જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$ હોય,તો:

$x \neq 0$ માટે નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય નથી?

ધારો કે $a, b \in R-\{0\}$,અને $I_2$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. તો બ્લોક શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a I_2 & b I_2 \\ a I_2 & b I_2 \end{bmatrix}$ નો શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) કેટલો થાય?

શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 4 & 2 & 1-x \\ 5 & k & 1 \\ 6 & 3 & 1+x \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $1$ છે,તો

જો સમીકરણોની સંહતિ $a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0$,અને $a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0$ નો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ (trivial solution) હોય,તો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) કેટલો થાય?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?
$1$. જો $A$ એ $5 \times 5$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $5$ કરતા ઓછો હોય છે.
$2$. જો $P$ એ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક અને $Q$ એ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ નો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે.
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $2$ છે.
$4$. જો રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ ભિન્ન હોય અને એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $3$ છે.