JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સ્થાન: $x = t^3 - 6t^2 + 20t + 15 \ m$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 20 \ m/s$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12 \ m/s^2$.
સમય શોધવા માટે પ્રવેગને શૂન્ય લેતા: $6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \ s$ મૂકતા: $v = 3(2)^2 - 12(2) + 20 = 12 - 24 + 20 = 8 \ m/s$.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે સંતુલિત મુક્તિના અંશ (degree of freedom) $f_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_{eq} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશ $f_{eq} = 5$ છે.
આપેલ છે:
$n_1 = N$,$f_1 = 6$ (બહુપરમાણ્વીય વાયુ)
$n_2 = 2$,$f_2 = 3$ (એકપરમાણ્વીય વાયુ)
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 = \frac{(N)(6) + (2)(3)}{N + 2}$
બંને બાજુ $(N + 2)$ વડે ગુણતા:
$5(N + 2) = 6N + 6$
$5N + 10 = 6N + 6$
$N$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$10 - 6 = 6N - 5N$
$N = 4$

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ મળે છે.
કદ $V = A \times l$ હોવાથી,આપણે $l = \frac{V}{A}$ લખી શકીએ.
$l$ ની કિંમત વિસ્તરણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta l = \frac{F(V/A)}{AY} = \frac{FV}{A^2Y}$.
બંને તાર માટે $Y$ અને $V$ સમાન હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{F}{A^2}$.
અહીં $\Delta l_1 = \Delta l_2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{F_1}{A_1^2} = \frac{F_2}{A_2^2}$ થાય.
તેથી,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{1}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{F_1}{F_2} = (4)^2 = 16$ મળે છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સ્થાનાંતર માટેનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 6 \pi \text{ s}$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{6 \pi} = \frac{1}{3} \text{ rad/s}$ થાય.
$x = A$ પર,કણ અંતિમ સ્થાન પર છે. $x=A$ થી મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T/4 = (6 \pi)/4 = 1.5 \pi \text{ s}$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $x=A$ થી $x=\frac{\sqrt{3}}{2} A$ સુધી જવા માટેનો સમય પૂછવામાં આવ્યો છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન $x = A \sin(\theta)$ એ ઉર્ધ્વ અક્ષ પરના પ્રક્ષેપણને અનુરૂપ છે.
$x = A$ પર,ફેઝ એંગલ $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ છે.
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ પર,$\sin(\theta_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ થાય.
ફેઝમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ છે.
કારણ કે $\Delta \theta = \omega \Delta t$,તેથી $\frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \Delta t$ મળે.
આથી,$\Delta t = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ થાય.
આને $\frac{\pi}{x} \text{ s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે લંબ પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ અને સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt}$ સમાન છે:
$\frac{v^2}{r} = \frac{dv}{dt}$
$t=0$ $(v=4 \ m/s)$ થી $t$ સમય સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{4}^{v} \frac{dv}{v^2} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{r}$
$\left[ -\frac{1}{v} \right]_{4}^{v} = \frac{t}{r}$
$-\frac{1}{v} + \frac{1}{4} = \frac{t}{0.5} = 2t$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - 2t = \frac{1-8t}{4} \implies v = \frac{4}{1-8t}$
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,એક પરિભ્રમણ માટે અંતર $s$ $(s = 2\pi r = 2\pi(0.5) = \pi \ m)$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\pi} ds = \int_{0}^{t} \frac{4}{1-8t} dt$
$\pi = 4 \left[ \frac{\ln(1-8t)}{-8} \right]_{0}^{t}$
$\pi = -\frac{1}{2} \ln(1-8t)$
$-2\pi = \ln(1-8t)$
$e^{-2\pi} = 1-8t$
$8t = 1 - e^{-2\pi}$
$t = \frac{1}{8} [1 - e^{-2\pi}] \ s$
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 8$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x - y + 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ ઝડપ છે,અને $d$ એ ગતિની રેખાનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $Ax + By + C = 0$ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 1$,$B = -1$,અને $C = 4$. તેથી,$d = \frac{|4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,m$.
આપેલ દળ $m = 5 \,kg$ અને ઝડપ $v = 3\sqrt{2} \,m/s$ છે.
તેથી,$L = 5 \times (3\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2}) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60 \,kg \,m^2/s$.

(C) $1$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A \frac{dv}{dy}$ પરથી,$\eta = \frac{F}{A(dv/dy)}$. પરિમાણ: $\frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$. ($III$ સાથે સુસંગત છે)
$2$. પૃષ્ઠતાણ $(S)$: $S = \frac{F}{l}$. પરિમાણ: $\frac{[M L T^{-2}]}{[L]} = [M L^0 T^{-2}]$. ($IV$ સાથે સુસંગત છે)
$3$. કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr$. પરિમાણ: $[M][L T^{-1}][L] = [M L^2 T^{-1}]$. ($II$ સાથે સુસંગત છે)
$4$. ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$. પરિમાણ: $[M L^2][T^{-1}]^2 = [M L^2 T^{-2}]$. ($I$ સાથે સુસંગત છે)
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(B) ધારો કે $4 \,kg$ ના બ્લોકનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે। કન્સ્ટ્રેઇન્ટ (બંધન) ને કારણે, $2 \,kg$ ના બ્લોકનો ઢળતી સપાટી પર ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $2a$ થશે。
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે: $4g - 2T = 4a \Rightarrow 2g - T = 2a$ (સમીકરણ $1$)
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે: $T - m_2g \sin(30^{\circ}) = m_2(2a) \Rightarrow T - 2g(0.5) = 2(2a) \Rightarrow T - g = 4a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(2g - T) + (T - g) = 2a + 4a \Rightarrow g = 6a \Rightarrow a = \frac{g}{6}$.
તેથી, $2 \,kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $2a = 2(\frac{g}{6}) = \frac{g}{3}$ થશે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $L$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અડધું કરવામાં આવે,તો પણ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ બદલાતો નથી.

(B) ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$KE_A + PE_A = KE_B + PE_B$
અહીં,$KE_A = 0$ (તેને ધીમેથી ધકેલવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ નગણ્ય છે),$PE_A = mgh_A$,$KE_B = \frac{1}{2}mv^2$,અને $PE_B = mgh_B$.
આપેલ છે: $h_A = 1 \ m$,$h_B = 0.5 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$0 + mg(1) = \frac{1}{2}mv^2 + mg(0.5)$
$mg(1 - 0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.5) = \frac{1}{2}mv^2$
$g = v^2$
$v = \sqrt{g} = \sqrt{10} \ m/s$.

(A) ધારો કે $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઉપરના બિંદુની ઊંચાઈ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_E + h$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{G M_E}{r} = -5.12 \times 10^7 \,J/kg$ ... $(i)$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{G M_E}{r^2} = 6.4 \,m/s^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{g'} = \frac{-G M_E / r}{G M_E / r^2} = -r$
$r = -\frac{V}{g'} = -\frac{-5.12 \times 10^7}{6.4} = 0.8 \times 10^7 \,m = 8000 \,km$
કારણ કે $r = R_E + h$, તેથી $h = r - R_E = 8000 \,km - 6400 \,km = 1600 \,km$.

(C) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^x = \text{constant}$ છે,જેને $\log P + x \log V = \text{constant}$ અથવા $\log P = -x \log V + \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -x$ મળે છે.
પ્રક્રિયા $A$ માટે,ઢાળ $\tan(\theta_A) = \gamma$ છે. તેથી,$-x_A = \gamma$,એટલે કે $x_A = -\gamma$.
પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર ઉષ્માધારિતા $C = C_V + \frac{R}{1-x}$ છે.
પ્રક્રિયા $A$ માટે,$C_A = C_V + \frac{R}{1 - (-\gamma)} = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$. કારણ કે $\gamma > 1$,$C_A$ એ એક નિશ્ચિત ધન મૂલ્ય છે.
પ્રક્રિયા $B$ માટે,ઢાળ $\tan(45^\circ) = 1$ છે. તેથી,$-x_B = 1$,એટલે કે $x_B = -1$.
પ્રક્રિયા $B$ માટે,$C_B = C_V + \frac{R}{1 - (-1)} = C_V + \frac{R}{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$C_P = C_V + R$
$C_B = C_V + 0.5R$
$C_A = C_V + \frac{R}{1+\gamma}$ (જ્યાં $1 < \gamma < 1.67$,તેથી $0.37R < \frac{R}{1+\gamma} < 0.5R$)
આમ,$C_P > C_B > C_A > C_V$.

(D) આઘાત $\vec{I}$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i$ જેટલો હોય છે।
દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
જમીન સાથે અથડાયા પહેલાનો વેગ: $v_i = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = -\sqrt{196} = -14 \,m/s$.
ઉછળ્યા પછીનો વેગ: $v_f = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.9 \,m/s$.
આઘાત $I = m(v_f - v_i) = 0.1 \times (9.9 - (-14)) = 0.1 \times (23.9) = 2.39 \,kg \,m/s$.

(A) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે, તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ હોય છે: $v_x = u \cos \theta$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ અંતર $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = m v_x h = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ થાય.
$\theta = 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ કિંમતો મૂકતા:
$L = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2 (1/2)^2}{2g} = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2}{8g} = \frac{\sqrt{3} m u^3}{16g}$.

(D) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે。
અહીં, $T_H$ તાપમાને હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નો r.m.s. વેગ એ $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \,K$ તાપમાને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના r.m.s. વેગ જેટલો છે。
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $M_H = 2 \,g/mol$ અને ઓક્સિજનનું મોલર દળ $M_O = 32 \,g/mol$ છે。
વેગને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$.
$T_H = 2 \times 10 = 20 \,K$.

(D) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m = 3 \,kg$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $3m = 9 \,kg$ છે.
ગતિ કરાવતું બળ બ્લોક $R$ નું વજન છે,જે $F = mg = 3 \times 10 = 30 \,N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{\text{કુલ દળ}} = \frac{30}{3m} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \,m/s^2$ છે.
વાયર $B$ એ બ્લોક $R$ ને બ્લોક $Q$ સાથે જોડે છે. વાયર $B$ માં તણાવ $T_1$ બ્લોક $R$ ની ગતિને ધ્યાનમાં લઈને શોધી શકાય છે:
$mg - T_1 = ma$
$30 - T_1 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$
$T_1 = 30 - 10 = 20 \,N$.
વાયર $B$ માં સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma = \frac{T_1}{A}$ છે,જ્યાં $A = 0.005 \,cm^2 = 0.005 \times 10^{-4} \,m^2 = 5 \times 10^{-7} \,m^2$.
$\sigma = \frac{20}{5 \times 10^{-7}} = 4 \times 10^7 \,N/m^2$.
લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન (રેખીય વિકૃતિ) $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2 \times 10^{-4}$.
આમ,વિકૃતિ $2 \times 10^{-4}$ છે.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે.
આપેલ છે કે $1 \ s$ માં વેગમાં થતો વધારો $50 \ m/s$ છે,તેથી $v = u + a(1) = u + 50$.
આમ,$a = 50 \ m/s^2$.
$t$ થી $t+1$ ના અંતરાલમાં સ્થાનાંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $t$ થી શરૂ થતા $1 \ s$ ના અંતરાલ માટે,સ્થાનાંતર $s = u(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 125$ છે.
$a = 50$ મૂકતા,આપણને $u + 25 = 125$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u = 100 \ m/s$.
$(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t+2$.
જોકે,પ્રશ્ન ગતિની શરૂઆતથી $(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં અંતર પૂછે છે. $u$ એ સમય $t$ પરનો વેગ હોવાથી,પછીની સેકન્ડમાં ($(t+1)^{th}$ સેકન્ડ) અંતર $125 \ m$ છે. $(t+2)^{th}$ સેકન્ડમાં અંતર $S = (u+a) + \frac{a}{2} = 100 + 50 + 25 = 175 \ m$ છે.

(D) તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 = 10 \,kg \cdot m^2$ છે।
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega_i = 10 \times 10 = 100 \,kg \cdot m^2/s$ છે।
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \,J$ છે।
જ્યારે એક સમાન તકતી ઉપર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I + I = 2I = 20 \,kg \cdot m^2$ થાય છે।
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L_i = L_f$, તેથી $100 = I_f \omega_f = 20 \omega_f$।
આમ, અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{100}{20} = 5 \,rad/s$ છે।
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2 = 10 \times 25 = 250 \,J$ છે।
વ્યય થતી ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = 500 \,J - 250 \,J = 250 \,J$ છે।

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$f_1 = 30 \,Hz$ અને $v = 330 \,m/s$,તેથી $L_1 = \frac{330}{4 \times 30} = \frac{330}{120} = 2.75 \,m$.
પાણી રેડ્યા પછી,હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L_2$ છે. નવી આવૃત્તિ $f_2 = 110 \,Hz$ છે.
$L_2 = \frac{330}{4 \times 110} = \frac{330}{440} = 0.75 \,m$.
હવાના સ્તંભની લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L_1 - L_2 = 2.75 - 0.75 = 2.0 \,m = 200 \,cm$ છે.
રેડવામાં આવેલા પાણીનું કદ $V = A \times \Delta L = 2 \,cm^2 \times 200 \,cm = 400 \,cm^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $1 \,g/cm^3$ હોવાથી,પાણીનું દળ $400 \,g$ થાય.

(D) વર્નિયર અચળાંક $(VC)$ એ મુખ્ય સ્કેલના એક વિભાગ $(MSD)$ અને વર્નિયર સ્કેલના એક વિભાગ $(VSD)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે: $50 \,VSD = 49 \,MSD$.
તેથી, $1 \,VSD = \frac{49}{50} \,MSD$.
મુખ્ય સ્કેલનું સૌથી નાનું રીડિંગ $(MSD)$ $0.5 \,mm$ છે.
$VC = 1 \,MSD - 1 \,VSD = 1 \,MSD - \frac{49}{50} \,MSD = \frac{1}{50} \,MSD$.
$MSD = 0.5 \,mm$ ની કિંમત મૂકતા:
$VC = \frac{0.5 \,mm}{50} = \frac{0.5}{50} \,mm = 0.01 \,mm$.

(B) બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $\mu_s = 0.1$.
$N = 1 \times 10 \times \cos(60^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ N$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 0.1 \times 5 = 0.5 \ N$.
$d = 10 \ m$ અંતર માટે ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય:
$W = f \times d = 0.5 \times 10 = 5 \ J$.

(C) $-10^{\circ} C$ પરના બરફને $100^{\circ} C$ પરની વરાળમાં ગરમ કરવાની પ્રક્રિયામાં ઘણા તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફનું $0^{\circ} C$ પર પાણીમાં પીગળવું: તાપમાન અચળ રહે છે (અવસ્થા પરિવર્તન,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા).
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીનું $100^{\circ} C$ પર વરાળમાં રૂપાંતર: તાપમાન અચળ રહે છે (અવસ્થા પરિવર્તન,બાષ્પીભવનગુપ્ત ઉષ્મા).
આમ,હીટિંગ કર્વમાં $0^{\circ} C$ અને $100^{\circ} C$ પર થતા અવસ્થા પરિવર્તનને દર્શાવતા બે અલગ-અલગ આડા વિભાગો હોવા જોઈએ,જે પાણીના ગરમ થવા માટેના વધતા વિભાગ દ્વારા અલગ પડે છે અને ત્યારબાદ વરાળના ગરમ થવા માટેનો વધતો વિભાગ આવે છે. આલેખ $C$ આ બંને અવસ્થા પરિવર્તનો (આડી રેખાઓ) અને મધ્યવર્તી ગરમ થવાના તબક્કાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયાનો ઢાળ એ આઈસોથર્મલ (સમતાપી) પ્રક્રિયાના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે. તેથી,વધુ સીધો (steep) વક્ર એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$1$. વક્ર $B$ એ વક્ર $A$ કરતા વધુ સીધો છે,તેથી પ્રક્રિયા $B$ એ એડિબેટિક પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^\gamma = k$ છે.
$2$. વક્ર $A$ ઓછો સીધો છે,તેથી પ્રક્રિયા $A$ એ આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા છે. આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV = k$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે જે પ્રક્રિયા $B$ ને એડિબેટિક $(PV^\gamma = k)$ અને પ્રક્રિયા $A$ ને આઈસોથર્મલ $(PV = k)$ તરીકે ઓળખાવે છે.

(A) બ્લોક લપસ્યા વિના ઢળતી સપાટી પર સ્થિર રહે તે માટેની શરત એ છે કે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ સ્થિરતાના ખૂણા $\phi$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\tan \phi = \mu$ થાય.
આપેલ સપાટીનું સમીકરણ $y = x^2 / 4$ છે,તેથી કોઈપણ બિંદુ $x$ પરનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 / 4) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$.
બ્લોક લપસ્યા વિના મહત્તમ ઊંચાઈ પર રહે તે માટે,ઢાળ ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{x}{2} = 0.5$,જે આપણને $x = 1$ આપે છે.
સપાટીના સમીકરણ $y = x^2 / 4$ માં $x = 1$ મૂકતા,આપણને મહત્તમ ઊંચાઈ $y = (1)^2 / 4 = 1/4 \ m$ મળે છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે આપેલ છે: $V_E = 11.2 \,km/s$, $M_E$, અને $R_E$.
ગ્રહ માટે: $M_P = \frac{M_E}{6}$ અને $R_P = \frac{R_E}{3}$.
ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_P = \sqrt{\frac{2G(M_E/6)}{(R_E/3)}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{1}{2}}$.
કારણ કે $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = 11.2 \,km/s$, તેથી $V_P = \frac{V_E}{\sqrt{2}}$.
$V_P = \frac{11.2}{1.414} \approx 7.9 \,km/s$.

(A) દળ માટેનું સૂત્ર આપેલ છે: $m = k c^{P} G^{-1/2} h^{1/2}$.
દરેક અચળાંક માટે આપણે પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$c$ (પ્રકાશની ઝડપ) $= [L T^{-1}]$
$G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક) $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) $= [M L^2 T^{-1}]$
આ પરિમાણોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^{P} [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-1/2} [M L^2 T^{-1}]^{1/2}$
$[M^1 L^0 T^0] = [L^P T^{-P}] [M^{1/2} L^{-3/2} T^1] [M^{1/2} L^1 T^{-1/2}]$
જમણી બાજુએ $M$,$L$,અને $T$ ના ઘાતાંકોને ભેગા કરતા:
$M: 1/2 + 1/2 = 1$
$L: P - 3/2 + 1 = P - 1/2$
$T: -P + 1 - 1/2 = -P + 1/2$
બંને બાજુ $L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$P - 1/2 = 0 \implies P = 1/2$.
આમ,$P$ નું મૂલ્ય $1/2$ છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = 3$ મોલ અને $n_2 = 2$ મોલ.
મિશ્રણ માટે મુક્તિની માત્રાનું સૂત્ર $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{\text{mix}} = \frac{3(3) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{9 + 10}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma$ અને મુક્તિની માત્રા $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{2}{f_{\text{mix}}} = 1 + \frac{2}{3.8} = 1 + \frac{20}{38} = 1 + \frac{10}{19} = \frac{29}{19} \approx 1.526$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\gamma_{\text{mix}} = 1.52$ મળે છે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 5 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 2 \text{ kg} = 10 \text{ kg}$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{80 \text{ N}}{10 \text{ kg}} = 8 \text{ m/s}^2$ મળે.
બ્લોક $A$ $(5 \text{ kg})$ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T_1$ છે. તેથી,$T_1 = m_A \times a = 5 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 40 \text{ N}$.
બ્લોક $B$ $(3 \text{ kg})$ માટે,તેના પર લાગતા બળો $T_2$ (આગળની તરફ) અને $T_1$ (પાછળની તરફ) છે. તેથી,$T_2 - T_1 = m_B \times a$.
કિંમતો મૂકતા,$T_2 - 40 \text{ N} = 3 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 24 \text{ N}$.
આમ,$T_2 = 40 \text{ N} + 24 \text{ N} = 64 \text{ N}$.
તેથી,તણાવ $T_1$ અને $T_2$ અનુક્રમે $40 \text{ N}$ અને $64 \text{ N}$ છે.

(D) ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથેના ખૂણા $\theta_A$ અને $\theta_B$ છે. શિરોલંબ સાથેના ખૂણા $45^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ આપેલા છે,તેથી $\theta_A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ અને $\theta_B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
$h$ ઊંચાઈ પરથી ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T$ એ $h = -u \sin \theta T + \frac{1}{2} g T^2$ દ્વારા મળે છે. જો બંને માટે $T$ સમાન હોય,તો પ્રારંભિક વેગના શિરોલંબ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ: $v_A \sin \theta_A = v_B \sin \theta_B$.
$v_A \sin 45^{\circ} = v_B \sin 30^{\circ} \implies v_A (\frac{1}{\sqrt{2}}) = v_B (\frac{1}{2}) \implies \frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વળી,અવધિ $R = (v \cos \theta) T$. જો $R$ અને $T$ સમાન હોય,તો $v_A \cos \theta_A = v_B \cos \theta_B$ થાય.
$v_A \cos 45^{\circ} = v_B \cos 30^{\circ} \implies v_A (\frac{1}{\sqrt{2}}) = v_B (\frac{\sqrt{3}}{2}) \implies \frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,બંને શરતો અલગ ગુણોત્તર આપે છે,તેથી પ્રશ્ન ભૌતિક રીતે અસંગત છે. જોકે,જો આપણે ઉડ્ડયન સમયની શરત માટે શિરોલંબ ઘટકો સમાન ગણીએ,તો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1000$ નાના ટીપાં એક મોટા ટીપામાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = S \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા: $E_1 = 1000 \times (4 \pi r^2 \times S) = 4000 \pi r^2 S$.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા: $E_2 = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (10r)^2 S = 400 \pi r^2 S$.
ગુણોત્તર $E_1 : E_2 = \frac{4000 \pi r^2 S}{400 \pi r^2 S} = \frac{10}{1}$.
તેથી,$x = 10$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ ($C$.$O$.$A$.$M$.) મુજબ,સંપર્ક પહેલાનું કુલ કોણીય વેગમાન સંપર્ક પછીના કુલ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega_0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(4 \times 10) + (2 \times 4) = (4 + 2) \omega_0$
$40 + 8 = 6 \omega_0 \implies 48 = 6 \omega_0 \implies \omega_0 = 8 \ rad/s$.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2}(4)(10)^2 + \frac{1}{2}(2)(4)^2 = 200 + 16 = 216 \ J$.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \omega_0^2 = \frac{1}{2}(4 + 2)(8)^2 = \frac{1}{2}(6)(64) = 3 \times 64 = 192 \ J$.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta E = E_1 - E_2 = 216 \ J - 192 \ J = 24 \ J$.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{B} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$\hat{B} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5}$.
જરૂરી સદિશ $\overrightarrow{V}$ નું મૂલ્ય $5$ છે અને તે $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\overrightarrow{V} = |\overrightarrow{A}| \hat{B} = 5 \times \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
આને આપેલા ઘટકો $X \hat{i} + 3 \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 4$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g}{4}$ થશે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\ell = 4 \ m$ અને $g' = \frac{g}{4}$ કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{g}}$ મળે.
$g = \pi^2 \ ms^{-2}$ આપેલ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \left( \frac{4}{\pi} \right) = 8 \ s$.

(A) બિંદુવત ઉદગમ માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે $r_0 = 1 \text{ m}$ અંતરે તીવ્રતા $I_0 = 16 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ છે.
$r$ અંતરે તીવ્રતા $I(r) = \frac{I_0 \cdot r_0^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8} \times (1)^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{r^2} \text{ W m}^{-2}$ થશે.
$r_1 = 2 \text{ m}$ અંતરે,તીવ્રતા $I_1 = \frac{16 \times 10^{-8}}{2^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{4} = 4 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ મળે.
$r_2 = 4 \text{ m}$ અંતરે,તીવ્રતા $I_2 = \frac{16 \times 10^{-8}}{4^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{16} = 1 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ મળે.
તીવ્રતામાં તફાવત $|I_1 - I_2| = |4 \times 10^{-8} - 1 \times 10^{-8}| = 3 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ થાય.
આમ,જવાબ $3$ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $KE_{avg} = \frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે $k$ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $T$ તમામ વાયુઓ માટે સમાન આપેલ છે,તેથી સરેરાશ ગતિ ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
આથી,આપેલ તાપમાને વાયુના પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તમામ વાયુઓના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(A) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2 \alpha x + \beta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
તેથી,$\frac{1}{v} = 2 \alpha x + \beta$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = 2 \alpha \frac{dx}{dt}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$ અને $v = \frac{dx}{dt}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{1}{v^2} a = 2 \alpha v$.
$a$ ને કર્તા બનાવતા:
$a = -2 \alpha v^3$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. એક ખૂણા પર રહેલા દળનો વિચાર કરો. તે અન્ય ત્રણ દળો દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
બે દળો $a$ અંતરે (પાસેના ખૂણાઓ) છે,અને એક દળ $\sqrt{2}a$ અંતરે (સામેના ખૂણા) છે.
બે નજીકના દળો દ્વારા લાગતા બળો $F = \frac{Gm^2}{a^2}$ છે,જે $90^\circ$ ના ખૂણે લાગે છે. તેમનું પરિણામી બળ $\sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2}F = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ છે.
સામેના દળ દ્વારા લાગતું બળ $F' = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ છે.
આ બંને બળો ચોરસના વિકર્ણની દિશામાં લાગે છે,તેથી કુલ બળ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $F_{\text{net}} = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right) = \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{32} \right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \implies a^2 = 16L^2 \implies a = 4L$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$V$ ને $T$ ના વિધેય તરીકે લખતા,આપણને $V = \left(\frac{nR}{P}\right)T$ મળે છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$ છે,$V-T$ આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{nR}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$.
આપેલી આકૃતિ પરથી,$P_2$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ એ $P_1$ ને અનુરૂપ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે,એટલે કે $(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$.
કારણ કે $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$,તેથી વધારે ઢાળ એટલે ઓછું દબાણ. તેથી,$P_2 < P_1$ અથવા $P_1 > P_2$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi \frac{d^2}{4}$ છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ મળે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta L}{L} = 0.1 \%$ અને $\frac{\Delta d}{d} = 0.1 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta R}{R} = 0.1 \% + 2(0.1 \%) = 0.1 \% + 0.2 \% = 0.3 \%$.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો બળ $F$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$1$. પદ $ax^2$ માટે:
$[ax^2] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[a] = [F] / [x^2] = [MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$2$. પદ $bt^{1/2}$ માટે:
$[bt^{1/2}] = [F] = [MLT^{-2}]$
$[b] = [F] / [t^{1/2}] = [MLT^{-2}] / [T^{1/2}] = [MLT^{-5/2}]$
$3$. $b^2/a$ ના પરિમાણોની ગણતરી:
$[b^2/a] = [b]^2 / [a] = ([MLT^{-5/2}])^2 / [ML^{-1}T^{-2}]$
$[b^2/a] = [M^2 L^2 T^{-5}] / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{2-1} L^{2-(-1)} T^{-5-(-2)}] = [ML^3 T^{-3}]$

(B) બ્લોક $M$ $(M=10 \text{ kg})$ માટે:
$M g \sin 53^{\circ} - \mu M g \cos 53^{\circ} - T = M a$
$10 \times 10 \times 0.8 - 0.25 \times 10 \times 10 \times 0.6 - T = 10 \times 2$
$80 - 15 - T = 20$
$T = 80 - 15 - 20 = 45 \text{ N}$
બ્લોક $m$ માટે:
$T - m g \sin 37^{\circ} - \mu m g \cos 37^{\circ} = m a$
$45 - m \times 10 \times 0.6 - 0.25 \times m \times 10 \times 0.8 = m \times 2$
$45 - 6m - 2m = 2m$
$45 = 10m$
$m = 4.5 \text{ kg}$

(D) ધારો કે $L_1$ એ બંધ ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે અને $L_2$ એ ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $n = 2$ ને અનુરૂપ છે, તેથી $f_{o1} = \frac{2v}{2L_2} = \frac{v}{L_2}$.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઇપની પ્રથમ ઓવરટોન આવૃત્તિ જેટલી છે:
$f_c = f_{o1}$
$\frac{v}{4L_1} = \frac{v}{L_2}$
$L_2 = 4L_1$
આપેલ છે કે $L_2 = 60 \,cm$, તેથી:
$60 \,cm = 4L_1$
$L_1 = \frac{60}{4} \,cm = 15 \,cm$.
તેથી, બંધ પાઇપની લંબાઈ $15 \,cm$ છે.

(B) જ્યારે સ્ટીલના દડાને ગ્લિસરીન જેવા ચીકણા પ્રવાહીમાં નાખવામાં આવે છે,ત્યારે તે ત્રણ બળો અનુભવે છે: નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v = 6 \pi \eta r v)$.
ગતિનું સમીકરણ છે: $mg - F_B - F_v = ma$
બળોના સૂત્રો મૂકતા: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) g - (\rho_L \frac{4}{3} \pi r^3) g - 6 \pi \eta r v = m \frac{dv}{dt}$
ધારો કે $K_1 = \frac{4}{3} \pi r^3 g (\rho - \rho_L) / m$ અને $K_2 = \frac{6 \pi \eta r}{m}$. તેથી સમીકરણ બને છે: $\frac{dv}{dt} = K_1 - K_2 v$
શરૂઆતની શરતો ($t=0$ સમયે $v=0$) સાથે આ વિકલ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\int_0^v \frac{dv}{K_1 - K_2 v} = \int_0^t dt$
આનાથી મળે છે: $v = \frac{K_1}{K_2} (1 - e^{-K_2 t})$
જેમ $t \to \infty$,તેમ વેગ અચળ ટર્મિનલ વેગ $v_T = \frac{K_1}{K_2}$ તરફ જાય છે. $v$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એક ઘાતાંકીય વક્ર છે જે ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને અનંતસ્પર્શી રીતે ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચે છે,જે આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(C) સિક્કો સરક્યા વગર ડિસ્ક પર રહે તે માટે,વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
સિક્કા પર લાગતું લંબબળ $N = mg$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરતા સિક્કા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 r$ છે.
સિક્કો સરકે નહીં તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$m \omega^2 r \leq \mu mg$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 \leq \frac{\mu g}{r}$
તેથી,મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega_{max} = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$ છે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળો છોડ્યા પછી તરત જ આર્ટિલરીનું વેગમાન $(p_1)$ અને ગોળાનું વેગમાન $(p_2)$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,કારણ કે તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હતું.
$|p_1| = |p_2| = p$
ગતિઊર્જા $(KE)$ એ વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ સાથે $KE = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં વેગમાન $p$ બંને માટે સમાન હોવાથી,$KE \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,આર્ટિલરીની ગતિઊર્જા $(KE_1)$ અને ગોળાની ગતિઊર્જા $(KE_2)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{p^2 / 2M_1}{p^2 / 2M_2} = \frac{M_2}{M_1}$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta KE$ જેટલું હોય છે.
તકતી ગબડતી હોવાથી, તેની કુલ ગતિઊર્જા $KE$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર તકતી માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી, $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા, $KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
અહીં $m = 50 \,kg$ અને $v = 0.4 \,m/s$ આપેલ છે, તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{3}{4} \times 50 \times (0.4)^2 = \frac{3}{4} \times 50 \times 0.16 = 0.75 \times 8 = 6 \,J$.
તકતીને રોકવા માટે, અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = 0$ થાય.
આમ, $W = KE_f - KE_i = 0 - 6 = -6 \,J$.
કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|W| = 6 \,J$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થ $H$ ઊંચાઈથી પડે છે. તે જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ ઢળતા સમતલ સાથે અથડાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેણે $(H-h)$ અંતર કાપ્યું છે.
$(H-h)$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ છે.
આ બિંદુએ,અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને વેગ સમક્ષિતિજ બની જાય છે. ત્યારબાદ પદાર્થ $0$ ના પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ સાથે $h$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે. બાકીનું $h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
$T$ મહત્તમ હોય તે માટે $h$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $T$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$\frac{dT}{dh} = \sqrt{\frac{2}{g}} \left( \frac{1}{2\sqrt{H-h}} \cdot (-1) + \frac{1}{2\sqrt{h}} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{H-h}}$,જે $h = H - h$ અથવા $2h = H$ આપે છે.
તેથી,$\frac{H}{h} = 2$.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $\beta$ ને $\beta = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,$h$ ઊંડાઈએ દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -0.02 \% = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\rho gh = -\beta \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
$10^3 \times 10 \times h = -(9 \times 10^8) \times (-2 \times 10^{-4})$
$10^4 \times h = 18 \times 10^4$
$h = 18 \ m$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x = \frac{2A}{3}$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}A\omega}{3}$ છે.
જ્યારે ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}A\omega}{3} = \sqrt{5}A\omega$ થાય છે.
ધારો કે નવો કંપવિસ્તાર $A'$ છે. સમાન સ્થાન $x = \frac{2A}{3}$ પર નવો વેગ $v' = \omega \sqrt{(A')^2 - x^2}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{5}A\omega = \omega \sqrt{(A')^2 - (\frac{2A}{3})^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5A^2 = (A')^2 - \frac{4A^2}{9}$.
$(A')^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $A' = \frac{7A}{3}$.
આને $\frac{nA}{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 7$ મળે છે.

(A) એક લીસી સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થતી હલકી દોરી વડે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળના તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = g / 8$,તેથી:
$\frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2} = \frac{g}{8}$
ધારો કે $m_1 > m_2$,તો આપણને મળે:
$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{8}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$8(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$
$8m_1 - 8m_2 = m_1 + m_2$
$7m_1 = 9m_2$
તેથી,દળનો ગુણોત્તર:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{7}$

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જે $\overline{A}$ બને છે. આ $\overline{A}$ અને ઇનપુટ $B$ બીજા $AND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $OR$ ગેટમાં જાય છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y = (A \cdot B) + (\overline{A} \cdot B)$ આપે છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = (A + \overline{A}) \cdot B$.
કારણ કે $A + \overline{A} = 1$,તેથી આપણને $Y = 1 \cdot B = B$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ ઇનપુટ $B$ જેટલું છે. $Y = B$ માટે ટ્રુથ ટેબલ તપાસતા:
જો $A=0, B=0$,તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$,તો $Y=0$.
જો $A=1, B=1$,તો $Y=1$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) $a.c.$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$.
આપેલ છે કે $V = 100 \sin(100t) \ V$,તેથી મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 100 \ V$.
આપેલ છે કે $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \ mA$,તેથી મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 100 \ mA = 100 \times 10^{-3} \ A = 0.1 \ A$.
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$.
$I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \ A$.
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{0.1}{\sqrt{2}}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P_{\text{avg}} = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5 \ W$.

(C) આભાસી પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = +2$ છે।
ગોલીય અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર $m = -v/u$ છે।
પ્રતિબિંબ આભાસી હોવાથી, તે અરીસાની પાછળ રચાય છે, તેથી $v$ ધન છે। ધારો કે વસ્તુ અંતર $u$ છે (જે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ઋણ છે)।
વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $|v - u| = 15 \,cm$ છે।
વસ્તુ અરીસાની સામે હોવાથી $(u < 0)$ અને આભાસી પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ હોવાથી $(v > 0)$, અંતર $v - u = 15$ થશે।
$v = -mu = -2u$ મૂકતા:
$-2u - u = 15
-3u = 15 \Rightarrow u = -5 \,cm$.
તેથી, $v = -2(-5) = 10 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-5} = \frac{1 - 2}{10} = -\frac{1}{10}$.
આમ, $f = -10 \,cm$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $KE = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
આ કિંમતને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$R \propto \sqrt{m}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m \propto R^2$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ થશે.

(A) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{7 \lambda}{4}$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{7 \lambda}{4} = \frac{7 \pi}{2}$.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{\max}} = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{2 \times 2}\right) = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$.
$\cos(2 \pi - \theta) = \cos(\theta)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2\left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E/B = c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$.
પ્રથમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધો:
$B = E/c = 9.6 / (3 \times 10^8) = 3.2 \times 10^{-8} \ T$.
ત્યારબાદ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરવા માટે,તરંગના પ્રસરણની દિશા $\hat{v} = \hat{E} \times \hat{B}$ નો ઉપયોગ કરો.
આથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B} = \hat{v} \times \hat{E}$ થશે.
તરંગ $X$-દિશામાં $(\hat{v} = \hat{i})$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-દિશામાં $(\hat{E} = \hat{j})$ છે:
$\hat{B} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B} = 3.2 \times 10^{-8} \ \hat{k} \ T$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ, સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। અવરોધો $R_2$ અને $R_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \,\Omega$
હવે, સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $R_1$, $R_p$ અને $R_4$ ના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_1 + R_p + R_4 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega + 1 \,\Omega = 5 \,\Omega$
સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{5 \,\Omega} = 2 \,A$
આ કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2 \,A$ એ $R_1$ માંથી વહે છે, અને ત્યારબાદ બે સમાંતર શાખાઓ $R_2$ અને $R_3$ માં વહેંચાય છે। કારણ કે $R_2 = R_3 = 4 \,\Omega$ છે, તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ બંનેમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે:
$i_{R_3} = i \times \left( \frac{R_2}{R_2 + R_3} \right) = 2 \,A \times \left( \frac{4}{4 + 4} \right) = 2 \times \frac{4}{8} = 1 \,A$

(C) રધરફોર્ડના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,પરમાણુનું મોટાભાગનું દળ અને તેનો તમામ ધન વીજભાર એક નાના ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન તેની આસપાસ ફરે છે. આ પુષ્ટિ કરે છે કે વિધાન $I$ સાચું છે.
થોમસનના પરમાણુ મોડેલ (જેને ઘણીવાર પ્લમ પુડિંગ મોડેલ કહેવામાં આવે છે) મુજબ,પરમાણુ એ ધન વીજભારનો ગોળાકાર વાદળ છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન જડિત હોય છે. આ રધરફોર્ડના મોડેલનો કોઈ ખાસ કિસ્સો નથી; તેના બદલે,તે એક સંપૂર્ણપણે અલગ મોડેલ છે જે રધરફોર્ડના મોડેલ દ્વારા બદલવામાં આવ્યું હતું. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$\vec{E} = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N/C$
$\vec{A} = 30 \hat{i} \ m^2$
સૂત્ર $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (30 \hat{i})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\phi = 6 \times 30 = 180 \ N \cdot m^2/C$
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $180 \ N \cdot m^2/C$ છે.

(B) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $l = 5 \ m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.60 \times 10^{-4} \ Wb \ m^{-2}$.
તારનો વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ શોધવાનું સૂત્ર $e = B_H v l$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = (0.60 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5$
$e = 0.60 \times 10^{-3} \times 5$
$e = 3.0 \times 10^{-3} \ V$.
આમ,પ્રેરિત emf નું તાત્કાલિક મૂલ્ય $3 \times 10^{-3} \ V$ છે.

(C) બામર શ્રેણીની કોઈપણ રેખા જોવા માટે, હાઇડ્રોજન પરમાણુ ઓછામાં ઓછા $n = 3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થવો જોઈએ, કારણ કે બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 3$ થી $n = 2$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને ધરાસ્થિતિ $(n = 1)$ માંથી $n = 3$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \,eV$
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \,eV = 13.6 \times \frac{8}{9} \,eV$
$\Delta E = 12.088... \,eV \approx 12.09 \,eV$
બોમ્બાર્ડ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $eV$ હોવાથી, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 12.09 \,V$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{\alpha}{10} \,V$ છે, તેથી:
$\frac{\alpha}{10} = 12.1$
$\alpha = 121$.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4.0 \mu C = 4.0 \times 10^{-6} \ C$.
વેગ $\vec{v} = 4.0 \times 10^6 \hat{j} \ m/s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2 \hat{k} \ T$.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = (4.0 \times 10^{-6} \ C) \times (4.0 \times 10^6 \hat{j} \ m/s \times 2 \hat{k} \ T)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\vec{F} = (4.0 \times 10^{-6}) \times (8.0 \times 10^6) \hat{i} \ N$.
$\vec{F} = 32 \hat{i} \ N$.
આને $\vec{F} = x \hat{i} \ N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 32$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર્સ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. જ્યારે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને વાયર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $DC$ સર્કિટમાં કેપેસિટર્સ બાયપાસ થઈ જાય છે.
આ સર્કિટમાં $6 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $3 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં $9 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$ છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{9 \ V}{9 \ \Omega} = 1 \ A$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પર છે. ગ્રાઉન્ડની સાપેક્ષમાં બિંદુ $A$ (અને $B$) પરનું સ્થિતિમાન એ $3 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો સ્થિતિમાન તફાવત છે: $V_B = i \times 3 \ \Omega = 1 \ A \times 3 \ \Omega = 3 \ V$.
ઉપરના ટર્મિનલ પરનું સ્થિતિમાન $9 \ V$ છે. તેથી,$6 \ \mu F$ કેપેસિટર (જે $9 \ V$ ટર્મિનલ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે) પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $\Delta V = 9 \ V - 3 \ V = 6 \ V$ છે.
$6 \ \mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C \Delta V = 6 \ \mu F \times 6 \ V = 36 \ \mu C$ છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n^{\text{મા}}$ ન્યૂનતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$b \sin \theta = n \lambda$
અહીં $\lambda$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ લઈ શકાય.
તેથી,$n^{\text{મા}}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{b}$ થાય.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું સ્થાન $y_1 = \frac{\lambda D}{b}$ છે.
ત્રીજા ન્યૂનતમ $(n=3)$ નું સ્થાન $y_3 = \frac{3 \lambda D}{b}$ છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{2 \lambda D}{b}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta y = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,$\lambda = 6000 \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$,અને $D = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{b}$
$b = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}}$
$b = \frac{6000 \times 10^{-10}}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
આમ,સ્લિટની પહોળાઈ $2 \times 10^{-4} \text{ m}$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$20 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 0.3 \ A$ છે. એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$ છે.
અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ સમાન રહેશે.
$V_{AB} = i_1 \times 20 \ \Omega = 0.3 \ A \times 20 \ \Omega = 6 \ V$.
હવે,$15 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ ગણીએ:
$i_2 = \frac{V_{AB}}{15 \ \Omega} = \frac{6 \ V}{15 \ \Omega} = 0.4 \ A$.
કુલ પ્રવાહના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$
$0.3 \ A + 0.4 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$0.7 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$i_3 = 0.2 \ A$.
અંતે,$V_{AB}$ અને પ્રવાહ $i_3$ નો ઉપયોગ કરીને $R_1$ શોધીએ:
$R_1 = \frac{V_{AB}}{i_3} = \frac{6 \ V}{0.2 \ A} = 30 \ \Omega$.

(C) આ સર્કિટમાં $4 \ V$ ના $DC$ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેટલાક અવરોધો છે.
સૌ પ્રથમ,સમગ્ર સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ગણો:
$R_{eq} = 3.3 \ k\Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega + 100 \ \Omega$
$R_{eq} = 3300 \ \Omega + 700 \ \Omega = 4000 \ \Omega$
હવે,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i$ શોધો:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4 \ V}{4000 \ \Omega} = 10^{-3} \ A = 1 \ mA$
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$ એ છેલ્લા પાંચ $100 \ \Omega$ ના અવરોધો પર માપવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,તીર પ્રથમ ત્રણ અવરોધો પછીના જંકશન તરફ નિર્દેશ કરે છે,અને $V_0$ બાકીના પાંચ અવરોધો પર છે).
જે અવરોધ પર $V_0$ માપવામાં આવે છે તે: $R_{out} = 5 \times 100 \ \Omega = 500 \ \Omega$
તેથી,$V_0 = i \times R_{out} = 1 \times 10^{-3} \ A \times 500 \ \Omega = 0.5 \ V$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન $(P.E.E.)$ માટે,શરત $\lambda \leq \frac{hc}{W_0}$ છે.
અહીં કાર્ય વિધેય $W_0 = 3.0 \ eV$ આપેલ છે.
સંબંધ $\lambda_{\max} = \frac{hc}{W_0}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ છે.
$\lambda_{\max} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3.0 \ eV}$.
$\lambda_{\max} \approx 413.33 \ nm$.
તેથી,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ આશરે $414 \ nm$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિઊર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ વિરિયલ પ્રમેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$KE = -\frac{1}{2} PE$
સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $|PE| = 2 KE$.
તેથી,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{|PE|} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
આ સંબંધ કોઈપણ કક્ષા $n$ માટે સાચો છે,જેમાં $5^{\text{th}}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 6)$ પણ સામેલ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \cos(\omega t - kz) \hat{i}$ આપેલ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં, વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_0 = \frac{E_0}{C}$ છે, જ્યાં $C$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, તરંગ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ પ્રસરણ પામે છે.
આપેલ છે કે $\vec{E}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે, તેથી $\hat{i} \times \hat{B} = \hat{k}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{j}$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = \frac{E_0}{C} \cos(\omega t - kz) \hat{j}$ થશે.

(C) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા અને '$I$' વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે લૂપ $A$ અને $B$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પર તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ પરસ્પર લંબ હશે.
ધારો કે $B_A$ એ લૂપ $A$ ને કારણે અને $B_B$ એ લૂપ $B$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. તેથી $B_A = B_B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$.
કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ $B_A$ અને $B_B$ નો સદિશ સરવાળો છે:
$B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2}$
$B_{net} = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} a}$.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર (લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ) છે,અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$
$a = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$
$D = 100 \ cm = 1 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પહોળાઈ} = \frac{400 \times 10^{-9} \ m \times 1 \ m}{0.2 \times 10^{-3} \ m}$
$= \frac{400}{0.2} \times 10^{-6} \ m$
$= 2000 \times 10^{-6} \ m$
$= 2 \times 10^{-3} \ m = 2 \ mm$.

(A) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર એ આંટાની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s}$
અહીં $V_p = 220 \,V$, $N_p = 100$, અને $N_s = 10$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{220}{V_s} = \frac{100}{10} = 10$
$V_s = \frac{220}{10} = 22 \,V$
આ ગૌણ વોલ્ટેજ $V_s = 22 \,V$ એ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે અવરોધો $R_1 = 15 \,k\Omega$ અને $R_2 = 7 \,k\Omega$ પર લાગુ પડે છે.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$ એ $7 \,k\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ છે, જે વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$V_0 = V_s \times \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right)$
$V_0 = 22 \times \left( \frac{7 \,k\Omega}{15 \,k\Omega + 7 \,k\Omega} \right)$
$V_0 = 22 \times \left( \frac{7}{22} \right) = 7 \,V$

(C) આપેલ છે: ઓરડાના તાપમાને અવરોધ $R_0 = 60 \ \Omega$,$T_0 = 27^{\circ} C$ પર.
વોલ્ટેજ $V = 220 \ V$ અને પ્રવાહ $I = 2.75 \ A$.
અંતિમ તાપમાન $T$ પર અવરોધ $R_T = \frac{V}{I} = \frac{220}{2.75} = 80 \ \Omega$.
અવરોધનું તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $\Delta T = T - T_0$.
કિંમતો મૂકતા: $80 = 60[1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)]$.
$80/60 = 1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$1.333 - 1 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$0.333 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$T - 27 = \frac{0.333}{2 \times 10^{-4}} = 1665$.
$T = 1665 + 27 = 1692^{\circ} C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તાપમાન આશરે $1694^{\circ} C$ છે.

(C) ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં છે, તેથી તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ $10 \, V$ અચળ રહે છે.
$500 \, \Omega$ ના લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L)$:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{10 \, V}{500 \, \Omega} = 0.02 \, A = 20 \, mA$
શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_S)$:
$I_S = \frac{V_{in} - V_Z}{R_S} = \frac{20 \, V - 10 \, V}{200 \, \Omega} = \frac{10 \, V}{200 \, \Omega} = 0.05 \, A = 50 \, mA$
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ, ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_Z)$:
$I_Z = I_S - I_L = 50 \, mA - 20 \, mA = 30 \, mA$

(B) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિતિમાન $V$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$V \propto \frac{1}{r^2}$.

(C) શ્રેણી $L, R$ સર્કિટ માટે,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 1000 \ rad/s$ અને પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\cos \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi_1 = 45^{\circ}$ થાય.
આમ,$\tan \phi_1 = \frac{X_{L1}}{R} = \frac{\omega_1 L}{R} = \tan 45^{\circ} = 1$.
આ સૂચવે છે કે $R = \omega_1 L = 1000 L$.
જ્યારે સ્ત્રોતને બદલીને $E = (20 \sin 2000 t) \ V$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 2000 \ rad/s$ થાય છે.
નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L2} = \omega_2 L = 2000 L = 2(\omega_1 L) = 2R$ થાય છે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_{L2}^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 4R^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 3.5 \times 10^{-5} \,T$ છે.
વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \sqrt{2} \,A$ છે.
વાહક દક્ષિણ-પૂર્વથી ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં મૂકવામાં આવ્યો છે,જે સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા) સાથે $\theta = 45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{F}{\ell} = i B_H \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times (3.5 \times 10^{-5}) \times \sin(45^\circ)$.
કારણ કે $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3.5 \times 10^{-5} \,N/m$.
જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $3.5 \times 10^{-5} = 35 \times 10^{-6} \,N/m$.
તેથી,જવાબ $35$ છે.

(B) પરિપથનું કુલ ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E_{eq} = E_1 - E_2 = 8 \ V - 2 \ V = 6 \ V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = r_1 + r_2 = 2 \ \Omega + 4 \ \Omega = 6 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{6 \ \Omega} = 1 \ A$ છે.
કોષ $E_2$ ચાર્જ થઈ રહ્યો હોવાથી (પ્રવાહ તેના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશે છે),તેનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E_2 + Ir_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V = 2 \ V + (1 \ A \times 4 \ \Omega) = 2 \ V + 4 \ V = 6 \ V$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
આપેલ છે કે $E_n = -0.85 \ eV$,તેથી:
$-\frac{13.6}{n^2} = -0.85$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી નીચલી ઉર્જા સપાટીઓ પર થતા સંક્રમણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-1)}{2}$ છે.
$n = 4$ મૂકતા:
સંક્રમણોની સંખ્યા $= \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

(A) વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,મોટવણી $m = -2$ છે.
$m = \frac{v}{u}$ હોવાથી,$\frac{v}{u} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $v = -2u$.
પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $45 \,cm$ આપેલ છે,અને બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે,તેથી અંતર $|v| + |u| = 45$ થાય.
$v = -2u$ (જ્યાં $u$ ઋણ છે) મૂકતા,આપણને $|-2u| + |u| = 45$ મળે છે,તેથી $3|u| = 45$,જે $|u| = 15 \,cm$ આપે છે.
આમ,$u = -15 \,cm$ અને $v = +30 \,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{30} + \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$f = 10 \,cm$.

(C) પ્રથમ કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = E$.
બીજા કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_2 = \frac{1}{2} (2C) (2V)^2 = \frac{1}{2} (2C) (4V^2) = 4 C V^2 = 8E$.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા: $E_i = E_1 + E_2 = E + 8E = 9E$.
કુલ વિદ્યુતભાર: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = CV + (2C)(2V) = CV + 4CV = 5CV$.
કુલ કેપેસીટન્સ: $C_{eq} = C + 2C = 3C$.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ: $V_{common} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{5CV}{3C} = \frac{5}{3} V$.
અંતિમ ઊર્જા: $E_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{5}{3} V)^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{25}{9} V^2) = \frac{25}{6} C V^2 = \frac{25}{3} E$.
ઊર્જાનો વ્યય: $\Delta E = E_i - E_f = 9E - \frac{25}{3} E = \frac{27E - 25E}{3} = \frac{2}{3} E$.
$\frac{x}{3} E$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B \sin(\delta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B = 0.5 \ G = 0.5 \times 10^{-4} \ T$ અને $\delta = 30^{\circ}$.
$B_V = 0.5 \times 10^{-4} \times \sin(30^{\circ}) = 0.5 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.25 \times 10^{-4} \ T = \frac{1}{4} \times 10^{-4} \ T$.
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2 \pi n}{60}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1200 \ rpm$.
$\omega = \frac{2 \pi \times 1200}{60} = 40 \pi \ rad/s$.
ભ્રમણ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_V \omega \ell^2$ છે,જ્યાં $\ell = 80 \ cm = 0.8 \ m$.
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times (0.25 \times 10^{-4}) \times (40 \pi) \times (0.8)^2$.
$\varepsilon = 0.5 \times 0.25 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64$.
$\varepsilon = 0.125 \times 10^{-4} \times 40 \pi \times 0.64 = 5 \pi \times 10^{-4} \times 0.64 = 3.2 \pi \times 10^{-4} = 32 \pi \times 10^{-5} \ V$.
આને $N \pi \times 10^{-5} \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 32$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_{k})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_{k} = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = E_{k}$,$x = \nu$,$m$ એ ઢાળ છે,અને $c$ એ અંતઃખંડ છે:
આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = h$ થાય છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ પ્લાન્ક અચળાંક આપે છે.

(C) પિતૃ ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક દળ $M$ છે. તે ત્રણ પુત્રી ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,જે દરેકનું દળ $m = M/3$ છે.
વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના નિયમ મુજબ $E = \Delta M c^2$ છે.
આ ઉર્જા ત્રણ પુત્રી ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. ધારો કે દરેક પુત્રી ન્યુક્લિયસની ઝડપ $v$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K.E. = 3 \times (\frac{1}{2} m v^2) = 3 \times (\frac{1}{2} \times \frac{M}{3} \times v^2) = \frac{1}{2} M v^2$ થાય.
મુક્ત થયેલી ઉર્જાને ગતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા: $\Delta M c^2 = \frac{1}{2} M v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{2 \Delta M c^2}{M}$.
તેથી,$v = c \sqrt{\frac{2 \Delta M}{M}}$.

(B) કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$A = \pi r^2$.
તેથી,$\mu = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$r \propto n^2$ અને $v \propto \frac{1}{n}$.
આ સંબંધો મૂકતા: $\mu \propto \left(\frac{1}{n}\right) \cdot n^2 = n^1$.
$\mu \propto n^1$ ની સરખામણી $\mu \propto n^x$ સાથે કરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ $V(t) = 220 \sin(100 \pi t)$ છે. લોડ શુદ્ધ અવરોધક હોવાથી,પ્રવાહ $I(t)$ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે: $I(t) = I_0 \sin(100 \pi t)$,જ્યાં $I_0 = V_0 / R = 220 / 50 = 4.4 \ A$ છે.
આપણે પ્રવાહને $I_0 / 2$ થી $I_0$ સુધી વધવા માટે લાગતો સમય શોધવો છે.
$t_1$ સમયે,$I(t_1) = I_0 \sin(100 \pi t_1) = I_0 / 2 \implies 100 \pi t_1 = \pi / 6 \implies t_1 = 1 / 600 \ s$.
$t_2$ સમયે,$I(t_2) = I_0 \sin(100 \pi t_2) = I_0 \implies 100 \pi t_2 = \pi / 2 \implies t_2 = 1 / 200 \ s$.
લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 1/200 - 1/600 = (3 - 1) / 600 = 2 / 600 = 1 / 300 \ s$ છે.
$\Delta t = 0.00333 \ s = 3.33 \ ms$.

(B) વિકિરણના સંપૂર્ણ શોષણ માટે, સપાટી પર પહોંચાડવામાં આવેલ વેગમાન $p$ અને સ્થાનાંતરિત ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \frac{E}{c}$ છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \,m/s)$.
આપેલ ઉર્જા $E = 6.48 \times 10^5 \,J$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{6.48 \times 10^5}{3 \times 10^8} \,kg \cdot m/s$
$p = 2.16 \times 10^{-3} \,kg \cdot m/s$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે.
$2$. માલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેની ધ્રુવીભવન અક્ષ પ્રથમ પોલેરોઇડ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,ત્યારે અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2(45^{\circ})$.
$4$. કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = 1 / \sqrt{2}$,તેથી $\cos^2(45^{\circ}) = 1/2$.
$5$. તેથી,$I_2 = (I_0 / 2) \times (1 / 2) = I_0 / 4$.

(B) અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2 k \lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE = \frac{2 k \lambda q}{r}$ છે.
આને કેન્દ્રગામી બળ $m \omega^2 r$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{2 k \lambda q}{r} = m \omega^2 r$.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega^2 = \frac{2 k \lambda q}{m r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2 k \lambda q}{m}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega$ ની કિંમત મૂકતા આપણને $T = 2 \pi r \sqrt{\frac{m}{2 k \lambda q}}$ મળે છે.

(A) પરિપથમાં $15 \, V$ નો $DC$ સ્ત્રોત, એક જર્મેનિયમ $(Ge)$ ડાયોડ, એક સિલિકોન $(Si)$ ડાયોડ, $1.5 \, k\Omega$ નો અવરોધ અને $R_L = 2.5 \, k\Omega$ નો લોડ અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે。
$Ge$ ડાયોડ માટે બેરિયર પોટેન્શિયલ $V_{Ge} = 0.3 \, V$ અને $Si$ ડાયોડ માટે $V_{Si} = 0.7 \, V$ છે。
લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$15 - V_{Ge} - V_{Si} - i(1.5 \, k\Omega) - i(2.5 \, k\Omega) = 0$
$15 - 0.3 - 0.7 = i(1.5 + 2.5) \, k\Omega$
$14 = i(4 \, k\Omega)$
$i = \frac{14}{4} \, mA = 3.5 \, mA$
લોડ અવરોધ $R_L$ પરનો વોલ્ટેજ:
$V_L = i \times R_L = 3.5 \, mA \times 2.5 \, k\Omega = 8.75 \, V$

(D) શરૂઆતમાં ઉર્જા વ્યયનો દર $W = \frac{V^2}{R} \quad ...(i)$ છે.
જ્યારે તારને બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ માટે નવો ઉર્જા વ્યયનો દર $W'$:
$W' = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right)$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$W' = 4W$.

(D) મેક્સવેલના સમીકરણો સંકલિત સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$A$. સ્થિત-ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0$ $(A-II)$.
$B$. વિદ્યુત ચુંબકીય પ્રેરણ માટે ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ એ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int \vec{B} \cdot d\vec{a}$ $(B-III)$.
$C$. એમ્પિયરનો નિયમ (તેના મૂળ સ્વરૂપમાં) બંધ લૂપની આસપાસના ચુંબકીય ક્ષેત્રના રેખા સંકલનને લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતા પ્રવાહ સાથે સંબંધિત કરે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$ $(C-IV)$.
$D$. સ્થિત-વિદ્યુત માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dV$ $(D-I)$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(A) ઇનપુટ પાવર $P_{\text{in}}$ એ પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ $V_p$ અને પ્રાઇમરી પ્રવાહ $I_p$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$P_{\text{in}} = V_p \times I_p = 2300 \text{ V} \times 5 \text{ A} = 11500 \text{ W}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}}$ અને ઇનપુટ પાવર $P_{\text{in}}$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $\eta = 90\% = 0.9$,તેથી $P_{\text{out}} = \eta \times P_{\text{in}} = 0.9 \times 11500 \text{ W} = 10350 \text{ W}$.
આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}} = V_s \times I_s$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $V_s = 230 \text{ V}$ એ આઉટપુટ વોલ્ટેજ છે.
$10350 \text{ W} = 230 \text{ V} \times I_s$.
$I_s = \frac{10350}{230} \text{ A} = 45 \text{ A}$.

(D) ન્યૂટનના લેન્સના સમીકરણ મુજબ,જ્યારે અંતર $x$ અને $y$ મુખ્ય કેન્દ્રથી માપવામાં આવે છે,ત્યારે સંબંધ $xy = f^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે વક્ર પર એક બિંદુ જોઈ શકીએ છીએ જ્યાં $x = 20 \ cm$ અને $y = 20 \ cm$ છે.
આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 \times 20 = f^2$
$f^2 = 400$
$f = 20 \ cm$.
વૈકલ્પિક રીતે,આલેખ દર્શાવે છે કે જ્યારે $x = 10 \ cm$ હોય ત્યારે $y = 40 \ cm$ (y-અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી),અને જ્યારે $x = 40 \ cm$ હોય ત્યારે $y = 10 \ cm$ (x-અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી).
$xy = f^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $10 \times 40 = f^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f^2 = 400$,તેથી $f = 20 \ cm$.

(B) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 1 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $d = a/2 = 0.5 \ m$ છે.
ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે,તેથી $\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{2 \pi a}$ છે.
ચોરસ લૂપ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = \frac{2 \mu_0 i \sqrt{2}}{\pi a}$ છે.
આપેલ છે કે $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 5 \ A$,અને $a = 1 \ m$:
$B = \frac{2 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 5 \times \sqrt{2}}{\pi \times 1} = 40 \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$.
આને $X \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 40$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\theta$ એ દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. દોરીઓ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $37^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 37^{\circ}/2 = 18.5^{\circ}$ થાય.
હવામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{F_e}{\rho_B V g}$ છે,જ્યાં $\rho_B$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $V$ તેનું કદ છે.
પ્રવાહીમાં,અસરકારક વજન $mg' = V(\rho_B - \rho_L)g$ થાય છે અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$ છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,આપણે $\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F_e}{\rho_B V g} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$
$\rho_B = K(\rho_B - \rho_L)$
$1.4 = K(1.4 - 0.7)$
$1.4 = K(0.7)$
$K = \frac{1.4}{0.7} = 2$.

(B) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_V$ છે. વોલ્ટમીટરને $100 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{100 \cdot R_V}{100 + R_V}$ છે.
હવે પરિપથમાં $R_p$ અને $200 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જે $4 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,સમાંતર જોડાણ $(R_p)$ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = V \cdot \frac{R_p}{R_p + 200}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_p = 1 \ V$ અને $V = 4 \ V$ આપેલ છે,તેથી $1 = 4 \cdot \frac{R_p}{R_p + 200}$.
$R_p + 200 = 4 R_p \implies 3 R_p = 200 \implies R_p = \frac{200}{3} \ \Omega$.
$R_p$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{100 R_V}{100 + R_V} = \frac{200}{3}$.
$300 R_V = 200(100 + R_V) \implies 300 R_V = 20000 + 200 R_V$.
$100 R_V = 20000 \implies R_V = 200 \ \Omega$.

(C) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. ડી-મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$.
$4$. આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
$5$. સમીકરણ $Y = A + B$ એ $OR$ લોજિક ઓપરેશન દર્શાવે છે.

(D) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું એપેક્સ ખૂણા $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
આપેલ છે કે $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A/2)$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos(A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(90^{\circ} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(90^{\circ} - A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$90^{\circ} - A/2 = (A + \delta_m)/2$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$

(C) પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = i (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અસરકારક લંબાઈ સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રવાહ ડાબી બાજુએથી અર્ધવર્તુળાકાર લૂપમાં પ્રવેશે છે અને જમણી બાજુએથી બહાર નીકળે છે. અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ માટે સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff} = 2R \hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{F} = i (2R \hat{i} \times B_0 \hat{k})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,આપણને $\vec{F} = i (2R B_0) (-\hat{j}) = -2 i B_0 R \hat{j}$ મળે છે.