KCET 2017 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ઘનતા એ દળ અને કદનો ગુણોત્તર છે: $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$.
આપેલ છે: $\text{દળ} = 49.53 \ g$ (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે).
આપેલ છે: $\text{કદ} = 1.5 \ cm^3$ (જેમાં $2$ સાર્થક અંકો છે).
ગણતરી: $\text{ઘનતા} = \frac{49.53}{1.5} = 33.02 \ g \ cm^{-3}$.
સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,ભાગાકાર કરતી વખતે પરિણામમાં તેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપનમાં છે.
અહીં $1.5$ માં $2$ સાર્થક અંકો હોવાથી,અંતિમ જવાબને $2$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવો પડે.
તેથી,ઘનતા $33 \ g \ cm^{-3}$ થાય.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં તણાવ પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તે તણાવ અથવા દબાણ હેઠળ પદાર્થની લંબાઈમાં થતા ફેરફારોને સહન કરવાની ક્ષમતાનું માપ આપે છે.

(B) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\vec{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$.
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$.
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$.
$4 + 8\alpha = 0$.
$8\alpha = -4$.
$\alpha = -4/8 = -1/2$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $ d $ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $ g_d $ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$ g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) $
જ્યાં $ g $ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $( 9.8 \,ms^{-2} )$ છે,$ d $ એ ઊંડાઈ $( 1600 \,km )$ છે,અને $ R $ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $( 6400 \,km )$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1600}{6400} \right) $
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) $
$ g_d = 9.8 \times \frac{3}{4} $
$ g_d = 7.35 \,ms^{-2} $
તેથી,$ 1600 \,km $ ની ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $ 7.35 \,ms^{-2} $ છે.

(A) પાણીનું દળ $m = 6 \text{ ટન} = 6000 \ kg$.
પાણીને જે કુલ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર લાવવામાં આવે છે = કૂવાની ઊંડાઈ + પહેલા માળની ઊંચાઈ = $25 \ m + 35 \ m = 60 \ m$.
લાગતો સમય $t = 20 \text{ મિનિટ} = 20 \times 60 \ s = 1200 \ s$.
થયેલું કાર્ય $W = mgh = 6000 \ kg \times 10 \ ms^{-2} \times 60 \ m = 3,600,000 \ J$.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{3,600,000 \ J}{1200 \ s} = 3000 \ W$.
$1 \ kW = 1000 \ W$ હોવાથી,પંપનો પાવર $3 \ kW$ થાય.

(C) 'હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ' પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે।
પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર દબાણ આપવામાં આવે છે, ત્યારે તે દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં નાના પિસ્ટન પર ઓછું બળ લગાડીને દબાણ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે, જે પ્રવાહી દ્વારા મોટા પિસ્ટન સુધી પહોંચાડવામાં આવે છે, જેના પરિણામે ભારે વસ્તુઓને ઊંચકવા માટે મોટું બળ મળે છે।
ગાણિતિક રીતે, $Pressure = \frac{Force}{Area}$. સિસ્ટમમાં દબાણ સમાન હોવાથી, $P = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$, જે નાના ઇનપુટ બળને મોટા આઉટપુટ બળમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે।

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
વિકલ્પ $A$ $(T_1 = 60 \ K, T_2 = 40 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{40}{60} = 1 - 0.667 = 0.333$.
વિકલ્પ $B$ $(T_1 = 40 \ K, T_2 = 20 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{20}{40} = 1 - 0.5 = 0.5$.
વિકલ્પ $C$ $(T_1 = 80 \ K, T_2 = 60 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{60}{80} = 1 - 0.75 = 0.25$.
વિકલ્પ $D$ $(T_1 = 100 \ K, T_2 = 80 \ K)$ માટે: $\eta = 1 - \frac{80}{100} = 1 - 0.8 = 0.2$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$T_1 = 100 \ K$ અને $T_2 = 80 \ K$ ના સંયોજન માટે કાર્યક્ષમતા સૌથી ઓછી છે.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v^2 - u^2 = 2as$, જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ), $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે, $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ $(-a)$ છે, અને $s$ એ અંતર છે।
$0^2 - u^2 = 2(-a)s \Rightarrow u^2 = 2as \Rightarrow s = \frac{u^2}{2a}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી, $s \propto u^2$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $40 = \frac{(20)^2}{2a} \Rightarrow 2a = \frac{400}{40} = 10 \,m \,s^{-2}$.
બીજા કિસ્સા માટે, નવો વેગ $u' = 2 \times 20 = 40 \,m \,s^{-1}$ છે.
નવું અંતર $s' = \frac{(u')^2}{2a} = \frac{(40)^2}{10} = \frac{1600}{10} = 160 \,m$.

(B) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા 'ઇક્વિપાર્ટિશન' (equipartition) પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અણુ પાસે $3$ સ્વતંત્રતાના અંશો (degrees of freedom) હોય છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ઊર્જા $E = \frac{f}{2} k_{B} T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$ હોવાથી,સરેરાશ ઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ લિફ્ટમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પદાર્થનું આભાસી વજન માપે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે અવલોકન $m \times g$ હોય છે.
જ્યારે લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = g$ (નીચેની તરફ) હોય છે.
આભાસી વજન $W_{app} = m(g - a)$ થાય છે.
$a = g$ મૂકતા,આપણને $W_{app} = m(g - g) = 0$ મળે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $0 \ kg$ છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$.
જ્યારે બંને દડા હવામાં હોય,ત્યારે તેઓ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે,તેથી $a_1 = -g$ અને $a_2 = -g$.
આ કિંમતો મૂકતા: $a_{cm} = \frac{m_1(-g) + m_2(-g)}{m_1 + m_2}$.
$a_{cm} = -g \frac{(m_1 + m_2)}{(m_1 + m_2)} = -g$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $g$ જેટલું હોય છે,જે ગુરુત્વપ્રવેગ છે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના $1 \ kg$ દળના તાપમાનમાં $1 \ K$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$,જ્યાં $Q$ એ ઉષ્મા ઉર્જા $(J)$,$m$ એ દળ $(kg)$,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $(K)$ છે.
સૂત્રને $c$ માટે ગોઠવતા,$c = \frac{Q}{m \cdot \Delta T}$ મળે છે.
એકમો મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો $S.I.$ એકમ $\frac{J}{kg \cdot K}$ થાય છે,જેને $J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગની દિશામાં થતો આ ફેરફાર કેન્દ્રગામી પ્રવેગને કારણે થાય છે,જે હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વેગ સદિશ હંમેશા કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
વર્તુળનો સ્પર્શક હંમેશા સંપર્ક બિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,વેગ સદિશ (સ્પર્શક) અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ (ત્રિજ્યા) વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.

(B) બંધ પાઇપમાં,ધ્વનિ તરંગો હવાના સ્તંભમાંથી પસાર થાય છે અને બંધ છેડા પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
આ પરાવર્તિત તરંગો આપાત તરંગો સાથે વ્યતિકરણ પામીને સ્થિત (સ્થાયી) તરંગો બનાવે છે.
ધ્વનિ તરંગો દબાણના તરંગો હોવાથી,તે સ્વભાવે સંગત (લંબગત નહીં) હોય છે.
તેથી,બંધ પાઇપમાં ઉત્પન્ન થતા તરંગો સંગત અને સ્થિત હોય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
લોલક $A$ માટે: તે $20 \ s$ માં $10$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T_A = \frac{20}{10} = 2 \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_A}{g}} = 2 \quad (1)$
લોલક $B$ માટે: તે $10 \ s$ માં $8$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T_B = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \ s$.
$2\pi \sqrt{\frac{l_B}{g}} = \frac{5}{4} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2\pi \sqrt{l_A/g}}{2\pi \sqrt{l_B/g}} = \frac{2}{5/4}$
$\sqrt{\frac{l_A}{l_B}} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{l_A}{l_B} = \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64}{25}$

(A) જ્યારે ત્રણેય કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે અસરકારક કેપેસિટન્સ ન્યૂનતમ મળે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eff}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
અહીં $C_1 = 1 \ pF$,$C_2 = 2 \ pF$,અને $C_3 = 4 \ pF$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{4 + 2 + 1}{4} = \frac{7}{4} \ pF^{-1}$
તેથી,$C_{eff} = \frac{4}{7} \ pF$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,કણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
જ્યારે કોઈ કણને $H$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ ગતિના સમીકરણ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{2gH}$
વેગનું આ સૂત્ર ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gH}}$
અહીં $h$,$m$,અને $g$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$
તેથી,કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ઊંચાઈ પર $H^{-\frac{1}{2}}$ મુજબ આધાર રાખે છે.

(A) આપેલ ક્ષય પ્રક્રિયા $ { }_{92}^{238} U \rightarrow { }_{92}^{234} U $ છે.
$\alpha$-ક્ષયને $ { }_{Z}^{A} X \rightarrow { }_{Z-2}^{A-4} Y + { }_{2}^{4} \text{He} $ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\beta$-ક્ષયને $ { }_{Z}^{A} X \rightarrow { }_{Z+1}^{A} Y + { }_{-1}^{0} e $ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$ { }_{92}^{238} U $ માંથી $ { }_{92}^{234} U $ ના ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંકમાં ફેરફાર $\Delta A = 238 - 234 = 4$ છે.
દરેક $\alpha$-કણ $4$ જેટલો દળ ક્રમાંક ધરાવતો હોવાથી,ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $4/4 = 1$ છે.
$1$ $\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી પરમાણુ ક્રમાંક $92 - 2 = 90$ થાય છે.
જોકે,અંતિમ પરમાણુ ક્રમાંક $92$ છે. પરમાણુ ક્રમાંકને $90$ થી $92$ સુધી વધારવા માટે,આપણને $2$ $\beta$-ક્ષયની જરૂર છે,કારણ કે દરેક $\beta$-ક્ષય $Z$ માં $1$ નો વધારો કરે છે.
તેથી,$1$ $\alpha$ અને $2$ $\beta$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{C} = \frac{\mu_{0}I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{A} = \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_{C} = 5\sqrt{5} B_{A}$,તેથી:
$\frac{\mu_{0}I}{2r} = 5\sqrt{5} \left( \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}} \right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{r} = \frac{5\sqrt{5}r^{2}}{(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
$(x^{2} + r^{2})^{3/2} = 5\sqrt{5}r^{3} = (5^{1/2})^{3}r^{3} = (5^{1/2}r)^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$(x^{2} + r^{2})^{1/2} = 5^{1/2}r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^{2} + r^{2} = 5r^{2}$.
$x^{2} = 4r^{2} \Rightarrow x = 2r$.
અહીં $r = 0.1 \ m$ આપેલ છે,તેથી $x = 2 \times 0.1 \ m = 0.2 \ m$.

(B) આપેલ છે: દૂર કરેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = 4 \times 10^{10}$.
ગોળાનો વ્યાસ $= 20 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
કેન્દ્રથી અંતર $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = n \times e = 4 \times 10^{10} \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} = 6.4 \times 10^{-9} \text{ C}$.
બિંદુ ગોળાની બહાર હોવાથી $(r > R)$,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{6.4 \times 10^{-9}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{9 \times 6.4}{0.04} = \frac{57.6}{0.04} = 1440 \text{ N C}^{-1}$.

(D) અર્ધવાહક (semiconductor) માટે ઉર્જા ગેપ $(E_g)$ સામાન્ય રીતે $3 eV$ કરતા ઓછો હોય છે.
તાંબુ,લોખંડ અને એલ્યુમિનિયમ એ ધાતુઓ (વાહકો) છે જેમાં વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,એટલે કે તેમાં પરંપરાગત અર્થમાં કોઈ ઉર્જા ગેપ હોતો નથી.
જર્મેનિયમ એ એક અર્ધવાહક છે જેનો ઉર્જા ગેપ આશરે $0.7 eV$ છે.
આમ,$0.7 eV < 3 eV$ હોવાથી,જર્મેનિયમ સાચો જવાબ છે.

(B) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ $(KCL)$ મુજબ, પરિપથના કોઈપણ જંકશન પર દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ચાલો ઉપરના ડાબા જંકશનનું વિશ્લેષણ કરીએ: $20 \text{ A}$ દાખલ થાય છે અને $5 \text{ A}$ નીચેની તરફ જાય છે. તેથી, $15 \text{ A}$ જમણી તરફ વહેશે.
હવે, ઉપરના જમણા જંકશનને ધ્યાનમાં લો: ડાબેથી $15 \text{ A}$ અને ઉપરથી $4 \text{ A}$ દાખલ થાય છે. આમ, $19 \text{ A}$ નીચેની તરફ વહેશે.
અંતે, નીચેના જમણા જંકશનને ધ્યાનમાં લો: ઉપરથી $19 \text{ A}$ અને નીચેના ડાબા જંકશનમાંથી $3 \text{ A}$ દાખલ થાય છે.
પરિપથમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ = $20 \text{ A} + 4 \text{ A} + 3 \text{ A} = 27 \text{ A}$.
પરિપથમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ = $I + 6 \text{ A}$.
કિર્ચોફના નિયમ મુજબ, $27 = I + 6 \Rightarrow I = 21 \text{ A}$.

(B) આપેલ પ્રવાહ $I = 0.2 \, mA = 0.2 \times 10^{-3} \, A$.
ડાયોડ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_d = 0.2 \, V$.
અવરોધો $R_1 = R_2 = 5 \, k\Omega = 5 \times 10^3 \, \Omega$.
પરિપથમાં એક અવરોધ $R_1$, એક ડાયોડ અને એક અવરોધ $R_2$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
અવરોધ $R_1$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R1} = I \times R_1 = (0.2 \times 10^{-3} \, A) \times (5 \times 10^3 \, \Omega) = 1 \, V$.
અવરોધ $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R2} = I \times R_2 = (0.2 \times 10^{-3} \, A) \times (5 \times 10^3 \, \Omega) = 1 \, V$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ વોલ્ટેજ તફાવત એ ઘટકો પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો છે: $V_{AB} = V_{R1} + V_d + V_{R2} = 1 \, V + 0.2 \, V + 1 \, V = 2.2 \, V$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટરનું અસરકારક કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} = \frac{2+1}{4 \mu F} = \frac{3}{4 \mu F}$.
તેથી,$C = \frac{4}{3} \mu F = \frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C V$ છે.
$Q = (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times 6 \text{ V} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} = 8 \mu C$.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6 \text{ V})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 10^{-6} \times 36 = 24 \times 10^{-6} \text{ J} = 24 \mu J$.

(A) એક પાયાની સંદેશાવ્યવહાર પ્રણાલી માહિતીને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી પહોંચાડવા માટે બનાવવામાં આવી છે.
આ પ્રક્રિયા એક ચોક્કસ ક્રમમાં થાય છે:
$1$. માહિતીનો સ્ત્રોત: સંદેશાનું મૂળ.
$2$. ટ્રાન્સમીટર: માહિતીને પ્રસારણ માટે યોગ્ય સિગ્નલમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
$3$. ચેનલ: તે માધ્યમ જેના દ્વારા સિગ્નલ મુસાફરી કરે છે.
$4$. રીસીવર: ચેનલમાંથી મૂળ સિગ્નલને અલગ કરે છે.
$5$. માહિતીનો ઉપયોગકર્તા: સંદેશાનું અંતિમ ગંતવ્ય અથવા પ્રાપ્તકર્તા.
તેથી,સાચો ક્રમ છે: માહિતીનો સ્ત્રોત $\rightarrow$ ટ્રાન્સમીટર $\rightarrow$ ચેનલ $\rightarrow$ રીસીવર $\rightarrow$ માહિતીનો ઉપયોગકર્તા,જે $(b)$ $\rightarrow$ $(a)$ $\rightarrow$ $(d)$ $\rightarrow$ $(e)$ $\rightarrow$ $(c)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ (હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ હવાની સાપેક્ષમાં વધારે હોવાથી,પ્રકાશની ઝડપ $v$ ઘટે છે,કારણ કે $v = \frac{c}{\mu}$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
વધુમાં,તરંગલંબાઇ $\lambda$,ઝડપ $v$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી અને ઝડપ $v$ ઘટતી હોવાથી,ઘટ્ટ માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda$ પણ ઘટવી જોઈએ.
આમ,પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અને ઝડપ બંને ઘટે છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જાને દળ ક્રમાંક $ A $ વડે ભાગતા મળે છે.
બંધન ઉર્જા $ B.E. = (\Delta m \times 931) \ MeV $.
આપેલ દળ ક્ષતિ $ \Delta m = 0.03 \ u $ છે.
કુલ બંધન ઉર્જા $ = 0.03 \times 931 = 27.93 \ MeV $.
હિલિયમ $ { }_{2}^{4} He $ માટે,દળ ક્રમાંક $ A = 4 $ છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $ = \frac{B.E.}{A} = \frac{27.93}{4} = 6.9825 \ MeV $.

(B) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h = 10 \text{ cm}$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 15 \text{ cm}$,વસ્તુનું અંતર $u = -10 \text{ cm}$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 15/2 = 7.5 \text{ cm}$. અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -7.5 \text{ cm}$.
વસ્તુ $u = -10 \text{ cm}$ પર મૂકવામાં આવી છે અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -7.5 \text{ cm}$ છે,તેથી વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવી છે કારણ કે $f < |u| < R$ (એટલે કે $7.5 \text{ cm} < 10 \text{ cm} < 15 \text{ cm}$).
જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાની સામે $F$ અને $C$ ની વચ્ચે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું હોય છે.

(B) શરૂઆતના વિદ્યુતભારો $q_1 = +2 \ nC$ અને $q_2 = -8 \ nC$ છે. શરૂઆતના આકર્ષી બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{k |q_1 q_2|}{d^2} = \frac{k (2 \times 8) \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{16k \times 10^{-18}}{d^2}$ છે.
જ્યારે ગોળાઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_{new} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \ nC$. હવે બંને ગોળાઓ પર $-3 \ nC$ વિદ્યુતભાર છે.
ધારો કે નવું અંતર $d'$ છે. નવું અપાકર્ષી બળ $|F'| = \frac{k |q_{new} q_{new}|}{(d')^2} = \frac{k (3 \times 3) \times 10^{-18}}{(d')^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$ છે.
આપેલ છે કે $|F| = |F'|$,તેથી $\frac{16k \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$.
$\frac{16}{d^2} = \frac{9}{(d')^2} \Rightarrow (d')^2 = \frac{9}{16} d^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$d' = \frac{3}{4} d$ મળે છે.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાંબાના ટુકડાનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \times L$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A = \frac{V}{L}$ મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$.
વળી,$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$.
અવરોધને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે લંબાઈ $L$ વધારવી જોઈએ અને વ્યાસ $d$ ઘટાડવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$2L$ અને $d/2$ ની ગોઠવણી મહત્તમ અવરોધ આપે છે કારણ કે $R \propto \frac{L}{d^2}$.
$L' = 2L$ અને $d' = d/2$ મૂકતા,આપણને $R' \propto \frac{2L}{(d/2)^2} = \frac{2L}{d^2/4} = 8 \frac{L}{d^2}$ મળે છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ મૂલ્ય છે.

(C) રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ અનુસાર, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ તેની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$I \propto \frac{1}{\lambda^4}$
આ ઘટનાને રેલે પ્રકીર્ણન (Rayleigh Scattering) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે,તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_B = F_g$
$I B l = m g$
જ્યાં $I = 2.5 \text{ A}$,$B = 0.5 \text{ T}$,$l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ છે。
$m = \frac{I B l}{g}$
$m = \frac{2.5 \times 0.5 \times 0.5}{10}$
$m = \frac{0.625}{10} = 0.0625 \text{ kg}$
ગ્રામમાં ફેરવતા: $0.0625 \text{ kg} \times 1000 = 62.5 \text{ g}$.
આમ,તારનું દળ $62.5 \text{ g}$ છે。

(D) ગજિયો ચુંબક એ કાયમી ચુંબક છે જે પોતાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી તે વિધાન ખોટું છે. અન્ય ગુણધર્મો ગજિયા ચુંબકની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ છે: ધ્રુવો હંમેશા જોડીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે,મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે ત્યારે તે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ગોઠવાય છે,અને સમાન ધ્રુવો અપાકર્ષણ કરે છે જ્યારે અસમાન ધ્રુવો આકર્ષણ કરે છે.

(C) વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર એ એક ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ છે જે લોડ કરંટ,તાપમાન અને $AC$ લાઇન વોલ્ટેજના ફેરફારોથી સ્વતંત્ર સ્થિર $DC$ વોલ્ટેજ પ્રદાન કરે છે.
ખાસ કરીને,$Zener$ ડાયોડને રિવર્સ બ્રેકડાઉન રીજનમાં કામ કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે,જે તેને ઇનપુટ વોલ્ટેજ અથવા લોડ કરંટમાં ફેરફાર હોવા છતાં તેના ટર્મિનલ્સ પર સતત વોલ્ટેજ જાળવી રાખવાની ક્ષમતા આપે છે.
તેથી,$Zener$ ડાયોડનો ઉપયોગ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે વ્યાપકપણે થાય છે.

(C) આપેલ છે કે, સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 48 \,V$ છે.
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = 12 \,W$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{rms} = P / V_{rms} = 12 / 48 = 0.25 \,A$ દ્વારા મળે છે.
પીક કરંટ $I_0$ એ $RMS$ પ્રવાહ સાથે $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા, $I_0 = 0.25 \times \sqrt{2} = (1/4) \times \sqrt{2} = \sqrt{2}/4 = 1/(2\sqrt{2}) \,A$ મળે છે.

(A) વાહકનો વ્યાસ $d = 0.1 \text{ mm} = 10^{-4} \text{ m}$ છે.
નળાકાર વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\pi \simeq 3$ લેતા,$A = \frac{3 \times (10^{-4})^2}{4} = \frac{3 \times 10^{-8}}{4} = 0.75 \times 10^{-8} \text{ m}^2$ મળે છે.
વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 90 \text{ mA} = 90 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ની વ્યાખ્યા $J = \frac{I}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$J = \frac{90 \times 10^{-3}}{0.75 \times 10^{-8}} = \frac{90}{0.75} \times 10^{5} = 120 \times 10^{5} = 1.2 \times 10^{7} \text{ Am}^{-2}$ થાય છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટરના ત્રણ ભાગો,એટલે કે એમિટર,બેઝ અને કલેક્ટર પૈકી:
$\rightarrow$ એમિટર મધ્યમ કદનું અને ભારે ડોપિંગ કરેલું હોય છે.
$\rightarrow$ બેઝ પાતળા કદનો અને હળવું ડોપિંગ કરેલો હોય છે.
$\rightarrow$ કલેક્ટર મોટા કદનો અને મધ્યમ ડોપિંગ કરેલો હોય છે.
તેથી,એમિટર મધ્યમ કદનું અને ભારે ડોપિંગ કરેલું હોય છે.

(C) આપાત પ્રકાશની નિશ્ચિત આવૃત્તિ માટે,સંતૃપ્ત ફોટો-કરંટ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલા આલેખ પરથી,$I_{2}$ તીવ્રતાવાળા પ્રકાશ માટે સંતૃપ્ત ફોટો-કરંટ એ $I_{1}$ તીવ્રતાવાળા પ્રકાશ કરતા વધારે છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢી શકીએ કે $I_{1} < I_{2}$.

(A) સૌ પ્રથમ, આપણે પરિપથની રચના સમજીએ। $ 3 \ \Omega $ અને $ 6 \ \Omega $ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $ R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \ \Omega $ છે।
આ $ R_p $ એ $ 2 \ \Omega $ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, આ શાખાનો કુલ અવરોધ $ R_{branch} = 2 + 2 = 4 \ \Omega $ થાય।
આ શાખા $ 4 \ \Omega $ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે। બાહ્ય પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $ R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \ \Omega $ છે।
આંતરિક અવરોધ $ r = 1 \ \Omega $ ને ગણતા, પરિપથનો કુલ અવરોધ $ R_{total} = 2 + 1 = 3 \ \Omega $ થાય।
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $ I = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ A $ છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $ V_{parallel} = 1.5 \times 2 = 3 \ V $ છે।
આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $ I_{branch} = \frac{3 \ V}{4 \ \Omega} = 0.75 \ A $ છે।
$ 3 \ \Omega $ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $ I_3 = 0.75 \times \frac{6}{3+6} = 0.5 \ A $ છે।
તેથી, વ્યય થતો પાવર $ P = I_3^2 \times R = (0.5)^2 \times 3 = 0.75 \ W $ થાય।

(A) આપેલ છે: પાંખની લંબાઈ $l = 20 \,m$, જેટ પ્લેનની ઝડપ $v = 400 \,ms^{-1}$, પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-4} \,T$, અને નમન કોણ $\theta = 30^{\circ}$.
પાંખ પર પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નું સૂત્ર $e = B_v l v$ છે, જ્યાં $B_v$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે.
ઉર્ધ્વ ઘટક $B_v$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$B_v = B \sin \theta = 4 \times 10^{-4} \times \sin 30^{\circ} = 4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 2 \times 10^{-4} \,T$.
હવે, emf ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = (2 \times 10^{-4} \,T) \times (20 \,m) \times (400 \,ms^{-1})$
$e = 16000 \times 10^{-4} \,V = 1.6 \,V$.
આમ, પાંખના છેડાઓ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજ તફાવત $1.6 \,V$ છે.

(B) અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડ એ વૈજ્ઞાનિક છે જેમને પરમાણુના ન્યુક્લિયસની શોધનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.
$1911$ માં,તેમણે પ્રખ્યાત આલ્ફા-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગ (ગોલ્ડ ફોઇલ એક્સપેરિમેન્ટ) કર્યો હતો.
તેમણે અવલોકન કર્યું કે આલ્ફા કણોનો એક નાનો અંશ મોટા ખૂણાઓ પર વિચલિત થાય છે,જેના પરથી તેમણે તારણ કાઢ્યું કે પરમાણુનો ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના કેન્દ્રીય ભાગમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે કોઈલની અંદર લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની પરમીએબિલિટી વધે છે,જેનાથી કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
પરિપથનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$X_L$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$A$.$C$. પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = V / Z$ છે. જેમ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વીતા વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I$ ઘટતો હોવાથી,બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે.
તેથી,બલ્બ ઓછો પ્રકાશિત થાય છે.

(C) ઓહ્મિક ઉપકરણો ઓહ્મના નિયમનું પાલન કરે છે,જે જણાવે છે કે વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ તેના છેડાઓ વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો ભૌતિક પરિસ્થિતિઓ (જેમ કે તાપમાન) અચળ રહે.
આને $V = IR$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ઉપકરણનો અવરોધ છે.
ઓહ્મિક ઉપકરણ માટે $R$ અચળ હોવાથી,આપણને $I = (1/R)V$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $1/R$ જેટલો ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે તે આલેખ $C$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n_i = 2$ અવસ્થામાંથી $n_f = 4$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_4 - E_2$ છે.
પ્રથમ,$n=2$ અવસ્થાની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$.
ત્યારબાદ,$n=4$ અવસ્થાની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \text{ eV}$.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = -0.85 - (-3.4) = 3.4 - 0.85 = 2.55 \text{ eV}$ છે.

(B) પરમાણુ રિએક્ટરમાં,મોડરેટરનું કાર્ય વિખંડન દરમિયાન ઉત્પન્ન થતા ઝડપી ન્યુટ્રોનની ગતિને ધીમી કરવાનું છે.
મોડરેટર પદાર્થના ન્યુક્લિયસ (જેમ કે ભારે પાણી અથવા ગ્રેફાઇટ) સાથે અથડાઈને,ન્યુટ્રોનની ગતિજ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
આ પ્રક્રિયા ઝડપી ન્યુટ્રોનને થર્મલ ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે $U^{235}$ ન્યુક્લિયસમાં વધુ વિખંડન પેદા કરવાની ઉચ્ચ સંભાવના ધરાવે છે,જેનાથી પરમાણુ શૃંખલા પ્રતિક્રિયા જળવાઈ રહે છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $ M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2 $, જડત્વની ચાકમાત્રા $ I = 12 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2 $, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $ B = 2 \times 10^{-2} \text{ T} $.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકીય ડાયપોલનો આવર્તકાળ $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} $ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{(6 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2})}} $.
$ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{12 \times 10^{-4}}} = 2 \pi \sqrt{10^{-2}} = 2 \pi \times 10^{-1} \text{ s} $.
$ \pi \simeq 3 $ લેતા, $ t = 2 \times 3 \times 0.1 = 0.6 \text{ s} $.
$ 20 $ દોલનો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $ T = 20 \times t = 20 \times 0.6 = 12 \text{ s} $ થાય.

(A) મીટર બ્રિજમાં,ડાબી ગેપમાં અજ્ઞાત અવરોધ $X$ અને જમણી ગેપમાં પ્રમાણિત અવરોધ $R$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $X = R \frac{l}{100 - l}$.
અહીં,અવરોધક કોઈલ ધાતુની બનેલી છે. જ્યારે પાણીનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે કોઈલનો અવરોધ $X$ વધે છે કારણ કે તાપમાન વધવાની સાથે ધાતુનો અવરોધ વધે છે.
સૂત્ર $X = R \frac{l}{100 - l}$ પરથી જોઈ શકાય છે કે $X$ એ $l$ ના સમપ્રમાણમાં છે. જેમ $X$ વધે છે,તેમ બ્રિજનું સંતુલન જાળવવા માટે સંતુલન લંબાઈ $l$ પણ વધવી જોઈએ.
તેથી,નવી સંતુલન લંબાઈ $l$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $> l$).

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $mv = \sqrt{2mE}$ થાય.
તેથી, $R = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m$, $q_p = e$, તેથી $R_p = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: $m_d = 2m$, $q_d = e$, તેથી $R_d = \frac{\sqrt{2(2m)E}}{eB} = \sqrt{2} \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $m_{\alpha} = 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, તેથી $R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)E}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2mE}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
ત્રિજ્યાઓની સરખામણી કરતા: $R_p : R_d : R_{\alpha} = 1 : \sqrt{2} : 1$.

(B) ટ્રેનોમાં મેગ્નેટિક બ્રેકિંગની કાર્યપદ્ધતિ $Eddy$ કરંટ (ભંવર પ્રવાહ) પર આધારિત છે.
જ્યારે કોઈ વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર વાહકની અંદર $Eddy$ કરંટ ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રવાહો એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે વાહકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધી બળ બ્રેકિંગ મિકેનિઝમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે ટ્રેનને અસરકારક રીતે ધીમી કરે છે અથવા અટકાવે છે.

(A) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = 50 \Omega$,બેટરી વોલ્ટેજ $V = 3 \text{ V}$,પ્રારંભિક શ્રેણી અવરોધ $R_1 = 2950 \Omega$,પ્રારંભિક આવર્તન $\theta_1 = 30$ કાપા.
પ્રથમ,$30$ કાપા માટે પ્રવાહ $I_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$I_1 = \frac{V}{R_G + R_1} = \frac{3}{50 + 2950} = \frac{3}{3000} = 10^{-3} \text{ A}$.
દરેક કાપા દીઠ પ્રવાહ $k = \frac{I_1}{30} = \frac{10^{-3}}{30} \text{ A/કાપા}$.
$20$ કાપાના આવર્તન $(\theta_2 = 20)$ માટે જરૂરી પ્રવાહ $I_2$:
$I_2 = 20 \times k = 20 \times \frac{10^{-3}}{30} = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$.
ધારો કે પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = R_G + R_{new}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ: $I_2 = \frac{V}{R_{total}} \Rightarrow \frac{2}{3} \times 10^{-3} = \frac{3}{50 + R_{new}}$.
$50 + R_{new} = \frac{3 \times 3}{2 \times 10^{-3}} = 4.5 \times 1000 = 4500 \Omega$.
$R_{new} = 4500 - 50 = 4450 \Omega$.
જરૂરી વધારાનો અવરોધ $R_{add} = R_{new} - R_1 = 4450 - 2950 = 1500 \Omega$.

(C) રે ઓપ્ટિક્સમાં વપરાતી કાર્ટેઝિયન સાઇન કન્વેન્શન મુજબ,અરીસાના ધ્રુવ અથવા લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટરને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેવામાં આવે છે.
આપાત પ્રકાશના કિરણની દિશામાં માપવામાં આવતા તમામ અંતરોને ધન ગણવામાં આવે છે.
તેનાથી વિપરીત,આપાત પ્રકાશના કિરણની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવતા તમામ અંતરોને ઋણ ગણવામાં આવે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે અને એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec{S}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેથી,તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકારની દિશામાં હોય છે.

(B) આ તંત્રમાં ત્રણ વિદ્યુતભારો છે: $A$ પર $+2q$,$B$ પર $+2q$ અને $C$ પર $-4q$. આપણે $C$ પરના $-4q$ વિદ્યુતભારને બે $-2q$ ના વિદ્યુતભારોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે બે વિદ્યુત ડાયપોલ છે:
$1$. $A$ પરના $+2q$ અને $C$ પરના $-2q$ દ્વારા બનતી ડાયપોલ,જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1 = (2q)(x)$ છે અને તેની દિશા $C$ થી $A$ તરફ છે.
$2$. $B$ પરના $+2q$ અને $C$ પરના $-2q$ દ્વારા બનતી ડાયપોલ,જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_2 = (2q)(x)$ છે અને તેની દિશા $C$ થી $B$ તરફ છે.
આ બે ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1$ અને $p_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_{net}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$p_{net} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos 60^{\circ}}$
અહીં $p_1 = p_2 = p = 2qx$ હોવાથી:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2p^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2p^2 + 2p^2(1/2)} = \sqrt{3p^2} = p\sqrt{3}$
$p = 2qx$ મૂકતા:
$p_{net} = (2qx)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}qx$.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે શલાકાની પહોળાઈ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{yellow})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોય છે.
જ્યારે પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે ત્યારે તરંગલંબાઈ ઘટે છે,તેથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ પણ ઘટશે.
આથી,વ્યતિકરણની શલાકાઓ સાંકડી બને છે.

(A) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
જ્યાં $I_{0}$ એ બીજા પોલરાઇઝર પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે (જે પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે),અને $\theta$ એ બે પોલરાઇઝરની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે બીજા પોલરાઇઝરમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ એ પ્રથમ પોલરાઇઝરની તીવ્રતા $(I_{0})$ કરતા અડધી છે,તેથી:
$I = \frac{I_{0}}{2}$
આ કિંમત મેલસના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \theta$
$\frac{1}{2} = \cos^{2} \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$
તેથી,પોલરાઇઝરની પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે: $q_A = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_B = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$,પ્રારંભિક અંતર $d_i = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_i} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{5 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ J}$.
વિદ્યુતભાર $B$ ને $A$ તરફ $1 \text{ cm}$ ખસેડ્યા પછી,નવું અંતર $d_f = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_f} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{4 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-2}} = 6.75 \times 10^{-7} \text{ J}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = (6.75 - 5.4) \times 10^{-7} \text{ J} = 1.35 \times 10^{-7} \text{ J}$.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $ X_L = \omega L = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \Omega $,અવરોધ $ R = 1 \ \Omega $,આવૃત્તિ $ f = 50 \ Hz $.
$ RL $ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $ \phi $ એ $ \tan \phi = \frac{X_L}{R} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$ \tan \phi = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
આમ,$ \phi = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન} $.
કળા તફાવત $ \phi $ અને સમયનો તફાવત $ t $ વચ્ચેનો સંબંધ $ \phi = \omega t $ છે.
અહીં $ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \ rad/s $.
તેથી,$ t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\pi/6}{100\pi} = \frac{1}{600} \ s $.
મહત્તમ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો સમયનો તફાવત $ \frac{1}{600} \ s $ છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. $NAND$ ગેટ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાં,$NAND$ ગેટ એક યુનિવર્સલ ગેટ છે કારણ કે કોઈપણ મૂળભૂત લોજિક ગેટ ($AND$,$OR$,$NOT$) માત્ર $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.

(C) જ્યારે ગજિયો ચુંબક તાંબાના ગૂંચળામાંથી નીચે પડે છે, ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર ગૂંચળામાં વિદ્યુતચાલક બળ (emf) અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, આ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે, જે પડતા ચુંબકની ગતિ છે.
આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે પડતા ચુંબક પર ઉપરની તરફ અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
તેથી, ચુંબક પર લાગતું ચોખ્ખું નીચેની તરફનું બળ $F_{net} = mg - F_{repulsive}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો વિરોધ કરતું ઉપરની તરફનું બળ હોવાથી, ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{F_{repulsive}}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો હોય છે.

(A) મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ માપ છે કે કોઈ પદાર્થ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કેટલી સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોના પરમાણુઓ કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે,અને તેઓ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં મજબૂત રીતે ગોઠવાય છે.
આ મજબૂત ગોઠવણીને કારણે,ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો ખૂબ જ મોટી અને ધન ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી દર્શાવે છે.
તેથી,ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,$\chi >> 1$ હોય છે.