JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g$ ને કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell = 20 \ cm$ અને $\Delta \ell = 2 \ mm = 0.2 \ cm$ છે.
$50$ દોલનો માટે કુલ સમય $40 \ s$ છે,તેથી $T = \frac{40}{50} = 0.8 \ s$. રિઝોલ્યુશન $\Delta T_{total} = 1 \ s$ હોવાથી,$\Delta T = \frac{1}{50} = 0.02 \ s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.2}{20} + 2 \left( \frac{0.02}{0.8} \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} = 0.01 + 2 \left( 0.025 \right) = 0.01 + 0.05 = 0.06$.
ટકાવારી ત્રુટિ $N = 0.06 \times 100 = 6 \%$.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
$S.T.P.$ પર,તાપમાન $T = 273 \text{ K}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M = 32 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$ અને $R = 8.3 \text{ J K}^{-1} \text{mol}^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{1.4 \times 8.3 \times 273}{32 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{3171.06}{0.032}}$
$v = \sqrt{99095.625}$
$v \approx 314.79 \text{ m/s}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $v \approx 315 \text{ m/s}$ મળે છે.

(C) વાયુ મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના વ્યક્તિગત ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$n$ મોલ ધરાવતા વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_V$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
આર્ગોન એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે,અને $C_{V1} = \frac{3}{2} R$ છે.
ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે (વાઇબ્રેશનલ મોડ્સને અવગણતા),અને $C_{V2} = \frac{5}{2} R$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = n_1 C_{V1} T + n_2 C_{V2} T$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $U = (8 \times \frac{3}{2} R \times T) + (6 \times \frac{5}{2} R \times T)$.
$U = (12 RT) + (15 RT) = 27 RT$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \text{ kg}$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
$f = 0.1 \times 5 \times 10 \times \cos 30^\circ = 0.5 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
બ્લોકને સપાટી પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે,બળ $F_1$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના નીચે તરફના ઘટક અને નીચે તરફ લાગતા ઘર્ષણ બળ બંનેને દૂર કરવું પડે:
$F_1 = mg \sin \theta + f = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ + 1.25 \sqrt{3} = 50 \times 0.5 + 1.25 \sqrt{3} = 25 + 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે,બળ $F_2$ એ ઘર્ષણ સાથે મળીને સપાટી પર ઉપર તરફ લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણના નીચે તરફના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$F_2 + f = mg \sin \theta \implies F_2 = mg \sin \theta - f = 25 - 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા:
$|F_1| - |F_2| = (25 + 1.25 \sqrt{3}) - (25 - 1.25 \sqrt{3}) = 2.5 \sqrt{3} \text{ N}$.

(C) બે સદિશોના સરવાળાનું મૂલ્ય $|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = B = R$ આપેલ છે,તેથી:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 + \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \cos^2(\theta/2)} = \sqrt{4R^2 \cos^2(\theta/2)} = 2R \cos(\theta/2)$.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકી માટે:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 - \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \sin^2(\theta/2)} = 2R \sin(\theta/2)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_m$ અને $R_m$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_m = \frac{M_p}{144}$ અને $D_m = \frac{D_p}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $R_m = \frac{R_p}{16}$.
ગ્રહ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = v$ છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_p/144)}{(R_p/16)}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{16}{144}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{1}{9}}$ છે.
$V_p = v$ મૂકતા,આપણને $V_m = \sqrt{\frac{v^2}{9}} = \frac{v}{3}$ મળે છે.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{drag} = 6 \pi \eta r v$.
માધ્યમની ઘનતા અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અવગણ્ય છે. ટર્મિનલ વેગ પર,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ જેટલું હોય છે:
$Mg = 6 \pi \eta r v$
આપેલ છે કે દડાનું દળ $M$ અચળ છે,તેથી:
$v \propto \frac{1}{r}$
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા માટે ટર્મિનલ વેગ $v$ છે અને $r' = 2r$ ત્રિજ્યા માટે ટર્મિનલ વેગ $v'$ છે.
તેથી,$\frac{v'}{v} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
આમ,$v' = \frac{v}{2}$.

(D) આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \ N$ અને દળ $m = 2 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}}{2} = (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$.
વેગ $\overrightarrow{v}$ શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું: $\overrightarrow{v} = \int \overrightarrow{a} \ dt = \int (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) \ m/s$.
પાવર $P$ એ બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર છે: $P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j})$.
$P = (6t \cdot \frac{3t^2}{2}) + (6t^2 \cdot t^3) = 9t^3 + 6t^5 \ W$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી થાય છે તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $B$ માંથી $x^2$ બાદ થાય છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x^2$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$[B] = [x^2] = L^2$.
હવે,સમીકરણ $E = \frac{B - x^2}{At}$ છે. $A$ ને કર્તા બનાવતા,$A = \frac{B - x^2}{Et}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[L^2]}{[E][t]}$.
આપેલ છે કે $[E] = M^1 L^2 T^{-2}$ અને $[t] = T^1$,તેથી $[A] = \frac{L^2}{(M^1 L^2 T^{-2})(T^1)} = \frac{L^2}{M^1 L^2 T^{-1}} = M^{-1} T^1$.
અંતે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = (M^{-1} T^1)(L^2) = L^2 M^{-1} T^1$ થાય.

(D) તારમાં તણાવબળ $T$ એ એટવુડ મશીન માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 2 \times 4}{2 + 4} \times 10 = \frac{16}{6} \times 10 = \frac{80}{3} \ N$
તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$:
$A = \pi r^2 = \pi (4.0 \times 10^{-5})^2 = 16 \pi \times 10^{-10} \ m^2$
રેખીય વિકૃતિની વ્યાખ્યા:
$\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{F}{AY} = \frac{T}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Strain} = \frac{80/3}{16 \pi \times 10^{-10} \times 2.0 \times 10^{11}}$
$\text{Strain} = \frac{80/3}{32 \pi \times 10} = \frac{80}{3 \times 320 \pi} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi}$
આને $\frac{1}{\alpha \pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગ $v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ છે અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = m v_x H = m \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{u^2}{4g} \right) = \frac{m u^3}{4\sqrt{2} g}$ થાય.
$\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$L = \frac{m u^3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} g} = \frac{\sqrt{2} m u^3}{8g}$.
આને $\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $X = 8$ મળે છે.

(D) કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને એક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા (ગોળાના કેન્દ્રથી $d = 75 \,cm = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ અંતરે) નીચે મુજબ છે:
$I_{sphere} = I_{cm} + md^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
અહીં $m = 2 \,kg$, $R = 50 \,cm = 0.5 \,m = \frac{1}{2} \,m$, અને $d = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ આપેલ છે.
$I_{sphere} = \frac{2}{5} \times 2 \times (\frac{1}{2})^2 + 2 \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{9}{16} = \frac{1}{5} + \frac{9}{8} = \frac{8 + 45}{40} = \frac{53}{40} \,kg \,m^2$.
બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી, તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = 2 \times I_{sphere} = 2 \times \frac{53}{40} = \frac{53}{20} \,kg \,m^2$.
આને $\frac{x}{20} \,kg \,m^2$ સાથે સરખાવતા, $x = 53$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સ્પ્રિંગની ગોઠવણીનું વિશ્લેષણ કરો. અહીં એક સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) એ બીજી બે સમાંતર સ્પ્રિંગો (દરેક $k$) ના સંયોજન સાથે સમાંતરમાં છે,જે પોતે એક અન્ય સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) સાથે શ્રેણીમાં છે.
$1$. ઉપરની બે સમાંતર સ્પ્રિંગોનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k + k = 2k$ છે.
$2$. આ સંયોજન તેની નીચેની સ્પ્રિંગ (અચળાંક $k$) સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખા માટે સમતુલ્ય અચળાંક $k_s$ એ $\frac{1}{k_s} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{1+2}{2k} = \frac{3}{2k}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_s = \frac{2k}{3}$.
$3$. આ શાખા ડાબી બાજુની $k$ અચળાંક ધરાવતી એકલ સ્પ્રિંગ સાથે સમાંતરમાં છે. આમ,કુલ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k + k_s = k + \frac{2k}{3} = \frac{5k}{3}$ થાય.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq} = \frac{5k}{3}$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{5k/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{4 \cdot \frac{3M}{5k}} = \pi \sqrt{\frac{12M}{5k}}$.
આપેલ સમીકરણ $\pi \sqrt{\frac{\alpha M}{5K}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) યંગનો સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પદાર્થની જડતાનું માપ છે.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે અણુઓની ઉષ્મીય ઉર્જા વધે છે,જેના કારણે આંતર-પરમાણ્વીય બંધો નબળા પડે છે.
જેમ જેમ આંતર-પરમાણ્વીય બળો ઘટે છે,તેમ પદાર્થ ઓછો જડ બને છે,જે યંગના સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,તાપમાનમાં વધારો થવાથી,યંગનો સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ ઘટે છે.

(B) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 2R$,તેથી $g' = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = \frac{g}{9}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ છે.
સેકન્ડ લોલક માટે,$T = 2 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$.
$2$ વડે ભાગતા: $1 = \pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{g} \right)$.
આપેલ છે કે $g = \pi^2 \ m/s^2$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{\pi^2} \right) = 9\ell$.
તેથી,$\ell = \frac{1}{9} \ m$.

(A) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર: $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V,1} + n_2 C_{V,2}}{n_1 + n_2}$ છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V,1} = \frac{3}{2} R$ અને $n_1 = 2$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V,2} = \frac{5}{2} R$ અને $n_2 = 6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_{V,mix} = \frac{2 \times (\frac{3}{2} R) + 6 \times (\frac{5}{2} R)}{2 + 6}$
$C_{V,mix} = \frac{3R + 15R}{8}$
$C_{V,mix} = \frac{18R}{8} = \frac{9}{4} R$.

(B) દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ એ દડાની સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
અહીં દળ $m = 0.5 \ kg$,લંબાઈ $\ell = 50 \ cm = 0.5 \ m$,અને મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 400 \ N$ આપેલ છે.
સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $T = m \omega^2 \ell$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$400 = 0.5 \times \omega^2 \times 0.5$
$400 = 0.25 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{400}{0.25} = 1600$
$\omega = \sqrt{1600} = 40 \ rad/s$.
આમ,કોણીય ઝડપનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $40 \ rad/s$ છે.

(A) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = K$ માટે,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} K V^{-x} \, dV$
$W = \frac{K V_2^{1-x} - K V_1^{1-x}}{1-x}$
કારણ કે $P_1 V_1^x = K$ અને $P_2 V_2^x = K$,આપણે લખી શકીએ:
$W = \frac{P_2 V_2^x V_2^{1-x} - P_1 V_1^x V_1^{1-x}}{1-x} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-x}$
અહીં $x = 3/2$ આપેલ છે,તેથી:
$W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - 3/2} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{-1/2}$
$W = -2(P_2 V_2 - P_1 V_1) = 2(P_1 V_1 - P_2 V_2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે મુખ્ય સ્કેલના $10$ વિભાગો $(MSD)$ વર્નિયર સ્કેલના $11$ વિભાગો $(VSD)$ સાથે બંધબેસે છે.
તેથી,$10 \text{ } MSD = 11 \text{ } VSD$.
આનો અર્થ એ થાય કે $1 \text{ } VSD = \frac{10}{11} \text{ } MSD$.
વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $LC = 1 \text{ } MSD - 1 \text{ } VSD$.
$VSD$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $LC = 1 \text{ } MSD - \frac{10}{11} \text{ } MSD = \frac{1}{11} \text{ } MSD$.
આપેલ છે કે મુખ્ય સ્કેલ પરનો દરેક વિભાગ $5$ એકમનો છે,તેથી $1 \text{ } MSD = 5 \text{ units}$.
આમ,$LC = \frac{1}{11} \times 5 \text{ units} = \frac{5}{11} \text{ units}$.

(B) અવરોધકતાનું સૂત્ર $\rho = R \frac{A}{l} = R \frac{\pi r^2}{l}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{10}{100} + 2 \times \frac{0.05}{0.35} + \frac{0.2}{15}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.1 + 2 \times \frac{1}{7} + \frac{0.2}{15} = 0.1 + 0.2857 + 0.0133 = 0.399$.
ટકામાં ફેરવતા: $0.399 \times 100 \% = 39.9 \%$.

(D) કોણીય આઘાત એટલે કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
કોણીય આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર $=$ કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$.
$m$ ના પરિમાણ $[M]$,$v$ ના $[L T^{-1}]$,અને $r$ ના $[L]$ છે.
તેથી,$[L] = [M] \times [L T^{-1}] \times [L] = [M L^2 T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $1$. અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m u = (M + m) V$
આપેલ છે $m = 10^{-2} \,kg$,$u = 200 \,m/s$,$M = 1 \,kg$.
$10^{-2} \times 200 = (1 + 0.01) V$
$2 = 1.01 V$
$V = \frac{2}{1.01} \approx 1.98 \,m/s \approx 2 \,m/s$.
$2$. અથડામણ પછી ગોળા-ગોળીના તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = (M + m) g h$
$h = \frac{V^2}{2g}$
$h = \frac{2^2}{2 \times 10} = \frac{4}{20} = 0.2 \,m$.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ઝડપ $v = \frac{2 \pi R}{T}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 4R$ છે,આપણે સૂત્ર $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ઊંચાઈના સૂત્રમાં $v = \frac{2 \pi R}{T}$ મૂકતા:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$1 = \frac{\pi^2 R \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$\sin^2 \theta = \frac{2g T^2}{\pi^2 R}$
$\theta = \sin^{-1} \left[ \frac{2g T^2}{\pi^2 R} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) ટ્રોલીનું દળ $m_1 = 20 \text{ kg}$ છે અને લટકતા બ્લોકનું દળ $m_2 = 6 \text{ kg}$ છે.
ટ્રોલી પર લાગતું લંબબળ $N = m_1 g = 20 \times 10 = 200 \text{ N}$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = 0.04 \times 200 = 8 \text{ N}$ છે.
ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ એ લટકતા બ્લોકનું વજન છે,$F = m_2 g = 6 \times 10 = 60 \text{ N}$.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F - f_k = (m_1 + m_2) a$.
$60 - 8 = (20 + 6) a$.
$52 = 26 a$.
$a = \frac{52}{26} = 2 \text{ m/s}^2$.

(B) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓના સ્થાન $XY$-સમતલમાં $(0, 0)$,$(4, 0)$ અને $(0, 4)$ છે,દરેકનું દળ $m = 2M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\overrightarrow{r}_{\text{COM}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{m_1 \overrightarrow{r}_1 + m_2 \overrightarrow{r}_2 + m_3 \overrightarrow{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{2M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(4\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(0\hat{i} + 4\hat{j})}{2M + 2M + 2M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{8M\hat{i} + 8M\hat{j}}{6M} = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j}$
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{r}_{\text{COM}}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
આને $\frac{4\sqrt{2}}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$T$ તણાવ છે,અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
$L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \sqrt{T}$ મળે.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f_0$ છે.
$T_1 = 6 \ N$ માટે,વાયર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદ કરે છે,તેથી $f_1 = f_0 = k\sqrt{6}$,જ્યાં $k = \frac{1}{2L\sqrt{\mu}}$.
$T_2 = 54 \ N$ માટે,વાયરની આવૃત્તિ $f_2 = k\sqrt{54} = k\sqrt{9 \times 6} = 3k\sqrt{6} = 3f_0$ થાય.
દર સેકન્ડે બીટ્સની સંખ્યા $|f_2 - f_0| = 12$ છે.
$f_2 = 3f_0$ મૂકતા,આપણને $|3f_0 - f_0| = 12$ મળે.
$2f_0 = 12$,તેથી $f_0 = 6 \ Hz$ મળે.

(D) બંને પાંખોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 40 \,m^2 = 80 \,m^2$ છે.
હવાની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવતા:
$V_1 = 180 \,km/h = 180 \times \frac{5}{18} = 50 \,m/s$ (નીચેની સપાટી)
$V_2 = 252 \,km/h = 252 \times \frac{5}{18} = 70 \,m/s$ (ઉપરની સપાટી)
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનું દબાણ તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ એ લિફ્ટ ફોર્સ $F_L$ આપે છે:
$F_L = (P_1 - P_2) A = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
સમતલ ઉડાન માટે,લિફ્ટ ફોર્સ વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$mg = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m \times 10 = \frac{1}{2} \times 1 \times (70^2 - 50^2) \times 80$
$10m = 40 \times (4900 - 2500)$
$10m = 40 \times 2400$
$10m = 96000$
$m = 9600 \,kg$.

(B) આપેલ સ્થાન વિધેય: $x = -3t^3 + 18t^2 + 16t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^3 + 18t^2 + 16t) = -9t^2 + 36t + 16$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-9t^2 + 36t + 16) = -18t + 36$.
સમય શોધવા માટે પ્રવેગને શૂન્ય લો: $-18t + 36 = 0 \implies 18t = 36 \implies t = 2 \,s$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \,s$ મૂકતા: $v = -9(2)^2 + 36(2) + 16$.
$v = -9(4) + 72 + 16 = -36 + 72 + 16 = 52 \,m/s$.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે।
સમદાબી પ્રક્રિયામાં, થયેલ કાર્ય $W = nR\Delta T = 200 \,J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વાયુને આપેલી ઉષ્મા $Q = nC_p\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કારણ કે $C_p = \frac{f+2}{2}R$, તેથી $Q = \left(\frac{f+2}{2}\right) nR\Delta T$ થાય।
કિંમતો $f = 5$ અને $nR\Delta T = 200 \,J$ મૂકતા:
$Q = \left(\frac{5+2}{2}\right) \times 200 = \frac{7}{2} \times 200 = 700 \,J$.

(C) તકતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,તેથી તે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t = \frac{1}{2} Mv^2)$ અને ચાકગતિઊર્જા $(K_r = \frac{1}{2} I\omega^2)$ બંને ધરાવે છે.
જ્યારે તકતી લીસી ઢળતી સપાટી પર ઉપર ચઢે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક શૂન્ય રહે છે અને ચાકગતિઊર્જા સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
જ્યારે તકતી ઢાળ પર ઉપર ચઢે છે ત્યારે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
સ્થાનાંતરિત ભાગ માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2} Mv^2 = Mgh$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{v^2}{2g}$

(D) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાંનું કદ એ $1000$ નાના ટીપાંના કુલ કદ જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
$R = 10r$
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i$:
$U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 S)$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાંની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f$:
$U_f = 4 \pi R^2 S$
$R = 10r$ મૂકતા:
$U_f = 4 \pi (10r)^2 S = 100 \times (4 \pi r^2 S)$
$U_f$ અને $U_i$ ની સરખામણી કરતા:
$U_f = \frac{100 \times (4 \pi r^2 S)}{1000 \times (4 \pi r^2 S)} U_i$
$U_f = \frac{1}{10} U_i$
આમ,પૃષ્ઠ ઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{10}$ ભાગની થશે.

(D) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 120 \,g = 0.12 \,kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 25 \,m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 0 \,m/s$ (કારણ કે દડો પકડાઈ જાય છે)
સમયગાળો,$\Delta t = 0.1 \,s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.12 \times (0 - 25)}{0.1}$
$F = \frac{0.12 \times (-25)}{0.1}$
$F = \frac{-3}{0.1} = -30 \,N$
આમ,દડા દ્વારા હાથ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \,N$ છે.

(B) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં તાપમાન $(T)$ અને વાયુ અચળાંક $(R)$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી, વેગ અને મોલર દળ $(M)$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ છે.
ધારો કે $V_H$ એ હાઇડ્રોજનનો વેગ $(M_H = 2 \,g/mol)$ છે અને $V_O$ એ ઓક્સિજનનો વેગ $(M_O = 32 \,g/mol)$ છે.
તેથી, $\frac{V_H}{V_O} = \sqrt{\frac{M_O}{M_H}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{V_O} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ, $V_O = \frac{2}{4} = 0.5 \,km/s$.

(A) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
$V_A = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \ m/s$ (ઉત્તર દિશામાં,ધન લેતા).
$V_B = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$ (દક્ષિણ દિશામાં,ઋણ લેતા,તેથી $V_B = -30 \ m/s$).
ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષે ટ્રેન $B$ નો વેગ $V_{BA} = V_B - V_A = -30 - 20 = -50 \ m/s$ થાય.
ટ્રેન $B$ ની સાપેક્ષે જમીનનો વેગ $V_{GB} = V_G - V_B = 0 - (-30) = 30 \ m/s$ થાય.
આમ,વેગ $-50 \ m/s$ અને $30 \ m/s$ છે.

(C) સાર્થક અંકોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$2$. શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્ય સાર્થક છે.
$3$. સંખ્યાની શરૂઆતના શૂન્ય સાર્થક નથી.
$4$. દશાંશ ચિહ્ન ધરાવતી સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્ય સાર્થક છે.
આ નિયમો લાગુ પાડતા:
- $A. 1001$: અહીં $4$ સાર્થક અંકો છે (બધા અંકો સાર્થક છે).
- $B. 010.1$: શરૂઆતનું શૂન્ય સાર્થક નથી. અંકો $1, 0, 1$ સાર્થક છે. કુલ = $3$ સાર્થક અંકો.
- $C. 100.100$: બધા અંકો સાર્થક છે કારણ કે શૂન્ય એ શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે છે અથવા દશાંશ પછીના અંતિમ શૂન્ય છે. કુલ = $6$ સાર્થક અંકો.
- $D. 0.0010010$: શરૂઆતના શૂન્ય સાર્થક નથી. અંકો $1, 0, 0, 1, 0$ સાર્થક છે. કુલ = $5$ સાર્થક અંકો.
પરિણામોને જોડતા: $A-II, B-I, C-IV, D-III$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F = \frac{k}{R^{3/2}} = m \omega^2 R$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ગોઠવતા:
$\omega^2 = \frac{k}{m R^{5/2}} \implies \omega^2 \propto R^{-5/2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2}$ થાય.
$\omega^2 \propto R^{-5/2}$ મૂકતા:
$T^2 \propto \frac{1}{R^{-5/2}} \implies T^2 \propto R^{5/2}$.

(C) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net}$ એ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (5 \hat{i} + 8 \hat{j} + 7 \hat{k}) + (3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 3 \hat{k})$
$\vec{F}_{net} = (5+3) \hat{i} + (8-4) \hat{j} + (7-3) \hat{k} = 8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k} \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m \vec{a}$,તેથી પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m}$.
અહીં દળ $m = 4 \ kg$ આપેલ છે,તેથી:
$\vec{a} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}}{4} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \ m/s^2$.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનોની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $m$ એ દળ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં દળ $9m$ છે,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2}$ શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{9m}}} = \sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{9m}{k}} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{f_1}{f_2}$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે કણનો વેગ સ્થાનના વિધેય તરીકે: $v = 4\sqrt{x}$.
પ્રવેગ $a$ ને સ્થાન $x$ ના સંદર્ભમાં આ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે: $a = v \frac{dv}{dx}$.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમતો પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (4\sqrt{x}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}})$.
$a = 4 \cdot 2 = 8 \ m/s^2$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $8 \ m/s^2$ જેટલો અચળ છે.

(D) રેખીય વિકૃતિ $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સમાન હોવાથી,વિકૃતિ એ તારમાં રહેલા તણાવ બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
નીચેના તાર માટે,તણાવ બળ $F_2$ એ $1 \ kg$ ના ભારને કારણે છે: $F_2 = m_2 g = 1 \ kg \times 10 \ ms^{-2} = 10 \ N$.
ઉપરના તાર માટે,તણાવ બળ $F_1$ એ $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ બંને ભારને કારણે છે: $F_1 = (m_1 + m_2) g = (2 \ kg + 1 \ kg) \times 10 \ ms^{-2} = 30 \ N$.
ઉપરના તારની રેખીય વિકૃતિ અને નીચેના તારની રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Strain}_1}{\text{Strain}_2} = \frac{F_1 / AY}{F_2 / AY} = \frac{F_1}{F_2} = \frac{30 \ N}{10 \ N} = 3$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,લંબાઈ $L = 0.3 \ m$,આઘાત $J = 0.2 \ Ns$.
છેડા $B$ પર લગાડવામાં આવેલ આઘાત રેખીય અને કોણીય વેગમાન બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ: $v_{cm} = \frac{J}{m} = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ m/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય આઘાત: $J_{\theta} = J \times \frac{L}{2} = 0.2 \times \frac{0.3}{2} = 0.03 \ kg \cdot m^2/s$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{cm} = \frac{mL^2}{12} = \frac{2 \times (0.3)^2}{12} = \frac{2 \times 0.09}{12} = 0.015 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગ: $\omega = \frac{J_{\theta}}{I_{cm}} = \frac{0.03}{0.015} = 2 \ rad/s$.
કાટખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય $(\theta = \frac{\pi}{2})$: $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4} \ s$.
$\frac{\pi}{X} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 4$ મળે છે.

(D) વિધાન $I$ માટે: જ્યારે પ્રવાહી સ્થિર હોય $(v_1=v_2=0)$,ત્યારે $h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈએ આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_1-P_2=\rho g(h_2-h_1)$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: આડી વેન્ચ્યુરી ટ્યુબ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા $(h_1=h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$
મેનોમીટર પરથી,દબાણનો તફાવત $P_1 - P_2 = \rho gh$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho gh = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2gh = v_2^2 - v_1^2$ મળે છે.
વિધાનમાં $2gh = v_1^2 - v_2^2$ આપેલું હોવાથી,તે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે: બરફ બિંદુ પર અવરોધ $R_0 = 8 \Omega$,વરાળ બિંદુ પર અવરોધ $R_{100} = 10 \Omega$.
તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ છે.
વરાળ બિંદુ $(100^{\circ} C)$ માટે:
$10 = 8(1 + \alpha \times 100)$
$1.25 = 1 + 100\alpha$
$100\alpha = 0.25 = 1/4$
$\alpha = 1/400 \text{ per } ^{\circ} C$.
હવે,$T = 400^{\circ} C$ તાપમાન માટે:
$R_{400} = R_0(1 + \alpha \times 400)$
$R_{400} = 8(1 + (1/400) \times 400)$
$R_{400} = 8(1 + 1) = 8 \times 2 = 16 \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની લંબાઈ $L = \pi R$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{\pi}$ થાય.
તારના એક સૂક્ષ્મ ખંડ $dl = R d\theta$ નો વિચાર કરો. આ ખંડનું દળ $dm = \lambda dl = \frac{M}{L} R d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા $m$ દળના કણ પર આ ખંડ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $dF = \frac{G m dm}{R^2} = \frac{G m (M/L) R d\theta}{R^2} = \frac{GMm}{LR} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
કુલ બળ $F = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dF \sin\theta = \frac{GMm}{LR} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta d\theta$ ગણતરી કરતા,અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $E = \frac{2GM}{LR}$ મળે છે.
$R = L/\pi$ મૂકતા,આપણને $F = mE = m \left( \frac{2GM}{L(L/\pi)} \right) = \frac{2GMm\pi}{L^2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સેલ્સિયસ સ્કેલ પર તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta T_C)$ અને ફેરનહીટ સ્કેલ $(\Delta T_F)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta T_F = \frac{9}{5} \Delta T_C$.
અહીં આપેલ છે કે સેલ્સિયસ સ્કેલ પર તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T_C = 40^{\circ} C$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta T_F = \frac{9}{5} \times 40^{\circ} F$
$\Delta T_F = 9 \times 8^{\circ} F$
$\Delta T_F = 72^{\circ} F$.
તેથી,ફેરનહીટ સ્કેલ પર તાપમાનમાં થતો વધારો $72^{\circ} F$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બળ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી આપણે $F = kt$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આને ગતિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$kt = ma$
$a = \frac{k}{m} t$
જેহেতু $k$ અને $m$ અચળાંક છે,તેથી પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(a \propto t)$.
આ સંબંધ $a$ વિરુદ્ધ $t$ ના આલેખમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દડાનો વેગ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા મળે છે. તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u=0)$,તેથી $v = \sqrt{2gh}$.
$h$ ઊંચાઈ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $PE_i = mgh$ છે. અથડામણ પહેલાંની ગતિ ઊર્જા $KE_i = mgh$ છે.
દડો $h' = h/2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે. આ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા $PE_f = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta E = PE_i - PE_f = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ છે.
ઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta E}{PE_i} \times 100 = \frac{\frac{1}{2}mgh}{mgh} \times 100 = 50 \%$ છે.
આમ,ટકાવારી ઘટાડો $50 \%$ છે અને અથડામણ પહેલાંનો વેગ $\sqrt{2gh}$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટમાં,$\frac{2 \pi nt}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. $2\pi$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$\frac{nt}{\lambda}$ નું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $[nt] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $[nt] = [L]$ અને $[t] = [T]$,તેથી $[n] = [L/T] = [LT^{-1}]$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
કોસાઇન વિધેય માટે,$\frac{2 \pi x}{\lambda}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[x] = [\lambda] = [L]$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
હવે,$n/\lambda$ ના પરિમાણનો વિચાર કરો. $[n] = [LT^{-1}]$ અને $[\lambda] = [L]$ હોવાથી,$[n/\lambda] = [LT^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ થાય.
વિકલ્પ $C$ માં પરિમાણ $[T]$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) પદાર્થ દ્વારા $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડ માટે: $102.5 = u + \frac{a}{2}(2n - 1) \quad \dots(1)$
$(n+2)^{\text{th}}$ સેકન્ડ માટે: $115.0 = u + \frac{a}{2}(2(n+2) - 1) = u + \frac{a}{2}(2n + 3) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$115.0 - 102.5 = [u + \frac{a}{2}(2n + 3)] - [u + \frac{a}{2}(2n - 1)]$
$12.5 = \frac{a}{2} (2n + 3 - 2n + 1)$
$12.5 = \frac{a}{2} (4)$
$12.5 = 2a$
$a = \frac{12.5}{2} = 6.25 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $6.25 \ m/s^2$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$PV = nRT$
જ્યાં $n = \frac{m}{M}$,$m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી:
$PV = \frac{m}{M} RT$
દબાણ $P$ માટે ગોઠવતા:
$P = \left( \frac{m}{V} \right) \frac{RT}{M}$
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = \left( \frac{\rho R}{M} \right) T$
આ $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{\rho R}{M}$ છે.
સમાન તાપમાન $T$ માટે,આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $P_1 > P_2 > P_3$.
સમાન $T$ અને $M$ માટે $P \propto \rho$ હોવાથી,$\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\rho_1 > \rho_2$ છે.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે.
પ્રથમ સભ્ય $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies R = \frac{4}{3\lambda}$.
બીજો સભ્ય $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8R}{9}$.
$\lambda'$ માટેના સમીકરણમાં $R = \frac{4}{3\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda'} = \frac{8}{9} \times \left( \frac{4}{3\lambda} \right) = \frac{32}{27\lambda}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{27}{32} \lambda$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $u_{avg}$ એ સરેરાશ વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $u_E$ અને સરેરાશ ચુંબકીય ઊર્જા ઘનતા $u_B$ નો સરવાળો છે.
$EM$ તરંગમાં,$u_E = u_B$ હોય છે,તેથી $u_{avg} = u_E + u_B = 2u_E$.
સરેરાશ વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર છે.
આમ,કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $u_{avg} = 2 \times (\frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2) = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ થાય.
આપેલ છે કે $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,C^2/Nm^2$ અને $E_0 = 50 \,Vm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $u_{avg} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times (50)^2$.
$u_{avg} = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 2500$.
$u_{avg} = 1.10625 \times 10^{-8} \,Jm^{-3}$.

(C) ધારો કે $P$ એ વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે આવેલું બિંદુ છે જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બિંદુ $P$ પર,વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતભાર $3q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\left|\vec{E}_q\right| = \left|\vec{E}_{3q}\right|$.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્ર $E = \frac{kq}{d^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(3q)}{(r-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$r - x = \sqrt{3}x$
$r = x(1 + \sqrt{3})$
$x = \frac{r}{1 + \sqrt{3}}$

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf $\varepsilon = N \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\Delta \phi = (\Delta B) A$, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $B_i = 5000 \,T$, $B_f = 3000 \,T$, $\Delta t = 2 \,s$, $\varepsilon = 22 \,V$, અને વ્યાસ $d = 0.02 \,m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.01 \,m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta B = |B_f - B_i| = |3000 - 5000| = 2000 \,T$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (0.01)^2 = 0.0001 \pi \,m^2$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = (\Delta B) A = 2000 \times 0.0001 \pi = 0.2 \pi \,Wb$.
આ કિંમતોને emf ના સૂત્રમાં મૂકતા: $22 = N \left( \frac{0.2 \pi}{2} \right)$.
$22 = N (0.1 \pi)$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $22 = N (0.314) \Rightarrow N = \frac{22}{0.314} \approx 70$.
આમ, આંટાની સંખ્યા $70$ છે.

(B) ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને દરેક વાહકનો અવરોધ $R$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે:
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$2R(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta) = R(1 + \alpha_1 \Delta \theta) + R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 + 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$
સમાંતર જોડાણ માટે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{\frac{R}{2}(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta)} = \frac{1}{R(1 + \alpha_1 \Delta \theta)} + \frac{1}{R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)}$
$\frac{2}{1 + \alpha_{eq} \Delta \theta} = \frac{1}{1 + \alpha_1 \Delta \theta} + \frac{1}{1 + \alpha_2 \Delta \theta}$
નાના $\Delta \theta$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \alpha_{eq} \Delta \theta) = (1 - \alpha_1 \Delta \theta) + (1 - \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 - 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 - (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
$K_{\max} = eV_0$ હોવાથી,$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $8e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $2e = \frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $6e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0} \quad \dots (iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(8e - 6e) = (\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}) - (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{3hc}{\lambda_0})$
$2e = \frac{2hc}{\lambda_0}$
$e = \frac{hc}{\lambda_0} \implies \frac{hc}{\lambda_0} = e$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $8e = \frac{hc}{\lambda} - e \implies 9e = \frac{hc}{\lambda} \implies \frac{hc}{\lambda} = 9e$
$\frac{hc}{\lambda_0} = e$ અને $\frac{hc}{\lambda} = 9e$ હોવાથી,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1}{9} \frac{hc}{\lambda}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_0 = 9\lambda$.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5e \hat{k} = -e(3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (B_0 \hat{i} + 2 B_0 \hat{j})$.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (B_0 \hat{i} + 2 B_0 \hat{j}) = 3(2 B_0) \hat{k} + 5(B_0) (-\hat{k}) = 6 B_0 \hat{k} - 5 B_0 \hat{k} = B_0 \hat{k}$.
આમ,$5e \hat{k} = -e(B_0 \hat{k})$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$B_0 = 5 \ T$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે,જ્યાં $d = 5 \ mm$.
પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_0 = C_0 V = \frac{A \epsilon_0 V}{d}$ છે.
જ્યારે $t = 2 \ mm$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક શીટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{K}}$ થાય છે.
નવો ચાર્જ $Q' = C' V = \frac{A \epsilon_0 V}{d - t + \frac{t}{K}}$ છે.
આપેલ છે કે કેપેસિટર $25 \%$ વધુ ચાર્જ ખેંચે છે,તેથી $Q' = 1.25 Q_0$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{A \epsilon_0 V}{d - t + \frac{t}{K}} = 1.25 \frac{A \epsilon_0 V}{d}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1.25}{d} = \frac{5}{4d}$.
તેથી,$4d = 5(d - t + \frac{t}{K})$.
$d = 5 \ mm$ અને $t = 2 \ mm$ લેતા,$4(5) = 5(5 - 2 + \frac{2}{K})$.
$20 = 5(3 + \frac{2}{K}) \Rightarrow 4 = 3 + \frac{2}{K}$.
$1 = \frac{2}{K} \Rightarrow K = 2$.

(C) ડાબેથી જમણે સર્કિટને જોતા:
$1$. સૌથી ડાબી બાજુનો $6 \ \Omega$ નો અવરોધ શોર્ટ સર્કિટ સાથે સમાંતર છે,જે તેને બાયપાસ કરે છે.
$2$. સર્કિટ ડાબેથી જમણે સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બને છે.
$3$. ડાબી બાજુના ભાગને સરળ બનાવ્યા પછી,આપણી પાસે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ $3 \ \Omega$ ના અવરોધો બાકી રહે છે.
$4$. સમાંતરમાં જોડાયેલા ત્રણ $3 \ \Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \ \Omega$.
$5$. આમ,$R_{eq} = 1 \ \Omega$.

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_A = I_0$ અને $I_B = 9I_0$ છે.
અસંગત તરંગો માટે,પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે:
$I_1 = I_A + I_B = I_0 + 9I_0 = 10I_0$.
સુસંગત તરંગો માટે,પરિણામી તીવ્રતા $I_2 = I_A + I_B + 2\sqrt{I_A I_B} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = 60^{\circ}$.
$I_2 = I_0 + 9I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot 9I_0} \cos 60^{\circ}$.
$I_2 = 10I_0 + 2(3I_0) \cdot \frac{1}{2} = 10I_0 + 3I_0 = 13I_0$.
આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10}{x}$,તેથી $\frac{10I_0}{13I_0} = \frac{10}{x}$.
આમ,$x = 13$.

(C) $i$ પ્રવાહ ધરાવતી $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = 4 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{\pi L/2} \times \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$.
$L \gg \ell$ હોવાથી, આપણે ધારીએ છીએ કે નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે。
$\ell^2$ ક્ષેત્રફળવાળી નાની લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = B \times \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \ell^2$.
$L = \ell^2$ આપેલ હોવાથી, આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\phi = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi \ell^2} \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi}$.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \phi / i$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$M = \frac{2\sqrt{2} \mu_0}{\pi} = \frac{2\sqrt{2} (4\pi \times 10^{-7})}{\pi} = 8\sqrt{2} \times 10^{-7} \text{ H}$.
$M = \sqrt{64 \times 2} \times 10^{-7} \text{ H} = \sqrt{128} \times 10^{-7} \text{ H}$.
આમ, $x = 128$.

(B) મુક્ત થતી ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \Delta m c^2$.
આપેલ દળ ક્ષતિ $\Delta m = 0.4 \,g = 0.4 \times 10^{-3} \,kg$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (0.4 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 0.4 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J = 3.6 \times 10^{13} \,J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,kWh = 3.6 \times 10^6 \,J$,તેથી $1 \,J = \frac{1}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = \frac{3.6 \times 10^{13}}{3.6 \times 10^6} \,kWh = 10^7 \,kWh$.
આને $n \times 10^7 \,kWh$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.

(B) $Y-Z$ સમતલમાં રહેલા લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$,જ્યારે ઋણ $X$-અક્ષથી જોતા પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોય,ત્યારે તે ઋણ $X$-દિશામાં હોય છે: $\vec{A} = (0.2 \ m \times 0.1 \ m)(-\hat{i}) = 0.02(-\hat{i}) \ m^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = i\vec{A} = 5 \ A \times 0.02(-\hat{i}) \ m^2 = 0.1(-\hat{i}) \ A-m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2 \times 10^{-3} \hat{j} \ T$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = [0.1(-\hat{i})] \times [2 \times 10^{-3} \hat{j}] = 0.1 \times 2 \times 10^{-3} \times (-\hat{i} \times \hat{j}) = 2 \times 10^{-4} \times (-\hat{k}) \ N-m$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-4} \ N-m$ અને દિશા ઋણ $Z$-દિશામાં છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
જ્યારે વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
અહીં $K = 5$ અને નવું અંતર $r' = r/5$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{(r/5)^2}$
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{r^2 / 25}$
$F' = \frac{25}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right)$
$F' = 5F$

(D) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_0 = 20 \ V$ છે.
આપેલ પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = 10 \ A$ અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર શોધવાનું સૂત્ર $\langle P \rangle = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\langle P \rangle = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \times \cos(60^{\circ})$.
$\langle P \rangle = \frac{200}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \ W$.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ અનુસાર,જ્યારે પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોય,ત્યારે આપાતકોણ એ બ્રુસ્ટર કોણ $(i_p)$ હોય છે.
આ ખૂણે,પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ એકબીજાને લંબ હોય છે.
ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
આ પરિસ્થિતિની ભૂમિતિ પરથી,આપાતકોણ,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો અને વક્રીભવન કોણનો સરવાળો આંતરપૃષ્ઠની સીધી રેખા પર $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $i = 60^{\circ}$,તેથી $60^{\circ} + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$.
$150^{\circ} + r = 180^{\circ}$.
$r = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વક્રીભવન કોણ $30^{\circ}$ છે.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R_1}{R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ ગેપમાં રહેલા અવરોધો છે,અને $R_1$ અને $R_2$ એ વાયરના ભાગોના અવરોધો છે.
ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $r$ છે. $40 \ cm$ ની સંતુલન લંબાઈ $\ell_1$ માટે,બીજા ભાગની લંબાઈ $\ell_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ છે.
વાયરના ભાગોના અવરોધ $r \ell_1$ અને $r \ell_2$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{25} = \frac{r \ell_1}{r \ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
જ્યારે વાયરને $2r$ પ્રતિ એકમ લંબાઈ ધરાવતા વાયર સાથે બદલવામાં આવે છે,ત્યારે ભાગોના નવા અવરોધ $(2r) \ell_1'$ અને $(2r) \ell_2'$ થાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{X}{25} = \frac{(2r) \ell_1'}{(2r) \ell_2'} = \frac{\ell_1'}{\ell_2'}$ છે.
જેમ કે ગુણોત્તર $\frac{X}{25}$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{\ell_1'}{\ell_2'} = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $\ell_1' + \ell_2' = 100 \ cm$,તેથી $\ell_1' = 40 \ cm$ અને $\ell_2' = 60 \ cm$.
આમ,સંતુલન લંબાઈ $40 \ cm$ પર યથાવત રહે છે.

(B) વિધાન $I$ સાચું છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અવકાશમાં ઉર્જાનું વહન કરે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ છે. કારણ કે $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી $u_E = u_B$ થાય છે. આમ,ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો વેગમાન $p = \frac{U}{c}$ ધરાવે છે. જ્યારે તેઓ સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ આ વેગમાનનું સ્થાનાંતર કરે છે,જેનાથી સપાટી પર વિકિરણ દબાણ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) ધારો કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $f_0$ છે. આપાત પ્રકાશની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_i = 1.5 f_0$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1.5 f_0}{2} = 0.75 f_0$ થાય છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત આવૃત્તિ $f$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $f_0$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય $(f \ge f_0)$.
અહીં $0.75 f_0 < f_0$ હોવાથી,આપાત પ્રકાશ પાસે સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા નથી,ભલે તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શૂન્ય હશે.

(C) લેમ્પ દ્વારા વપરાતો પાવર,જે તેના પ્રકાશને નિર્ધારિત કરે છે,તે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_0$ છે. તો પ્રારંભિક પાવર $P_0 = I_0^2 R$ થશે.
જો પ્રવાહમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય,તો નવો પ્રવાહ $I_f = I_0 - 0.20 I_0 = 0.80 I_0$ થશે.
નવો પાવર $P_f = (0.80 I_0)^2 R = 0.64 I_0^2 R = 0.64 P_0$ થશે.
પાવરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_f - P_0}{P_0} \times 100 = (0.64 - 1) \times 100 = -36 \%$ છે.
ઋણ નિશાની ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,લેમ્પના પ્રકાશમાં $36 \%$ નો ઘટાડો થશે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ-ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ધારો કે પ્રથમ ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $A_1$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_1$ છે.
બીજા ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $A_2 = 192$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_1 = \frac{R_2}{2}$ છે.
ત્રિજ્યાનું સૂત્ર મૂકતા: $R_0 (A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} R_0 (A_2)^{1/3}$.
બંને બાજુ $R_0$ વડે ભાગતા: $(A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} (A_2)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $A_1 = \frac{1}{8} A_2$.
અહીં $A_2 = 192$ આપેલ છે,તેથી $A_1 = \frac{192}{8} = 24$.
આમ,ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $24$ છે.

(C) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $NOT$ ગેટ દ્વારા બદલાય છે,અને તેમના આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરના $OR$ ગેટમાં $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = A + \overline{B}$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટમાં $B$ અને $\overline{A}$ ઇનપુટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A} + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(A + \overline{B}) + (\overline{A} + B)}$ છે.
ચાલો ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:
$1$. જો $A=0, B=0$: $Y_1 = 0 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{0} + 0 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
$2$. જો $A=1, B=0$: $Y_1 = 1 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 0 = 0$. $Y = \overline{1+0} = 0$.
$3$. જો $A=0, B=1$: $Y_1 = 0 + \overline{1} = 0$,$Y_2 = \overline{0} + 1 = 1$. $Y = \overline{0+1} = 0$.
$4$. જો $A=1, B=1$: $Y_1 = 1 + \overline{1} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 1 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
આમ,તમામ ઇનપુટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ $0$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે બાહ્ય પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણીએ છીએ. આ પરિપથમાં પાંચ $2 \ \Omega$ ના અવરોધો છે. સંમિતિને કારણે,બે મધ્ય બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન છે,તેથી વિકર્ણ અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2 \ \Omega$ ના અવરોધો છે.
દરેક શાખાનો અવરોધ $2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ છે.
બે સમાંતર શાખાઓ હોવાથી,બાહ્ય સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}} = \frac{4 \ \Omega}{2} = 2 \ \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 2 \ \Omega + \frac{2}{3} \ \Omega = \frac{8}{3} \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ પાવર વપરાશ $P = \frac{E^2}{R_{\text{total}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{2^2}{8/3} = \frac{4}{8/3} = \frac{12}{8} = 1.5 \ W$ મળે છે.

(B) એક ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
આપેલ છે:
$\mu_1 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક)
$\mu_2 = 1.5$ (માધ્યમનો વક્રીભવનાંક)
$u = -100 \,cm$ (વસ્તુ અંતર,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ)
$R = +20 \,cm$ (બહિર્ગોળ સપાટી માટે વક્રતા ત્રિજ્યા)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{20}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{20}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{100}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{5 - 2}{200} = \frac{3}{200}$
$v = \frac{1.5 \times 200}{3} = 100 \,cm$
આ સપાટીના ધ્રુવથી પ્રતિબિંબનું અંતર છે. વસ્તુથી પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર:
અંતર $= |u| + v = 100 \,cm + 100 \,cm = 200 \,cm$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 5t^2 - 36t + 1$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d\phi}{dt} = 10t - 36$ મળે છે.
તેથી,$\varepsilon = -(10t - 36) = 36 - 10t$.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 36 - 10(2) = 36 - 20 = 16 \ V$ થશે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{|\varepsilon|}{R}$ સૂત્ર મુજબ,જ્યાં $R = 8 \ \Omega$ છે.
તેથી,$i = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$r = \pi \text{ cm} = \pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
ગૂંચળા $P$ માટે $I_1 = 1 \text{ A}$:
$B_P = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{2 \pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-3} \text{ T} = 2 \text{ mT}$.
ગૂંચળા $Q$ માટે $I_2 = 2 \text{ A}$:
$B_Q = \frac{\mu_0 \times 100 \times 2}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200}{2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-3} \text{ T} = 4 \text{ mT}$.
ગૂંચળાના સમતલો એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_P$ અને $B_Q$ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{ mT}$.
$\sqrt{x} \text{ mT}$ સાથે સરખાવતા,$x = 20$ મળે છે.

(C) આ તંત્ર બે ડાયપોલનું બનેલું છે. પ્રથમ ડાયપોલના વીજભારો $+q$ અને $-q$ છે જે $2l$ અંતરે છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1 = q(2l) = 2ql$ છે જે $-q$ થી $+q$ તરફ (જમણી બાજુ) છે.
બીજા ડાયપોલના વીજભારો $+2q$ અને $-2q$ છે જે $4l$ અંતરે છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_2 = 2q(4l) = 8ql$ છે જે $-2q$ થી $+2q$ તરફ (ડાબી બાજુ) છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_{\text{net}} = p_2 - p_1 = 8ql - 2ql = 6ql$ ડાબી બાજુ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_{\text{net}}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ડાયપોલને કારણે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kp_{\text{net}} \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql) \cos(120^{\circ})}{r^2}$.
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -0.5$,આપણને $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql)(-0.5)}{r^2} = -27 \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $-\alpha \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 27$ મળે છે.

(B) ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ હોવાથી,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે,આપણે કદના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસનું કદ તેના દળ ક્રમાંકના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto A$.
તેથી,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A_2}{A_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $A_2 = 4 A_1$,તેથી $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4 A_1}{A_1} = 4$.

(NONE) શ્રેણી અવરોધ $R_s$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ:
$V_s = V_{in} - V_z = 8 \, V - 5 \, V = 3 \, V$
લોડ અવરોધ $R_L$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{5 \, V}{1 \times 10^3 \, \Omega} = 5 \, mA$
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ તેના પાવર રેટિંગ $P_z = 10 \, mW$ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$I_{z,max} = \frac{P_z}{V_z} = \frac{10 \, mW}{5 \, V} = 2 \, mA$
ઝેનર ડાયોડ રેગ્યુલેશન માટે, શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_s$ એ લોડ પ્રવાહ અને ઝેનર પ્રવાહને પૂરો પાડવા માટે પૂરતો હોવો જોઈએ। કુલ પ્રવાહ $I_s = I_L + I_z$ છે.
રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરવા માટે, ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0$ અને $I_{z,max}$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
આમ, $I_{s,min} = I_L + 0 = 5 \, mA$ અને $I_{s,max} = I_L + I_{z,max} = 5 \, mA + 2 \, mA = 7 \, mA$.
અવરોધ $R_s$ એ નીચેની શરત સંતોષવી જોઈએ:
$R_{s,min} = \frac{V_s}{I_{s,max}} = \frac{3 \, V}{7 \, mA} = \frac{3}{7} \, k \Omega \approx 0.43 \, k \Omega$
$R_{s,max} = \frac{V_s}{I_{s,min}} = \frac{3 \, V}{5 \, mA} = 0.6 \, k \Omega$
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ શ્રેણી સાથે બરાબર મેળ ખાતું નથી, પરંતુ $R_s$ એવી રીતે પસંદ કરવો જોઈએ કે ઝેનર ડાયોડ તેની મર્યાદામાં કાર્ય કરે.

(A) આ સર્કિટમાં, ત્રણ શાખાઓ સમાંતર જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ (ઉપર): $5 \, V$ અને $0.2 \, \Omega$ ના ત્રણ કોષો શ્રેણીમાં છે। કુલ $EMF$ $E_1 = 5 + 5 + 5 = 15 \, V$, કુલ આંતરિક અવરોધ $r_1 = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6 \, \Omega$.
શાખા $2$ (ડાબે): $5 \, V$ અને $0.2 \, \Omega$ નો એક કોષ। $E_2 = 5 \, V$, $r_2 = 0.2 \, \Omega$.
શાખા $3$ (નીચે): $5 \, V$ અને $0.2 \, \Omega$ ના ત્રણ કોષો શ્રેણીમાં છે। $E_3 = 5 + 5 + 5 = 15 \, V$, $r_3 = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6 \, \Omega$.
જો કે, પોલેરિટી જોતા, ઉપરની અને નીચેની શાખાઓ ડાબી શાખાની વિરુદ્ધમાં જોડાયેલી છે। આદર્શ વોલ્ટમીટર માટે, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। જમણી બાજુના કોષ $(5 \, V, 0.2 \, \Omega)$ પરનો વોલ્ટેજ તફાવત $V = E - Ir$ છે। સર્કિટ એવી રીતે સંતુલિત છે કે આ શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી, તેથી $I = 0$, અને $V = E = 5 \, V$।

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}C(2V)^2 = \frac{1}{2}CV^2 + 2CV^2 = \frac{5}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_c = \frac{q_1 + q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV + 2CV}{C + C} = \frac{3CV}{2C} = \frac{3V}{2}$ મળે છે.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2}(C + C)V_c^2 = C \left(\frac{3V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{9V^2}{4}\right) = \frac{9}{4}CV^2$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{5}{2}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{10}{4}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{1}{4}CV^2$ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 200 \ pF = 200 \times 10^{-12} \ F$,વોલ્ટેજ $V_{rms} = 230 \ V$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 300 \ rad/s$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times 200 \times 10^{-12}} = \frac{1}{6 \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{6} \ \Omega$.
$rms$ વહન પ્રવાહ $I_c = \frac{V_{rms}}{X_C} = 230 \times 300 \times 200 \times 10^{-12} \ A$.
$I_c = 230 \times 6 \times 10^{-8} \ A = 1380 \times 10^{-8} \ A = 13.8 \times 10^{-6} \ A = 13.8 \ \mu A$.
મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો જ હોય છે. તેથી,$I_d = I_c = 13.8 \ \mu A$.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$R_g = 50 \ \Omega$
પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન માટે મહત્તમ પ્રવાહ,$I_g = 5 \ mA = 5 \times 10^{-3} \ A$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ,$V = 100 \ V$
શ્રેણી અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = I_g(R + R_g)$
$R + R_g = \frac{V}{I_g}$
$R = \frac{V}{I_g} - R_g$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{100}{5 \times 10^{-3}} - 50$
$R = 20000 - 50$
$R = 19950 \ \Omega$

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{h}{m\lambda}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $\lambda_p = \lambda$. $\alpha$ કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $\lambda_\alpha = 2\lambda$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{h / (m_p \lambda_p)}{h / (m_\alpha \lambda_\alpha)} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{4m}{m} \times \frac{2\lambda}{\lambda} = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,ગુણોત્તર $8: 1$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી અપરિવર્તિત રાખવા માટે,$\omega' = \omega$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $L'C' = LC$ મળે છે.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ $C' = 4C$ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $L'(4C) = LC$.
$L'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L' = \frac{L}{4}$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટન્સમાં ફેરફાર $\Delta L = L - L' = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $\frac{3}{4} L$ જેટલું ઘટાડવું જોઈએ.

(D) બામર શ્રેણીમાં વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોને ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n > 2)$ માંથી $n=2$ ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરવું આવશ્યક છે.
લઘુત્તમ ઉર્જા માટે,ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી તે ઉર્જા સ્તરમાં ઉત્તેજિત કરવું પડે જ્યાંથી તે $n=2$ માં સંક્રમણ કરી શકે,જે $n=3$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના $n$-માં સ્તરની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=3$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$E_1 = -13.6 \ eV$.
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{2 \lambda f}{a}$
જ્યાં:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 0.01 \text{ mm} = 1 \times 10^{-5} \text{ m}$
$f = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (0.2 \text{ m})}{1 \times 10^{-5} \text{ m}}$
$W = \frac{2.4 \times 10^{-7}}{10^{-5}} \text{ m}$
$W = 2.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 24 \text{ mm}$

(A) નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $L = 4 \pi \text{ m}$ છે. દરેક બાજુની લંબાઈ $a = \frac{L}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}$ છે.
કેન્દ્રથી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{2 \tan(30^{\circ})} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ છે.
$a = \frac{2 \pi}{3}$ મૂકતા,આપણને $r = \frac{(2 \pi / 3) \sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ મળે છે.
એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1)$ છે.
$6$ બાજુઓ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
અહીં $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \pi \sqrt{3} \text{ A}$,અને $r = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ આપેલ છે.
$B = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3}}{4 \pi \times (\pi / \sqrt{3})} = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4 \pi \times \pi} = 6 \times 4 \times 3 \times 10^{-7} = 72 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આમ,$x = 72$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સ્થાન $x$ સાથે $\frac{dB}{dx} = -10^{-3} \text{ T/cm} = -0.1 \text{ T/m}$ મુજબ બદલાય છે.
સંકલન કરતા,$B(x) = B_0 - 0.1x$.
લૂપ $v = 5 \text{ cm/s} = 0.05 \text{ m/s}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
સ્થાનિક ઢાળને કારણે ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $\varepsilon_{\text{mot}} = v \cdot \ell \cdot \Delta B$ છે.
અહીં $\ell = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ અને $\Delta x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$.
$\Delta B = |\frac{dB}{dx}| \cdot \Delta x = 10^{-3} \text{ T/cm} \cdot 12 \text{ cm} = 1.2 \times 10^{-2} \text{ T}$.
$\varepsilon_{\text{mot}} = 0.05 \text{ m/s} \cdot 0.05 \text{ m} \cdot 1.2 \times 10^{-2} \text{ T} = 300 \times 10^{-7} \text{ V}$.
સમય સાથે બદલાતા ક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon_{\text{ind}} = -A \frac{dB}{dt} = 60 \times 10^{-7} \text{ V}$.
કુલ emf $\varepsilon_{\text{net}} = \varepsilon_{\text{mot}} + \varepsilon_{\text{ind}} = 360 \times 10^{-7} \text{ V}$.
પાવર $P = \frac{\varepsilon_{\text{net}}^2}{R} = \frac{(360 \times 10^{-7})^2}{6 \times 10^{-3}} = 216 \times 10^{-9} \text{ W}$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા આભાસી પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = +3$ છે.
$m = \frac{v}{u}$ હોવાથી, આપણને $v = 3u$ મળે છે.
વસ્તુ અને આભાસી પ્રતિબિંબ બંને લેન્સની એક જ બાજુએ છે. ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે (જ્યાં $u$ ઋણ છે, તેથી $u = -x$) અને પ્રતિબિંબ અંતર $v$ છે (જ્યાં $v = -3x$).
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 20 \,cm$ છે.
$|-3x - (-x)| = 20 \,cm$
$|-2x| = 20 \,cm \implies 2x = 20 \,cm \implies x = 10 \,cm$.
આમ, $u = -10 \,cm$ અને $v = -30 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-30} - \frac{1}{-10} = \frac{-1 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી, $f = 15 \,cm$.

(D) હવામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\tan(\theta/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 mg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $K$ (અથવા $\varepsilon_r$) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે અને અસરકારક વજન $mg' = mg(1 - \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{sphere}})$ થાય છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $\theta$ સમાન રહે છે,તેથી $\tan(\theta/2) = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$.
$\tan(\theta/2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$
$K = \frac{1}{1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere}} = \frac{\rho_s}{\rho_s - \rho_l} = \frac{1.5}{1.5 - 1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
આમ,પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R^3 \propto A$,અથવા $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{A_1}{A_2}$.
અહીં $R_1 = 4.8 \text{ fermi}$,$A_1 = 64$,અને $R_2 = 4 \text{ fermi}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4.8}{4}\right)^3 = \frac{64}{A_2}$.
$(1.2)^3 = \frac{64}{A_2}$.
$1.728 = \frac{64}{A_2}$.
$A_2 = \frac{64}{1.728} = \frac{64000}{1728}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $A_2 = \frac{1000}{27}$.
આને $\frac{1000}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતભાર $q$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $q = \int I \ dt$ છે.
આપેલ છે કે $I = 3t^2 + 4t^3$,તેથી $t = 1 \ s$ થી $t = 2 \ s$ માટે સંકલન કરતા:
$q = \int_{1}^{2} (3t^2 + 4t^3) \ dt$
$q = [t^3 + t^4]_{1}^{2}$
$q = (2^3 + 2^4) - (1^3 + 1^4)$
$q = (8 + 16) - (1 + 1)$
$q = 24 - 2 = 22 \ C$.

(A) ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 5 \% \text{ of } I = \frac{5}{100} I = \frac{I}{20}$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - \frac{I}{20} = \frac{19I}{20}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_g G = I_s S$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{I}{20}) G = (\frac{19I}{20}) S$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{G}{19}$ મળે છે.
એમીટરનો કુલ અવરોધ $R_A$ એ $G$ અને $S$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે: $R_A = \frac{G \cdot S}{G + S}$.
$S = \frac{G}{19}$ મૂકતા: $R_A = \frac{G \cdot (G/19)}{G + (G/19)} = \frac{G^2/19}{20G/19} = \frac{G}{20}$.

(C) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન ન મળે તે માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
શરૂઆતમાં,ભુજા $BC$ નો અવરોધ $R_{BC} = 3 \ m\Omega$ છે. અન્ય ભુજાઓ $AB = 0.8 \ m\Omega$,$AD = 1 \ m\Omega$ છે અને $DC$ અજ્ઞાત છે. વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલન શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ છે.
આકૃતિ પરથી,$R_{AB} = 0.8 \ m\Omega$,$R_{AD} = 1 \ m\Omega$,અને $R_{BC} = 3 \ m\Omega$. ધારો કે $R_{DC} = x$. બ્રિજ ત્યારે સંતુલિત થાય છે જ્યારે $\frac{0.8}{1} = \frac{3}{x}$,તેથી $x = 3.75 \ m\Omega$.
$2^{\circ} C/s$ ના દરે $10 \ s$ સુધી ઠંડુ કર્યા પછી,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = -20^{\circ} C$ છે.
અર્ધવાહક ભુજા $BC$ નો નવો અવરોધ $R'_{BC} = 2.4 \ m\Omega$ છે (કારણ કે $\frac{0.8}{1} = \frac{R'_{BC}}{3.75} \Rightarrow R'_{BC} = 3 \times 0.8 = 2.4 \ m\Omega$).
સૂત્ર $R' = R(1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.4 = 3(1 + \alpha(-20))$
$0.8 = 1 - 20\alpha$
$20\alpha = 0.2$
$\alpha = \frac{0.2}{20} = 0.01 = 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$.
તે અર્ધવાહક હોવાથી,$\alpha$ ઋણ હોય છે,તેથી $\alpha = -1 \times 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$.

(C) વિધાન $(A)$ બોહરના અભિધારણા મુજબ સાચું છે: $L = n\hbar$.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળો ટૂંકા ગાળાના હોય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ કે સ્થિત-વિદ્યુત બળોની જેમ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરતા નથી.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળો ન્યુક્લિયોન્સના સાપેક્ષ સ્પિન ઓરિએન્ટેશન પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળો બિન-કેન્દ્રીય બળો છે.
વિધાન $(E)$ સાચું છે કારણ કે નીચું પેકિંગ ફ્રેક્શન એ ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા સૂચવે છે,જે ન્યુક્લિયર સ્થિરતા વધારે છે.
તેથી,વિધાનો $(A), (B), (C),$ અને $(E)$ સાચા છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ ફોટોડાયોડની બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $E_g$ ને અનુરૂપ છે.
$E_g = \frac{hc}{\lambda}$
અહીં $\lambda = 660 \, nm = 660 \times 10^{-9} \, m$, $h = 6.6 \times 10^{-34} \, Js$, અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ આપેલ છે.
$E_g = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} \, J$
આ ઉર્જાને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તેને પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ વડે ભાગતા:
$E_g (eV \text{ માં}) = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E_g = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{1056 \times 10^{-28}} \, eV = \frac{19.8 \times 100}{1056} \, eV = \frac{1980}{1056} \, eV$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1980}{1056} = \frac{15}{8} \, eV$.
તેને $\left(\frac{x}{8}\right) eV$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 15$ મળે છે.

(C) હવામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ આશરે $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f = 60 \text{ MHz} = 60 \times 10^6 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{60 \times 10^6}$ મળે છે.
$\lambda = \frac{300 \times 10^6}{60 \times 10^6} = 5 \text{ m}$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $5 \text{ m}$ છે.

(C) સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $(n)$ અને એક ફોટોનની ઉર્જા $(E = h\nu)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે।
$P = n h \nu$
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$n = \frac{P}{h \nu}$
આપેલ કિંમતો:
$P = 2 \times 10^{-3} \,W$
$h = 6.63 \times 10^{-34} \,Js$
$\nu = 6 \times 10^{14} \,Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 10^{-3}}{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}$
$n = \frac{2 \times 10^{-3}}{39.78 \times 10^{-20}}$
$n = \frac{2}{39.78} \times 10^{17} \approx 0.05027 \times 10^{17} = 5.027 \times 10^{15} \approx 5 \times 10^{15}$
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $5 \times 10^{15}$ છે।

(C) પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 2.0 \ cm$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a = 4.0 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{2.0}{4.0} = 0.5$.
આથી,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $2\theta$ થાય છે.
તેથી,કોણીય પહોળાઈ $= 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.