KCET 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક શિરોબિંદુની ડિગ્રી $3$ આપેલ છે.
તેથી,સાદા ગ્રાફના તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો $3n$ થાય.
હેન્ડશેકિંગ લેમ્મા મુજબ,તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો એ ધારની સંખ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$\sum \text{deg}(v) = 2 \times |E|$
$3n = 2 \times 24$
$3n = 48$
$n = \frac{48}{3}$
$n = 16$
તેથી,શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $16$ છે.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^{3}-5x^{2}-x+5=0$ છે.
ધારો કે બીજ $a, -a, b$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો:
$a + (-a) + b = -(-5)/1 = 5$.
આથી $b = 5$ મળે છે.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા વિકલ્પમાં $x = 5$ મૂકતા સમીકરણનું સમાધાન થાય છે:
વિકલ્પ $C$ માટે,$x^{2}-3x-10=0$:
$x = 5$ મૂકતા,$(5)^{2}-3(5)-10 = 25-15-10 = 0$.
આમ,$b=5$ એ $x^{2}-3x-10=0$ નું બીજ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n}} \times (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \times (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \times (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + i^{2} + 2i}{1 - i^{2}}\right)^{n} \times (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \times (-2i)$
$= i^{n} \times (-2i) = -2i^{n+1}$
પદાવલિ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,$-2i^{n+1}$ ધન હોવું જોઈએ.
જો $n=1$ લઈએ,તો $-2i^{1+1} = -2i^{2} = -2(-1) = 2$,જે ધન છે.
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x+iy=(-1+i\sqrt{3})^{2010}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $-1+i\sqrt{3} = 2\omega$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+iy = (2\omega)^{2010} = 2^{2010} \cdot \omega^{2010}$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{2010} = (\omega^3)^{670} = 1^{670} = 1$.
તેથી,$x+iy = 2^{2010} \cdot 1 = 2^{2010} + i(0)$.
વાસ્તવિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = 2^{2010}$ મળે છે.

(A) ધારો કે શ્રેણીનું $n$મું પદ $t_n$ છે. શ્રેણી $1, 3, 7, 13, 21, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત લેતા: $3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, 21-13=8, \ldots$.
આ તફાવતોની સમાંતર શ્રેણી છે: $2, 4, 6, 8, \ldots$.
$n$મું પદ $t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$t_n = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$.
આપેલ છે કે $t_n = 9901$,તેથી $n^2 - n + 1 = 9901$.
$n^2 - n - 9900 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $n^2 - 100n + 99n - 9900 = 0$.
$n(n-100) + 99(n-100) = 0$.
$(n-100)(n+99) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 100$.

(D) આપેલ છે કે,દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{15}$ છે.
$x^{r}$ નો સહગુણક $^{15}C_{r}$ છે અને $x^{r+3}$ નો સહગુણક $^{15}C_{r+3}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સહગુણકો સમાન છે:
$^{15}C_{r} = ^{15}C_{r+3}$
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં,$r \neq r+3$,તેથી $r + (r+3) = 15$ લેતા.
$2r + 3 = 15$
$2r = 12$
$r = 6$

(D) આપેલ છે,$(49^{2}-4)(49^{3}-49)$
$= [(49)^{2}-(2)^{2}][49(49^{2}-1)]$
$= (49+2)(49-2) \cdot 49(49+1)(49-1)$
$= 51 \cdot 47 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 48$
$= 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51$
આ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(\sin \theta + \cos \theta)(\tan \theta + \cot \theta)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$= \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \cot 12^{\circ} \cot 102^{\circ} + \cot 102^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 102^{\circ} = \cot(90^{\circ} + 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \cot 12^{\circ} (-\tan 12^{\circ}) + (-\tan 12^{\circ}) \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 - \tan 12^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (\cot 12^{\circ} - \tan 12^{\circ})$
નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (2 \cot 24^{\circ})$
કારણ કે $\cot 24^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 66^{\circ}) = \tan 66^{\circ}$:
$E = -1 + 2 \cot 66^{\circ} \tan 66^{\circ}$
$E = -1 + 2(1) = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $1+\sin ^{2} x=3 \sin x \cdot \cos x$,જ્યાં $\tan x \neq \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $\cos ^{2} x$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} = 3 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^{2} x}$
$\sec ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$\sec ^{2} x = 1 + \tan ^{2} x$ હોવાથી:
$1 + \tan ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$2 \tan ^{2} x - 3 \tan x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \tan ^{2} x - 2 \tan x - \tan x + 1 = 0$
$2 \tan x(\tan x - 1) - 1(\tan x - 1) = 0$
$(\tan x - 1)(2 \tan x - 1) = 0$
તેથી,$\tan x = 1$ અથવા $\tan x = \frac{1}{2}$.
શરત $\tan x \neq \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\tan x = 1$ લેતા.
$\tan x = 1$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $n \in Z$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0 \quad \dots(i)$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $m_{1}$ છે.
તેથી,રેખાઓ $y=mx$ અને $y=m_{1}x$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $y^{2}-(m+m_{1})xy+mm_{1}x^{2}=0$ થાય.
સમીકરણને $b$ વડે ભાગતા,$y^{2}+\frac{2h}{b}xy+\frac{a}{b}x^{2}=0 \quad \dots(ii)$.
સરખામણી કરતા,$m+m_{1} = -\frac{2h}{b}$ અને $mm_{1} = \frac{a}{b}$.
$y=mx$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$bm^{2}+2hm+a=0$ મળે.
$b^{2}m^{2}+2hbm+ab=0 \implies b^{2}m^{2}+2hbm = -ab$.
બંને બાજુ $h^{2}$ ઉમેરતા,$h^{2}+2hbm+b^{2}m^{2} = h^{2}-ab$.
તેથી,$(h+bm)^{2} = h^{2}-ab$.

(A) $P, Q, R$ બિંદુઓ રેખાખંડ $AB$ ને $4$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$AP = PQ = QR = RB = k$ (ધારો).
$Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી તેના યામ $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{-7+5}{2} \right) = (4, -1)$ છે.
$P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A(2, -7)$ અને $Q(4, -1)$ હોવાથી,$P$ ના યામ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{-7-1}{2} \right) = (3, -4)$ છે.
$R$ એ $QB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $Q(4, -1)$ અને $B(6, 5)$ હોવાથી,$R$ ના યામ $= \left( \frac{4+6}{2}, \frac{-1+5}{2} \right) = (5, 2)$ છે.
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (4, -1)$ છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $P = (-1, 0)$,$Q = (0, 0)$,અને $R = (3, 3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો નમનકોણ $\pi$ રેડિયન છે.
રેખા $QR$ એ $(0, 0)$ અને $(3, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા $QR$ નો નમનકોણ $\phi$ એ $\tan \phi = \sqrt{3}$ નું પાલન કરે છે,તેથી $\phi = \frac{\pi}{3}$.
ખૂણો $\angle PQR$ એ ઋણ $x$-અક્ષ અને રેખા $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. દ્વિભાજક $\angle PQR$ ને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે,તેથી દ્વિભાજકનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ છે.
$(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ છે,જે $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $2x + 3y - k = 0, k > 0$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/3} = 1$.
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ $(\frac{k}{2}, 0)$ અને $(0, \frac{k}{3})$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times \frac{k}{3} = \frac{k^{2}}{12}$.
ક્ષેત્રફળ $= 12$ આપેલ છે,તેથી $\frac{k^{2}}{12} = 12$ $\Rightarrow k^{2} = 144$ $\Rightarrow k = 12$ ($k > 0$ હોવાથી).
તેથી,$A = (6, 0)$ અને $B = (0, 4)$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(6, 0)$ અને $(0, 4)$ મૂકતા:
$(x - 6)(x - 0) + (y - 0)(y - 4) = 0$
$x(x - 6) + y(y - 4) = 0$
$x^{2} - 6x + y^{2} - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 6x - 4y = 0$.

(D) બિંદુઓ $(1,0), (0,1)$ અને $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $(2k, 3k)$ વર્તુળ પર છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
$k \neq 0$ હોવાથી,$k = \frac{5}{13}$ મળે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,0)$ છે.
ધારો કે જીવાનું દ્વિભાજન બિંદુ $M(1,0)$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,0)$ અને મધ્યબિંદુ $M(1,0)$ ને જોડતી રેખા જીવાને લંબ હોય છે.
રેખા $CM$ નો ઢાળ $m_{CM} = \frac{0-0}{1-2} = 0$ છે.
જીવા $CM$ ને લંબ હોવાથી અને $CM$ એ આડી રેખા (x-અક્ષ) હોવાથી,જીવા શિરોલંબ રેખા હશે.
$(1,0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x=1$ છે.
આ જીવાનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે વિકલ્પો તપાસીએ કે કઈ રેખા આ જીવાને લંબ છે. શિરોલંબ રેખાને લંબ રેખા આડી રેખા હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$y=1$ એ આડી રેખા છે.
તેથી,જીવા એ $y=1$ રેખાને લંબ છે.

(C) ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$(2,3)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$S_{1} \equiv (x-2)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2} \quad \dots(i)$
$(5,6)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$S_{2} \equiv (x-5)^{2} + (y-6)^{2} = r^{2} \quad \dots(ii)$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ રેડિકલ અક્ષ $S_{1} - S_{2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x-2)^{2} + (y-3)^{2} - ((x-5)^{2} + (y-6)^{2}) = 0$
$(x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 9) - (x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 12y + 36) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0$
$6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y - 8 = 0$

(A) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = 1$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}$ છે.
કેન્દ્રો $O$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $OC = \sqrt{(4-0)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$OC = r_{1} + r_{2}$
$5 = 1 + r_{2}$
$r_{2} = 4$.
કેન્દ્ર $(h,k) = (4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-4)^{2} + (y-3)^{2} = 4^{2}$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 6y + 9 = 16$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y + 9 = 0$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=-8y$ છે. તેને $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=-8$ મળે છે,તેથી $a=-2$. પરવલયની નાભિ $(0, a) = (0, -2)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $P'(x_2, y_2)$ છે. પરવલયની નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો નિયામિકા (directrix) પર છેદે છે.
પરવલય $x^{2}=4ay$ ની નિયામિકા $y=-a$ છે.
અહીં,$a=-2$ છે,તેથી નિયામિકા $y=-(-2) = 2$ છે.
તેથી,સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ રેખા $y=2$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4ax$ છે. ધારો કે પરવલય પરનું પ્રાચલ બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ છે.
આ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે. ધારો કે અભિલંબનો ઢાળ $m$ છે,તેથી $m = -t$,જેનો અર્થ છે કે $t = -m$.
બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2at = -t(x - at^{2})$ છે.
$t = -m$ મૂકતા,આપણને મળે છે $y - 2a(-m) = -(-m)(x - a(-m)^{2})$.
$y + 2am = m(x - am^{3})$.
$y + 2am = mx - am^{3}$.
$y = mx - 2am - am^{3}$.
આને આપેલ રેખા $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = -2am - am^{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ છે. તેને $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=4$ મળે,તેથી $a=4$ અને $b=2$.
ધારો કે બિંદુ $P(2, \sqrt{3})$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ છે.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત યામ $x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = 4 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$ મળે.
આપેલ બિંદુ $(2, \sqrt{3})$ માટે:
$2 = 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{3} = 2 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આમ,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$ બંને $\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે સાચા છે,તેથી ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}-y^{2}=4$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ મળે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=4$ છે.
અતિવલય માટે,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$,તેથી $4=4(e^{2}-1)$,જે સૂચવે છે કે $e^{2}-1=1$,એટલે કે $e^{2}=2$ અને $e=\sqrt{2}$.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ છે.
નિયામિકાના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $(2\sqrt{2}, 0)$ અને તેની નજીકની નિયામિકા $x = \sqrt{2}$ લો.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $|2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$,તેથી $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$.
અહીં,$\theta = \frac{2 \pi}{3 n}$.
તેથી,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{2 \pi}{3 n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિને ફરીથી લખતા:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right) \cdot \frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{4 \pi}{3 n} \rightarrow 0$,તેથી $\frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)} \rightarrow 1$.
તેથી,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \frac{4 \pi}{3 n} \cdot 1 = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) શરત $a \equiv b \pmod{x}$ નો અર્થ છે કે $x$ એ $(a - b)$ નો ભાજક છે.
પ્રથમ સમશેષતા માટે: $21 \equiv 385 \pmod{x}$,તેથી $x$ એ $(385 - 21) = 364$ નો ભાજક છે.
$364$ ના ભાજકો $1, 2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364$ છે.
બીજી સમશેષતા માટે: $587 \equiv 167 \pmod{x}$,તેથી $x$ એ $(587 - 167) = 420$ નો ભાજક છે.
$420$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420$ છે.
$364$ અને $420$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય ભાજક $gcd(364, 420) = 28$ છે.
આમ,$x$ ની મહત્તમ કિંમત $28$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
હવે,$2^{2010} = (2^2)^{1005} \equiv (-1)^{1005} \pmod{5}$.
$1005$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{1005} = -1$.
તેથી,$2^{2010} \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$.
આપેલ સમીકરણ $2^{2010} \equiv 3x \pmod{5}$ માં $2^{2010} \equiv 4 \pmod{5}$ મૂકતા:
$4 \equiv 3x \pmod{5}$.
$x$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $3$ ના મોડ્યુલર વ્યસ્ત $2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$):
$2 \times 4 \equiv 2 \times 3x \pmod{5}$
$8 \equiv 6x \pmod{5}$
$3 \equiv x \pmod{5}$.
આમ,ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $x = 3$ છે.

(A) અમે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(a)$ ધારો કે $x = (p \wedge \sim q)$ અને $y = (p \rightarrow q)$. સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે $(x \leftrightarrow y)$ એ સ્વતઃસત્ય નથી (તે એક આકસ્મિકતા છે).
$(b)$ આ એક પ્રમાણભૂત સ્વતઃસત્ય છે જેને હાયપોથેટિકલ સિલોજિઝમનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
$(c)$ આ એક પ્રમાણભૂત તાર્કિક સમાનતા છે (સંયોજન પર ગર્ભિતતાનો વિતરણનો નિયમ).
$(d)$ આ દ્વિ-શરતી વિધાનના નકાર માટેની પ્રમાણભૂત તાર્કિક સમાનતા છે.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સત્ય નથી.

(C) આપેલ છે કે,$a=2$.
$\triangle ABC$ માં,$B=\tan ^{-1}(\frac{1}{2})$ અને $C=\tan ^{-1}(\frac{1}{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C=\pi$.
$A = \pi - (B+C) = \pi - (\tan ^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{3}))$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B+C = \tan ^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan ^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$A = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$\sin A = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\tan B = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin B = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 2 \cdot \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$(A, b) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}})$.

(A) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6+2 \sqrt{3}$,$b = 4 \sqrt{3}$ અને $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ છે.
અહીં $c$ સૌથી નાની બાજુ છે,તેથી ખૂણો $C$ સૌથી નાનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
ગણતરી કરતા,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$C = 30^{\circ}$.
સૌથી નાના ખૂણાનો સ્પર્શક $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $y^{2} = \left|\begin{array}{ll}x+1 & x+2 \\ x+3 & x+5\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$y^{2} = (x+1)(x+5) - (x+2)(x+3)$
$y^{2} = (x^{2} + 6x + 5) - (x^{2} + 5x + 6)$
$y^{2} = x - 1$,જે એક પરવલય છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુ $Q$ ના પ્રચલિત યામ $Q(t^{2}+1, t)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x, y)$ એ $A(1, 0)$ અને $Q(t^{2}+1, t)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે:
$x = \frac{1 + t^{2} + 1}{2} = \frac{t^{2} + 2}{2} \Rightarrow t^{2} = 2x - 2$
$y = \frac{0 + t}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2y$
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$(2y)^{2} = 2x - 2$
$4y^{2} = 2(x - 1)$
$y^{2} = \frac{1}{2}(x - 1)$
આ એક પરવલય છે જેની અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $x$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
બંને બાજુ $(3-5 x)(2+3 x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$1 = A(2+3 x) + B(3-5 x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$3A - 5B = 0 \implies 3A = 5B \implies A = \frac{5}{3}B$
$2A + 3B = 1$
બીજા સમીકરણમાં $A = \frac{5}{3}B$ મૂકતા:
$2(\frac{5}{3}B) + 3B = 1$
$\frac{10}{3}B + 3B = 1$
$\frac{10B + 9B}{3} = 1$
$19B = 3 \implies B = \frac{3}{19}$
હવે,$A = \frac{5}{3} \times \frac{3}{19} = \frac{5}{19}$
તેથી,$A : B = \frac{5}{19} : \frac{3}{19} = 5 : 3$

(B) ધારો કે વૃતાંશની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $s$ છે. વૃતાંશની પરિમિતિ $P = 2r + s = 20 \text{ cm}$ છે.
તેથી,$s = 20 - 2r$.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} s r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} (20 - 2r) r = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0 \Rightarrow r = 5 \text{ cm}$.
$r = 5$ ની કિંમત ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \text{ cm}^2$.

(B) દ્રીકક્રિયા $A * B = A \cup B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ: $A * B = A \cup B = B \cup A = B * A$. તેથી,તે ક્રમનો નિયમ ધરાવે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ: $(A * B) * C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A * (B * C)$. તેથી,તે જૂથનો નિયમ ધરાવે છે.
$3$. તદેવ નિયમ: તદેવ ઘટક $E$ માટે $A * E = A$ થવું જોઈએ,એટલે કે $A \cup E = A$. આ $E = \phi$ માટે શક્ય છે. તેથી,તદેવ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$4$. વ્યસ્ત નિયમ: ઘટક $A$ નો વ્યસ્ત $B$ હોવા માટે $A * B = E$ (જ્યાં $E = \phi$) થવું જોઈએ. એટલે કે $A \cup B = \phi$. આ ફક્ત $A = \phi$ અને $B = \phi$ માટે જ શક્ય છે. કોઈપણ અરિક્ત ગણ $A \neq \phi$ માટે,એવો કોઈ $B \in P(X)$ નથી કે જેથી $A \cup B = \phi$ થાય. તેથી,વ્યસ્ત નિયમનું પાલન થતું નથી.

(D) ધારો કે $e$ એ $Q^{+}$ માં તટસ્થ ઘટક છે જેથી તમામ $a \in Q^{+}$ માટે $a * e = a$ થાય.
$\frac{a \times e}{2010} = a \implies e = 2010$.
આમ,તટસ્થ ઘટક $2010$ છે.
ધારો કે $x$ એ $2010$ નો વ્યસ્ત છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$2010 * x = e$ થાય.
$\frac{2010 \times x}{2010} = 2010$.
$x = 2010$.
તેથી,$2010$ નો વ્યસ્ત $2010$ છે.

(B) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ $R$ એ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત ગુણધર્મોનું પાલન કરતો હોવો જોઈએ.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ માટે,સ્વવાચક ગુણધર્મ મુજબ દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,ક્રમયુક્ત જોડી $(a, a)$ એ $R$ માં હોવી આવશ્યક છે.
અહીં ગણમાં $6$ ઘટકો આપેલા હોવાથી,$R$ માં ઓછામાં ઓછી $(a_1, a_1), (a_2, a_2), (a_3, a_3), (a_4, a_4), (a_5, a_5),$ અને $(a_6, a_6)$ જેવી $6$ જોડીઓ હોવી જોઈએ.
આમ,જરૂરી ક્રમયુક્ત જોડીઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$AB = B$ અને $BA = A$ ... $(i)$
આપણે $A^{2} + B^{2}$ શોધવાનું છે.
આપેલ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{2} = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$
તે જ રીતે,$B^{2} = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$
તેથી,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (2)(1) = 0$.
$3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^{2} - 2 = 0$.
$\lambda^{2} - 4\lambda + 1 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. $\lambda = A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{2} - 4A + I = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $A^{2} + xA + yI = 0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$x = -4$ અને $y = 1$.
આમ,$(x, y) = (-4, 1)$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણને $|A|=3$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ થાય.
વળી,અદિશ $k$ અને $n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|kA| = k^n |A|$ થાય.
તેથી,$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 3 = 24$.
હવે,$|(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{24}$.

(C) ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1 \end{array}\right|$.
અચળ પદ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકી શકીએ છીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right|$
બીજા સ્તંભ $(C_2)$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$f(0) = 0 - 1 \times \left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| + 0$
$f(0) = -1 \times (3 - 4) = -1 \times (-1) = 1$.
ક્ષમા કરશો,બહુપદીનું વિસ્તરણ $f(x) = 8x^2 + 9x - 1$ છે. તેથી $x=0$ મૂકતા $f(0) = -1$ મળે છે. આમ,અચળ પદ $-1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sec^{-1} \left( \frac{a+b}{a-b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે $\cos^{-1} \left( \frac{a-b}{a+b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
અંશ અને છેદને $a$ વડે ભાગતા,$\cos^{-1} \left( \frac{1 - b/a}{1 + b/a} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
નિત્યસમ $\cos^{-1} \left( \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right) = 2 \tan^{-1} y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = \sqrt{b/a}$,આપણને $2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = 2 \sin^{-1} x$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$\tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \sin^{-1} x$.
નિત્યસમ $\tan^{-1} y = \sin^{-1} \left( \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{b/a}}{\sqrt{1 + b/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા,$\sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{b/a}{(a+b)/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
તેથી,$x = \sqrt{\frac{b}{a+b}}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^{-1}(\cos x)+\cos ^{-1}(\sin x)}{\tan ^{-1}(\cot x)+\cot ^{-1}(\tan x)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $\theta \in [-1, 1]$ અને $\tan ^{-1} \theta + \cot ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $\theta \in \mathbb{R}$.
નિત્યસમ $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ અને $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\sin ^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) + \cos ^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
છેદ: $\tan ^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot ^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
આમ,પદાવલિ $\frac{\pi - 2x}{\pi - 2x} = 1$ થાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = [x]$ ને મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to n^-} f(x) = n-1$ છે અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x \to n^+} f(x) = n$ છે.
કારણ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ પર ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન નથી,તેથી વિધેય $x$ ની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો પર અસતત છે.
જો કે,કોઈપણ બિન-પૂર્ણાંક કિંમત $c$ (જ્યાં $c$ પૂર્ણાંક નથી) માટે,વિધેય $c$ ની આસપાસના નાના વિસ્તારમાં અચળ રહે છે,જે તેને આવા તમામ બિંદુઓ પર સતત બનાવે છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = [x]$ એ $x$ ની તમામ બિન-પૂર્ણાંક કિંમતો માટે સતત છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = |x-2| + x$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x=0$ અને $x=2$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
$x=0$ આગળ: $f(0) = |0-2| + 0 = 2$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = |0-2| + 0 = 2$ અને $\lim_{x \to 0^+} f(x) = |0-2| + 0 = 2$. કારણ કે $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$,તેથી વિધેય $x=0$ આગળ સતત છે.
$x=2$ આગળ: $f(2) = |2-2| + 2 = 2$. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = |2-2| + 2 = 2$ અને $\lim_{x \to 2^+} f(x) = |2-2| + 2 = 2$. કારણ કે $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$,તેથી વિધેય $x=2$ આગળ સતત છે.
હવે,આપણે વિકલનીયતા ચકાસીએ. આપણે $f(x)$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) + x, & x < 2 \\ (x-2) + x, & x \geq 2 \end{cases} = \begin{cases} 2, & x < 2 \\ 2x-2, & x \geq 2 \end{cases}$.
$x < 2$ માટે,$f'(x) = 0$. $x > 2$ માટે,$f'(x) = 2$.
$x=2$ આગળ,$LHD$ $= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2-2}{h} = 0$.
$RHD$ $= \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h)-2-2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
$LHD$ $\neq$ $RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x=0$ આગળ,પડોશમાં $f(x) = 2$ છે,તેથી $f'(0) = 0$. આમ,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
તેથી,વિધેય $x=0$ અને $x=2$ બંને પર સતત છે.

(C) આપેલ છે કે,$h(x) = f(x) \cdot g(x)$ અને $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $h(x)$ નું પ્રથમ વિકલન મેળવો:
$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $h^{\prime \prime}(x)$ મેળવો:
$h^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}[f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = [f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)] + [f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$,તેથી:
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2c \quad \dots(i)$.
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધો:
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime \prime}(x)}{g(x)} + \frac{2c}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + g^{\prime \prime}(x) \cdot f(x) + 2c}{f(x) \cdot g(x)}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{h^{\prime \prime}(x)}{h(x)}$.

(D) આપેલ છે કે $x=a \cos ^{3} \theta$ અને $y=a \sin ^{3} \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^{2} \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^{2} \theta (\cos \theta) = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^{2} \theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$\frac{y}{a} = \sin^{3} \theta \Rightarrow \sin \theta = (\frac{y}{a})^{1/3}$.
$\frac{x}{a} = \cos^{3} \theta \Rightarrow \cos \theta = (\frac{x}{a})^{1/3}$.
આ કિંમતોને $\frac{dy}{dx}$ ના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(y/a)^{1/3}}{(x/a)^{1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$.

(A) ધારો કે $y = e^{ax} \cos bx$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલન નીચે મુજબ થશે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{ax}) \cdot \cos bx + e^{ax} \cdot \frac{d}{dx}(\cos bx)$
$\frac{dy}{dx} = ae^{ax} \cos bx - be^{ax} \sin bx$
$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (a \cos bx - b \sin bx)$
ધારો કે $a = r \cos \alpha$ અને $b = r \sin \alpha$.
તેથી $a^2 + b^2 = r^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2$.
આમ,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આ કિંમતોને વિકલનના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (r \cos \alpha \cos bx - r \sin \alpha \sin bx)$
$\frac{dy}{dx} = re^{ax} (\cos bx \cos \alpha - \sin bx \sin \alpha)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = re^{ax} \cos(bx + \alpha)$
તેથી,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$.
ધારો કે $x = \sec \theta$,તો $\sqrt{x^{2}-1} = \tan \theta$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \sec^{-1} x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ શોધો:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left( (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-1} \right) = -1 \cdot (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2}) = (x^{2}-1)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{x^{2}-1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{x^{2}-1+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
આમ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{1}{x^{2}(x^{2}-1)} \cdot \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}} = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}}$.
અંતે,ગુણોત્તર:
$\frac{d^{2}y/dx^{2}}{dy/dx} = \left( - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \right) \div \left( \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \right) = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \cdot x \sqrt{x^{2}-1} = - \frac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)} = \frac{1-2x^{2}}{x(x^{2}-1)}$.

(D) આપેલ વક્ર $y = \log_{e} x$ $(i)$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - \beta) = \frac{1}{\alpha}(x - \alpha)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$(0 - \beta) = \frac{1}{\alpha}(0 - \alpha)$,જે આપણને $\beta = 1$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$P$ આગળ,$\beta = \log_{e} \alpha$. $\beta = 1$ હોવાથી,$1 = \log_{e} \alpha$,તેથી $\alpha = e$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $P(e, 1)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{e}$ છે,તેથી $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-e$ છે.
$P(e, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 1) = -e(x - e)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|e(0) + 1(0) - (e^{2} + 1)|}{\sqrt{e^{2} + 1^{2}}} = \frac{e^{2} + 1}{\sqrt{e^{2} + 1}} = \sqrt{e^{2} + 1}$ થાય છે.

(C) આપેલ વક્ર: $4x^{5} = 5y^{4}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $20x^{4} = 20y^{3} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^{4}}{y^{3}}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $(ST) = \left| y \frac{dx}{dy} \right| = \left| y \frac{y^{3}}{x^{4}} \right| = \frac{y^{4}}{x^{4}}$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $(SN) = \left| y \frac{dy}{dx} \right| = \left| y \frac{x^{4}}{y^{3}} \right| = \frac{x^{4}}{y^{2}}$.
આપણે સબટેન્જન્ટના ઘન અને સબનોર્મલના વર્ગનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{(ST)^{3}}{(SN)^{2}} = \frac{(y^{4}/x^{4})^{3}}{(x^{4}/y^{2})^{2}} = \frac{y^{12}/x^{12}}{x^{8}/y^{4}} = \frac{y^{16}}{x^{20}} = \left(\frac{y^{4}}{x^{5}}\right)^{4}$.
કારણ કે $4x^{5} = 5y^{4}$,તેથી $\frac{y^{4}}{x^{5}} = \frac{4}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $\left(\frac{4}{5}\right)^{4} = \frac{4^{4}}{5^{4}}$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{\log x}$ છે.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(\log x)^2$ એ $x > 0$ અને $x \neq 1$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$ માટે $\log x - 1 > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\log x > 1$.
લઘુગણકનો આધાર $e$ હોવાથી,$\log_e x > \log_e e$ મળે.
તેથી,$x > e$.
આમ,$x$ ની કિંમતોનો સમૂહ $\{x: x > e\}$ છે.

(B) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$.
સંકલનની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\frac{1}{2} \int f(x) (2 \sin x \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int f(x) \sin 2x \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{b^2 - a^2} \int \tan 2x \, dx$.
$\tan 2x$ નું સંકલન કરતા: $\frac{1}{b^2 - a^2} \cdot \frac{\log |\sec 2x|}{2} + c = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\sec 2x| + c$.
કારણ કે $\sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}$,આ $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\frac{1}{\cos 2x}| + c$ થાય છે.
આને જમણી બાજુ $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)} dx$.
$x = \tan^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
અહીં $\sqrt{x} = \tan \theta$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta (\tan^2 \theta + 1)} \cdot (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામશે:
$I = \int \frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta \sec^2 \theta} \cdot (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
$I = \int \frac{2 \tan^2 \theta \sec^2 \theta}{\tan^2 \theta \sec^2 \theta} d\theta = \int 2 d\theta$.
$I = 2\theta + C$.
$x = \tan^2 \theta$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ મળે.
તેથી,$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C$.
આને $k \tan^{-1} m$ સાથે સરખાવતા,$k = 2$ અને $m = \sqrt{x}$ મળે છે.
આમ,$(k, m) = (2, \sqrt{x})$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x$.
બીટા વિધેયના ગુણધર્મ $\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ નો ઉપયોગ કરતા,
અહીં $m-1 = 1 \implies m = 2$ અને $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$.
$I = B(2, 5/2) = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(9/2)}$.
પૂર્ણાંક માટે $\Gamma(n) = (n-1)!$ અને $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ હોવાથી,
$\Gamma(2) = 1! = 1$.
$\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$.
$\Gamma(9/2) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$.
તેથી,$I = \frac{1 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{105} = \frac{3 \cdot 4}{105} = \frac{12}{105} = \frac{4}{35}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
તેથી,સંકલન $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3 + 1 - (\sin x - \cos x)^2} d x = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{4 - (\sin x - \cos x)^2} d x$ બને છે.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$. તો $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
આમ,$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) વક્ર $x < 0$ માટે $y = x^2$ અને $x \geq 0$ માટે $y = x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. રેખા $y = 4$ છે.
$x < 0$ માટે,વક્ર $y = x^2$ છે,જેનો અર્થ છે $x = -\sqrt{y}$ (કારણ કે $x$ ઋણ છે). $y=4$ સાથેનું છેદબિંદુ $x = -2$ છે. બીજા ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A_1$ એ $y=0$ થી $y=4$ સુધી $|x|$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A_1 = \int_{0}^{4} |-\sqrt{y}| dy = \int_{0}^{4} y^{1/2} dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.
$x \geq 0$ માટે,વક્ર $y = x$ છે. $y=4$ સાથેનું છેદબિંદુ $x = 4$ છે. પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ $(0,0)$,$(4,0)$,અને $(4,4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,અથવા $y=0$ થી $y=4$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A_2 = \int_{0}^{4} x dy = \int_{0}^{4} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16 + 24}{3} = \frac{40}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^{2} p^{2} + b^{2}}$ છે,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા,આપણને મળે $y = x \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
આનું સાદું રૂપ $y = x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left( y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right)^{2} = a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}$.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ (order) $2$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત (degree) $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y+3} = \frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y+3} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$ મળે છે.
આથી $\ln|y+3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C_1$ મળે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \ln|y+3| = \ln|x| + 2C_1$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln(y+3)^2 = \ln|x| + \ln|c|$,જ્યાં $c = e^{2C_1}$ છે.
આમ,$(y+3)^2 = cx$,જે પરવલયોના કુટુંબનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$.
આપેલ છે $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$1+1+1+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$3+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = -3/2$.
સદિશો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \times 1 \times \cos(120^{\circ}) = -1/2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$3(-1/2)+2(-1/2)+(-1/2) = -3/2 - 2/2 - 1/2 = -6/2 = -3$.

(C) આપેલ છે કે $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ અનુક્રમે $x, y, z$-અક્ષોની ધન દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) + \hat{j} \times(\hat{k}+\hat{i}) + \hat{k} \times(\hat{i}+\hat{j})$
$= (\hat{k} - \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{i}) = \vec{0}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(b)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} + \hat{j} \times \hat{j} + \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(c)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 + 1 + 1 = 3$. આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે $\vec{0}$ નથી.
$(d)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j}+\hat{k}) = (\hat{i} \cdot \hat{j} + \hat{i} \cdot \hat{k}) + (\hat{j} \cdot \hat{k} + \hat{j} \cdot \hat{i}) + (\hat{k} \cdot \hat{i} + \hat{k} \cdot \hat{j}) = 0 + 0 + 0 = 0$. આ વિધાન સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ શૂન્યતર સમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.
આપણે $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણકની વ્યાખ્યા મુજબ:
$[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}] = (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [(3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \times (4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})]$
$= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) - 4(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})]$
કારણ કે $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = 0$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરશે:
$= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})]$
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - 6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 12[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 3[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
કોઈપણ અદિશ ત્રિગુણકમાં બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય,તેથી $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
કારણ કે $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$,તેથી:
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 23[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ સમતલીય હોવાથી,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.
તેથી,$23 \times 0 = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે કોઈ અવકાશ સદિશ $x, y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે,ત્યારે દિગ્કોસાઇન નીચે મુજબના સંબંધનું પાલન કરે છે:
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$
આપેલ છે કે $\alpha = 150^{\circ}$ અને $\beta = 60^{\circ}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos^{2} 150^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$
કારણ કે $\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$1 + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
તેથી,$\gamma = 90^{\circ}$.