int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x નું મૂલ્ય શું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x$. બીટા વિધેયના ગુણધર્મ $\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Ga

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{35}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x$. બીટા વિધેયના ગુણધર્મ $\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $m-1 = 1 \implies m = 2$ અને $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$. $I = B(2, 5/2) = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(9/2)}$. પૂર્ણાંક માટે $\Gamma(n) = (n-1)!$ અને $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ હોવાથી,$\Gamma(2) = 1! = 1$. $\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$. $\Gamma(9/2) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$. તેથી,$I = \frac{1 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{105} = \frac{3 \cdot 4}{105} = \frac{12}{105} = \frac{4}{35}$.

$\int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int\limits_0^\infty x^{2n + 1} e^{-x^2} dx$ ની કિંમત $(n \in N)$ માટે શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module