KCET 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना शीर्षों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $3$ दी गई है।
अतः,सरल ग्राफ के सभी शीर्षों की डिग्री का योग $3n$ होगा।
हैंडशेकिंग लेम्मा के अनुसार,सभी शीर्षों की डिग्री का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है:
$\sum \text{deg}(v) = 2 \times |E|$
$3n = 2 \times 24$
$3n = 48$
$n = \frac{48}{3}$
$n = 16$
अतः,शीर्षों की संख्या $16$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}-5x^{2}-x+5=0$ है।
माना मूल $a, -a, b$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,मूलों का योग:
$a + (-a) + b = -(-5)/1 = 5$.
इससे $b = 5$ प्राप्त होता है।
अब,हम जाँचते हैं कि किस विकल्प में $x = 5$ रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है:
विकल्प $C$ के लिए,$x^{2}-3x-10=0$:
$x = 5$ रखने पर,$(5)^{2}-3(5)-10 = 25-15-10 = 0$.
अतः,$b=5$ समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ का एक मूल है।

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n}} \times (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \times (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \times (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + i^{2} + 2i}{1 - i^{2}}\right)^{n} \times (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \times (-2i)$
$= i^{n} \times (-2i) = -2i^{n+1}$
व्यंजक को धनात्मक वास्तविक संख्या होने के लिए,$-2i^{n+1}$ धनात्मक होना चाहिए।
यदि $n=1$ रखें,तो $-2i^{1+1} = -2i^{2} = -2(-1) = 2$,जो धनात्मक है।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 1$ है।

(B) दिया गया है $x+iy=(-1+i\sqrt{3})^{2010}$.
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $-1+i\sqrt{3} = 2\omega$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x+iy = (2\omega)^{2010} = 2^{2010} \cdot \omega^{2010}$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{2010} = (\omega^3)^{670} = 1^{670} = 1$.
अतः,$x+iy = 2^{2010} \cdot 1 = 2^{2010} + i(0)$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$x = 2^{2010}$ प्राप्त होता है।

(A) माना श्रेणी का $n$वाँ पद $t_n$ है। श्रेणी $1, 3, 7, 13, 21, \ldots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर लेने पर: $3-1=2, 7-3=4, 13-7=6, 21-13=8, \ldots$।
यह अंतरों की एक समांतर श्रेणी है: $2, 4, 6, 8, \ldots$।
$n$वाँ पद $t_n = t_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$t_n = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$।
दिया गया है $t_n = 9901$,अतः $n^2 - n + 1 = 9901$।
$n^2 - n - 9900 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $n^2 - 100n + 99n - 9900 = 0$।
$n(n-100) + 99(n-100) = 0$।
$(n-100)(n+99) = 0$।
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 100$।

(D) दिया गया है कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{15}$ है।
$x^{r}$ का गुणांक $^{15}C_{r}$ है और $x^{r+3}$ का गुणांक $^{15}C_{r+3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,गुणांक समान हैं:
$^{15}C_{r} = ^{15}C_{r+3}$
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,यदि $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
यहाँ,$r \neq r+3$,इसलिए $r + (r+3) = 15$ होगा।
$2r + 3 = 15$
$2r = 12$
$r = 6$

(D) दिया गया है,$(49^{2}-4)(49^{3}-49)$
$= [(49)^{2}-(2)^{2}][49(49^{2}-1)]$
$= (49+2)(49-2) \cdot 49(49+1)(49-1)$
$= 51 \cdot 47 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 48$
$= 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51$
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो सदैव $5!$ से विभाज्य होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $(\sin \theta + \cos \theta)(\tan \theta + \cot \theta)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$= \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$

(B) माना व्यंजक $E = \cot 12^{\circ} \cot 102^{\circ} + \cot 102^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot 102^{\circ} = \cot(90^{\circ} + 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \cot 12^{\circ} (-\tan 12^{\circ}) + (-\tan 12^{\circ}) \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 - \tan 12^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (\cot 12^{\circ} - \tan 12^{\circ})$
सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (2 \cot 24^{\circ})$
चूंकि $\cot 24^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 66^{\circ}) = \tan 66^{\circ}$:
$E = -1 + 2 \cot 66^{\circ} \tan 66^{\circ}$
$E = -1 + 2(1) = 1$.

(D) दिया गया समीकरण: $1+\sin ^{2} x=3 \sin x \cdot \cos x$,जहाँ $\tan x \neq \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} = 3 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^{2} x}$
$\sec ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
चूँकि $\sec ^{2} x = 1 + \tan ^{2} x$,इसलिए:
$1 + \tan ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$2 \tan ^{2} x - 3 \tan x + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \tan ^{2} x - 2 \tan x - \tan x + 1 = 0$
$2 \tan x(\tan x - 1) - 1(\tan x - 1) = 0$
$(\tan x - 1)(2 \tan x - 1) = 0$
अतः,$\tan x = 1$ या $\tan x = \frac{1}{2}$।
शर्त $\tan x \neq \frac{1}{2}$ दी गई है,इसलिए हम $\tan x = 1$ लेंगे।
$\tan x = 1$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(D) दिया गया समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0 \quad \dots(i)$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म है। माना रेखाओं की ढाल $m$ और $m_{1}$ है।
अतः,रेखाएं $y=mx$ और $y=m_{1}x$ हैं।
उनका गुणनफल $y^{2}-(m+m_{1})xy+mm_{1}x^{2}=0$ है।
समीकरण को $b$ से विभाजित करने पर,$y^{2}+\frac{2h}{b}xy+\frac{a}{b}x^{2}=0 \quad \dots(ii)$.
तुलना करने पर,$m+m_{1} = -\frac{2h}{b}$ और $mm_{1} = \frac{a}{b}$.
$y=mx$ को मूल समीकरण में रखने पर,$bm^{2}+2hm+a=0$ प्राप्त होता है।
$b^{2}m^{2}+2hbm+ab=0 \implies b^{2}m^{2}+2hbm = -ab$.
दोनों पक्षों में $h^{2}$ जोड़ने पर,$h^{2}+2hbm+b^{2}m^{2} = h^{2}-ab$.
अतः,$(h+bm)^{2} = h^{2}-ab$.

(A) $P, Q, R$ बिंदु रेखाखंड $AB$ को $4$ समान भागों में विभाजित करते हैं। अतः,$AP = PQ = QR = RB = k$ (माना)।
$Q, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए इसके निर्देशांक $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{-7+5}{2} \right) = (4, -1)$ हैं।
$P, AQ$ का मध्य-बिंदु है। $A(2, -7)$ और $Q(4, -1)$ के साथ,$P$ के निर्देशांक $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{-7-1}{2} \right) = (3, -4)$ हैं।
$R, QB$ का मध्य-बिंदु है। $Q(4, -1)$ और $B(6, 5)$ के साथ,$R$ के निर्देशांक $= \left( \frac{4+6}{2}, \frac{-1+5}{2} \right) = (5, 2)$ हैं।
$PR$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (4, -1)$ है।

(D) दिए गए बिंदु $P = (-1, 0)$,$Q = (0, 0)$,और $R = (3, 3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका झुकाव कोण $\pi$ रेडियन है।
रेखा $QR$ बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है। इसका ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है।
रेखा $QR$ का झुकाव कोण $\phi$,$\tan \phi = \sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
कोण $\angle PQR$,ऋणात्मक $x$-अक्ष और रेखा $QR$ के बीच का कोण है,जो $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। चूंकि समद्विभाजक $\angle PQR$ को दो समान भागों में विभाजित करता है,इसलिए समद्विभाजक का धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
समद्विभाजक का ढाल $m = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ है।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ है,जिसे $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण: $2x + 3y - k = 0, k > 0$।
अंतःखंड रूप में लिखने पर: $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/3} = 1$।
अतः,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(\frac{k}{2}, 0)$ और $(0, \frac{k}{3})$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times \frac{k}{3} = \frac{k^{2}}{12}$।
क्षेत्रफल $= 12$ दिया गया है,इसलिए $\frac{k^{2}}{12} = 12$ $\Rightarrow k^{2} = 144$ $\Rightarrow k = 12$ (चूंकि $k > 0$)।
इसलिए,$A = (6, 0)$ और $B = (0, 4)$।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(6, 0)$ और $(0, 4)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 6)(x - 0) + (y - 0)(y - 4) = 0$
$x(x - 6) + y(y - 4) = 0$
$x^{2} - 6x + y^{2} - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 6x - 4y = 0$।

(D) बिंदुओं $(1,0), (0,1)$ और $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x - y = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $k = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(2,0)$ है।
माना जीवा बिंदु $M(1,0)$ पर समद्विभाजित होती है।
केंद्र $C(2,0)$ और मध्यबिंदु $M(1,0)$ को जोड़ने वाली रेखा जीवा के लंबवत होती है।
रेखा $CM$ की ढाल $m_{CM} = \frac{0-0}{1-2} = 0$ है।
चूंकि जीवा $CM$ के लंबवत है और $CM$ एक क्षैतिज रेखा (x-अक्ष) है,इसलिए जीवा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी।
$(1,0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x=1$ है।
इस जीवा की ढाल अपरिभाषित है।
हम विकल्पों की जाँच करते हैं कि कौन सी रेखा इस जीवा के लंबवत है। एक ऊर्ध्वाधर रेखा के लंबवत रेखा एक क्षैतिज रेखा होती है।
दिए गए विकल्पों में,$y=1$ एक क्षैतिज रेखा है।
अतः,जीवा $y=1$ रेखा के लंबवत है।

(C) मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है।
$(2,3)$ पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण:
$S_{1} \equiv (x-2)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2} \quad \dots(i)$
$(5,6)$ पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण:
$S_{2} \equiv (x-5)^{2} + (y-6)^{2} = r^{2} \quad \dots(ii)$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण रेडिकल अक्ष $S_{1} - S_{2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2)^{2} + (y-3)^{2} - ((x-5)^{2} + (y-6)^{2}) = 0$
$(x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 9) - (x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 12y + 36) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0$
$6$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y - 8 = 0$

(A) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1} = 1$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C(4,3)$ और त्रिज्या $r_{2}$ है।
केंद्रों $O$ और $C$ के बीच की दूरी $OC = \sqrt{(4-0)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$OC = r_{1} + r_{2}$
$5 = 1 + r_{2}$
$r_{2} = 4$.
केंद्र $(h,k) = (4,3)$ और त्रिज्या $r = 4$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x-4)^{2} + (y-3)^{2} = 4^{2}$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 6y + 9 = 16$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y + 9 = 0$.

(C) परवलय का समीकरण $x^{2}=-8y$ है। इसकी तुलना $x^{2}=4ay$ से करने पर,हमें $4a=-8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=-2$ है। परवलय की नाभि $(0, a) = (0, -2)$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरे $P(x_1, y_1)$ और $P'(x_2, y_2)$ हैं। परवलय की नाभीय जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं नियता (directrix) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
परवलय $x^{2}=4ay$ की नियता $y=-a$ होती है।
यहाँ,$a=-2$ है,इसलिए नियता $y=-(-2) = 2$ है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ रेखा $y=2$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ दिया गया है। मान लीजिए परवलय पर प्राचलिक बिंदु $(at^{2}, 2at)$ है।
इस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
अभिलंब की ढाल $-t$ है। मान लीजिए अभिलंब की ढाल $m$ है,इसलिए $m = -t$,जिसका अर्थ है $t = -m$ है।
बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2at = -t(x - at^{2})$ है।
$t = -m$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y - 2a(-m) = -(-m)(x - a(-m)^{2})$ प्राप्त होता है।
$y + 2am = m(x - am^{2})$.
$y + 2am = mx - am^{3}$.
$y = mx - 2am - am^{3}$.
इसे दी गई रेखा $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = -2am - am^{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ है। इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=16$ और $b^{2}=4$ प्राप्त होता है,अतः $a=4$ और $b=2$ है।
माना बिंदु $P(2, \sqrt{3})$ का उत्केंद्र कोण $\theta$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,$x = 4 \cos \theta$ और $y = 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दिए गए बिंदु $(2, \sqrt{3})$ के लिए:
$2 = 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{3} = 2 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूँकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$ दोनों $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर संतुष्ट होते हैं,इसलिए उत्केंद्र कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=4$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$,अतः $4=4(e^{2}-1)$,जिससे $e^{2}-1=1$,अर्थात $e^{2}=2$ और $e=\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
फोकस के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ हैं।
फोकस $(2\sqrt{2}, 0)$ और निकटतम नियता $x = \sqrt{2}$ पर विचार करें।
उनके बीच की दूरी $|2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ है।

(B) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$.
हम जानते हैं कि $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$,इसलिए $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$.
यहाँ,$\theta = \frac{2 \pi}{3 n}$.
अतः,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{2 \pi}{3 n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक को पुन: लिखते हैं:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right) \cdot \frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,$\frac{4 \pi}{3 n} \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} \right)} \rightarrow 1$.
इसलिए,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \frac{4 \pi}{3 n} \cdot 1 = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) प्रतिबंध $a \equiv b \pmod{x}$ का अर्थ है कि $x$,$(a - b)$ का एक भाजक है।
प्रथम सर्वांगसमता के लिए: $21 \equiv 385 \pmod{x}$,अतः $x$,$(385 - 21) = 364$ को विभाजित करता है।
$364$ के भाजक $1, 2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364$ हैं।
दूसरी सर्वांगसमता के लिए: $587 \equiv 167 \pmod{x}$,अतः $x$,$(587 - 167) = 420$ को विभाजित करता है।
$420$ के भाजक $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420$ हैं।
$364$ और $420$ का महत्तम समापवर्तक $gcd(364, 420) = 28$ है।
अतः,$x$ का अधिकतम मान $28$ है।

(A) हम जानते हैं कि $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$ है।
अब,$2^{2010} = (2^2)^{1005} \equiv (-1)^{1005} \pmod{5}$ है।
चूंकि $1005$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{1005} = -1$ होगा।
अतः,$2^{2010} \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$ है।
दिए गए समीकरण $2^{2010} \equiv 3x \pmod{5}$ में $2^{2010} \equiv 4 \pmod{5}$ रखने पर:
$4 \equiv 3x \pmod{5}$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $3$ के मॉड्यूलर व्युत्क्रम $2$ से गुणा करें (क्योंकि $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$):
$2 \times 4 \equiv 2 \times 3x \pmod{5}$
$8 \equiv 6x \pmod{5}$
$3 \equiv x \pmod{5}$।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $x = 3$ है।

(A) हम सत्यता सारणी (truth tables) का उपयोग करके प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$(a)$ मान लीजिए $x = (p \wedge \sim q)$ और $y = (p \rightarrow q)$। सत्यता सारणी दिखाती है कि $(x \leftrightarrow y)$ एक पुनरुक्ति नहीं है (यह एक आकस्मिकता है)।
$(b)$ यह एक मानक पुनरुक्ति है जिसे काल्पनिक न्यायवाक्य (Law of Hypothetical Syllogism) का नियम कहा जाता है।
$(c)$ यह एक मानक तार्किक तुल्यता है (संयोजन पर निहितार्थ का वितरण नियम)।
$(d)$ यह द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन के निषेध के लिए एक मानक तार्किक तुल्यता है।
इसलिए,विकल्प $(a)$ सत्य नहीं है।

(C) दिया गया है,$a=2$.
$\triangle ABC$ में,$B=\tan ^{-1}(\frac{1}{2})$ और $C=\tan ^{-1}(\frac{1}{3})$ है।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C=\pi$ होता है।
$A = \pi - (B+C) = \pi - (\tan ^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{3}))$.
सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर:
$B+C = \tan ^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan ^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$A = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अब,$\sin A = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\tan B = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin B = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 2 \cdot \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
अतः,$(A, b) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}})$.

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6+2 \sqrt{3}$,$b = 4 \sqrt{3}$ और $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ हैं।
यहाँ $c$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए कोण $C$ सबसे छोटा कोण है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
गणना करने पर,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = 30^{\circ}$.
सबसे छोटे कोण का स्पर्शज्या $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(B) दिया गया वक्र $y^{2} = \left|\begin{array}{ll}x+1 & x+2 \\ x+3 & x+5\end{array}\right|$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$y^{2} = (x+1)(x+5) - (x+2)(x+3)$
$y^{2} = (x^{2} + 6x + 5) - (x^{2} + 5x + 6)$
$y^{2} = x - 1$,जो एक परवलय है।
मान लीजिए परवलय पर स्थित बिंदु $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $Q(t^{2}+1, t)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x, y)$,$A(1, 0)$ और $Q(t^{2}+1, t)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है:
$x = \frac{1 + t^{2} + 1}{2} = \frac{t^{2} + 2}{2} \Rightarrow t^{2} = 2x - 2$
$y = \frac{0 + t}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2y$
$x$ के समीकरण में $t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y)^{2} = 2x - 2$
$4y^{2} = 2(x - 1)$
$y^{2} = \frac{1}{2}(x - 1)$
यह एक परवलय है जिसकी अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है। अतः,$P$ का बिंदुपथ $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

(B) दिया गया है,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
दोनों पक्षों को $(3-5 x)(2+3 x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = A(2+3 x) + B(3-5 x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3A - 5B = 0 \implies 3A = 5B \implies A = \frac{5}{3}B$
$2A + 3B = 1$
दूसरे समीकरण में $A = \frac{5}{3}B$ रखने पर:
$2(\frac{5}{3}B) + 3B = 1$
$\frac{10}{3}B + 3B = 1$
$\frac{10B + 9B}{3} = 1$
$19B = 3 \implies B = \frac{3}{19}$
अब,$A = \frac{5}{3} \times \frac{3}{19} = \frac{5}{19}$
अतः,$A : B = \frac{5}{19} : \frac{3}{19} = 5 : 3$

(B) माना त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $s$ है। त्रिज्यखंड का परिमाप $P = 2r + s = 20 \text{ cm}$ है।
अतः,$s = 20 - 2r$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} s r$ द्वारा दिया जाता है।
$s$ का मान रखने पर,हमें $A = \frac{1}{2} (20 - 2r) r = 10r - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0 \Rightarrow r = 5 \text{ cm}$.
$r = 5$ का मान क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर:
$A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \text{ cm}^2$.

(B) द्विआधारी संक्रिया $A * B = A \cup B$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेय नियम: $A * B = A \cup B = B \cup A = B * A$. अतः,यह क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्य नियम: $(A * B) * C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A * (B * C)$. अतः,यह साहचर्य है।
$3$. तत्समक नियम: तत्समक अवयव $E$ के लिए $A * E = A$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A \cup E = A$. यह $E = \phi$ के लिए सत्य है। अतः,तत्समक अवयव मौजूद है।
$4$. प्रतिलोम नियम: अवयव $A$ का प्रतिलोम $B$ होने के लिए $A * B = E$ (जहाँ $E = \phi$) होना चाहिए। इसका अर्थ है $A \cup B = \phi$. यह केवल $A = \phi$ और $B = \phi$ के लिए संभव है। किसी भी अरिक्त समुच्चय $A \neq \phi$ के लिए,ऐसा कोई $B \in P(X)$ नहीं है जिससे $A \cup B = \phi$ हो। अतः,प्रतिलोम नियम संतुष्ट नहीं होता है।

(D) माना $e$,$Q^{+}$ में तत्समक अवयव है ताकि सभी $a \in Q^{+}$ के लिए $a * e = a$ हो।
$\frac{a \times e}{2010} = a \implies e = 2010$.
अतः,तत्समक अवयव $2010$ है।
माना $x$,$2010$ का प्रतिलोम है। परिभाषा के अनुसार,$2010 * x = e$ होगा।
$\frac{2010 \times x}{2010} = 2010$.
$x = 2010$.
इसलिए,$2010$ का प्रतिलोम $2010$ है।

(B) एक सेट $A$ पर तुल्यता संबंध $R$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।
$n$ तत्वों वाले सेट $A$ के लिए,स्वतुल्य गुण के अनुसार प्रत्येक तत्व $a \in A$ के लिए,क्रमित युग्म $(a, a)$ का $R$ में होना आवश्यक है।
चूंकि सेट में $6$ तत्व हैं,इसलिए $R$ में कम से कम $(a_1, a_1), (a_2, a_2), (a_3, a_3), (a_4, a_4), (a_5, a_5),$ और $(a_6, a_6)$ जैसे $6$ युग्म होने चाहिए।
अतः,आवश्यक क्रमित युग्मों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(A) दिया गया है,$AB = B$ और $BA = A$ ... $(i)$
हमें $A^{2} + B^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
दिए गए संबंधों का उपयोग करते हुए:
$A^{2} = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$
इसी प्रकार,$B^{2} = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$
अतः,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ का लाक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (2)(1) = 0$.
$3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^{2} - 2 = 0$.
$\lambda^{2} - 4\lambda + 1 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने लाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। $\lambda = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{2} - 4A + I = 0$.
इस समीकरण की तुलना $A^{2} + xA + yI = 0$ से करने पर,हमें मिलता है:
$x = -4$ और $y = 1$.
अतः,$(x, y) = (-4, 1)$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हमें $|A|=3$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ होता है।
साथ ही,एक अदिश $k$ और $n \times n$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|kA| = k^n |A|$ होता है।
इसलिए,$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 3 = 24$।
अब,$|(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{24}$।

(C) माना $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1 \end{array}\right|$.
अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक में $x = 0$ रख सकते हैं।
$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right|$
दूसरे स्तंभ $(C_2)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(0) = 0 - 1 \times \left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right| + 0$
$f(0) = -1 \times (3 - 4) = -1 \times (-1) = 1$.
क्षमा करें,बहुपद का विस्तार $f(x) = 8x^2 + 9x - 1$ है। अतः $x=0$ रखने पर $f(0) = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,अचर पद $-1$ है।

(B) दिया गया है कि $\sec^{-1} \left( \frac{a+b}{a-b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^{-1} \left( \frac{a-b}{a+b} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,$\cos^{-1} \left( \frac{1 - b/a}{1 + b/a} \right) = 2 \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\cos^{-1} \left( \frac{1 - y^2}{1 + y^2} \right) = 2 \tan^{-1} y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $y = \sqrt{b/a}$,हमें $2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = 2 \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$\tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \sin^{-1} x$.
सर्वसमिका $\tan^{-1} y = \sin^{-1} \left( \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} \right)$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{b/a}}{\sqrt{1 + b/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अंदर के पद को सरल करने पर,$\sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{b/a}{(a+b)/a}} \right) = \sin^{-1} x$.
अतः,$x = \sqrt{\frac{b}{a+b}}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^{-1}(\cos x)+\cos ^{-1}(\sin x)}{\tan ^{-1}(\cot x)+\cot ^{-1}(\tan x)}$
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta + \cos ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in [-1, 1]$ और $\tan ^{-1} \theta + \cot ^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $\theta \in \mathbb{R}$।
सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin ^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - x)) + \cos ^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
हर: $\tan ^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) + \cot ^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = (\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \pi - 2x$.
अतः,व्यंजक $\frac{\pi - 2x}{\pi - 2x} = 1$ हो जाता है।

(A) फलन $f(x) = [x]$ को महत्तम पूर्णांक फलन के रूप में जाना जाता है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = n-1$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = n$ है।
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असतत है।
हालाँकि,किसी भी गैर-पूर्णांक मान $c$ (जहाँ $c$ पूर्णांक नहीं है) के लिए,फलन $c$ के आसपास के एक छोटे से पड़ोस में स्थिर रहता है,जो इसे ऐसे सभी बिंदुओं पर सतत बनाता है।
इसलिए,फलन $f(x) = [x]$,$x$ के सभी गैर-पूर्णांक मानों के लिए सतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x-2| + x$.
सबसे पहले,हम $x=0$ और $x=2$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$x=0$ पर: $f(0) = |0-2| + 0 = 2$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = |0-2| + 0 = 2$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = |0-2| + 0 = 2$. चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x=0$ पर सतत है।
$x=2$ पर: $f(2) = |2-2| + 2 = 2$. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = |2-2| + 2 = 2$ और $\lim_{x \to 2^+} f(x) = |2-2| + 2 = 2$. चूँकि $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$,इसलिए फलन $x=2$ पर सतत है।
अब,हम अवकलनीयता की जाँच करते हैं। हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) + x, & x < 2 \\ (x-2) + x, & x \geq 2 \end{cases} = \begin{cases} 2, & x < 2 \\ 2x-2, & x \geq 2 \end{cases}$.
$x < 2$ के लिए,$f'(x) = 0$. $x > 2$ के लिए,$f'(x) = 2$.
$x=2$ पर,$LHD$ $= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2-2}{h} = 0$.
$RHD$ $= \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2+h)-2-2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,इसलिए $f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=0$ पर,पड़ोस में $f(x) = 2$ है,इसलिए $f'(0) = 0$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,फलन $x=0$ और $x=2$ दोनों पर सतत है।

(C) दिया गया है,$h(x) = f(x) \cdot g(x)$ और $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $h(x)$ का प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
अब,द्वितीय अवकलज $h^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$h^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}[f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = [f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)] + [f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
चूंकि $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$,इसलिए:
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2c \quad \dots(i)$.
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime \prime}(x)}{g(x)} + \frac{2c}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + g^{\prime \prime}(x) \cdot f(x) + 2c}{f(x) \cdot g(x)}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{h^{\prime \prime}(x)}{h(x)}$.

(D) दिया गया है $x=a \cos ^{3} \theta$ और $y=a \sin ^{3} \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^{2} \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta$।
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^{2} \theta (\cos \theta) = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^{2} \theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$।
दिए गए समीकरणों से:
$\frac{y}{a} = \sin^{3} \theta \Rightarrow \sin \theta = (\frac{y}{a})^{1/3}$।
$\frac{x}{a} = \cos^{3} \theta \Rightarrow \cos \theta = (\frac{x}{a})^{1/3}$।
इन मानों को $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(y/a)^{1/3}}{(x/a)^{1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$।

(A) माना $y = e^{ax} \cos bx$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{ax}) \cdot \cos bx + e^{ax} \cdot \frac{d}{dx}(\cos bx)$
$\frac{dy}{dx} = ae^{ax} \cos bx - be^{ax} \sin bx$
$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (a \cos bx - b \sin bx)$
माना $a = r \cos \alpha$ और $b = r \sin \alpha$.
तब $a^2 + b^2 = r^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2$.
अतः,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
इन मानों को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (r \cos \alpha \cos bx - r \sin \alpha \sin bx)$
$\frac{dy}{dx} = re^{ax} (\cos bx \cos \alpha - \sin bx \sin \alpha)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = re^{ax} \cos(bx + \alpha)$
इसलिए,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$.
मान लीजिए $x = \sec \theta$,तो $\sqrt{x^{2}-1} = \tan \theta$.
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \sec^{-1} x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}$.
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left( (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-1} \right) = -1 \cdot (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2})$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2}) = (x^{2}-1)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{x^{2}-1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{x^{2}-1+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
इस प्रकार,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{1}{x^{2}(x^{2}-1)} \cdot \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}} = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}}$.
अंत में,अनुपात है:
$\frac{d^{2}y/dx^{2}}{dy/dx} = \left( - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \right) \div \left( \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \right) = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \cdot x \sqrt{x^{2}-1} = - \frac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)} = \frac{1-2x^{2}}{x(x^{2}-1)}$.

(D) दिया गया वक्र $y = \log_{e} x$ $(i)$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - \beta) = \frac{1}{\alpha}(x - \alpha)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $(0 - \beta) = \frac{1}{\alpha}(0 - \alpha)$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$P$ पर,$\beta = \log_{e} \alpha$ है। $\beta = 1$ होने के कारण,$1 = \log_{e} \alpha$,अतः $\alpha = e$ है।
इस प्रकार,स्पर्श बिंदु $P(e, 1)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{1}{e}$ है,इसलिए $P$ पर अभिलंब की ढाल $-e$ है।
$P(e, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = -e(x - e)$ है,जिसे सरल करने पर $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $ex + y - (e^{2} + 1) = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|e(0) + 1(0) - (e^{2} + 1)|}{\sqrt{e^{2} + 1^{2}}} = \frac{e^{2} + 1}{\sqrt{e^{2} + 1}} = \sqrt{e^{2} + 1}$ है।

(C) दिया गया वक्र: $4x^{5} = 5y^{4}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $20x^{4} = 20y^{3} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^{4}}{y^{3}}$.
सबटेंजेंट की लंबाई $(ST) = \left| y \frac{dx}{dy} \right| = \left| y \frac{y^{3}}{x^{4}} \right| = \frac{y^{4}}{x^{4}}$.
सबनॉर्मल की लंबाई $(SN) = \left| y \frac{dy}{dx} \right| = \left| y \frac{x^{4}}{y^{3}} \right| = \frac{x^{4}}{y^{2}}$.
हमें सबटेंजेंट के घन और सबनॉर्मल के वर्ग का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{(ST)^{3}}{(SN)^{2}} = \frac{(y^{4}/x^{4})^{3}}{(x^{4}/y^{2})^{2}} = \frac{y^{12}/x^{12}}{x^{8}/y^{4}} = \frac{y^{16}}{x^{20}} = \left(\frac{y^{4}}{x^{5}}\right)^{4}$.
चूंकि $4x^{5} = 5y^{4}$,इसलिए $\frac{y^{4}}{x^{5}} = \frac{4}{5}$.
अतः,अनुपात $\left(\frac{4}{5}\right)^{4} = \frac{4^{4}}{5^{4}}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{\log x}$ है।
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $(\log x)^2$ का मान $x > 0$ और $x \neq 1$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $\log x - 1 > 0$.
$\log x > 1$.
लघुगणक का आधार $e$ होने के कारण,$\log_e x > \log_e e$ प्राप्त होता है।
अतः,$x > e$.
इस प्रकार,$x$ के मानों का समुच्चय $\{x: x > e\}$ है।

(B) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ है।
समाकलन के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर: $\frac{1}{2} \int f(x) (2 \sin x \cos x) \, dx = \frac{1}{2} \int f(x) \sin 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ है।
इस मान को समाकलन में रखने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{b^2 - a^2} \int \tan 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
$\tan 2x$ का समाकलन करने पर: $\frac{1}{b^2 - a^2} \cdot \frac{\log |\sec 2x|}{2} + c = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\sec 2x| + c$ मिलता है।
चूंकि $\sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}$,यह $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log |\frac{1}{\cos 2x}| + c$ हो जाता है।
इसे दाईं ओर $\frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \frac{2}{(b^2 - a^2) \cos 2x}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)} dx$.
$x = \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\sqrt{x} = \tan \theta$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta (\tan^2 \theta + 1)} \cdot (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
चूँकि $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$,व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:
$I = \int \frac{\tan \theta}{\tan^2 \theta \sec^2 \theta} \cdot (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
$I = \int \frac{2 \tan^2 \theta \sec^2 \theta}{\tan^2 \theta \sec^2 \theta} d\theta = \int 2 d\theta$.
$I = 2\theta + C$.
चूँकि $x = \tan^2 \theta$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ है।
अतः,$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C$.
इसकी तुलना $k \tan^{-1} m$ से करने पर,हमें $k = 2$ और $m = \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(k, m) = (2, \sqrt{x})$।

(B) माना कि $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{3 / 2} d x$.
बीटा फलन के गुणधर्म $\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ का उपयोग करते हुए,
यहाँ $m-1 = 1 \implies m = 2$ और $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$.
$I = B(2, 5/2) = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{\Gamma(9/2)}$.
चूँकि पूर्णांकों के लिए $\Gamma(n) = (n-1)!$ और $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ होता है,
$\Gamma(2) = 1! = 1$.
$\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma(1/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$.
$\Gamma(9/2) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$.
अतः,$I = \frac{1 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{105} = \frac{3 \cdot 4}{105} = \frac{12}{105} = \frac{4}{35}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
अतः,समाकलन $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{3 + 1 - (\sin x - \cos x)^2} d x = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{4 - (\sin x - \cos x)^2} d x$ हो जाता है।
माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi/4$,तब $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
इस प्रकार,$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) वक्र $x < 0$ के लिए $y = x^2$ और $x \geq 0$ के लिए $y = x$ के रूप में परिभाषित है। रेखा $y = 4$ है।
$x < 0$ के लिए,वक्र $y = x^2$ है,जिसका अर्थ है $x = -\sqrt{y}$ (चूंकि $x$ ऋणात्मक है)। $y=4$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ है। दूसरे चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A_1$,$y=0$ से $y=4$ तक $|x|$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A_1 = \int_{0}^{4} |-\sqrt{y}| dy = \int_{0}^{4} y^{1/2} dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.
$x \geq 0$ के लिए,वक्र $y = x$ है। $y=4$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 4$ है। प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A_2$,$(0,0)$,$(4,0)$,और $(4,4)$ शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है,या $y=0$ से $y=4$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A_2 = \int_{0}^{4} x dy = \int_{0}^{4} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8$.
कुल क्षेत्रफल $A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16 + 24}{3} = \frac{40}{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y = x \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^{2} p^{2} + b^{2}}$ है,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = x \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
यह सरल होकर $y = x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$ बन जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left( y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right)^{2} = a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि (order) $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात (degree) $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $2$ हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+3} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y+3} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\ln|y+3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C_1$ देता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \ln|y+3| = \ln|x| + 2C_1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln(y+3)^2 = \ln|x| + \ln|c|$,जहाँ $c = e^{2C_1}$ है।
अतः,$(y+3)^2 = cx$,जो परवलयों के एक परिवार का समीकरण है।

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$.
दिया है $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$1+1+1+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$3+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = -3/2$.
सदिश एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \times 1 \times \cos(120^{\circ}) = -1/2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1/2)+2(-1/2)+(-1/2) = -3/2 - 2/2 - 1/2 = -6/2 = -3$.

(C) दिया गया है कि $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y, z$-अक्षों की धनात्मक दिशा में इकाई सदिश हैं।
$(a)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) + \hat{j} \times(\hat{k}+\hat{i}) + \hat{k} \times(\hat{i}+\hat{j})$
$= (\hat{k} - \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{i}) = \vec{0}$. यह कथन सत्य है।
$(b)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} + \hat{j} \times \hat{j} + \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$. यह कथन सत्य है।
$(c)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 + 1 + 1 = 3$. यह कथन असत्य है क्योंकि यह $\vec{0}$ के बराबर नहीं है।
$(d)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j}+\hat{k}) = (\hat{i} \cdot \hat{j} + \hat{i} \cdot \hat{k}) + (\hat{j} \cdot \hat{k} + \hat{j} \cdot \hat{i}) + (\hat{k} \cdot \hat{i} + \hat{k} \cdot \hat{j}) = 0 + 0 + 0 = 0$. यह कथन सत्य है।

(B) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ शून्येतर समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.
हमें $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार:
$[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}] = (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [(3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \times (4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})]$
$= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) - 4(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})]$
चूंकि $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = 0$,व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$= (2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot [12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})]$
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - 6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 12[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 3[\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है,इसलिए $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{a} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0, [\overrightarrow{b} \overrightarrow{b} \overrightarrow{a}] = 0$.
अतः,व्यंजक निम्न हो जाता है:
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
चूंकि $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = [\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$,इसलिए:
$= 24[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] - [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 23[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ समतलीय हैं,अतः $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.
इसलिए,$23 \times 0 = 0$.

(A) हम जानते हैं कि जब कोई अंतरिक्ष सदिश $x, y$ और $z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ कोण बनाता है,तो दिक कोज्या (direction cosines) निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करते हैं:
$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$
दिया गया है कि $\alpha = 150^{\circ}$ और $\beta = 60^{\circ}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\cos^{2} 150^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$
चूंकि $\cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$
$1 + \cos^{2} \gamma = 1$
$\cos^{2} \gamma = 0$
$\cos \gamma = 0$
अतः,$\gamma = 90^{\circ}$।