KCET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ और उसके रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
चूँकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $K \propto p^2$ होगा।
माना प्रारंभिक संवेग $p_1 = p$ है और अंतिम संवेग $p_2 = p + 0.50p = 1.5p$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ का अनुपात:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{1.5p}{p}\right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{K_2}{K_1} - 1\right) \times 100 \%$।
मान रखने पर: $(2.25 - 1) \times 100 \% = 1.25 \times 100 \% = 125 \%$।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
अजीब ग्रह के लिए,हमें $g_p = 2g_e$ दिया गया है।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: यदि $M_p = \frac{M_e}{2}$ और $R_p = \frac{R_e}{2}$ है,तो $g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e/2}{R_e^2/4} = 2 \frac{GM_e}{R_e^2} = 2g_e$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) स्थिर आयतन वाले एक बंद पात्र में गैस के लिए,गे-लुसाक का नियम बताता है कि $P \propto T$,जहाँ $P$ दबाव है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
अवकलन करने पर,हमें मिलता है $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$।
दिया गया है कि दबाव $1 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\frac{dP}{P} = 0.01$।
दिया गया है कि तापमान में $dT = 1 \ K$ की वृद्धि होती है (क्योंकि $1^{\circ} C$ का परिवर्तन $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0.01 = \frac{1}{T}$।
अतः,$T = \frac{1}{0.01} = 100 \ K$।

(A) स्थिति $(1)$: यदि कागज और गेंद के बीच कोई घर्षण नहीं है,तो कागज गेंद पर कोई क्षैतिज बल नहीं लगाता है। विराम के जड़त्व के कारण,गेंद मेज पर अपनी प्रारंभिक स्थिति में ही रहती है।
स्थिति $(2)$: यदि कागज और गेंद के बीच घर्षण है,तो कागज गेंद पर कागज की गति की दिशा में (दाईं ओर) गतिज घर्षण बल लगाता है। यह बल संपर्क बिंदु पर कार्य करता है। यह गेंद के द्रव्यमान केंद्र के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है,जिससे यह इस तरह घूमती है कि इसकी निचली सतह मेज के सापेक्ष बाईं ओर जाती है। परिणामस्वरूप,गेंद पीछे की ओर (बाईं ओर) लुढ़कना शुरू कर देती है,जबकि घर्षण बल मेज के सापेक्ष बाईं ओर एक शुद्ध त्वरण भी प्रदान करता है।
इसलिए,कथन $(1)$ और $(2)$ दोनों सही हैं।

(D) जब गेंद को हवा में फेंका जाता है,तो उस पर दो मुख्य बल कार्य करते हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल (भार),जो हमेशा लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,जिसे $mg$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. वायु प्रतिरोध (घर्षण बल),जो हमेशा गेंद के तात्कालिक वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
स्थिति $X$ पर,गेंद एक परवलयाकार पथ पर गति कर रही है। इसका वेग सदिश उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखा है,जो ऊपर और आगे की ओर निर्देशित है। इसलिए,वायु प्रतिरोध नीचे और पीछे की ओर (वेग सदिश के विपरीत) कार्य करता है।
इन दोनों को मिलाने पर,भार लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,और वायु प्रतिरोध नीचे और पीछे की ओर एक कोण पर कार्य करता है। यह विकल्प $D$ में दिए गए सदिश आरेख के अनुरूप है।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ होता है।
दिया गया है: $A_{1} = 10 \,cm^{2}$, $v_{1} = 1 \,ms^{-1}$, $A_{2} = 5 \,cm^{2}$।
मान रखने पर: $10 \times 1 = 5 \times v_{2} \implies v_{2} = 2 \,ms^{-1}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$।
यहाँ, $\rho = 1000 \,kg/m^{3}$ (पानी का घनत्व) है।
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^{2}$।
$2000 + 500 = P_{2} + 2000$।
$2500 = P_{2} + 2000 \implies P_{2} = 500 \,Pa$।

(C) पात्र के आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल उस पात्र में निहित द्रव के भार के बराबर होता है,बशर्ते पात्र की दीवारें ऊर्ध्वाधर हों (जैसे घनाकार पात्र)।
बल $F$ को $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों पात्रों में द्रवों का द्रव्यमान समान है $(m_{A} = m_{B} = m_{C} = m)$,इसलिए प्रत्येक पात्र के आधार पर लगाया गया बल $F_{A} = F_{B} = F_{C} = mg$ होगा।
अतः,द्रव द्वारा आधार पर लगाया गया बल सभी पात्रों में समान है।

(B) प्रत्यास्थता को किसी पदार्थ की विरूपक बल को हटाने के बाद अपने मूल आकार में वापस आने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मात्रात्मक रूप से,इसे यंग मापांक $(Y)$ द्वारा मापा जाता है।
जिस पदार्थ का यंग मापांक अधिक होता है,उस पर समान विकृति उत्पन्न करने के लिए अधिक प्रतिबल की आवश्यकता होती है,जिसका अर्थ है कि वह अधिक प्रत्यास्थ है।
दिए गए पदार्थों में,स्टील का यंग मापांक $(Y \approx 200 \ GPa)$ सबसे अधिक है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में स्टील सबसे अधिक प्रत्यास्थ पदार्थ है।

(D) मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष ट्रेन का वेग $v_T = 2 \,ms^{-1}$ है (गति की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
ट्रेन के सापेक्ष यात्री का वेग $v_{P/T} = -2 \,ms^{-1}$ है (क्योंकि यात्री ट्रेन के पिछले हिस्से की ओर चल रहा है)।
जमीन के सापेक्ष (प्लेटफॉर्म पर पर्यवेक्षक) यात्री का वेग सापेक्ष वेग के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$v_P = v_{P/T} + v_T$
$v_P = -2 \,ms^{-1} + 2 \,ms^{-1} = 0 \,ms^{-1}$.
इसलिए, प्लेटफॉर्म पर खड़े पर्यवेक्षक को यात्री का वेग शून्य प्रतीत होगा।

(B) माना स्थिर जल में मोटरबोट का वेग $v_{b}$ है और नदी के जल का वेग $v_{w}$ है।
धारा की दिशा में चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} + v_{w})$ होता है। $6 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} + v_{w}) \times 6$ ---$(i)$
धारा के विपरीत चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} - v_{w})$ होता है। $10 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} - v_{w}) \times 10$ ---(ii)
दूरी $x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(v_{b} + v_{w}) \times 6 = (v_{b} - v_{w}) \times 10$
$6v_{b} + 6v_{w} = 10v_{b} - 10v_{w}$
$16v_{w} = 4v_{b}$
$v_{w} = \frac{v_{b}}{4}$
$x$ को $v_{b}$ के पदों में ज्ञात करने के लिए $v_{w}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x = (v_{b} + \frac{v_{b}}{4}) \times 6 = (\frac{5v_{b}}{4}) \times 6 = 7.5v_{b}$
स्थिर जल में (जहाँ वेग $v_{b}$ है) दूरी $x$ तय करने में लगा समय $t$ है:
$t = \frac{x}{v_{b}} = \frac{7.5v_{b}}{v_{b}} = 7.5 \,h$

(D) समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{cm} + Md^{2}$
यहाँ,$I_{cm} = 2 \,kg \,m^{2}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
$M = 1 \,kg$ डिस्क का द्रव्यमान है।
$d = R = 2 \,m$ दो समानांतर अक्षों के बीच की दूरी है (जो डिस्क की त्रिज्या के बराबर है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = 2 + (1)(2)^{2}$
$I = 2 + (1)(4)$
$I = 2 + 4 = 6 \,kg \,m^{2}$
अतः,डिस्क के किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $6 \,kg \,m^{2}$ है।

(C) पहले स्लैब के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H_{1} = \frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}}$ है।
दूसरे स्लैब के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H_{2} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,स्थिर अवस्था में दोनों से गुजरने वाला ऊष्मा प्रवाह समान होगा,इसलिए $H_{1} = H_{2}$।
$\frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$\frac{K_{1} (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$K_{1} d_{2} (\theta_{1} - \theta) = K_{2} d_{1} (\theta - \theta_{2})$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} - K_{1} d_{2} \theta = K_{2} d_{1} \theta - K_{2} d_{1} \theta_{2}$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} + K_{2} d_{1} \theta_{2} = \theta (K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1})$
$\theta = \frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left[ \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_{s}$ परिवेश का तापमान है।
पहले $10 \ min$ के अंतराल के लिए: $\frac{60-50}{10} = K \left[ \frac{60+50}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 1 = K(55 - \theta_{s}) \dots (i)$
अगले $10 \ min$ के अंतराल के लिए: $\frac{50-42}{10} = K \left[ \frac{50+42}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 0.8 = K(46 - \theta_{s}) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25(46 - \theta_{s}) = 55 - \theta_{s}$
$57.5 - 1.25\theta_{s} = 55 - \theta_{s}$
$2.5 = 0.25\theta_{s}$
$\theta_{s} = 10^{\circ} C$.

(A) कार्नो ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$।
दिया गया है कि $\eta = 0.5$, इसलिए $0.5 = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$, जिसका अर्थ है कि $\frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$, या $T_{1} = 2T_{2}$।
दूसरे कार्नो इंजन के लिए समान दक्षता $0.5$ प्राप्त करने हेतु, सिंक और स्रोत के तापमान का अनुपात समान रहना चाहिए, अर्थात $\frac{T_{2}'}{T_{1}'} = 0.5$।
यदि हम स्रोत और सिंक दोनों के तापमान को एक समान गुणक $k$ से गुणा करते हैं, तो नई दक्षता $\eta' = 1 - \frac{k T_{2}}{k T_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} = 0.5$ होती है।
अतः, यदि स्रोत का तापमान $2T_{1}$ और सिंक का तापमान $2T_{2}$ हो, तो दक्षता $0.5$ ही बनी रहती है।

(C) प्रतिरोध $R$ के लिए विमीय सूत्र $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI}$ से प्राप्त किया जाता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[AT][A]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
अब,आइए $\frac{h}{e^2}$ की विमाओं की जाँच करें।
प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[ML^2 T^{-1}]$ हैं।
आवेश $e$ की विमाएँ $[AT]$ हैं।
अतः,$\frac{h}{e^2}$ की विमाएँ $= \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[AT]^2} = \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[A^2 T^2]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
चूँकि $R$ और $\frac{h}{e^2}$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) चमगादड़ स्रोत और प्रेक्षक दोनों के रूप में कार्य करता है जो एक स्थिर दीवार की ओर बढ़ रहा है।
सबसे पहले, दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right)$
जहाँ $v = 330 \,ms^{-1}$ ध्वनि की गति है और $v_b = 4 \,ms^{-1}$ चमगादड़ की गति है।
इसके बाद, दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है, और चमगादड़ एक गतिमान प्रेक्षक के रूप में एक स्थिर स्रोत (दीवार) से परावर्तित आवृत्ति $f''$ प्राप्त करता है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right)$
$f'$ का मान $f''$ के समीकरण में रखने पर:
$f'' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$
$f'' = 90 \times 10^{3} \left( \frac{330 + 4}{330 - 4} \right) = 90 \times 10^{3} \left( \frac{334}{326} \right)$
$f'' \approx 90 \times 10^{3} \times 1.0245 = 92.21 \times 10^{3} \,Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, आवृत्ति $92.1 \times 10^{3} \,Hz$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{o} = \frac{v}{2L}$ है और एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{c} = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है कि $f_{o} - f_{c} = 2 \text{ Hz}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2 \Rightarrow \frac{v}{4L} = 2 \text{ Hz}$।
इस प्रकार,$f_{c} = 2 \text{ Hz}$ और $f_{o} = 2f_{c} = 4 \text{ Hz}$।
अब,खुली पाइप की लंबाई आधी कर दी जाती है $(L_{o}' = L/2)$,इसलिए इसकी नई आवृत्ति $f_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 2f_{o} = 2 \times 4 = 8 \text{ Hz}$ है।
बंद पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है $(L_{c}' = 2L)$,इसलिए इसकी नई आवृत्ति $f_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{1}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{1}{2} f_{c} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले बीट्स की संख्या $|f_{o}' - f_{c}'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ है।

(A) खींचे गए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान} = \text{घनत्व} \times \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} = \rho \times (\pi \frac{D^2}{4})$.
आवृत्ति के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi \frac{D^2}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi \rho D^2}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
चूंकि $T$,$\rho$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{LD}$ प्राप्त होता है।

(B) पहला समीकरण $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ है।
आयाम $A_1$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ के रूप में लिखते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
अतः,आयाम $A_1 = 10$ प्राप्त होता है।
दूसरा समीकरण $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ है।
इसकी तुलना $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ से करने पर,आयाम $A_2 = 5$ प्राप्त होता है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ है।

(A) प्रतिरोधक का प्रतिरोध: $R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
$50 \, Hz$ पर चोक का प्रेरणिक प्रतिघात (Inductive reactance): $X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए $12.5 = 2 \pi \times 50 \times L$, जिससे $L = \frac{12.5}{100 \pi} = \frac{1}{8 \pi} \, H$ प्राप्त होता है।
अब, $40 \, Hz$ के नए स्रोत के लिए, नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = 2 \pi f' L = 2 \pi \times 40 \times \frac{1}{8 \pi} = 10 \, \Omega$ है।
श्रेणीक्रम $RL$ परिपथ की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L'^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V'}{Z} = \frac{150}{10\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, A$ होगी।

(C) श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में धारा $i = \frac{V_R}{R}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $i = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$.
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, और प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C$ के बराबर होता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = i X_C = i \left( \frac{1}{\omega C} \right)$ है।
मान रखने पर: $V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} \right)$.
$V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{400 \times 10^{-6}} \right) = 0.1 \times \left( \frac{10^6}{400} \right) = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$.
चूंकि अनुनाद पर $V_L = V_C$ होता है, इसलिए प्रेरकत्व कुंडली के सिरों पर विभवांतर $250 \, V$ है।

(D) संधारित्र युक्त $AC$ परिपथ में धारा $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C = K C_0)$।
जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ कम हो जाता है।
चूंकि प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ कम हो जाती है,इसलिए परिपथ में धारा $i$ बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,बल्ब की चमक,जो व्यय होने वाली शक्ति $(P = i^2 R)$ पर निर्भर करती है,बढ़ जाती है।

(B) तेल की लौ में मौजूद ठोस कार्बन कणों के तापदीप्ति (incandescence) के कारण प्रकाश उत्पन्न होता है। चूंकि तेल की लौ का स्पेक्ट्रम बिना किसी अंतराल के तरंग दैर्ध्य की एक निरंतर सीमा से बना होता है,इसलिए यह एक सतत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का उदाहरण है।

(A) स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $v = RC \left[ \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right]$ द्वारा दी जाती है।
लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_{1}=1, n_{2}=\infty)$: $v_{1} = RC \left[ 1 - \frac{1}{\infty} \right] = RC$.
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_{1}=1, n_{2}=2)$: $v_{2} = RC \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} RC$.
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा के लिए $(n_{1}=2, n_{2}=\infty)$: $v_{3} = RC \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{RC}{4}$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $v_{1} - v_{2} = RC - \frac{3}{4} RC = \frac{1}{4} RC = v_{3}$.
अतः,$v_{1} - v_{2} = v_{3}$.

(D) $n$वीं कक्षा से निचली कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के कारण प्राप्त स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N$ का सूत्र है: $N = \frac{n(n-1)}{2}$।
प्रथम स्थिति के लिए,$N = 6$:
$6 = \frac{n_1(n_1-1)}{2} \Rightarrow n_1^2 - n_1 - 12 = 0 \Rightarrow (n_1-4)(n_1+3) = 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $n_1 = 4$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$N = 3$:
$3 = \frac{n_2(n_2-1)}{2} \Rightarrow n_2^2 - n_2 - 6 = 0 \Rightarrow (n_2-3)(n_2+2) = 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $n_2 = 3$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ होता है।
अतः,वेगों का अनुपात: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{3}{4}$ होगा।

(A) दिए गए परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि संधारित्र दो समूहों में व्यवस्थित हैं।
पहले समूह में,तीन संधारित्र इनपुट और मध्यवर्ती नोड के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,इस समूह की समतुल्य धारिता $C_{123} = C + C + C = 3 C$ है।
इसी प्रकार,दूसरे समूह में,तीन संधारित्र मध्यवर्ती नोड और बिंदु $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,इस समूह की समतुल्य धारिता $C_{456} = C + C + C = 3 C$ है।
ये दोनों समूह एक-दूसरे के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,बिंदु $A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{\text{eq}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_{123} \times C_{456}}{C_{123} + C_{456}} = \frac{(3 C)(3 C)}{3 C + 3 C} = \frac{9 C^2}{6 C} = 1.5 C$.

(B) बैटरी से ली गई धारा $i$ सूत्र $i = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे परिवर्तनीय प्रतिरोध $R$ को धीरे-धीरे घटाकर $0$ किया जाता है,धारा $i$ का मान $i = \frac{E}{0 + r} = \frac{E}{r}$ के करीब पहुंच जाता है।
टर्मिनल विभवांतर $V$ को $V = E - ir$ या $V = iR$ द्वारा दिया जाता है।
$V = iR$ का उपयोग करते हुए,जैसे ही $R$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,विभवांतर $V$ का मान $0 \times \frac{E}{r} = 0$ के करीब पहुंच जाता है।
अतः,जैसे ही $R \to 0$,$i \to \frac{E}{r}$ और $V \to 0$ होता है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान बल्ब का प्रतिरोध $R$ है और बैटरी का $EMF$ $E$ है, जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है。
जब कुंजी $K$ बंद होती है, तो बल्ब $B_{2}$ और $B_{3}$ समानांतर क्रम में होते हैं, और यह संयोजन $B_{1}$ के साथ श्रेणी क्रम में होता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + (R/2) = 1.5R$ है। कुल धारा $I = E / (1.5R + r)$ है। $B_{1}$ के सिरों पर वोल्टेज $V_{1} = I \cdot R = E \cdot R / (1.5R + r)$ है。
जब कुंजी $K$ को खोला जाता है, तो बल्ब $B_{3}$ परिपथ से हट जाता है। अब परिपथ में $B_{1}$ और $B_{2}$ श्रेणी क्रम में हैं। नया तुल्य प्रतिरोध $R'_{eq} = 2R$ है। नई कुल धारा $I' = E / (2R + r)$ है。
धाराओं की तुलना करने पर: चूंकि $2R > 1.5R$, कुल धारा $I'$, $I$ से कम है। इसलिए, $B_{1}$ से गुजरने वाली धारा घट जाती है, जिससे इसकी चमक कम हो जाती है。
$B_{2}$ के सिरों पर वोल्टेज $V'_{2} = I' \cdot R = E \cdot R / (2R + r)$ है। $V'_{2}$ की तुलना $B_{2}$ के पिछले वोल्टेज $(V_{2} = I \cdot (R/2) = E \cdot R / (3R + 2r))$ से करने पर, हम पाते हैं कि $V'_{2} > V_{2}$। इसलिए, $B_{2}$ की चमक बढ़ जाती है।

(A) माना परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है।
वोल्टमीटर $A$ का प्रतिरोध $R$,वोल्टमीटर $B$ का प्रतिरोध $1.5 R$ और वोल्टमीटर $C$ का प्रतिरोध $3 R$ है।
वोल्टमीटर $B$ और $C$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं। माना उनके सिरों के बीच विभवांतर $V_p$ है।
चूंकि वे समानांतर हैं,इसलिए $V_2 = V_3 = V_p$ होगा।
समानांतर प्रतिरोध के सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ और $C$ का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{(1.5 R)(3 R)}{1.5 R + 3 R} = \frac{4.5 R^2}{4.5 R} = R$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + R_p = R + R = 2 R$ है।
वोल्टमीटर $A$ का पाठ्यांक $V_1 = I \times R$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर $V_p = I \times R_p = I \times R$ है।
अतः,$V_1 = V_2 = V_3 = IR$ होगा।

(C) माना बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है। नोड $D$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,नोड से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$I_{AD} + I_{DB} + I_{DC} = 0$
$\frac{V_D - 70}{10} + \frac{V_D - 0}{20} + \frac{V_D - 10}{30} = 0$
हर को हटाने के लिए $60$ से गुणा करने पर:
$6(V_D - 70) + 3(V_D) + 2(V_D - 10) = 0$
$6V_D - 420 + 3V_D + 2V_D - 20 = 0$
$11V_D = 440$
$V_D = 40 \,V$
अब,धाराओं की गणना करते हैं:
$I_{AD} = \frac{70 - 40}{10} = 3 \,A$ ($\text{A}$ से $\text{D}$ की ओर धारा बहती है)
$I_{DB} = \frac{40 - 0}{20} = 2 \,A$ ($\text{D}$ से $\text{B}$ की ओर धारा बहती है)
$I_{DC} = \frac{40 - 10}{30} = 1 \,A$ ($\text{D}$ से $\text{C}$ की ओर धारा बहती है)
अतः,पथ $AD$,$DB$ और $DC$ में धाराओं का अनुपात $3: 2: 1$ है।

(B) बोर के कोणीय संवेग के क्वांटमीकरण के अनुसार:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n} \quad \dots(i)$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की परिभाषा के अनुसार:
$\lambda = \frac{h}{mv} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\lambda = \frac{2\pi r}{n}$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ और त्रिज्या $r = 0.53 \ \text{Å}$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times \pi \times 0.53 \ \text{Å}}{1}$
$\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \ \text{Å} \approx 3.33 \ \text{Å}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$KE_{max} = h\nu - \phi_{0}$
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = KE_{max}$,$x = \nu$,$m$ ढाल है,और $c$ y-अंतःखंड है:
$KE_{max} = h\nu + (-\phi_{0})$
यहाँ,ढाल $m = h$ (प्लांक नियतांक) है।
चूंकि $h$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,इसलिए ढाल सभी धातुओं के लिए समान होती है और आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होती है।

(A) दी गई परिधि के लिए,सभी समतल आकृतियों में वृत्त का क्षेत्रफल अधिकतम होता है। जैसे-जैसे अनियमित लूप एक वृत्ताकार लूप में बदलता है,उसका क्षेत्रफल $A$ बढ़ता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक समान है और कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ बढ़ता है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी।
इसलिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त प्रेरित धारा के अनुरूप होता है।

(C) निर्वात में सभी विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है और $\varepsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
चूंकि $\mu_{0}$ और $\varepsilon_{0}$ दोनों सार्वभौमिक स्थिरांक हैं,इसलिए निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति एक स्थिर मान है,जो लगभग $3 \times 10^{8} \ m/s$ है,जो आवृत्ति,तरंगदैर्ध्य या विकिरण के स्रोत पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,निर्वात में सभी विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए गति समान होती है।

(B) मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर मूल आवेश क्रमशः $q_{1}$ और $q_{2}$ हैं।
मान लीजिए कि दोनों गोलों के बीच की दूरी $r$ है।
उनके बीच का प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$ है।
चूंकि दोनों गोले समान आकार के हैं,इसलिए जब उन्हें संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है।
अतः,प्रत्येक गोले पर नया आवेश $q^{\prime} = \frac{q_{1} + q_{2}}{2}$ होगा।
गोलों $A$ और $B$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{\prime} q^{\prime}}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(\frac{q_{1} + q_{2}}{2})^{2}}{r^{2}}$ होगा।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमानता के अनुसार,किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं $q_{1}$ और $q_{2}$ के लिए जहाँ $q_{1} \neq q_{2}$ है,$(\frac{q_{1} + q_{2}}{2})^{2} > q_{1} q_{2}$ होता है।
इसलिए,$F^{\prime} > F$।

(B) गोले $1$ के लिए,संतुलन में:
$T_{1} \cos \theta_{1} = M_{1} g$
$T_{1} \sin \theta_{1} = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta_{1} = \frac{F}{M_{1} g}$
इसी प्रकार,गोले $2$ के लिए,संतुलन में:
$T_{2} \cos \theta_{2} = M_{2} g$
$T_{2} \sin \theta_{2} = F$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta_{2} = \frac{F}{M_{2} g}$
यहाँ,$F$ दोनों गोलों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल है,जो न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार दोनों गोलों के लिए समान है।
यदि $\theta_{1} = \theta_{2}$ है,तो $\tan \theta_{1} = \tan \theta_{2}$ होगा।
अतः,$\frac{F}{M_{1} g} = \frac{F}{M_{2} g}$,जिसका अर्थ है कि $M_{1} = M_{2}$।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में,किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर विद्युत विभव $V = -E \cdot r + C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र सदिश है और $r$ स्थिति सदिश है।
$x$-अक्ष की दिशा में एक समान विद्युत क्षेत्र के लिए,विभव केवल $x$-निर्देशांक पर निर्भर करता है $(V = -Ex + C)$।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत तल पर स्थित सभी बिंदुओं का विद्युत विभव समान होता है।
दिए गए चित्र में,$4$ पंक्तियों में प्रत्येक में $3$ बिंदु हैं,जो $12$ बिंदुओं का एक ग्रिड बनाते हैं।
छायांकित बिंदु मध्य स्तंभ में है।
वे बिंदु जिनका विभव छायांकित बिंदु के समान है,वे उसी ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित हैं (जो विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत है)।
उस ऊर्ध्वाधर स्तंभ में छायांकित बिंदु सहित कुल $3$ बिंदु हैं।
इस प्रकार,छायांकित बिंदु के अलावा $2$ अन्य बिंदु हैं जिनका विद्युत विभव छायांकित बिंदु के समान है।

(C) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2(2^{3/2} R^{3})}$
$B_{axis} = \frac{\mu_{0} i}{2 R \cdot 2^{3/2}}$
चूँकि $2^{3/2} = \sqrt{8}$,इसलिए:
$B_{axis} = \frac{B}{\sqrt{8}}$.

(D) लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है यदि धारा दो ऐसे रास्तों में विभाजित हो जाए कि दोनों रास्तों द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हों।
विन्यास $P$ में,दोनों रास्तों में एक मोटा और एक पतला तार होता है। चूंकि प्रत्येक रास्ते का कुल प्रतिरोध समान है,इसलिए धारा समान रूप से विभाजित होती है। इन दो सममित रास्तों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
विन्यास $R$ में,दोनों रास्ते भी सममित हैं,जिनमें से प्रत्येक एक मोटे और एक पतले तार के श्रेणी क्रम से बना है। इस प्रकार,धारा समान रूप से विभाजित होती है और केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
विन्यास $Q$ में,दो रास्ते क्रमशः दो मोटे तारों और दो पतले तारों से बने हैं। चूंकि प्रतिरोध अलग-अलग हैं,इसलिए धाराएं असमान हैं और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
इसलिए,$P$ और $R$ मामलों में केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।

(D) लूप चार भागों से बनी है: दो त्रिज्यीय खंड ($AB$ और $CD$) और दो वृत्ताकार चाप ($DA$ और $BC$)।
$(i)$ त्रिज्यीय खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,केंद्र $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $M$ धारा अवयवों की रेखा पर स्थित है।
(ii) $R$ त्रिज्या और $\theta_1 = 270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $DA$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i \theta_1}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i (3\pi/2)}{4\pi R} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iii) $2R$ त्रिज्या और $\theta_2 = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन कोण वाली वृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,$M$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta_2}{4\pi (2R)} = \frac{\mu_0 i (\pi/2)}{8\pi R} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा कागज के तल के अंदर की ओर है।
(iv) $M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{16R} = \frac{6\mu_0 i + \mu_0 i}{16R} = \frac{7\mu_0 i}{16R}$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी क्षेत्र $\frac{7}{16} \frac{\mu_0 i}{R}$ कागज के तल के अंदर की ओर होगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक तार से $M$ की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,धाराएं $I_1 = 2 \text{ A}$ और $I_2 = 1 \text{ A}$ एक ही दिशा में हैं। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,इन तारों के कारण $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं।
$B_{PQ} = \frac{\mu_0 (2)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{\pi r}$
$B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$
$M$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{PQ} - B_{RS} = \frac{\mu_0}{\pi r} - \frac{\mu_0}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
जब $2 \text{ A}$ की धारा बंद कर दी जाती है,तो केवल $I_2 = 1 \text{ A}$ की धारा शेष रहती है।
$M$ पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = B_{RS} = \frac{\mu_0 (1)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0}{2 \pi r}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $B' = B$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि इलेक्ट्रॉन अपनी दिशा में बिना किसी परिवर्तन के गति करता है,इसलिए उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि स्थिर-विद्युत बल चुंबकीय बल द्वारा संतुलित होता है।
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}$
$l$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \frac{l}{v} = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}} = \frac{\varepsilon_{0} l B}{\sigma}$

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वेग सदिश $\vec{v}$ ऊपर की ओर (मान लीजिए $+z$ दिशा) निर्देशित है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर दिशा (मान लीजिए $+y$ दिशा) की ओर है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
अपनी उंगलियों को $\vec{v}$ (ऊपर की ओर) की दिशा में रखें और उन्हें $\vec{B}$ (उत्तर) की ओर मोड़ें।
अंगूठा बल की दिशा को इंगित करता है,जो पश्चिम ($-x$ दिशा) की ओर है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होती है,तो ऊर्जा मुक्त होती है। यह विशिष्ट बंधन ऊर्जा (प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा) में वृद्धि के अनुरूप है।
ग्राफ से:
$1$. $1 < A < 100$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $2 \text{ MeV/nucleon}$ है।
$2$. $100 < A < 200$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $8 \text{ MeV/nucleon}$ है।
$3$. $200 < A < 250$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $4 \text{ MeV/nucleon}$ है।
यदि $51 < A < 100$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिक (प्रत्येक की विशिष्ट बंधन ऊर्जा $2 \text{ MeV/nucleon}$) संलयित होकर $100 < A < 200$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाला नाभिक (विशिष्ट बंधन ऊर्जा $8 \text{ MeV/nucleon}$) बनाते हैं,तो अंतिम अवस्था में विशिष्ट बंधन ऊर्जा अधिक होती है। अतः,ऊर्जा मुक्त होती है।

(B) पैकिंग अंश $(f)$ को प्रति न्यूक्लियॉन द्रव्यमान क्षति के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे $f = \frac{m - A}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ नाभिक का द्रव्यमान है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
पैकिंग अंश नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
पैकिंग अंश का मान जितना छोटा (या अधिक ऋणात्मक) होता है,नाभिक की स्थिरता उतनी ही अधिक होती है।
नाभिक की द्रव्यमान संख्या के आधार पर पैकिंग अंश धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
अतः,यह कथन कि पैकिंग अंश धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है,सही है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ नाभिकों की संख्या है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दी गई जानकारी के अनुसार,$N_{1} = 2 N_{2}$ और $A_{2} = 2 A_{1}$ है।
सक्रियता के अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{N_{1} / T_{1}}{N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \times \frac{T_{2}}{T_{1}}$
अर्ध-आयु के अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{N_{1}}{N_{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 A_{1}}{A_{1}} \times \frac{2 N_{2}}{N_{2}} = 2 \times 2 = 4$
अतः,$S_{1}$ की अर्ध-आयु और $S_{2}$ की अर्ध-आयु का अनुपात $4$ है।

(D) $\beta^{-}$-कण एक इलेक्ट्रॉन होता है। $\beta^{-}$-कण के उत्सर्जन में एक न्यूट्रॉन का प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो $(\bar{\nu})$ नामक तीसरे कण में रूपांतरण शामिल है।
नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है:
${ }_{0} n^{1} \rightarrow { }_{1} p^{1} + { }_{-1} e^{0} + \bar{\nu}$

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -15 \,cm$ (क्योंकि इसे ध्रुव के बाईं ओर रखा गया है)।
वक्रता त्रिज्या $R = +30 \,cm$ (क्योंकि वक्रता केंद्र ध्रुव के दाईं ओर है)।
हवा का अपवर्तनांक $\mu_1 = 1$.
कांच का अपवर्तनांक $\mu_2 = 1.5$.
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1.5 - 1}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब ध्रुव के बाईं ओर $30 \,cm$ की दूरी पर,वस्तु की ओर ही बनता है।

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए, एक सतह वक्र $(R_1 = 60 \,cm)$ है और दूसरी सतह समतल $(R_2 = \infty)$ है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = 1.6$ और वक्रता त्रिज्या $R_1 = 60 \,cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left[ \frac{1}{60} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f} = 0.6 \times \left[ \frac{1}{60} - 0 \right]$
$\frac{1}{f} = \frac{0.6}{60} = \frac{6}{600} = \frac{1}{100}$
अतः, लेंस की फोकस दूरी $f = 100 \,cm$ है।

(D) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (i + e) - A$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है,अर्थात $i = e$।
इस स्थिति में,प्रिज्म के अंदर प्रकाश किरण आधार के समानांतर चलती है और अपवर्तन कोण $r$ का मान $r_1 = r_2 = r$ होता है।
चूंकि $A = r_1 + r_2$,इसलिए $A = 2r$ होता है।
दिया गया प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है,इसलिए अपवर्तन कोण $r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ होगा।
यह स्थिति प्रकाश की तरंग दैर्ध्य या रंग से स्वतंत्र है।
अतः,लाल और बैंगनी दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ होगा।

(A) माध्यम $A$ और $B$ के इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{1} \sin i = n_{2} \sin r_{1} \quad \text{...(i)}$
माध्यम $B$ और $C$ के इंटरफ़ेस पर फिर से स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin r_{2} \quad \text{...(ii)}$
चूंकि किरण माध्यम $B$ और $C$ की पृथक्करण सतह को छूते हुए (grazes) निकलती है,इसलिए अपवर्तन कोण $r_{2} = 90^{\circ}$ है।
समीकरण (ii) में $r_{2} = 90^{\circ}$ रखने पर:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin 90^{\circ} = n_{3}$
अब,$n_{2} \sin r_{1} = n_{3}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n_{1} \sin i = n_{3}$
$\sin i = \frac{n_{3}}{n_{1}}$

(D) जब प्रकाश विरल माध्यम (हवा) से सघन माध्यम (पानी) में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है,लेकिन उसकी तरंगदैर्ध्य बदल जाती है।
पानी में तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_{w} = \frac{\lambda_{a}}{n_{w}}$ है,जहाँ $\lambda_{a}$ हवा में तरंगदैर्ध्य है और $n_{w}$ पानी का अपवर्तनांक है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda_{w} = \frac{500 \ nm}{4/3} = 500 \times \frac{3}{4} \ nm = 375 \ nm$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda_{w} \approx 376 \ nm$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य स्पेक्ट्रम के नीले रंग की ओर स्थानांतरित हो जाती है ($376 \ nm$ नीले रंग के क्षेत्र में आता है),इसलिए गोताखोर को यह प्रकाश नीला दिखाई देगा।

(C) जब एक $p-n$ जंक्शन बनता है,तो इलेक्ट्रॉन $n$-क्षेत्र से $p$-क्षेत्र में और होल $p$-क्षेत्र से $n$-क्षेत्र में विसरित (diffuse) होते हैं। इसके परिणामस्वरूप $n$-क्षेत्र में अचल आयनित दाता (धनात्मक आवेश) और $p$-क्षेत्र में अचल आयनित ग्राही (ऋणात्मक आवेश) रह जाते हैं।
यह जंक्शन पर एक अवक्षय परत (depletion layer) बनाता है जिसमें एक अंतर्निहित विभव अंतर होता है। $n$-पक्ष $p$-पक्ष की तुलना में धनात्मक हो जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक विभव से ऋणात्मक विभव की ओर निर्देशित होती हैं,इसलिए जंक्शन पर विद्युत क्षेत्र $n$-प्रकार की ओर से $p$-प्रकार की ओर निर्देशित होता है।

(C) इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ी उत्पन्न करने के लिए आवश्यक ऊर्जा फॉरबिडन एनर्जी गैप $E_{g}$ के बराबर होती है।
एक फोटॉन द्वारा इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ी बनाने के लिए,उसकी ऊर्जा कम से कम $E_{g}$ के बराबर होनी चाहिए।
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ ज्ञात करने के लिए,हम न्यूनतम ऊर्जा $E_{g}$ का उपयोग करते हैं:
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_{g}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda_{max} = \frac{12400 eV-Å}{0.72 eV}$
$\lambda_{max} = 17222.22 Å$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $\lambda_{max} = 17222 Å$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट है,जिसके बाद एक और $NOR$ गेट लगा है जिसके इनपुट आपस में जुड़े हुए हैं,जो एक $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y' = \overline{A+B}$ है।
यह आउटपुट $Y'$ दूसरे $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{Y' + Y'} = \overline{Y'} = \overline{\overline{A+B}}$ है।
डबल निगेशन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{X}} = X$,हमें $Y = A+B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(B) विवर्तन ग्रेटिंग में मुख्य उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है, जहाँ $d = \frac{1}{N}$ ग्रेटिंग तत्व है और $N$ प्रति इकाई लंबाई रेखाओं की संख्या है.
अतः, $\frac{\sin \theta}{N} = n \lambda$, जिसका अर्थ है $n = \frac{\sin \theta}{N \lambda}$.
यहाँ $\lambda = 625 \, nm = 6.25 \times 10^{-7} \, m$ और $N = 2 \times 10^{5} \, \text{lines}/m$ दिया गया है.
अधिकतम संभव क्रम $n$ शर्त $\sin \theta \leq 1$ द्वारा निर्धारित होता है, इसलिए $n < \frac{1}{N \lambda}$.
$n < \frac{1}{(2 \times 10^{5}) \times (6.25 \times 10^{-7})} = \frac{1}{0.125} = 8$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए अधिकतम क्रम $n = 8$ है.
कुल देखे गए उच्चिष्ठों की संख्या $2n + 1$ द्वारा दी जाती है (जिसमें $n=0$ पर केंद्रीय उच्चिष्ठ और दोनों तरफ $n$ क्रम शामिल हैं).
कुल उच्चिष्ठ $= 2(8) + 1 = 17$.

(A) पतली फिल्म से परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $2 \mu t = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ है, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ और $\mu$ अपवर्तनांक है, $t$ मोटाई है, और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
न्यूनतम मोटाई के लिए, हम $n = 0$ लेते हैं।
मान रखने पर: $2 \mu t = \frac{\lambda}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\lambda}{4 \mu}$।
दिया गया है $\lambda = 600 \, nm$ और $\mu = 1.5$, इसलिए $t = \frac{600}{4 \times 1.5} = \frac{600}{6} = 100 \, nm$।

(C) क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin(C) = 0.6$ दिया गया है।
माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,क्रांतिक कोण से $\mu = \frac{1}{\sin(C)}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर,$\mu = \frac{1}{0.6} = \frac{10}{6} = 1.6667$ प्राप्त होता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $i_p$ का मान $\tan(i_p) = \mu$ होता है।
अतः,$i_p = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(1.6667)$ होगा।

(D) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध है: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
स्क्रीन पर किसी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_{0} \cos^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)$ है,जहाँ $I_{0}$ अधिकतम तीव्रता है।
$\phi$ का मान रखने पर: $\frac{I}{I_{0}} = \cos^{2}\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right) = \cos^{2}(30^{\circ})$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{I}{I_{0}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(D) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार,प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ उसकी आवृत्ति $(f)$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto f^4$।
दी गई तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{256}{81}$ है।
इसलिए,आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = (\frac{I_1}{I_2})^{1/4} = (\frac{256}{81})^{1/4} = \frac{4}{3}$ होगा।
चूंकि $4:3$ का अनुपात विकल्पों में नहीं दिया गया है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।