$I = a (\tan \theta - \theta) + c$
चूंकि $x = a \sec \theta$ है,इसलिए $\sec \theta = \frac{x}{a}$,जिससे $\theta = \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ और $\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर:
$I = a (\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} - \sec^{-1}(\frac{x}{a})) + c$
$I = \sqrt{x^2-a^2} - a \sec^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ . . . $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{18}$ और $b = \frac{4\pi}{9}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{18} + \frac{8\pi}{18} = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$ . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} 1 dx = 2 [x]_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}}$
$2I = 2 \left( \frac{4\pi}{9} - \frac{\pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{8\pi - \pi}{18} \right) = 2 \left( \frac{7\pi}{18} \right) = \frac{7\pi}{9}$
$I = \frac{7\pi}{18}$

(C) दिया गया समीकरण: $4 \sin ^{-1} x + 6 \cos ^{-1} x = 3 \pi$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \sin ^{-1} x + 6(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 3 \pi$
$4 \sin ^{-1} x + 3 \pi - 6 \sin ^{-1} x = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x + 3 \pi = 3 \pi$
$-2 \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = 0$
$x = \sin(0) = 0$।

(B) माना $L = \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}$ है।
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हुए:
पहले,पदों को समूहबद्ध करें: $L = \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{5} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{7} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$.
पहले भाग की गणना: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/5}{1 - (1/3)(1/5)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8/15}{14/15} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{8}{14} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right)$.
दूसरे भाग की गणना: $\tan ^{-1} \left( \frac{1/7 + 1/8}{1 - (1/7)(1/8)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15/56}{55/56} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{15}{55} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right)$.
अब उन्हें जोड़ें: $L = \tan ^{-1} \left( \frac{4}{7} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{3}{11} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{4/7 + 3/11}{1 - (4/7)(3/11)} \right)$.
$L = \tan ^{-1} \left( \frac{44/77 + 21/77}{1 - 12/77} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{65/77}{65/77} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया है,$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos 3x}{\sin 3x} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ और $\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \left( \frac{3x}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sin \left( \frac{3x}{2} \right)}{\cos \left( \frac{3x}{2} \right)} \right)$
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{3x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{3x}{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x}{2} \right) = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$ होगा।
चूँकि सीमा $1^\infty$ के रूप में है,हम सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) - 1]h(x)}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ $g(x) = \tan(\frac{\pi}{4} + x)$ और $h(x) = \frac{1}{x}$ है।
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x) - 1] \cdot \frac{1}{x}}$।
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ प्राप्त होता है।
$k = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1] \cdot \frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} [\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}] \cdot \frac{1}{x}}$।
$k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}} = e^{2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x}}$।
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x} = 1$,इसलिए $k = e^{2 \cdot 1 \cdot 1} = e^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \left[ \begin{array}{cc} 1+2i & i \\ -i & 1-2i \end{array} \right]$.
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A(\text{adj } A) = |A|I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (1+2i)(1-2i) - (i)(-i)$
$|A| = (1^2 - (2i)^2) - (-i^2)$
चूँकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$|A| = (1 - 4(-1)) - (-(-1))$
$|A| = (1 + 4) - 1$
$|A| = 5 - 1 = 4$.
अतः,$A(\text{adj } A) = |A|I = 4I$.

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ है।
एक विकर्ण आव्यूह $A = \text{diag}(a, b, c)$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \text{diag}(a^{-1}, b^{-1}, c^{-1})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = \begin{bmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (\omega^2)^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$।
दिया गया समीकरण: $(A+I)(A-I) = 0$।
गुणनफल का विस्तार करने पर: $A^2 - AI + IA - I^2 = 0$।
चूंकि $AI = IA = A$ और $I^2 = I$,हमें $A^2 - I = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A^2 = I$।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1}A^2 = A^{-1}I$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $A = A^{-1}$ हो जाता है।
अब,$A + A^{-1}$ व्यंजक में $A^{-1} = A$ रखने पर,हमें $A + A = 2A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (x \times 0) - (1 \times 1) = -1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $A = A^{-1}$,इसलिए आव्यूहों की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर,हमें $x = 0$ और $0 = -x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$।

(D) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$।
समीकरण $(A-2I)(A-4I) = 0$ दिया गया है।
गुणनफल का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $A^2 - 6A + 8I = 0$ हो जाता है।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है। समीकरण के दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^2 - 6A + 8I) = A^{-1}(0)$
$A - 6I + 8A^{-1} = 0$
$A + 8A^{-1}$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A + 8A^{-1} = 6I$।

(D) माना $p$ किसी मामले के सुलझने की प्रायिकता है,अतः $p = 25\% = \frac{1}{4}$.
माना $q$ किसी मामले के न सुलझने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
$n = 6$ परीक्षणों के लिए,हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {^nC_r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हैं।
हमें कम से कम $5$ मामलों के सुलझने की प्रायिकता चाहिए,जो $P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)$ है।
$P(X=5) = {^6C_5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4096}$.
$P(X=6) = {^6C_6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4096} \times 1 = \frac{1}{4096}$.
अतः,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4096} + \frac{1}{4096} = \frac{19}{4096}$.

(A) $2$ सिक्के उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $\{HH, HT, TH, TT\}$ है।
प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(X=5) = P(HH) = \frac{1}{4}$
$P(X=2) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = P(TT) = \frac{1}{4}$
हम माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = (5 \times \frac{1}{4}) + (2 \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = (5^2 \times \frac{1}{4}) + (2^2 \times \frac{1}{2}) + (1^2 \times \frac{1}{4}) = \frac{25}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} + 2 = \frac{13}{2} + 2 = \frac{17}{2}$ की गणना करते हैं।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{17}{2} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2} - \frac{25}{4} = \frac{34-25}{4} = \frac{9}{4}$।

(A) यादृच्छिक चर $X$ के लिए दिया गया p.d.f.: $f(x) = \begin{cases} 3(1 - 2x^2), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है: $P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{1}{3}\right) = \int_{1/4}^{1/3} 3(1 - 2x^2) \, dx$
$= 3 \left[ x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{1/4}^{1/3}$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{64} \right) \right]$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{81} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{96} \right) \right]$
$= 3 \left[ \frac{27-2}{81} - \frac{24-1}{96} \right] = 3 \left[ \frac{25}{81} - \frac{23}{96} \right]$
$= 3 \left[ \frac{25 \times 32 - 23 \times 27}{2592} \right] = 3 \left[ \frac{800 - 621}{2592} \right]$
$= 3 \times \frac{179}{2592} = \frac{179}{864}$

(A) हमारे पास $p = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
यह दिया गया है कि $P(X \ge 1) \ge 0.9375$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
अतः,$1 - P(X = 0) \ge 0.9375$ है।
$1 - ^nC_0 (p^0) (q)^n \ge 0.9375$ है।
$1 - (\frac{1}{4})^n \ge 0.9375$ है।
$1 - 0.9375 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
$0.0625 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
चूंकि $0.0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$ है,इसलिए $\frac{1}{16} \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
$(\frac{1}{4})^2 \ge (\frac{1}{4})^n$ है।
चूंकि आधार $1$ से कम है,इसलिए घातांकों के लिए असमानता उलट जाएगी: $n \ge 2$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(B) मुख्य विचार: $p + q = 1$ और $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ का उपयोग करें।
दिया गया है कि $X$ का मानक विचलन $\sqrt{3pq}$ है,इसलिए प्रसरण $Var(X) = (\sqrt{3pq})^2 = 3pq$ है।
दिया गया है कि माध्य $E(X) = 3p$ है।
सूत्र $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ का उपयोग करने पर:
$3pq = E(X^2) - (3p)^2$
$E(X^2) = 3pq + 9p^2$।
चूंकि $p + q = 1$,हम $q = 1 - p$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$E(X^2) = 3p(1 - p) + 9p^2$
$E(X^2) = 3p - 3p^2 + 9p^2$
$E(X^2) = 3p + 6p^2$
$E(X^2) = 3p(1 + 2p)$।

(A) यादृच्छिक चर $x$ का p.d.f. $f(x) = \frac{1}{4a}$ दिया गया है,जहाँ $0 < x < 4a$ है।
हमें समीकरण $P(x < \frac{3a}{2}) = k P(x > \frac{5a}{2})$ दिया गया है।
बाएँ पक्ष की गणना करने पर: $P(x < \frac{3a}{2}) = \int_{0}^{\frac{3a}{2}} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{0}^{\frac{3a}{2}} = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
दाएँ पक्ष की गणना करने पर: $P(x > \frac{5a}{2}) = \int_{\frac{5a}{2}}^{4a} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{\frac{5a}{2}}^{4a} = \frac{1}{4a} (4a - \frac{5a}{2}) = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{8} = k \times \frac{3}{8}$.
अतः,$k = 1$.

(B) हम जानते हैं कि एक द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 18$ है और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 12$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$।
इसे सरल करने पर $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।

(A) प्रायिकता $P(a \leq x \leq b)$ को $F(b) - F(a)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है $F(x) = \frac{x-25}{10}$।
हमें $P(27 \leq x \leq 33) = F(33) - F(27)$ ज्ञात करना है।
$F(33) = \frac{33-25}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$।
$F(27) = \frac{27-25}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$।
अतः,$P(27 \leq x \leq 33) = 0.8 - 0.2 = 0.6 = \frac{3}{5}$।

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = K + 3K + 5K + 7K + 8K + K = 1$
$25K = 1 \implies K = \frac{1}{25}$
हमें $P(2 \leq X < 5)$ ज्ञात करना है,जिसमें $X = 2, 3, 4$ के मान शामिल हैं।
$P(2 \leq X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= 3K + 5K + 7K = 15K$
$K = \frac{1}{25}$ रखने पर:
$= 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(B) उद्देश्य फलन $z=6x+8y$ है। बाधाएं $x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $x-y=0$ और $x+3y=12$ को आलेखित करते हैं।
$x-y=0$ और $x+3y=12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=y$ को $x+3y=12$ में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है,जिससे $4y=12$ मिलता है,अतः $y=3$ और $x=3$ है। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $B(3, 3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ ($x=0$ होने पर $x+3y=12$ से),और $B(3, 3)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
इन शीर्ष बिंदुओं पर $z=6x+8y$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0, 0)$ पर: $z = 6(0) + 8(0) = 0$.
$A(0, 4)$ पर: $z = 6(0) + 8(4) = 32$.
$B(3, 3)$ पर: $z = 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42$.
अधिकतम मान $42$ है।

(D) दिया गया है कि $c = (x-2)a + b$ और $d = (2x+1)a - b$ संरेख सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ असरेख हैं,हम $c = \lambda d$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
$(x-2)a + b = \lambda((2x+1)a - b)$
$(x-2)a + b = \lambda(2x+1)a - \lambda b$
$a$ और $b$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x-2 = \lambda(2x+1)$ और $1 = -\lambda$.
दूसरे समीकरण से,$\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$x-2 = -1(2x+1)$
$x-2 = -2x-1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(C) एक रेखा की दिक्-कोसाइन $l, m, n$ को शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्प $A$ के लिए: $(\sqrt{\frac{1}{5}})^2 + (-\sqrt{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt{\frac{3}{10}})^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{2+5+3}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
विकल्प $B$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.
विकल्प $C$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq 1$.
विकल्प $D$ के लिए: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$.
चूंकि विकल्प $C$ के लिए वर्गों का योग $1$ नहीं है,इसलिए यह एक रेखा की दिक्-कोसाइन नहीं हो सकती है।

(D) समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z-1=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए हम $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0+0+0-4) + \lambda(0+0+0-1) = 0
\Rightarrow -4 - \lambda = 0
\Rightarrow \lambda = -4$.
अब $\lambda = -4$ को परिवार के समीकरण में रखने पर:
$(x+2y+3z-4) - 4(4x+3y+2z-1) = 0
\Rightarrow x+2y+3z-4 - 16x - 12y - 8z + 4 = 0
\Rightarrow -15x - 10y - 5z = 0
\Rightarrow 3x + 2y + z = 0$.
समतल $ax+by+cz+d=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(a, b, c)$ होते हैं।
अतः,समतल $3x+2y+z=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $3, 2, 1$ हैं।

(D) मुख्य विचार: यदि रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ लंबवत हैं,तो $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ होता है।
दी गई रेखाएँ हैं:
$\frac{2x-4}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ $(i)$
और $\frac{x-1}{1} = \frac{3y-1}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$ (ii)
चूँकि रेखाएँ $(i)$ और (ii) लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक-अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर:
$3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$
$7\lambda = -6$
$\lambda = -\frac{6}{7}$

(A) दिया गया है कि $\triangle PQR$,$Q$ पर समकोण है।
इसलिए,सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है: $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0$.
सबसे पहले,सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ ज्ञात करें:
$\vec{QP} = (6-1, 10-0, 10-(-5)) = (5, 10, 15)$
$\vec{QR} = (6-1, -10-0, \lambda-(-5)) = (5, -10, \lambda+5)$
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (5)(5) + (10)(-10) + (15)(\lambda+5) = 0$
$25 - 100 + 15\lambda + 75 = 0$
$-75 + 15\lambda + 75 = 0$
$15\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) माना दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = k_1$
$L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-\lambda}{2}=\frac{z}{1} = k_2$
$L_1$ पर कोई बिंदु $(2k_1+1, 3k_1-1, 4k_1+1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $(k_2+3, 2k_2+\lambda, k_2)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो ऐसे $k_1, k_2$ मौजूद हैं कि:
$2k_1+1 = k_2+3 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 2$ $(i)$
$4k_1+1 = k_2 \Rightarrow 4k_1 - k_2 = -1$ $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(4k_1 - k_2) - (2k_1 - k_2) = -1 - 2$
$2k_1 = -3 \Rightarrow k_1 = -\frac{3}{2}$
$k_1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) - k_2 = -1 \Rightarrow -6 - k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -5$
अब,$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3k_1 - 1 = 2k_2 + \lambda$
$3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + \lambda$
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + \lambda$
$-\frac{11}{2} = -10 + \lambda$
$\lambda = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$

(C) चूंकि बिंदु $P(6, -1, 2)$,$Q(8, -7, 2\lambda)$ और $R(5, 2, 4)$ संरेख हैं,इसलिए रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$PQ$ के दिक्-अनुपात $(8-6, -7-(-1), 2\lambda-2) = (2, -6, 2\lambda-2)$ हैं।
$PR$ के दिक्-अनुपात $(5-6, 2-(-1), 4-2) = (-1, 3, 2)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए दिक्-अनुपातों का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{2\lambda-2}{2}$
$-2 = -2 = \lambda-1$
अंतिम भाग की तुलना करने पर: $-2 = \lambda-1$,जिससे $\lambda = -1$ प्राप्त होता है।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (2, -2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = 0$
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।

(B) मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(4, -2, -5)$ दिया गया है।
चूंकि रेखाखंड $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ होगा।
अतः,अभिलंब के दिक अनुपात $(4 - 0, -2 - 0, -5 - 0) = (4, -2, -5)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $4(x - 4) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे विस्तारित करने पर,$4x - 16 - 2y - 4 - 5z - 25 = 0$ मिलता है।
सरल करने पर,$4x - 2y - 5z - 45 = 0$ या $4x - 2y - 5z = 45$ प्राप्त होता है।

(D) $x-2y+2z+4=0$ के समांतर समतल का समीकरण $x-2y+2z+k=0$ के रूप में होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(1, 2, 3)$ और दूरी $d=1$ दी गई है,इसलिए:
$1 = \frac{|1(1)-2(2)+2(3)+k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$
$1 = \frac{|1-4+6+k|}{\sqrt{1+4+4}}$
$1 = \frac{|3+k|}{\sqrt{9}}$
$|3+k| = 3$
इसका अर्थ है कि $3+k = 3$ या $3+k = -3$ है।
स्थिति $1$: $3+k = 3 \Rightarrow k = 0$. समीकरण $x-2y+2z=0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $3+k = -3 \Rightarrow k = -6$. समीकरण $x-2y+2z-6=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x-2y+2z=0$ और $x-2y+2z-6=0$ हैं।

(A) बिंदुओं $(-3, 1, 2)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2 - (-3)), (3 - 1), (4 - 2)$ अर्थात $5, 2, 2$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ मिलता है।
दाहिनी ओर अदिश गुणनफल करने पर: $(-1)(5) + (2)(2) + (1)(2) = -5 + 4 + 2 = 1$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ है।

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर खींचे गए लंब के पाद $(x, y, z)$ के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र है: $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$।
यहाँ समतल का समीकरण $2x - y + 5z - 3 = 0$ है और मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 0}{5} = -\frac{2(0) - 1(0) + 5(0) - 3}{2^2 + (-1)^2 + 5^2}$।
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{5} = -\frac{-3}{4 + 1 + 25} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$।
प्रत्येक भाग को $\frac{1}{10}$ के बराबर रखने पर:
$x = 2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$।
$y = -1 \times \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}$।
$z = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।

(C) माना कि $E = \sin \left[3 \sin ^{-1}(0.4)\right]$.
$\sin ^{-1}(0.4) = \theta$ रखने पर,$\sin \theta = 0.4$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 3(0.4) - 4(0.4)^3$
$E = 1.2 - 4(0.064)$
$E = 1.2 - 0.256$
$E = 0.944$

(B) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$।
दिए गए सदिश $x \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$ हैं।
अतः,$\frac{x}{1} = \frac{-3}{y} = \frac{7}{-z} = k$।
इससे हमें $x = k$,$y = -\frac{3}{k}$,और $z = -\frac{7}{k}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{x y^2}{z}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x y^2}{z} = \frac{k \cdot (-\frac{3}{k})^2}{-\frac{7}{k}} = \frac{k \cdot \frac{9}{k^2}}{-\frac{7}{k}} = \frac{\frac{9}{k}}{-\frac{7}{k}} = -\frac{9}{7}$।

(A) हमारे पास व्यंजक $a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)]$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने पर:
$(b+c) \times(a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$) और $c \times b = -(b \times c)$,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
अब,$a$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$a \cdot [(b \times a) + (c \times a)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a)$.
अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की परिभाषा के अनुसार,$a \cdot (b \times a) = [a \ b \ a]$ और $a \cdot (c \times a) = [a \ c \ a]$.
चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणन में यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है,इसलिए $[a \ b \ a] = 0$ और $[a \ c \ a] = 0$.
अतः,अंतिम परिणाम $0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ का अदिश त्रिक गुणनफल उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$.
दिए गए सदिशों $-3 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}$,$3 \hat{i}-7 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $7 \hat{i}-5 \hat{j}-3 \hat{k}$ के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल $272$ है।
$\begin{vmatrix} -3 & 7 & -3 \\ 3 & -7 & \lambda \\ 7 & -5 & -3 \end{vmatrix} = 272$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-3((-7)(-3) - (-5)(\lambda)) - 7((3)(-3) - (7)(\lambda)) - 3((3)(-5) - (7)(-7)) = 272$
$-3(21 + 5\lambda) - 7(-9 - 7\lambda) - 3(-15 + 49) = 272$
$-63 - 15\lambda + 63 + 49\lambda - 3(34) = 272$
$34\lambda - 102 = 272$
$34\lambda = 374$
$\lambda = \frac{374}{34} = 11$.

(A) समतल का दिया गया समीकरण $r = (2 \hat{i} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i}) + \mu(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k})$ है।
यह समतल बिंदु $a = 2 \hat{i} + \hat{k}$ से गुजरता है और सदिशों $b = \hat{i}$ तथा $c = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अदिश गुणन रूप $r \cdot (b \times c) = a \cdot (b \times c)$ होता है।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश $n = b \times c$ की गणना करें:
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
यहाँ $\alpha = a \cdot n = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$.
अतः,$\alpha = 2$.

(D) तीन सदिशों $a, b, c$ का अदिश त्रिक गुणनफल $a \cdot(b \times c)$ के रूप में परिभाषित होता है।
यह चक्रीय गुण का पालन करता है: $a \cdot(b \times c) = b \cdot(c \times a) = c \cdot(a \times b)$.
दिए गए व्यंजक $w \cdot(u \times v)$ के लिए,चक्रीय गुण के अनुसार,यह $u \cdot(v \times w)$ और $v \cdot(w \times u)$ के बराबर है।
साथ ही,चूंकि डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमेय है,इसलिए $w \cdot(u \times v) = (u \times v) \cdot w$ होता है।
हालाँकि,$v \cdot(u \times w) = -(v \cdot(w \times u)) = -(w \cdot(u \times v))$ होता है।
इसलिए,$v \cdot(u \times w)$ का मान $w \cdot(u \times v)$ के बराबर नहीं है।

(B) सह-अंतस्थ किनारों को निरूपित करने वाले सदिश इस प्रकार हैं:
$AB = (5-3)\hat{i} + (-2-7)\hat{j} + (-3-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 9\hat{j} - 7\hat{k}$
$AC = (-4-3)\hat{i} + (5-7)\hat{j} + (6-4)\hat{k} = -7\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$AD = (1-3)\hat{i} + (2-7)\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 1\hat{k}$
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[AB, AC, AD]| = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|$ द्वारा दिया जाता है।
यह सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर है:
$|\begin{vmatrix} 2 & -9 & -7 \\ -7 & -2 & 2 \\ -2 & -5 & -1 \end{vmatrix}|$
$= |2(2 - (-10)) - (-9)(7 - (-4)) + (-7)(35 - 4)|$
$= |2(12) + 9(11) - 7(31)|$
$= |24 + 99 - 217|$
$= |123 - 217| = |-94| = 94$ घन इकाई।

(C) दिया गया है कि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ शून्येतर,असमतलीय सदिश हैं:
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}, \vec{p}-\vec{q}, \vec{q}-\vec{r}]$ को $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ के गुणांकों के सारणिक और $[\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$[\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}, \vec{p}-\vec{q}, \vec{q}-\vec{r}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
सारणिक की गणना करने पर:
$= [1((-1)(-1) - (0)(1)) - 1((1)(-1) - (0)(0)) + (-1)((1)(1) - (-1)(0))] [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= [1(1) - 1(-1) - 1(1)] [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= (1 + 1 - 1) [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$
$= [\vec{p} \quad \vec{q} \quad \vec{r}]$

(C) एक समांतर षट्फलक जिसका किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,उसका आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए किनारे $\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \text{ और } \vec{c}+\vec{a}$ हैं।
आयतन $V = [(\vec{a}+\vec{b}) (\vec{b}+\vec{c}) (\vec{c}+\vec{a})]$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$[\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}] = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))$ है।
सदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,यह $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$ में सरल हो जाता है।
अब,$V = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a})$ है।
$V = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$ है।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a})$ जैसे पद शून्य हो जाते हैं क्योंकि $\vec{a}$ सदिश $\vec{b} \times \vec{a}$ के लंबवत है।
केवल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ और $\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$ शेष रहते हैं।
$V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$।