KCET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$K \propto p^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = p$ છે અને અંતિમ વેગમાન $p_2 = p + 0.50p = 1.5p$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{1.5p}{p}\right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left(\frac{K_2}{K_1} - 1\right) \times 100 \%$.
કિંમત મૂકતા: $(2.25 - 1) \times 100 \% = 1.25 \times 100 \% = 125 \%$.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ એ પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
વિચિત્ર ગ્રહ માટે,આપણને $g_p = 2g_e$ આપેલ છે.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: જો $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને $R_p = \frac{R_e}{2}$ હોય,તો $g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e/2}{R_e^2/4} = 2 \frac{GM_e}{R_e^2} = 2g_e$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) અચળ કદના બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,ગે-લ્યુસેકનો નિયમ જણાવે છે કે $P \propto T$,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$.
આપેલ છે કે દબાણમાં $1 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dP}{P} = 0.01$.
આપેલ છે કે તાપમાનમાં $dT = 1 \ K$ નો વધારો થાય છે (કારણ કે $1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $1 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.01 = \frac{1}{T}$.
તેથી,$T = \frac{1}{0.01} = 100 \ K$.

(A) કિસ્સો $(1)$: જો કાગળ અને દડા વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ ન હોય,તો કાગળ દડા પર કોઈ આડું બળ લગાડતું નથી. સ્થિરતાના જડત્વને કારણે,દડો ટેબલ પર તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં જ રહે છે.
કિસ્સો $(2)$: જો કાગળ અને દડા વચ્ચે ઘર્ષણ હોય,તો કાગળ દડા પર કાગળની ગતિની દિશામાં (જમણી તરફ) ગતિજ ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બળ સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરે છે. આ દડાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે તે એવી રીતે ફરે છે કે તેની નીચેની સપાટી ટેબલની સાપેક્ષમાં ડાબી તરફ જાય છે. પરિણામે,દડો પાછળની તરફ (ડાબી તરફ) ગબડવાનું શરૂ કરે છે,જ્યારે ઘર્ષણ બળ ટેબલની સાપેક્ષમાં ડાબી તરફ ચોખ્ખો પ્રવેગ પણ પૂરો પાડે છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(2)$ બંને સાચા છે.

(D) જ્યારે બોલને હવામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર બે મુખ્ય બળો કાર્ય કરે છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન),જે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે $mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. હવાનો અવરોધ (ઘર્ષણ બળ),જે હંમેશા બોલના તત્કાલિન વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
સ્થાન $X$ પર,બોલ પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ કરી રહ્યો છે. તેનો વેગ સદિશ તે બિંદુએ માર્ગને સ્પર્શક છે,જે ઉપર અને આગળની તરફ નિર્દેશિત છે. તેથી,હવાનો અવરોધ નીચે અને પાછળની તરફ (વેગ સદિશની વિરુદ્ધ) કાર્ય કરે છે.
આ બંનેને જોડતા,વજન શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,અને હવાનો અવરોધ નીચે અને પાછળની તરફ એક ખૂણે લાગે છે. આ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સદિશ આકૃતિને અનુરૂપ છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
આપેલ છે કે $A_{1} = 10 \,cm^{2}$, $v_{1} = 1 \,ms^{-1}$, $A_{2} = 5 \,cm^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times 1 = 5 \times v_{2} \implies v_{2} = 2 \,ms^{-1}$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
અહીં, $\rho = 1000 \,kg/m^{3}$ (પાણીની ઘનતા).
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^{2}$.
$2000 + 500 = P_{2} + 2000$.
$2500 = P_{2} + 2000 \implies P_{2} = 500 \,Pa$.

(C) પાત્રના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ તે પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જો પાત્રની દીવાલો શિરોલંબ હોય (જેમ કે ઘનાકાર પાત્ર).
બળ $F$ એ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય પાત્રોમાં પ્રવાહીનું દળ સમાન હોવાથી $(m_{A} = m_{B} = m_{C} = m)$,દરેક પાત્રના તળિયે લાગતું બળ $F_{A} = F_{B} = F_{C} = mg$ થશે.
તેથી,પ્રવાહી દ્વારા પાત્રના તળિયે લાગતું બળ બધા પાત્રોમાં સમાન છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપકતા એટલે પદાર્થ પરથી વિરૂપક બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે તે પોતાનો મૂળ આકાર ધારણ કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે.
પરિમાણાત્મક રીતે,તેને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ દ્વારા માપવામાં આવે છે.
જે પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ વધારે હોય,તે પદાર્થ પર સમાન વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે વધુ પ્રતિબળની જરૂર પડે છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.
આપેલા પદાર્થોમાં,સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y \approx 200 \ GPa)$ સૌથી વધુ છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાં સ્ટીલ સૌથી વધુ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ છે.

(D) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે ટ્રેનનો વેગ $v_T = 2 \,ms^{-1}$ છે (ગતિની દિશાને ધન લેતા).
ટ્રેનની સાપેક્ષે મુસાફરનો વેગ $v_{P/T} = -2 \,ms^{-1}$ છે (કારણ કે મુસાફર ટ્રેનના પાછળના ભાગ તરફ ચાલી રહ્યો છે).
જમીનની સાપેક્ષે (પ્લેટફોર્મ પરના નિરીક્ષક) મુસાફરનો વેગ સાપેક્ષ વેગના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_P = v_{P/T} + v_T$
$v_P = -2 \,ms^{-1} + 2 \,ms^{-1} = 0 \,ms^{-1}$.
તેથી, પ્લેટફોર્મ પરના નિરીક્ષક માટે મુસાફરનો વેગ શૂન્ય જણાશે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટનો વેગ $v_{b}$ છે અને નદીના પાણીનો વેગ $v_{w}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક વેગ $(v_{b} + v_{w})$ થાય છે. $6 \,h$ માં કાપેલું અંતર $x$:
$x = (v_{b} + v_{w}) \times 6$ ---$(i)$
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક વેગ $(v_{b} - v_{w})$ થાય છે. $10 \,h$ માં કાપેલું અંતર $x$:
$x = (v_{b} - v_{w}) \times 10$ ---(ii)
અંતર $x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(v_{b} + v_{w}) \times 6 = (v_{b} - v_{w}) \times 10$
$6v_{b} + 6v_{w} = 10v_{b} - 10v_{w}$
$16v_{w} = 4v_{b}$
$v_{w} = \frac{v_{b}}{4}$
$x$ ને $v_{b}$ ના સ્વરૂપમાં શોધવા માટે $v_{w}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x = (v_{b} + \frac{v_{b}}{4}) \times 6 = (\frac{5v_{b}}{4}) \times 6 = 7.5v_{b}$
સ્થિર પાણીમાં (જ્યાં વેગ $v_{b}$ છે) અંતર $x$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$:
$t = \frac{x}{v_{b}} = \frac{7.5v_{b}}{v_{b}} = 7.5 \,h$

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = I_{cm} + Md^{2}$
અહીં,$I_{cm} = 2 \,kg \,m^{2}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$M = 1 \,kg$ એ તકતીનું દળ છે.
$d = R = 2 \,m$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે (જે તકતીની ત્રિજ્યા જેટલું છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = 2 + (1)(2)^{2}$
$I = 2 + (1)(4)$
$I = 2 + 4 = 6 \,kg \,m^{2}$
તેથી,તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $6 \,kg \,m^{2}$ છે.

(C) પ્રથમ સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{1} = \frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}}$ છે.
બીજા સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{2} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$ છે.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંનેમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હશે,તેથી $H_{1} = H_{2}$.
$\frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$\frac{K_{1} (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$K_{1} d_{2} (\theta_{1} - \theta) = K_{2} d_{1} (\theta - \theta_{2})$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} - K_{1} d_{2} \theta = K_{2} d_{1} \theta - K_{2} d_{1} \theta_{2}$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} + K_{2} d_{1} \theta_{2} = \theta (K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1})$
$\theta = \frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$

(D) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left[ \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_{s}$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ $10 \ min$ ના અંતરાલ માટે: $\frac{60-50}{10} = K \left[ \frac{60+50}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 1 = K(55 - \theta_{s}) \dots (i)$
આગામી $10 \ min$ ના અંતરાલ માટે: $\frac{50-42}{10} = K \left[ \frac{50+42}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 0.8 = K(46 - \theta_{s}) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25(46 - \theta_{s}) = 55 - \theta_{s}$
$57.5 - 1.25\theta_{s} = 55 - \theta_{s}$
$2.5 = 0.25\theta_{s}$
$\theta_{s} = 10^{\circ} C$.

(A) કાર્નો હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = 0.5$, તેથી $0.5 = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$, અથવા $T_{1} = 2T_{2}$.
બીજા કાર્નો એન્જિન માટે સમાન કાર્યક્ષમતા $0.5$ મેળવવા માટે, સિંક અને સોર્સના તાપમાનનો ગુણોત્તર સમાન રહેવો જોઈએ, એટલે કે $\frac{T_{2}'}{T_{1}'} = 0.5$.
જો આપણે સોર્સ અને સિંક બંનેના તાપમાનને સમાન અવયવ $k$ વડે ગુણીએ, તો નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{k T_{2}}{k T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$ થાય છે.
તેથી, જો સોર્સનું તાપમાન $2T_{1}$ અને સિંકનું તાપમાન $2T_{2}$ હોય, તો કાર્યક્ષમતા $0.5$ જ રહે છે.

(C) અવરોધ $R$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI}$ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
પરિમાણો મૂકતા: $R = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[AT][A]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
હવે,આપણે $\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો તપાસીએ.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[ML^2 T^{-1}]$ છે.
વિદ્યુતભાર $e$ ના પરિમાણો $[AT]$ છે.
તેથી,$\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો $= \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[AT]^2} = \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[A^2 T^2]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
આમ,$R$ અને $\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ચામાચીડિયું સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને તરીકે કાર્ય કરે છે જે સ્થિર દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે.
પ્રથમ, દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right)$
જ્યાં $v = 330 \,ms^{-1}$ એ અવાજનો વેગ છે અને $v_b = 4 \,ms^{-1}$ એ ચામાચીડિયાની ઝડપ છે.
ત્યારબાદ, દીવાલ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે, અને ચામાચીડિયું ગતિશીલ અવલોકનકાર તરીકે સ્થિર સ્ત્રોત (દીવાલ) પાસેથી પરાવર્તિત આવૃત્તિ $f''$ મેળવે છે:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right)$
$f'$ ની કિંમત $f''$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f'' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$
$f'' = 90 \times 10^{3} \left( \frac{330 + 4}{330 - 4} \right) = 90 \times 10^{3} \left( \frac{334}{326} \right)$
$f'' \approx 90 \times 10^{3} \times 1.0245 = 92.21 \times 10^{3} \,Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, આવૃત્તિ $92.1 \times 10^{3} \,Hz$ છે.

(D) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે. ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{v}{2L}$ છે અને બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે કે $f_{o} - f_{c} = 2 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2 \Rightarrow \frac{v}{4L} = 2 \text{ Hz}$.
આમ,$f_{c} = 2 \text{ Hz}$ અને $f_{o} = 2f_{c} = 4 \text{ Hz}$.
હવે,ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે છે $(L_{o}' = L/2)$,તેથી તેની નવી આવૃત્તિ $f_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 2f_{o} = 2 \times 4 = 8 \text{ Hz}$ થાય.
બંધ પાઇપની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે $(L_{c}' = 2L)$,તેથી તેની નવી આવૃત્તિ $f_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{1}{2} f_{c} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ થાય.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $|f_{o}' - f_{c}'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{એકમ લંબાઈ દીઠ દળ} = \text{ઘનતા} \times \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} = \rho \times (\pi \frac{D^2}{4})$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi \frac{D^2}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi \rho D^2}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
અહીં $T$,$\rho$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,આપણને $f \propto \frac{1}{LD}$ મળે છે.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ છે.
કંપવિસ્તાર $A_1$ શોધવા માટે,આપણે પદને $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ મળે છે.
બીજું સમીકરણ $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ છે.
આને $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_2 = 5$ મળે છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ થાય છે.

(A) અવરોધકનો અવરોધ: $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
$50 \, Hz$ પર ચોકનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
કારણ કે $X_L = 2 \pi f L$, તેથી $12.5 = 2 \pi \times 50 \times L$, જેનાથી $L = \frac{12.5}{100 \pi} = \frac{1}{8 \pi} \, H$ મળે છે.
હવે, $40 \, Hz$ ના નવા સ્ત્રોત માટે, નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = 2 \pi f' L = 2 \pi \times 40 \times \frac{1}{8 \pi} = 10 \, \Omega$ છે.
શ્રેણી $RL$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L'^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V'}{Z} = \frac{150}{10\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, A$ થશે.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, અને ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L$ એ કેપેસિટરની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V_C$ જેટલો હોય છે.
કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = i X_C = i \left( \frac{1}{\omega C} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} \right)$.
$V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{400 \times 10^{-6}} \right) = 0.1 \times \left( \frac{10^6}{400} \right) = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$.
અનુનાદ સમયે $V_L = V_C$ હોવાથી, ઇન્ડક્ટન્સ કોઈલની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $250 \, V$ છે.

(D) કેપેસિટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે $(C = K C_0)$.
જેમ $C$ વધે છે,તેમ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટતું હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ વધે છે.
પરિણામે,બલ્બની તેજસ્વીતા,જે વપરાતી પાવર $(P = i^2 R)$ પર આધાર રાખે છે,તે વધે છે.

(B) તેલની જ્યોત જ્યોતમાં હાજર ઘન કાર્બન કણોના ઉત્સર્જનને કારણે પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરે છે. તેલની જ્યોતનો વર્ણપટ કોઈપણ અંતરાલ વગર તરંગલંબાઇની સતત શ્રેણી ધરાવે છે,તેથી તે સતત ઉત્સર્જન વર્ણપટનું ઉદાહરણ છે.

(A) વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $v = RC \left[ \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_{1}=1, n_{2}=\infty)$: $v_{1} = RC \left[ 1 - \frac{1}{\infty} \right] = RC$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_{1}=1, n_{2}=2)$: $v_{2} = RC \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} RC$.
બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા માટે $(n_{1}=2, n_{2}=\infty)$: $v_{3} = RC \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{RC}{4}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $v_{1} - v_{2} = RC - \frac{3}{4} RC = \frac{1}{4} RC = v_{3}$.
તેથી,$v_{1} - v_{2} = v_{3}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનના $n$મી કક્ષામાંથી નીચલી કક્ષામાં સંક્રમણને કારણે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N$ માટેનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N = 6$:
$6 = \frac{n_1(n_1-1)}{2} \Rightarrow n_1^2 - n_1 - 12 = 0 \Rightarrow (n_1-4)(n_1+3) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n_1 = 4$ મળે.
બીજા કિસ્સા માટે,$N = 3$:
$3 = \frac{n_2(n_2-1)}{2} \Rightarrow n_2^2 - n_2 - 6 = 0 \Rightarrow (n_2-3)(n_2+2) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n_2 = 3$ મળે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ મુજબ હોય છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેપેસિટર બે જૂથોમાં ગોઠવાયેલા છે.
પ્રથમ જૂથમાં,ત્રણ કેપેસિટર ઇનપુટ અને મધ્યવર્તી નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,આ જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{123} = C + C + C = 3 C$ થાય.
તે જ રીતે,બીજા જૂથમાં,ત્રણ કેપેસિટર મધ્યવર્તી નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,આ જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{456} = C + C + C = 3 C$ થાય.
આ બંને જૂથો એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_{123} \times C_{456}}{C_{123} + C_{456}} = \frac{(3 C)(3 C)}{3 C + 3 C} = \frac{9 C^2}{6 C} = 1.5 C$.

(B) બેટરીમાંથી લેવામાં આવતો પ્રવાહ $i$ સૂત્ર $i = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ ચલ અવરોધ $R$ ને ધીમે ધીમે ઘટાડીને $0$ કરવામાં આવે છે,તેમ પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{E}{0 + r} = \frac{E}{r}$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $V = E - ir$ અથવા $V = iR$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = iR$ નો ઉપયોગ કરતા,જેમ $R$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $0 \times \frac{E}{r} = 0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,જેમ $R \to 0$,તેમ $i \to \frac{E}{r}$ અને $V \to 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે દરેક સમાન બલ્બનો અવરોધ $R$ છે અને બેટરીનું $EMF$ $E$ છે, જેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે。
જ્યારે કી $K$ બંધ હોય, ત્યારે બલ્બ $B_{2}$ અને $B_{3}$ સમાંતર જોડાણમાં છે, અને આ સંયોજન $B_{1}$ સાથે શ્રેણીમાં છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + (R/2) = 1.5R$ છે। કુલ પ્રવાહ $I = E / (1.5R + r)$ છે। $B_{1}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{1} = I \cdot R = E \cdot R / (1.5R + r)$ છે。
જ્યારે કી $K$ ખોલવામાં આવે, ત્યારે બલ્બ $B_{3}$ પરિપથમાંથી દૂર થાય છે। હવે પરિપથમાં $B_{1}$ અને $B_{2}$ શ્રેણીમાં છે। નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{eq} = 2R$ છે। નવો કુલ પ્રવાહ $I' = E / (2R + r)$ છે。
પ્રવાહની સરખામણી કરતા: $2R > 1.5R$ હોવાથી, કુલ પ્રવાહ $I'$ એ $I$ કરતા ઓછો છે। તેથી, $B_{1}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ઘટે છે, પરિણામે તેની તેજસ્વિતા ઘટે છે。
$B_{2}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V'_{2} = I' \cdot R = E \cdot R / (2R + r)$ છે। $V'_{2}$ ની સરખામણી અગાઉના $B_{2}$ ના વોલ્ટેજ $(V_{2} = I \cdot (R/2) = E \cdot R / (3R + 2r))$ સાથે કરતા, આપણને જણાય છે કે $V'_{2} > V_{2}$. તેથી, $B_{2}$ ની તેજસ્વિતા વધે છે।

(A) ધારો કે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
વોલ્ટમીટર $A$ નો અવરોધ $R$,વોલ્ટમીટર $B$ નો અવરોધ $1.5 R$ અને વોલ્ટમીટર $C$ નો અવરોધ $3 R$ છે.
વોલ્ટમીટર $B$ અને $C$ સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,$V_2 = V_3 = V_p$ થાય.
સમાંતર જોડાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ અને $C$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(1.5 R)(3 R)}{1.5 R + 3 R} = \frac{4.5 R^2}{4.5 R} = R$ મળે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_A + R_p = R + R = 2 R$ થાય.
વોલ્ટમીટર $A$ નું રીડિંગ $V_1 = I \times R$ છે.
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p = I \times R_p = I \times R$ છે.
આમ,$V_1 = V_2 = V_3 = IR$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે. નોડ $D$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા,નોડમાંથી બહાર જતા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$I_{AD} + I_{DB} + I_{DC} = 0$
$\frac{V_D - 70}{10} + \frac{V_D - 0}{20} + \frac{V_D - 10}{30} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $60$ વડે ગુણતા:
$6(V_D - 70) + 3(V_D) + 2(V_D - 10) = 0$
$6V_D - 420 + 3V_D + 2V_D - 20 = 0$
$11V_D = 440$
$V_D = 40 \,V$
હવે,પ્રવાહોની ગણતરી કરીએ:
$I_{AD} = \frac{70 - 40}{10} = 3 \,A$ ($\text{A}$ થી $\text{D}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
$I_{DB} = \frac{40 - 0}{20} = 2 \,A$ ($\text{D}$ થી $\text{B}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
$I_{DC} = \frac{40 - 10}{30} = 1 \,A$ ($\text{D}$ થી $\text{C}$ તરફ પ્રવાહ વહે છે)
આમ,માર્ગ $AD$,$DB$ અને $DC$ માં પ્રવાહનો ગુણોત્તર $3: 2: 1$ છે.

(B) બોહરના કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઇઝેશનના નિયમ મુજબ:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n} \quad \dots(i)$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\lambda = \frac{h}{mv} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\lambda = \frac{2\pi r}{n}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિ માટે,$n = 1$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.53 \ \text{Å}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times \pi \times 0.53 \ \text{Å}}{1}$
$\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \ \text{Å} \approx 3.33 \ \text{Å}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$KE_{max} = h\nu - \phi_{0}$
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = KE_{max}$,$x = \nu$,$m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ y-અંતઃખંડ છે:
$KE_{max} = h\nu + (-\phi_{0})$
અહીં,ઢાળ $m = h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
જેহেতু $h$ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તેથી ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ પરિમિતિ માટે,તમામ સમતલ આકારોમાં વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે. જેમ અનિયમિત લૂપ વર્તુળાકાર લૂપમાં બદલાય છે,તેમ તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ વધે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાગળના સમતલની બહારની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિષમઘડી પ્રેરિત પ્રવાહ સૂચવે છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu_{0}$ એ મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી છે અને $\varepsilon_{0}$ એ મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$\mu_{0}$ અને $\varepsilon_{0}$ બંને સાર્વત્રિક અચળાંકો હોવાથી,શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ અચળ રહે છે,જે આશરે $3 \times 10^{8} \ m/s$ છે,જે તરંગલંબાઇ,આવૃત્તિ કે વિકિરણના ઉદગમ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે ઝડપ સમાન હોય છે.

(B) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરના મૂળ વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_{1}$ અને $q_{2}$ છે.
ધારો કે બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન કદના હોવાથી,જ્યારે તેમને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
તેથી,દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q^{\prime} = \frac{q_{1} + q_{2}}{2}$ થશે.
ગોળાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{\prime} q^{\prime}}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(\frac{q_{1} + q_{2}}{2})^{2}}{r^{2}}$ થશે.
અંકગણિત મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યકની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $q_{1}$ અને $q_{2}$ માટે જ્યાં $q_{1} \neq q_{2}$,$(\frac{q_{1} + q_{2}}{2})^{2} > q_{1} q_{2}$ થાય છે.
તેથી,$F^{\prime} > F$.

(B) ગોળા $1$ માટે,સંતુલનમાં:
$T_{1} \cos \theta_{1} = M_{1} g$
$T_{1} \sin \theta_{1} = F$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta_{1} = \frac{F}{M_{1} g}$
તે જ રીતે,ગોળા $2$ માટે,સંતુલનમાં:
$T_{2} \cos \theta_{2} = M_{2} g$
$T_{2} \sin \theta_{2} = F$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta_{2} = \frac{F}{M_{2} g}$
અહીં,$F$ એ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ છે,જે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ બંને ગોળાઓ માટે સમાન છે.
જો $\theta_{1} = \theta_{2}$ હોય,તો $\tan \theta_{1} = \tan \theta_{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{F}{M_{1} g} = \frac{F}{M_{2} g}$,જેનો અર્થ છે કે $M_{1} = M_{2}$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,કોઈ બિંદુ $(x, y, z)$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = -E \cdot r + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ છે અને $r$ એ સ્થાન સદિશ છે.
$x$-અક્ષની દિશામાં સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,સ્થિતિમાન ફક્ત $x$-યામ પર આધાર રાખે છે $(V = -Ex + C)$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ સમતલ પર આવેલા તમામ બિંદુઓનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$4$ હરોળમાં દરેક $3$ બિંદુઓ છે,જે કુલ $12$ બિંદુઓનો ગ્રીડ બનાવે છે.
છાયાંકિત બિંદુ મધ્ય સ્તંભમાં છે.
જે બિંદુઓનું સ્થિતિમાન છાયાંકિત બિંદુ જેટલું જ છે,તે તે જ ઊભી રેખા પર આવેલા છે (જે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ છે).
તે ઊભી સ્તંભમાં છાયાંકિત બિંદુ સહિત કુલ $3$ બિંદુઓ છે.
આમ,છાયાંકિત બિંદુ સિવાય અન્ય $2$ બિંદુઓ છે જેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છાયાંકિત બિંદુ જેટલું જ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલ હોવાથી,આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકીએ:
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2^{3/2} R^{3})}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i}{2 R \cdot 2^{3/2}}$
કારણ કે $2^{3/2} = \sqrt{8}$,તેથી:
$B_{axis} = \frac{B}{\sqrt{8}}$.

(D) લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જો વિદ્યુતપ્રવાહ બે એવા માર્ગોમાં વહેંચાય કે જેથી બંને માર્ગો દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય.
રચના $P$ માં,બંને માર્ગોમાં એક જાડો અને એક પાતળો તાર હોય છે. દરેક માર્ગનો કુલ અવરોધ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે. આ બે સપ્રમાણ માર્ગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
રચના $R$ માં,બંને માર્ગો પણ સપ્રમાણ છે,જેમાં દરેક એક જાડા અને એક પાતળા તારના શ્રેણી જોડાણથી બનેલા છે. આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે અને કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
રચના $Q$ માં,બે માર્ગો અનુક્રમે બે જાડા તાર અને બે પાતળા તારના બનેલા છે. અવરોધ અલગ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ અસમાન હોય છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
તેથી,$P$ અને $R$ કિસ્સાઓમાં કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(D) લૂપ ચાર ભાગોની બનેલી છે: બે ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો ($AB$ અને $CD$) અને બે વર્તુળાકાર ચાપ ($DA$ અને $BC$).
$(i)$ ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો $AB$ અને $CD$ માટે,કેન્દ્ર $M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે બિંદુ $M$ એ પ્રવાહ ખંડોની રેખા પર આવેલું છે.
(ii) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta_1 = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયન ખૂણો ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપ $DA$ માટે,$M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i \theta_1}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,દિશા કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
(iii) $2R$ ત્રિજ્યા અને $\theta_2 = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન ખૂણો ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ માટે,$M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta_2}{4\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{8\pi R} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,દિશા કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
(iv) $M$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{16R} = \frac{6\mu_0 i + \mu_0 i}{16R} = \frac{7\mu_0 i}{16R}$ છે.
બંને ક્ષેત્રો કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોવાથી,પરિણામી ક્ષેત્ર $\frac{7}{16} \frac{\mu_0 i}{R}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હશે.

(B) ધારો કે $M$ નું દરેક તારથી અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રવાહો $I_1 = 2 \text{ A}$ અને $I_2 = 1 \text{ A}$ એક જ દિશામાં છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ તારને કારણે $M$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$B_{PQ} = \frac{\mu_0 (2)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{\pi r}$
$B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$
$M$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{PQ} - B_{RS} = \frac{\mu_0}{\pi r} - \frac{\mu_0}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ છે.
જ્યારે $2 \text{ A}$ નો પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર $I_2 = 1 \text{ A}$ નો પ્રવાહ બાકી રહે છે.
$M$ પરનું નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $B' = B$ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન તેની દિશામાં કોઈ પણ ફેરફાર વગર ગતિ કરતું હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ ચુંબકીય બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}$
$l$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{l}{v} = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}} = \frac{\varepsilon_{0} l B}{\sigma}$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વેગ સદિશ $\vec{v}$ ઉપરની તરફ (ધારો કે $+z$ દિશા) છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉત્તર દિશામાં (ધારો કે $+y$ દિશા) છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
તમારી આંગળીઓને $\vec{v}$ (ઉપરની તરફ) ની દિશામાં રાખો અને તેમને $\vec{B}$ (ઉત્તર) તરફ વાળો.
અંગૂઠો બળની દિશા દર્શાવે છે,જે પશ્ચિમ ($-x$ દિશા) તરફ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જો પ્રક્રિયામાં મળતી નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા (ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા) માં થતા વધારાને અનુરૂપ છે.
આલેખ પરથી:
$1$. $1 < A < 100$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $2 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
$2$. $100 < A < 200$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $8 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
$3$. $200 < A < 250$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $4 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
જો $51 < A < 100$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતા બે ન્યુક્લિયસ (દરેકની વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $2 \text{ MeV/nucleon}$) સંલયન પામીને $100 < A < 200$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતો ન્યુક્લિયસ (વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $8 \text{ MeV/nucleon}$) બનાવે,તો અંતિમ અવસ્થામાં વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે. તેથી,ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(B) પેકિંગ ફ્રેક્શન $(f)$ ને ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $f = \frac{m - A}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શનનું મૂલ્ય જેટલું નાનું (અથવા વધુ ઋણ) હોય,તેટલી ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા વધારે હોય છે.
ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંકના આધારે પેકિંગ ફ્રેક્શન ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,પેકિંગ ફ્રેક્શન ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે તે વિધાન સાચું છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,$N_{1} = 2 N_{2}$ અને $A_{2} = 2 A_{1}$ છે.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{N_{1} / T_{1}}{N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \times \frac{T_{2}}{T_{1}}$
અર્ધ-આયુષ્યના ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{N_{1}}{N_{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 A_{1}}{A_{1}} \times \frac{2 N_{2}}{N_{2}} = 2 \times 2 = 4$
આમ,$S_{1}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય અને $S_{2}$ ના અર્ધ-આયુષ્યનો ગુણોત્તર $4$ છે.

(D) $\beta^{-}$-કણ એ એક ઇલેક્ટ્રોન છે. $\beta^{-}$-કણના ઉત્સર્જનમાં ન્યુટ્રોનનું પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ નામના ત્રીજા કણમાં રૂપાંતર થાય છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
${ }_{0} n^{1} \rightarrow { }_{1} p^{1} + { }_{-1} e^{0} + \bar{\nu}$

(A) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -15 \,cm$ (કારણ કે તે ધ્રુવની ડાબી બાજુએ મૂકવામાં આવી છે).
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +30 \,cm$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર ધ્રુવની જમણી બાજુએ છે).
હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1$.
કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1.5$.
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30 \,cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ ધ્રુવની ડાબી બાજુએ $30 \,cm$ અંતરે,વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, એક સપાટી વક્ર $(R_1 = 60 \,cm)$ છે અને બીજી સપાટી સમતલ $(R_2 = \infty)$ છે।
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = 60 \,cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left[ \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \left[ \frac{1}{60} - 0 \right]$
$\frac{1}{f} = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$
તેથી, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 100 \,cm$ થાય.

(D) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = (i + e) - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ એ નિર્ગમન કોણ જેટલો હોય છે,એટલે કે $i = e$.
આ સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું પ્રકાશનું કિરણ પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે અને વક્રીભવન કોણ $r$ એ $r_1 = r_2 = r$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $A = r_1 + r_2$,તેથી $A = 2r$ થાય.
આપેલ પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ મળે છે.
આ સ્થિતિ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અથવા રંગથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,લાલ અને જાંબલી બંને રંગો માટે વક્રીભવન કોણ $30^{\circ}$ રહેશે.

(A) માધ્યમ $A$ અને $B$ ની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_{1} \sin i = n_{2} \sin r_{1} \quad \text{...(i)}$
માધ્યમ $B$ અને $C$ ની સપાટી પર ફરીથી સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin r_{2} \quad \text{...(ii)}$
અહીં કિરણ માધ્યમ $B$ અને $C$ ની સપાટીને સ્પર્શીને (grazes) જાય છે,તેથી વક્રીભવન કોણ $r_{2} = 90^{\circ}$ થાય.
સમીકરણ (ii) માં $r_{2} = 90^{\circ}$ મૂકતા:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin 90^{\circ} = n_{3}$
હવે,$n_{2} \sin r_{1} = n_{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$n_{1} \sin i = n_{3}$
$\sin i = \frac{n_{3}}{n_{1}}$

(D) જ્યારે પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ (હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે,પરંતુ તેની તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
પાણીમાં તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda_{w} = \frac{\lambda_{a}}{n_{w}}$ છે,જ્યાં $\lambda_{a}$ એ હવામાં તરંગલંબાઈ છે અને $n_{w}$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda_{w} = \frac{500 \ nm}{4/3} = 500 \times \frac{3}{4} \ nm = 375 \ nm$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda_{w} \approx 376 \ nm$ મળે છે.
જેમ કે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સ્પેક્ટ્રમના વાદળી રંગ તરફ ખસે છે ($376 \ nm$ એ વાદળી રંગના વિસ્તારમાં આવે છે),તેથી ડાઇવરને આ પ્રકાશ વાદળી રંગનો દેખાશે.

(C) જ્યારે $p-n$ જંકશન બને છે,ત્યારે ઈલેક્ટ્રોન $n$-વિસ્તારમાંથી $p$-વિસ્તારમાં અને હોલ્સ $p$-વિસ્તારમાંથી $n$-વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે. આ પ્રક્રિયાને કારણે $n$-વિસ્તારમાં અચલિત આયનીકૃત દાતા (ધન વીજભાર) અને $p$-વિસ્તારમાં અચલિત આયનીકૃત સ્વીકારક (ઋણ વીજભાર) બાકી રહે છે.
આનાથી જંકશન પર ડેપ્લેશન વિસ્તાર રચાય છે અને આંતરિક સ્થિતિમાનનો તફાવત ઉદભવે છે. $n$-બાજુ એ $p$-બાજુની સાપેક્ષમાં ધન બને છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ ધન સ્થિતિમાનથી ઋણ સ્થિતિમાન તરફ જતી હોવાથી,જંકશન પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $n$-ટાઈપ બાજુથી $p$-ટાઈપ બાજુ તરફ હોય છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ ફોરબિડન એનર્જી ગેપ $E_{g}$ જેટલી હોય છે.
ફોટોન દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી બનાવવા માટે,તેની ઉર્જા ઓછામાં ઓછી $E_{g}$ જેટલી હોવી જોઈએ.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{max}$ શોધવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ ઉર્જા $E_{g}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_{g}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_{max} = \frac{12400 eV-Å}{0.72 eV}$
$\lambda_{max} = 17222.22 Å$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $\lambda_{max} = 17222 Å$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક બીજો $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = \overline{A+B}$ છે.
આ આઉટપુટ $Y'$ બીજા $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સમાં આપવામાં આવે છે. બીજા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y' + Y'} = \overline{Y'} = \overline{\overline{A+B}}$ છે.
ડબલ નેગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{X}} = X$,આપણને $Y = A+B$ મળે છે.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(B) ડિફ્રેક્શન ગ્રેટીંગમાં મુખ્ય અધિકતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $d = \frac{1}{N}$ એ ગ્રેટીંગ ઘટક છે અને $N$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ રેખાઓની સંખ્યા છે.
આમ, $\frac{\sin \theta}{N} = n \lambda$, જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{\sin \theta}{N \lambda}$.
અહીં $\lambda = 625 \, nm = 6.25 \times 10^{-7} \, m$ અને $N = 2 \times 10^{5} \, \text{lines}/m$ આપેલ છે.
મહત્તમ શક્ય ક્રમ $n$ એ $\sin \theta \leq 1$ ની શરત દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી $n < \frac{1}{N \lambda}$.
$n < \frac{1}{(2 \times 10^{5}) \times (6.25 \times 10^{-7})} = \frac{1}{0.125} = 8$.
કારણ કે $n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી મહત્તમ ક્રમ $n = 8$ છે.
કુલ અવલોકિત અધિકતમની સંખ્યા $2n + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જેમાં $n=0$ પરનું મધ્યસ્થ અધિકતમ અને બંને બાજુના $n$ ક્રમનો સમાવેશ થાય છે).
કુલ અધિકતમ $= 2(8) + 1 = 17$.

(A) પાતળા ફિલ્મમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં રચનાત્મક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2 \mu t = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે, $t$ એ જાડાઈ છે, અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે।
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે, આપણે $n = 0$ લઈએ છીએ।
કિંમતો મૂકતા: $2 \mu t = \frac{\lambda}{2}$.
$t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{\lambda}{4 \mu}$.
આપેલ છે $\lambda = 600 \, nm$ અને $\mu = 1.5$, તેથી $t = \frac{600}{4 \times 1.5} = \frac{600}{6} = 100 \, nm$.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin(C) = 0.6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ ક્રાંતિકોણ સાથે $\mu = \frac{1}{\sin(C)}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમત મૂકતા,$\mu = \frac{1}{0.6} = \frac{10}{6} = 1.6667$ મળે છે.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝિંગ કોણ $i_p$ એ $\tan(i_p) = \mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$i_p = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(1.6667)$ થાય.

(D) કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_{0} \cos^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)$ છે,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{I}{I_{0}} = \cos^{2}\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right) = \cos^{2}(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{I}{I_{0}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(D) રેલેના પ્રકીર્ણન નિયમ મુજબ,પ્રકીર્ણિત પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ તેની આવૃત્તિ $(f)$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto f^4$.
આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{256}{81}$ છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = (\frac{I_1}{I_2})^{1/4} = (\frac{256}{81})^{1/4} = \frac{4}{3}$ થાય.
આમ,$4:3$ નો ગુણોત્તર વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.