JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે: મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ $(MSR)$ = $1 \,mm$, વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ $(CSR)$ = $42$ વિભાગો, પિચ = $1 \,mm$, વર્તુળાકાર સ્કેલના કુલ વિભાગો $(n)$ = $100$.
સૌ પ્રથમ, સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ શોધો:
$LC = \frac{\text{Pitch}}{n} = \frac{1 \,mm}{100} = 0.01 \,mm$.
કુલ વ્યાસનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Diameter} = MSR + (LC \times CSR)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Diameter} = 1 \,mm + (0.01 \,mm \times 42) = 1 + 0.42 = 1.42 \,mm$.
પ્રશ્ન મુજબ, વ્યાસ $\frac{x}{50} \,mm$ છે:
$1.42 = \frac{x}{50}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 1.42 \times 50 = 71$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = du + dW$.
કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,$C dT = C_V dT + P dV$,જ્યાં $C$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
$dT$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $C = C_V + P \frac{dV}{dT}$.
આપેલ અવસ્થા સમીકરણ $PV^2 = RT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ પર $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(2V) \frac{dV}{dT} = R$.
તેથી,$P \frac{dV}{dT} = \frac{R}{2}$.
આ કિંમત $C$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C = C_V + \frac{R}{2}$.

(B) $1$. ટોર્ક $(\tau) = r \times F$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-2}]$. તેથી,$A-IV$.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B) = F / (qv)$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 T^{-2} A^{-1}]$. તેથી,$B-III$.
$3$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M) = I \times A$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[L^2 A^1]$. તેથી,$C-II$.
$4$. શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $(\mu_0) = [B \cdot r^2 / (I \cdot l)]$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$. તેથી,$D-I$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
વાયુઓ એક જ નમૂનામાં હોવાથી,તેમનું તાપમાન $(T)$ સમાન છે.
તેથી,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_w}}$.
હિલિયમ $(He)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{w, O_2}}{M_{w, He}}}$.
હિલિયમનું મોલર દળ $(M_{w, He} = 4 \ g/mol)$ અને ઓક્સિજનનું મોલર દળ $(M_{w, O_2} = 32 \ g/mol)$ આપેલ છે:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ છે.

(A) $m_1$ અને $m_2$ $(m_2 > m_1)$ દળ ધરાવતી એટવુડ મશીન માટે,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
આપેલ છે કે $a = \frac{g}{\sqrt{2}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g}{\sqrt{2}} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = \sqrt{2} m_2 - \sqrt{2} m_1$
$m_1 + \sqrt{2} m_1 = \sqrt{2} m_2 - m_2$
$m_1(1 + \sqrt{2}) = m_2(\sqrt{2} - 1)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$

(C) કણની ગતિઊર્જા $KE$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
અહીં ચારેય કણોનું વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(KE \propto \frac{1}{m})$.
તેથી,જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હશે.
દળની સરખામણી કરતા: $\frac{m}{2} < m < 2m < 4m$.
કણ $A$ નું દળ સૌથી ઓછું $\frac{m}{2}$ છે.
આમ,કણ $A$ મહત્તમ ગતિઊર્જા ધરાવે છે.

(B) ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. તે $t$ સમયમાં સમાન પ્રવેગ સાથે $v = 80 \ km/h$ ની ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રવેગી ગતિ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_1)$ = $\text{સરેરાશ વેગ} \times \text{સમય} = \frac{0 + 80}{2} \times t = 40t \ km$.
ત્યારબાદ,તે $3t$ સમય માટે $80 \ km/h$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે.
અચળ ઝડપ દરમિયાન કાપેલું અંતર $(d_2)$ = $80 \times 3t = 240t \ km$.
કુલ અંતર = $d_1 + d_2 = 40t + 240t = 280t \ km$.
કુલ સમય = $t + 3t = 4t$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{280t}{4t} = 70 \ km/h$.

(D) જ્યારે દડો અચળ વેગ (ટર્મિનલ વેગ) થી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધ બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
અચળ વેગની શરત મુજબ,પ્રવેગ $a = 0$ છે.
તેથી,$mg - F_B - F_v = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F_v = mg - F_B$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V \rho_0 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
કદ $V = \frac{m}{\rho}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $F_B = \frac{m}{\rho} \rho_0 g$.
આ કિંમતને $F_v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_v = mg - \frac{m}{\rho} \rho_0 g$
$F_v = mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{2}{5}MR^2\right) \frac{2\pi}{T_1} = \left(\frac{2}{5}M(\frac{3}{4}R)^2\right) \frac{2\pi}{T_2}$
$R^2 \cdot \frac{1}{T_1} = (\frac{3}{4}R)^2 \cdot \frac{1}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{T_2}$
$T_2 = \frac{9}{16} \cdot T_1$
અહીં $T_1 = 24$ કલાક આપેલ છે:
$T_2 = \frac{9}{16} \times 24 = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ કલાક.
આમ,દિવસનો સમયગાળો $13$ કલાક $30$ મિનિટ થશે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ હોવાથી,$1000$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું થાય:
$1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_s)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T) = 4000 \pi r^2 T$
મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_b)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$
$1000$ ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા અને મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_s}{E_b} = \frac{4000 \pi r^2 T}{400 \pi r^2 T} = 10$
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{10}{x}$ છે,તેથી:
$10 = \frac{10}{x}$
તેથી,$x = 1$.

(A) $\text{સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ } (V_{\max}) \text{ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: } V_{\max} = \omega A$.
અહીં, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે: $A = 0.06 \,m$ અને $T = 3.14 \,s \approx \pi \,s$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\max} = \left(\frac{2\pi}{\pi}\right) \times 0.06 = 2 \times 0.06 = 0.12 \,m/s$.
વેગને $cm/s$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$V_{\max} = 0.12 \times 100 = 12 \,cm/s$.

(B) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ સૂચવે છે કે ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં (coplanar) છે.
આની ગણતરી ઘટકોના નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} -x & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-x(4(3) - 3(-1)) - (-6)((-1)(3) - 3(-8)) + (-2)((-1)(-1) - 4(-8)) = 0$
$-x(12 + 3) + 6(-3 + 24) - 2(1 + 32) = 0$
$-15x + 6(21) - 2(33) = 0$
$-15x + 126 - 66 = 0$
$-15x + 60 = 0$
$15x = 60$
$x = 4$

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = \Delta U + W$
અહીં,$\Delta Q = 48 \,J$,$n = 1 \,mol$,અને $\Delta T = 2 \,K$ (કારણ કે $2^{\circ}C$ નો ફેરફાર એ $2 \,K$ ના ફેરફાર જેટલો જ છે).
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = (1) \left(\frac{3}{2} R\right) (2) = 3R$ થાય.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$48 = 3R + W$
$W = 48 - 3(8.3)$
$W = 48 - 24.9$
$W = 23.1 \,J$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W_s = mg_s = 300 \,N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે, જ્યાં $g_s$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = R/4$ આપેલ છે, તેથી:
$g_d = g_s \left(1 - \frac{R/4}{R}\right)$
$g_d = g_s \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$g_d = g_s \left(\frac{3}{4}\right)$
$d$ ઊંડાઈએ પદાર્થનું વજન $W_d = mg_d$ થાય.
$g_d$ ની કિંમત મૂકતા:
$W_d = m \times \left(\frac{3}{4} g_s\right)$
$W_d = \frac{3}{4} \times (mg_s)$
$mg_s = 300 \,N$ હોવાથી:
$W_d = \frac{3}{4} \times 300 \,N = 225 \,N$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 800 \,kg$, ત્રિજ્યા $r = 300 \,m$, બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
ઘર્ષણ સાથે બેંકિંગ રોડ પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ માટેનું સૂત્ર:
$V_{\max} = \sqrt{rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\max} = \sqrt{300 \times 10 \times \left[ \frac{\tan 30^{\circ} + 0.2}{1 - 0.2 \times \tan 30^{\circ}} \right]}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ લેતા:
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.577 + 0.2}{1 - 0.2 \times 0.577} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.777}{0.8846} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times 0.8783} \approx \sqrt{2635} \approx 51.33 \,m/s$
આમ, મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} \approx 51.4 \,m/s$ મળે છે.

(D) અદ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે, મુક્તિના અંશો $(f)$ માં $3$ સ્થાનાંતરિત, $2$ ભ્રમણીય અને $2$ કંપન ગતિના પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે。
આમ, $f = 3 + 2 + 2 = 7$ થાય。
એક અણુની ઉર્જા $U = \frac{f}{2} K_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$f = 7$ મૂકતા, એક અણુની ઉર્જા $U = \frac{7}{2} K_B T$ મળે છે。
આવા $10$ અણુઓ માટે, કુલ ઉર્જા $E = 10 \times \frac{7}{2} K_B T = 35 K_B T$ થાય。

(B) $\text{પદાર્થ અને સાંકળ ધરાવતી આ સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે.}$
$\text{ડાળી પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ એ પદાર્થનું વજન અને સાંકળના વજનનો સરવાળો છે.}$
$\text{પદાર્થનું વજન},W_b = 200 \,N$.
$\text{સાંકળનું વજન},W_c = m \times g = 10 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 100 \,N$.
$\text{સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,સાંકળ જ્યાં ડાળી સાથે જોડાયેલી છે ત્યાં સાંકળમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ } T \text{ કુલ વજનને સંતુલિત કરે છે.}$
$T = W_b + W_c = 200 \,N + 100 \,N = 300 \,N$.
$\text{તેથી,ડાળી સાંકળને } 300 \,N \text{ ના બળથી ખેંચે છે.}$

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $P = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 36 K_i$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = \sqrt{2mK_i}$ છે અને અંતિમ વેગમાન $P_f = \sqrt{2mK_f} = \sqrt{2m(36K_i)} = 6\sqrt{2mK_i} = 6P_i$ છે.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_f - P_i}{P_i} \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{6P_i - P_i}{P_i} \times 100 \% = \frac{5P_i}{P_i} \times 100 \% = 500 \%$.

(A) સાબુના પરપોટામાં બે પ્રવાહી-હવા સપાટીઓ હોય છે: એક અંદરની તરફ અને એક બહારની તરફ.
એક ગોળાકાર સપાટી માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2 S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટામાં બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ વધારાનું દબાણ $\Delta P = 2 \times \left( \frac{2 S}{R} \right)$ થાય છે.
તેથી,સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ બહારના દબાણ કરતા $\Delta P = \frac{4 S}{R}$ જેટલું વધારે હોય છે.

(C) શૂન્ય ત્રુટિ $0.04 \text{ mm} = 0.004 \text{ cm}$ તરીકે આપવામાં આવી છે. વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય ડાબી તરફ ખસતું હોવાથી,શૂન્ય ત્રુટિ ઋણ છે.
શૂન્ય ત્રુટિનું સૂત્ર છે: $\text{Zero Error} = -(\text{n} \times \text{Least Count})$,જ્યાં $n$ એ સંપાત થતો વિભાગ છે.
આપેલ છે કે $50 \text{ VSD} = 49 \text{ MSD}$,તેથી લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 1 \text{ MSD} - \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{1}{50} \text{ MSD}$.
ધારો કે $1 \text{ MSD} = x \text{ cm}$. તો $LC = \frac{x}{50} \text{ cm}$.
$4^{\text{થો}}$ વિભાગ સંપાત થાય છે,તેથી શૂન્ય ત્રુટિ $4 \times LC = 4 \times \frac{x}{50} = 0.004 \text{ cm}$ થાય.
$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{4x}{50} = 0.004 \implies 4x = 0.2 \implies x = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ cm}$ માં મુખ્ય સ્કેલ વિભાગોની સંખ્યા $N = \frac{1 \text{ cm}}{x} = \frac{1}{0.05} = 20$ છે.

(C) ઉષ્મા ઉર્જા માટેનું સૂત્ર $\Delta Q = mS \Delta T$ છે,જ્યાં $S$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
તેથી,$S = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$.
તેના પરિમાણો $[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M][K]} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$ થાય છે.
આમ,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
તેથી,$R = \frac{PV}{nT}$.
તેના પરિમાણો $[R] = \frac{[ML^{-1} T^{-2}][L^3]}{[mol][K]} = [ML^2 T^{-2} mol^{-1} K^{-1}]$ થાય છે.
આપેલા વિધાન સાથે સરખાવતા,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. નીચેની દિશાને ધન લેતા,ગતિનું સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ છે.
ઉપરની તરફ ફેંકવા માટે,પ્રારંભિક વેગ $-u$ છે: $h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_1^2 - ut_1 - h = 0$. $t_1$ માટે ઉકેલતા (ધન મૂળ લેતા): $t_1 = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$.
નીચેની તરફ ફેંકવા માટે,પ્રારંભિક વેગ $+u$ છે: $h = ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_2^2 + ut_2 - h = 0$. $t_2$ માટે ઉકેલતા (ધન મૂળ લેતા): $t_2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$.
જો પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે,તો $u = 0$,તેથી $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t_1$ અને $t_2$ નો ગુણાકાર કરતા: $t_1 t_2 = \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} + u}{g}\right) \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} - u}{g}\right) = \frac{(u^2 + 2gh) - u^2}{g^2} = \frac{2gh}{g^2} = \frac{2h}{g} = t^2$.
તેથી,$t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x^2 = 1 + t^2$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x \frac{dx}{dt} = 2t$,જેનું સાદું રૂપ $x v = t$ થાય છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
$x v = t$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા: $x \frac{dv}{dt} + v \frac{dx}{dt} = 1$.
કારણ કે $\frac{dv}{dt} = a$ (પ્રવેગ) અને $\frac{dx}{dt} = v$,આપણને $x a + v^2 = 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં $v = \frac{t}{x}$ મૂકતા: $x a + (\frac{t}{x})^2 = 1$.
$x a = 1 - \frac{t^2}{x^2} = \frac{x^2 - t^2}{x^2}$.
મૂળ સમીકરણ પરથી $x^2 - t^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $x a = \frac{1}{x^2}$ મળે છે.
તેથી,$a = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
આને $x^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.

(D) $2 \,m$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી દરેક બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,m$ છે。
ત્રિકોણના સમતલને લંબ અને મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ છે。
અહીં બધા દળ મધ્યકેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,$I = (m_1 + m_2 + m_3) r^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = (2 + 4 + 6) \times (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$I = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \,kg \,m^2$.

(C) દળના સંતુલન માટે શિરોલંબ દિશામાં,તારમાં રહેલા તણાવ $T$ ના શિરોલંબ ઘટકો દળના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$2T \sin \theta = mg$
અહીં $m = 2 \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $\theta = \frac{1}{100} \text{ rad}$ આપેલ છે. નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા $\sin \theta \approx \theta$:
$2T \theta = 20$
$T = \frac{10}{\theta} = \frac{10}{1/100} = 1000 \text{ N}$
તારની મૂળ લંબાઈ $2L = 2 \text{ m}$ છે,તેથી $L = 1 \text{ m}$.
તારની નવી લંબાઈ $2 \sqrt{L^2 + x^2}$ છે,જ્યાં $x = L \tan \theta \approx L \theta$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left( \sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1 \right) \approx 2L \left( 1 + \frac{\tan^2 \theta}{2} - 1 \right) = L \tan^2 \theta \approx L \theta^2$
$\Delta L = 1 \times (1/100)^2 = 10^{-4} \text{ m}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L / (2L)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times 10^{11} = \frac{1000 / A}{10^{-4} / 2}$
$2 \times 10^{11} = \frac{2000}{A \times 10^{-4}}$
$A = \frac{2000}{2 \times 10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{1000}{10^7} = 10^{-4} \text{ m}^2$
આમ,$A$ નું મૂલ્ય $1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે, $v$ એ અવાજનો વેગ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે।
પ્રથમ પાઇપ માટે: $L_1 = 0.6 \,m$, $n_1 = 6$.
$f_1 = \frac{6 \times 333}{2 \times 0.6} = \frac{1998}{1.2} = 1665 \,Hz$.
બીજી પાઇપ માટે: $L_2 = 0.9 \,m$, $n_2 = 5$.
$f_2 = \frac{5 \times 333}{2 \times 0.9} = \frac{1665}{1.8} = 925 \,Hz$.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f = |f_1 - f_2| = |1665 - 925| = 740 \,Hz$ છે।

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE$ અને તેના રેખીય વેગમાન $P$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $KE = \frac{P^2}{2m}$ છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી, $P^2 = 2m(KE)$, જેનો અર્થ છે કે $P = \sqrt{2m(KE)}$.
અહીં $2$ અને $KE$ અચળ હોવાથી, રેખીય વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $P \propto \sqrt{m}$.
આપેલ દળ $m_A = 400 \,g = 0.4 \,kg$, $m_B = 1.2 \,kg$ અને $m_C = 1.6 \,kg$ છે.
તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $P_A : P_B : P_C = \sqrt{m_A} : \sqrt{m_B} : \sqrt{m_C}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_A : P_B : P_C = \sqrt{0.4} : \sqrt{1.2} : \sqrt{1.6}$.
સરળ બનાવવા માટે $\sqrt{10}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{4} : \sqrt{12} : \sqrt{16} = 2 : 2\sqrt{3} : 4$.
$2$ વડે ભાગતા, આપણને $1 : \sqrt{3} : 2$ મળે છે.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)_{\text{mono}} = \frac{3}{2}R$ છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)_{\text{dia}} = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ કદે આ વાયુઓની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{(C_v)_{\text{mono}}}{(C_v)_{\text{dia}}} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.

(A) $a \times 10^b$ તરીકે દર્શાવેલ સંખ્યાનો પરિમાણનો ક્રમ (order of magnitude) $a$ ના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો $1 \leq a \leq 5$ હોય,તો પરિમાણનો ક્રમ $b$ છે.
જો $5 < a < 10$ હોય,તો પરિમાણનો ક્રમ $b + 1$ છે.
તેથી,જ્યારે $a \leq 5$ હોય ત્યારે $b$ એ પરિમાણનો ક્રમ છે.

(C) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $r_s = 75 \ cm = 0.75 \ m$ છે. મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $r_m = 60 \ cm = 0.60 \ m$ છે.
$30$ મિનિટમાં,સેકન્ડ કાંટો $30$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે. સેકન્ડ કાંટાની ટોચ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_s = 30 \times (2 \pi r_s) = 30 \times 2 \times 3.14 \times 0.75 = 141.3 \ m$ છે.
$30$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો $0.5$ પરિભ્રમણ (અડધું વર્તુળ) પૂર્ણ કરે છે. મિનિટ કાંટાની ટોચ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_m = 0.5 \times (2 \pi r_m) = \pi r_m = 3.14 \times 0.60 = 1.884 \ m$ છે.
અંતરનો તફાવત $x = d_s - d_m = 141.3 - 1.884 = 139.416 \ m$ છે.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$x \approx 139.4 \ m$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = 49000 \frac{M}{\ell}$ છે.
$Y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો $M = 500 \text{ g}$,$\Delta M = 5 \text{ g}$,$\ell = 2 \text{ cm}$,અને $\Delta \ell = 0.02 \text{ cm}$ છે.
આ મૂલ્યોને સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{5}{500} + \frac{0.02}{2}$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે:
$\% \text{ error} = \frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2 \%$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $a$ અને $d$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
બિંદુઓ $b$ અને $c$ ને જોડતા એડિબેટિક પથ માટે:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
બિંદુઓ $a$ અને $b$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_a = T_b$ થાય. તેવી જ રીતે,બિંદુઓ $d$ અને $c$ એક જ આઈસોથર્મલ વક્ર પર હોવાથી,$T_d = T_c$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
તેથી,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
આમ,$\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(r\omega)r = mr^2\left(\frac{2\pi}{T}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$\frac{L}{m} = \frac{2\pi r^2}{T}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{T}{r^2} = \frac{2\pi m}{L}$.
ગ્રહ $A$ માટે: $\frac{T_A}{r_1^2} = \frac{2\pi m_1}{L}$.
ગ્રહ $B$ માટે: $\frac{T_B}{r_2^2} = \frac{2\pi m_2}{3L}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_A}{T_B} \cdot \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2} \cdot 3 \implies \frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,તેથી $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
ગોઠવતા: $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{-1/3} = 3 \frac{m_1}{m_2} \implies \frac{T_A}{T_B} = \left(3 \frac{m_1}{m_2}\right)^{-3} = \frac{1}{27} \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^3$.

(B) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને ધારારેખી વહન ધરાવતા તરલ માટે,દબાણ ઉર્જા,એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જા અને એકમ કદ દીઠ ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $P + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$.
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$\rho$ એ તરલની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંચાઈ છે અને $v$ એ તરલનો વેગ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \ N$ છે.

(B) કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $|P_A| = |P_B|$,જેનો અર્થ છે કે $m_A v_A = m_B v_B$.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_B}{K_A} = \frac{P_B^2 / 2m_B}{P_A^2 / 2m_A}$ થાય.
કારણ કે $|P_A| = |P_B|$,આ સમીકરણ $\frac{K_B}{K_A} = \frac{2m_A}{2m_B} = \frac{m_A}{m_B}$ માં સરળ બને છે.

(D) આપેલ છે: $9 \,MSD = 10 \,VSD$.
દળ $= 8.635 \,g$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(LC)$ $= 1 \,MSD - 1 \,VSD = 1 \,MSD - 0.9 \,MSD = 0.1 \,MSD$.
કારણ કે $1 \,MSD = 1 \,mm = 0.1 \,cm$, તેથી $LC = 0.1 \times 0.1 \,cm = 0.01 \,cm$.
વ્યાસ $= MSR + (VSR \times LC) = 2.0 \,cm + (2 \times 0.01 \,cm) = 2.02 \,cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.01 \,cm$.
કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (1.01)^3 \approx 4.318 \,cm^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{8.635}{4.318} \approx 1.9997 \,g/cm^3 \approx 2.0 \,g/cm^3$.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. પ્લેટનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 5 \text{ units}^2$ છે. આપેલ દળ $M = 10 \ kg$ હોવાથી,$\sigma = \frac{10}{5} = 2 \ kg/\text{unit}^2$ મળે.
આપણે પ્લેટને $3 \times 2$ ના મોટા લંબચોરસ (દળ $M_{total} = 3 \times 2 \times 2 = 12 \ kg$) માંથી $1 \times 1$ ના નાના ચોરસ (દળ $m_{cut} = 1 \times 1 \times 2 = 2 \ kg$) ને બાદ કરીને વિચારી શકીએ.
મોટા લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1.5, 1.0)$ પર છે.
કાપી નાખેલા ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1.5, 1.5)$ પર છે.
ધારો કે બાકી રહેલી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x, y)$ છે. મોમેન્ટના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$M_{total} X_{CM} = M_{plate} x + m_{cut} x_{cut} \Rightarrow 12(1.5) = 10(x) + 2(1.5)$
$18 = 10x + 3 \Rightarrow 10x = 15 \Rightarrow x = 1.5$.
$M_{total} Y_{CM} = M_{plate} y + m_{cut} y_{cut} \Rightarrow 12(1.0) = 10(y) + 2(1.5)$
$12 = 10y + 3 \Rightarrow 10y = 9 \Rightarrow y = 0.9$.
ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9}$ મળે.
$\frac{n}{9}$ સાથે સરખાવતા,$n = 15$ મળે છે.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે।
આ દબાણ પ્રવાહીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $\Delta P = \rho g h$.
બંનેને સરખાવતા: $\rho g h = \frac{4S}{R}$.
આપેલ છે: $\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$, $h = 0.04 \,cm = 4 \times 10^{-4} \,m$, અને $S = 0.28 \,N \,m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $(8 \times 10^3) \times 10 \times (4 \times 10^{-4}) = \frac{4 \times 0.28}{R}$.
$32 = \frac{1.12}{R}$.
$R = \frac{1.12}{32} \,m = 0.035 \,m = 3.5 \,cm$.
વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 3.5 \,cm = 7 \,cm$.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે.
સાતમા ઓવરટોન $(n=7)$ માટે,$f_{c} = (2 \times 7 + 1) \frac{v}{4\ell} = \frac{15v}{4\ell}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-મા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાતમા ઓવરટોન $(n=7)$ માટે,$f_{o} = (7 + 1) \frac{v}{2\ell} = \frac{8v}{2\ell} = \frac{4v}{\ell} = \frac{16v}{4\ell}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{15v/4\ell}{16v/4\ell} = \frac{15}{16}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\left(\frac{a-1}{a}\right) = \frac{15}{16}$ હોવાથી,પદોની સરખામણી કરતા આપણને $a = 16$ મળે છે.

(D) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{OP}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,$\overrightarrow{OP} = A \hat{i}$.
સદિશ $\overrightarrow{OQ}$ એ $\overrightarrow{OP}$ થી $90^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી $\overrightarrow{OQ} = A \hat{j}$.
સદિશ $\overrightarrow{OR}$ એ $x$-અક્ષની નીચે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,તેથી $\overrightarrow{OR} = A \cos(45^\circ) \hat{i} - A \sin(45^\circ) \hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{j}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = (A + \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (A - \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{j}$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{(A + \frac{A}{\sqrt{2}})^2 + (A - \frac{A}{\sqrt{2}})^2}$.
$|\vec{R}| = \sqrt{A^2(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + A^2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = A \sqrt{(1 + \frac{1}{2} + \sqrt{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2})} = A \sqrt{1 + 0.5 + 1 + 0.5} = A \sqrt{3}$.
$A \sqrt{3}$ ની સરખામણી $A \sqrt{x}$ સાથે કરતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે બ્લોકને $h = L \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta KE = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_g = mgh = 5 \times 10 \times 5 = 250 \text{ J}$.
આડી સપાટી પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_f = -\mu mg(d + x) = -0.5 \times 5 \times 10 \times (2 + x) = -25(2 + x) = -50 - 25x$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_s = -\frac{1}{2} kx^2 = -\frac{1}{2} \times 100 \times x^2 = -50x^2$.
કુલ કાર્યને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $250 - 50 - 25x - 50x^2 = 0$.
$200 - 25x - 50x^2 = 0$.
$25$ વડે ભાગતા: $8 - x - 2x^2 = 0$,અથવા $2x^2 + x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-8)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x > 0$ હોવાથી,$x = \frac{-1 + 8.06}{4} \approx 1.76 \text{ m}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે અને કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\varepsilon_0 E^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(B) આપેલ સમતલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 2 \cos 2 \pi (330 t - x) \ m$ છે.
સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$y = 2 \cos (2 \pi \times 330 t - 2 \pi x)$
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \times 330 \ rad/s$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,જ્યાં $f$ એ તરંગની આવૃત્તિ છે.
$\omega$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$2 \pi f = 2 \pi \times 330$
$f = 330 \ Hz$.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $330 \ Hz$ છે.

(C) પ્રથમ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$ છે.
જ્યારે $M/2$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી તકતીને સહ-અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (M/2) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,એટલે કે $I_1 \omega = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2} MR^2) \omega = (\frac{3}{4} MR^2) \omega_2$.
નવા કોણીય વેગ $\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = \frac{1/2}{3/4} \omega = \frac{2}{3} \omega$.

(D) ધારો કે $V_w$ એ પાણીમાં ડૂબેલા બરફનું કદ છે અને $V_k$ એ કેરોસીન તેલમાં ડૂબેલા બરફનું કદ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ, બરફના ટુકડાનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
બરફનું વજન $= (V_w + V_k) \rho_{ice} g$
ઉત્પ્લાવક બળ $= V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
બંનેને સરખાવતા: $(V_w + V_k) \rho_{ice} g = V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
$\rho_w g$ વડે ભાગતા (જ્યાં $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
$(V_w + V_k) \times 0.9 = V_w \times 1 + V_k \times 0.8$
$0.9 V_w + 0.9 V_k = V_w + 0.8 V_k$
$0.9 V_k - 0.8 V_k = V_w - 0.9 V_w$
$0.1 V_k = 0.1 V_w$
તેથી, $V_w / V_k = 1 / 1$ અથવા $1: 1$.

(D) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે. અહીં $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$ હોવાથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $KE_{avg} \propto T$ હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(II)$ પણ સાચું છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $R_A = 4R$ અને $R_B = R$ આપેલી છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_A = 3v$,તેથી $\frac{3v}{v_B} = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$v_B = 2 \times 3v = 6v$ થાય.

(B) અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $R = H$ લેતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $u^2/g$ ને દૂર કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ માટે ગોઠવતા:
$4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(B) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $LC = \frac{\text{પિચ}}{\text{કુલ વર્તુળાકાર સ્કેલ કાપા}} = \frac{1 \,mm}{100} = 0.01 \,mm$.
શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે કારણ કે વર્તુળાકાર સ્કેલનો શૂન્ય સંદર્ભ રેખાની નીચે છે: $\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = +5 \times LC = +5 \times 0.01 \,mm = +0.05 \,mm$.
અવલોકિત રીડિંગ છે: $\text{અવલોકિત રીડિંગ} = \text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ} \times LC) = 4 \,mm + (60 \times 0.01 \,mm) = 4.60 \,mm$.
સાચો વ્યાસ છે: $\text{વ્યાસ} = \text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 4.60 \,mm - 0.05 \,mm = 4.55 \,mm$.

(D) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_d)$ એ સર્કિટમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $(I_c)$ જેટલો જ હોય છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$
આપેલ છે:
$V_{max} = 40 \, V$
$f = 4 \, kHz = 4 \times 10^3 \, Hz$
$C = 12 \, \mu F = 12 \times 10^{-6} \, F$
$X_C$ ની ગણતરી કરતા:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 4 \times 10^3 \times 12 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{8 \pi \times 12 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.3016} \approx 3.317 \, \Omega$
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{max})$ છે:
$I_{max} = \frac{V_{max}}{X_C} = \frac{40}{3.317} \approx 12.06 \, A$
આમ, મહત્તમ સ્થાનાંતર પ્રવાહ આશરે $12 \, A$ છે.

(A) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}$,$D = 200 \ \text{cm} = 2 \ \text{m}$,અને $d = 0.3 \ \text{mm} = 3 \times 10^{-4} \ \text{m}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \ \text{m}$ મળે છે.
$n$ માં અધિકતમનું સ્થાન $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા અધિકતમ $(n=3)$ માટે,$y_3 = 3 \times \left( \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \right) \ \text{m} = 10 \times 10^{-3} \ \text{m} = 10 \ \text{mm}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $R = 1 \, \Omega$, $\rho = 2 \times 10^{-6} \, \Omega m$, અને $A = 10 \, mm^2 = 10^{-5} \, m^2$ આપેલ છે。
આ કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{2 \times 10^{-6} \times \ell}{10^{-5}} \Rightarrow 1 = 0.2 \times \ell \Rightarrow \ell = 5 \, m$.
તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે, ચુંબકીય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_m = F_g$.
$Bi\ell = mg$.
અહીં $i = 2 \, A$, $m = 0.5 \, kg$, $g = 10 \, m/s^2$, અને $\ell = 5 \, m$ છે。
$B \times 2 \times 5 = 0.5 \times 10$.
$10B = 5$.
$B = 0.5 \, T = 5 \times 10^{-1} \, T$.
આમ, $B$ નું મૂલ્ય $5$ છે。

(C) પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E = V/d)$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના ત્રીજા ભાગનું થાય છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ ત્રીજા ભાગનો થાય છે: $V = V_0 / 3$.
કેપેસિટરના ડિસ્ચાર્જિંગ માટેનું સમીકરણ $V = V_0 e^{-t/\tau}$ છે,જ્યાં $\tau = RC$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_0 / 3 = V_0 e^{-t/\tau} \Rightarrow 1/3 = e^{-t/\tau}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(3) = t/\tau$.
આપેલ છે $\ln(3) = 1.1$,$t = 6.6 \times 10^{-6} \ s$,અને $C = 1.5 \times 10^{-6} \ F$.
$1.1 = (6.6 \times 10^{-6}) / (R \times 1.5 \times 10^{-6})$.
$1.1 = 6.6 / (1.5 \times R)$.
$R = 6.6 / (1.5 \times 1.1) = 6.6 / 1.65 = 4 \ \Omega$.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા: $3 \, _2^4\text{He} \longrightarrow _6^{12}\text{C} + Q$.
ત્રણ હિલિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ $3 \times 4.002603 \text{ u} = 12.007809 \text{ u}$ છે.
એક કાર્બન ન્યુક્લિયસનું દળ $12.000000 \text{ u}$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ની ગણતરી: $\Delta m = (3 \times m_{\text{He}}) - m_{\text{C}} = 12.007809 \text{ u} - 12.000000 \text{ u} = 0.007809 \text{ u}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$: $Q = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u}$.
$Q = 0.007809 \times 931 \text{ MeV} \approx 7.270179 \text{ MeV}$.
આને $10^{-2} \text{ MeV}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,આપણને $727.0179 \times 10^{-2} \text{ MeV} \approx 727 \times 10^{-2} \text{ MeV}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $L = 1 \text{ H}$,$C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 300 \Omega$,$V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$.
$1$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
$2$. $RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$.
$3$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 1 = 100 \Omega$.
$4$. કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
$5$. ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{300^2 + (100 - 500)^2} = \sqrt{300^2 + (-400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.
$6$. $RMS$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{50}{500} = 0.1 \text{ A}$.
$7$. કેપેસિટર પરનો $RMS$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = I_{\text{rms}} \times X_C = 0.1 \times 500 = 50 \text{ V}$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ $I = K \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ફિગર ઓફ મેરિટ છે.
પરિપથ પરથી,પ્રવાહ $I = \frac{E}{G+R}$ છે,જ્યાં $E = 2 \text{ V}$ એ સ્ત્રોતનું emf છે,$G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $K \theta = \frac{E}{G+R} \Rightarrow \frac{1}{\theta} = \frac{G+R}{E} = \frac{1}{E} R + \frac{G}{E}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m = \frac{1}{E}$ મળે છે.
આલેખ પરથી,ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{6 - 2} = \frac{1}{4} \text{ } \Omega^{-1}$.
કારણ કે $m = \frac{K}{E}$,તેથી $\frac{K}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow K = 0.5 \text{ A/division}$.
$K$ ને $10^{-1}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,આપણને $K = 5 \times 10^{-1} \text{ A/division}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં,તમામ કેપેસિટરો પર સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = (25 + 30 + 45) \mu F = 100 \mu F$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.5 \ J$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ એ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{25} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} = \frac{18 + 15 + 10}{450} = \frac{43}{450} \mu F^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$C_s = \frac{450}{43} \mu F$ છે.
શ્રેણીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} C_s V^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-2} = \frac{4.5}{86} \ J$ છે.
આપેલ છે કે $E' = \frac{9}{x} E$,તેથી $\frac{4.5}{86} = \frac{9}{x} \times 0.5$.
$\frac{4.5}{86} = \frac{4.5}{x} \implies x = 86$.

(A) કોશીના સમીકરણ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે: $\mu(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$
જેમ કે $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{violet}}$,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો અને જાંબલી પ્રકાશ માટે સૌથી વધુ હોય છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
જેમ કે $\mu_{\text{red}} < \mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{violet}}$,લાલ પ્રકાશ માટે વિચલન સૌથી ઓછું અને જાંબલી પ્રકાશ માટે સૌથી વધુ હોય છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે કારણ કે વિક્ષેપક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે,જે વિક્ષેપનનું મૂળભૂત કારણ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી $eV_0 = KE_{\max}$.
તેથી,$V_0 = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{h\nu - \phi_0}{e}$.
$1$. $V_0$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે (વિકલ્પ $B$ સાચું છે).
$2$. $V_0$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ પર આધાર રાખે છે,જે ઉત્સર્જક પદાર્થના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે (વિકલ્પ $A$ સાચું છે).
$3$. $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જાના $1/e$ ગણું છે (વિકલ્પ $D$ સાચું છે).
$4$. $V_0$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે તીવ્રતા માત્ર ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે,તેમની વ્યક્તિગત ગતિઊર્જાને નહીં (વિકલ્પ $C$ ખોટું છે).

(A) ઇલેક્ટ્રોનને ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $F_{C} = F_{e}$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_{C} = \frac{mv^2}{r}$ અને કુલંબના નિયમ $F_{e} = \frac{kZe^2}{r^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2}$.
બંને બાજુ $mr^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $m^2v^2r^2 = mkZe^2r$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $L^2 = mkZe^2r$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે: $L = \sqrt{mkZe^2r}$.
અહીં $m$,$k$,$Z$,અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,કોણીય વેગમાન એ ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં છે: $L \propto \sqrt{r}$.

(C) સૌ પ્રથમ,ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $i_g$ શોધો.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટર (અવરોધ $R_g = 100 \ \Omega$) $10 \ V$ માપવા માટે $400 \ \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં છે:
$i_g = \frac{V}{R_g + R_{series}} = \frac{10}{100 + 400} = \frac{10}{500} = 20 \times 10^{-3} \ A$.
ગેલ્વેનોમીટરને $I = 10 \ A$ સુધી માપી શકે તેવા એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવો પડે.
શંટ માટેની શરત $i_g R_g = (I - i_g) S$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$20 \times 10^{-3} \times 100 = (10 - 20 \times 10^{-3}) S$.
$20 \times 10^{-3} = 0.02 \ A$ હોવાથી:
$2 = (10 - 0.02) S = 9.98 S$.
$S = \frac{2}{9.98} \approx 0.2004 \ \Omega$.
$x \times 10^{-2} \ \Omega$ સ્વરૂપમાં લેતા,$S \approx 20 \times 10^{-2} \ \Omega$.
આમ,$x = 20$.

(A) જેમ વાહન ગતિ કરે છે,તેમ હવા સાથેના ઘર્ષણને કારણે તેની બોડી પર સ્થિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે. આ જમા થયેલો વિદ્યુતભાર તણખાનું કારણ બની શકે છે,જે જ્વલનશીલ પદાર્થો લઈ જતા વાહનો માટે જોખમી છે. ધાતુની સાંકળોનો ઉપયોગ જમીન સાથે વાહક માર્ગ પૂરો પાડવા માટે કરવામાં આવે છે,જેથી વધારાનો વિદ્યુતભાર સુરક્ષિત રીતે જમીનમાં વહી જાય અને દહનનું જોખમ અટકે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
તેથી,સાચી રજૂઆત $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ અને $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_{L} = I X_{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $X_{L}$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ કિંમતો $V_{L} = 31.4 \,V$,$L = 10 \,mH = 10 \times 10^{-3} \,H$,અને $f = 50 \,Hz$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$31.4 = I \times (2 \times 3.14 \times 50 \times 10 \times 10^{-3})$
$31.4 = I \times (314 \times 10 \times 10^{-3})$
$31.4 = I \times 3.14$
$I = \frac{31.4}{3.14} = 10 \,A$.
તેથી,સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $10 \,A$ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક અંતિમ $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. ત્રીજું ઇનપુટ $1$ પર નિશ્ચિત છે.
પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $(B \cdot 1) = B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે આઉટપુટનું $OR$ ઓપરેશન છે:
$Y = (A + B) + B$
બુલિયન બીજગણિતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,ખાસ કરીને આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $(B + B = B)$,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવીએ છીએ:
$Y = A + (B + B) = A + B$
આપણે આઉટપુટ $Y$ ને $0$ મેળવવા માંગીએ છીએ. $OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $0$ ત્યારે જ હોય છે જો બધા ઇનપુટ $0$ હોય.
તેથી,$A + B = 0$ નો અર્થ છે $A = 0$ અને $B = 0$.
આમ,આઉટપુટ $0$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $A = 0$ અને $B = 0$ હોય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના ગાળા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. ઇન્ફ્રારેડ કિરણોની તરંગલંબાઈ $1 \, mm$ થી $700 \, nm$ (અથવા $10^{-3} \, m$ થી $7 \times 10^{-7} \, m$) ની વચ્ચે હોય છે। તેથી,$(A)-(iii)$.
$2$. અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણોની તરંગલંબાઈ $400 \, nm$ થી $1 \, nm$ ની વચ્ચે હોય છે। તેથી,$(B)-(ii)$.
$3$. $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ $1 \, nm$ થી $10^{-3} \, nm$ ની વચ્ચે હોય છે। તેથી,$(C)-(iv)$.
$4$. ગેમા કિરણોની તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $ < 10^{-3} \, nm$ હોય છે। તેથી,$(D)-(i)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(i)$ છે।

(B) પ્રતિ સેકન્ડ વ્યય થતી ઉષ્મા એ અવરોધ દ્વારા વપરાતો પાવર $P$ છે,જે $P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
તેથી,વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2 / R_1}{V^2 / R_2} = \frac{R_2}{R_1}$ થશે.
કિંમતો $R_1 = 5 \Omega$ અને $R_2 = 10 \Omega$ મૂકતા,આપણને $\frac{P_1}{P_2} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = m/\ell)$.
$n$ માટેનું પદ મૂકતા, આપણને $B = \mu_0 (m/\ell) i$ મળે છે.
$m$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = (B \times \ell) / (\mu_0 \times i)$.
આપેલ કિંમતો: $B = 6.28 \times 10^{-3} \,T$, $\ell = 0.5 \,m$, $i = 5 \,A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \approx 12.56 \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $m = (6.28 \times 10^{-3} \times 0.5) / (12.56 \times 10^{-7} \times 5)$.
$m = (3.14 \times 10^{-3}) / (62.8 \times 10^{-7}) = (3.14 \times 10^{-3}) / (6.28 \times 10^{-6}) = 0.5 \times 10^3 = 500$.
તેથી, $m$ નું મૂલ્ય $500$ છે.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે, સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda_0)$ એ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 915 \text{ Å}$.
બામર શ્રેણી માટે, સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(\lambda_1)$ એ $n = 3$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \frac{5}{36}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_0} = \frac{13.6}{13.6 \times \frac{5}{36}} = \frac{36}{5}$.
$\lambda_1 = \lambda_0 \times \frac{36}{5} = 915 \times \frac{36}{5} = 183 \times 36 = 6588 \text{ Å}$.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન પ્રયોગ માટે, $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
તેથી, મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ માં ન્યૂનતમનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ થાય.
આપેલ છે: $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$, $a = 0.20 \,mm = 0.20 \times 10^{-3} \,m$, $D = 100 \,cm = 1.0 \,m$, અને $n = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$y_1 = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9} \times 1.0}{0.20 \times 10^{-3}} \,m$
$y_1 = \frac{550}{0.20} \times 10^{-6} \,m$
$y_1 = 2750 \times 10^{-6} \,m = 275 \times 10^{-5} \,m$.
આને $x \times 10^{-5} \,m$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 275$ મળે છે।

(C) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $p$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_P = \frac{2Kp}{r^3} = E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલના કેન્દ્રથી $2r$ અંતરે આવેલા વિષુવવૃત્તીય બિંદુ $R$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_R = \frac{Kp}{(2r)^3} = \frac{Kp}{8r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Kp = \frac{Er^3}{2}$ ને $E_R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_R = \frac{1}{8r^3} \cdot \frac{Er^3}{2} = \frac{E}{16}$.
આને $\frac{E}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 20 \Omega$ છે. તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,તેથી દરેક ભાગનો અવરોધ $r = \frac{20 \Omega}{10} = 2 \Omega$ થાય.
બે ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે. આવી એક સમાંતર જોડીનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ થાય.
કુલ $10$ ભાગો હોવાથી અને આપણે તેમને જોડીમાં વાપર્યા હોવાથી,આપણી પાસે આવી $5$ સમાંતર જોડીઓ છે.
આ $5$ જોડીઓને પછી શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 5 \times R_p = 5 \times 1 \Omega = 5 \Omega$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I = (3t + 8) \ A$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $\varepsilon$ નું સૂત્ર $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ છે.
ઇન્ડ્યુસ્ડ emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $|\varepsilon| = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$.
પ્રથમ,પ્રવાહના ફેરફારનો દર શોધો: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(3t + 8) = 3 \ A/s$.
હવે,કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $12 \ mV = L \times 3 \ A/s$.
$L = \frac{12 \ mV}{3 \ A/s} = 4 \ mH$.
તેથી,ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $4 \ mH$ છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ પર થાય છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
આમ,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
આમ,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને લાયમન શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{4/R}{1/R} = 4: 1$ થાય છે.

(D) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ મળે છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$\sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \frac{c}{v}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\mu_r \varepsilon_r = \left(\frac{c}{v}\right)^2$.
અહીં $\mu_r = 2.0$ અને $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $2.0 \times \varepsilon_r = \left(\frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8}\right)^2$.
$2.0 \times \varepsilon_r = (2)^2 = 4$.
તેથી,$\varepsilon_r = \frac{4}{2} = 2$.

(B) પ્રકાશનું તરંગ સ્વરૂપ પરાવર્તન,વક્રીભવન,વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
જોકે,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર એ એવી ઘટના છે જેમાં જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ ધાતુની સપાટી પર પડે છે ત્યારે તેમાંથી ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે. આ ઘટનાને પ્રકાશના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી કારણ કે તરંગવાદ સૂચવે છે કે પ્રકાશની ઉર્જા તેની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે,જ્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશના કણ સ્વરૂપ (ફોટોન) માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા ગોલીય કવચ માટે,આપણે કવચ પર $dq = \sigma dA$ જેટલો વિદ્યુતભાર ધરાવતી $dA$ ક્ષેત્રફળવાળી નાની ગોસિયન સપાટી વિચારીએ છીએ.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ હોય છે અને સપાટી પર સમાન હોવાથી,ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \cdot dA = \frac{\sigma \cdot dA}{\epsilon_0}$ થાય છે.
બંને બાજુથી $dA$ ને દૂર કરતા,સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(C) અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થાય તે માટે,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,દરેક ભુજામાં સમાંતર જોડાણોનું સાદું રૂપ આપો:
$1$. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$ છે.
$2$. આપેલ સાદું રૂપ આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી: $R_{AB} = 12 \Omega$,$R_{BC} = 0.5 \Omega$,$R_{AD} = (6+x) \Omega$,અને $R_{CD} = 0.5 \Omega$.
$3$. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{6+x} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
$4$. તેથી,$12 = 6 + x$,જે આપણને $x = 6 \Omega$ આપે છે.

(C) વિધાન-$I$: $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનુનાદ સમયે,$X_L = X_C$,જે ઈમ્પિડન્સ $Z = R$ (ન્યૂનતમ) બનાવે છે. ઈમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ હોવાથી,પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ મહત્તમ હોય છે. આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$: શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,પ્રવાહ $I_{res} = \frac{V}{R}$ છે. $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ $I_{LCR} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ છે. કારણ કે $\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$,તેથી $I_{LCR} \leq I_{res}$ થાય છે. તેથી,સમાન વોલ્ટેજ સ્ત્રોત માટે શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં પ્રવાહ હંમેશા $LCR$ પરિપથના પ્રવાહ કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે. આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $AND$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ પછી $OR$ ગેટમાં જાય છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \bar{A} + (A \cdot B)$.
બુલિયન બીજગણિતના વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = (\bar{A} + A) \cdot (\bar{A} + B)$.
કારણ કે $\bar{A} + A = 1$,આપણને $Y = 1 \cdot (\bar{A} + B) = \bar{A} + B$ મળે છે.
હવે,$Y = \bar{A} + B$ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:
- જો $A=0, B=0$: $Y = \bar{0} + 0 = 1 + 0 = 1$.
- જો $A=0, B=1$: $Y = \bar{0} + 1 = 1 + 1 = 1$.
- જો $A=1, B=0$: $Y = \bar{1} + 0 = 0 + 0 = 0$.
- જો $A=1, B=1$: $Y = \bar{1} + 1 = 0 + 1 = 1$.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ ગણતરી કરેલા ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટક $I d\vec{l}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
આપેલ છે:
$I = 10 \,A$
$d\vec{l} = \Delta x \hat{i} = 1 \,cm \cdot \hat{i} = 0.01 \,m \cdot \hat{i}$
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 0.5 \,m \cdot \hat{j}$
અંતર $r = 0.5 \,m$
કિંમતો મૂકતા:
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times (0.01 \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005 \hat{k}}{0.125}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \hat{k} = 4 \times 10^{-8} \,T \hat{k}$
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $4 \times 10^{-8} \,T$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = h\nu - \phi$
જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે,$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે,અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.5 V$,તેથી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = e V_s = 0.5 eV$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.5 eV = 2.48 eV - \phi$
વર્ક ફંક્શન $\phi$ માટે ગણતરી કરતા:
$\phi = 2.48 eV - 0.5 eV = 1.98 eV$
આમ,પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન $1.98 eV$ છે.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
ધારો કે શીટ્સ $x = -a$,$x = a$,અને $x = 3a$ પર અનુક્રમે $-\sigma$,$-2\sigma$,અને $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સાથે છે.
બિંદુ $P$ એ $x = a$ અને $x = 3a$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
$1$. $x = -a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\sigma$): ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_1 = \frac{|-\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
$2$. $x = a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $-2\sigma$): ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_2 = \frac{|-2\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{2\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$.
$3$. $x = 3a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$): ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}) \hat{i} = -\frac{2\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}_P| = \frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
આને $\frac{x \sigma}{\epsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) $DC$ વોલ્ટેજ માટે, ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $DC$ માટે $X_L = 0$ હોય છે.
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \, V}{5 \, A} = 20 \, \Omega$.
$AC$ વોલ્ટેજ માટે, સર્કિટ $LR$ શ્રેણી સર્કિટ છે.
આપેલ છે કે $X_L = 20\sqrt{3} \, \Omega$ અને $R = 20 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 1200} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \, V$ છે.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 / \sqrt{2}}{40} = \frac{5}{\sqrt{2}} \, A$ છે.
સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 R$ છે.
$P = \left( \frac{5}{\sqrt{2}} \right)^2 \times 20 = \frac{25}{2} \times 20 = 250 \, W$.

(A) લઘુત્તમ વિચલન $\delta_{\min}$ માટે,આપણી પાસે $i = e$ અને $r_1 = r_2 = \frac{A}{2}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ નો ગુણોત્તર $1$ છે,તેથી $\frac{\delta_{\min}}{A} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\delta_{\min} = A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\delta_{\min} = 2i - A$. $\delta_{\min} = A$ મૂકતા,આપણને $A = 2i - A$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2A = 2i$ અથવા $i = A$ થાય છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \times \sin i = \mu \sin r_1$.
$i = A$ અને $r_1 = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $\sin A = \mu \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $A \neq 0$),આપણને $2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{3}$ અથવા $\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \frac{l}{r^2}$.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \cdot l = \pi r^2 l = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $l$ છે. ખેંચ્યા પછી,નવી ત્રિજ્યા $r' = r/2$ અને નવી લંબાઈ $l'$ છે.
કદને સરખાવતા: $\pi r^2 l = \pi (r/2)^2 l'$.
$\pi r^2 l = \pi (r^2/4) l' \implies l' = 4l$.
નવો અવરોધ $R'$ આ મુજબ મળે છે: $R' = \rho \frac{l'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{4l}{\pi (r/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi r^2 / 4} = 16 \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = 16R$.
આપેલ છે કે $R' = xR$,તેથી $x = 16$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0 = 0.529 \mathring{A}$ છે.
આપેલ છે કે $r_n = 8.48 \mathring{A}$,તેથી $8.48 = 0.529 \times n^2$.
$n^2 = \frac{8.48}{0.529} \approx 16$.
આમ,$n = 4$.
$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{E}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ધરાસ્થિતિની ઊર્જા $(-13.6 \text{ eV})$ છે.
$n = 4$ મૂકતા,આપણને $E_4 = \frac{E}{4^2} = \frac{E}{16}$ મળે છે.
આને $E/x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = U_f - U_i$
સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં છે,તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$.
$U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$
અંતિમ સ્થિતિ: $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $\theta_f = 90^{\circ}$.
$U_f = -MB \cos 90^{\circ} = 0$
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 0 - (-MB) = MB$
આપેલ છે: $N = 200$,$I = 100 \mu\text{A} = 100 \times 10^{-6} \text{ A}$,$A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$B = 1 \text{ T}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA = 200 \times (100 \times 10^{-6}) \times (2.5 \times 10^{-4}) = 5 \times 10^{-6} \text{ A m}^2$.
કાર્ય $W = MB = (5 \times 10^{-6}) \times 1 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu\text{J}$.

(D) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
પાશ્ચેન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછા ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,જે નજીકના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = 4$ થી સંક્રમણ દરમિયાન જોવા મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R_H \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = R_H \left[ \frac{7}{144} \right]$
$\lambda = \frac{144}{7 R_H} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7}$
$\lambda \approx 1.876 \times 10^{-6} \ m$.

(A) $1 \text{ MSD} = \frac{1 \text{ cm}}{20} = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ VSD} = \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{49}{50} \times 0.05 \text{ cm} = 0.049 \text{ cm}$.
$LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.05 - 0.049 = 0.001 \text{ cm}$.
કાગળ પરના નિશાન માટે,$L_1 = 8.45 \text{ cm} + 26 \times 0.001 \text{ cm} = 8.476 \text{ cm} = 84.76 \text{ mm}$.
સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવેલા કાગળ પરના નિશાન માટે,$L_2 = 7.12 \text{ cm} + 41 \times 0.001 \text{ cm} = 7.161 \text{ cm} = 71.61 \text{ mm}$.
ઉપરની સપાટી પરના પાવડરના કણ માટે,$ZE = 4.05 \text{ cm} + 1 \times 0.001 \text{ cm} = 4.051 \text{ cm} = 40.51 \text{ mm}$.
વાસ્તવિક $L_1 = 84.76 - 40.51 = 44.25 \text{ mm}$.
વાસ્તવિક $L_2 = 71.61 - 40.51 = 31.10 \text{ mm}$.
કારણ કે $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}} = \frac{L_1}{L_2}$,
$\mu = \frac{44.25}{31.10} \approx 1.42$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
આપેલ છે:
$E_0 = 600 \ V/m$
$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times (600)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-12} \times 360000 \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{1}{2} \times 9 \times 36 \times 3 \times 10^{-12} \times 10^4 \times 10^8$
$I = \frac{1}{2} \times 972 \times 10^0$
$I = 486 \ W/m^2$

(C) હોલ બનાવવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ એક્સેપ્ટર લેવલની ઉર્જા ગેપ જેટલી હોય છે,$E = 6 \ eV$.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $hc = 1242 \ eV \ nm$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$6 \ eV = \frac{1242 \ eV \ nm}{\lambda}$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{1242}{6} \ nm$
$\lambda = 207 \ nm$.
તેથી,પ્રકાશની મહત્તમ તરંગલંબાઇ જે હોલ બનાવી શકે તે $207 \ nm$ છે.

(B) શરૂઆતમાં, ગોળાઓ $P$ અને $S$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{Q^2}{r^2} = 16 \,N$.
જ્યારે ગોળો $R$ (વિદ્યુતભાર રહિત) ને ગોળા $P$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે। આમ, $P$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_P' = \frac{Q+0}{2} = \frac{Q}{2}$ થાય છે। $R$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{Q}{2}$ થાય છે।
ત્યારબાદ, ગોળો $R$ (હવે $\frac{Q}{2}$ વિદ્યુતભાર સાથે) ને ગોળા $S$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે। કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે। આમ, $S$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_S' = \frac{Q + Q/2}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}$ થાય છે।
$P$ અને $S$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = k \frac{Q_P' Q_S'}{r^2} = k \frac{(Q/2)(3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$ છે।
શરૂઆતનું બળ $F = 16 \,N$ મૂકતા, આપણને $F' = \frac{3}{8} \times 16 \,N = 6 \,N$ મળે છે।

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$|E| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
આપેલ છે:
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = (+2 \,A) - (-2 \,A) = 4 \,A$
સમયગાળો,$dt = 0.2 \,s$
પ્રેરિત $emf$,$|E| = 0.1 \,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = L \times \frac{4}{0.2}$
$L$ માટે ઉકેલતા:
$L = \frac{0.1 \times 0.2}{4}$
$L = \frac{0.02}{4} \,H$
$L = 0.005 \,H$
મિલીહેન્રી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$L = 0.005 \times 1000 \,mH = 5 \,mH$

(C) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે: $f = +20 \,cm$, $R_1 = +15 \,cm$, $R_2 = -30 \,cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2+1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{10}{20} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
આપેલ છે:
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$
$\lambda = 300 \, nm$
$\phi = 2.13 \, eV$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = \frac{1240}{300} \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 4.133 \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 2.003 \, eV$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = e V_s$ હોવાથી:
$e V_s = 2.003 \, eV$
$V_s \approx 2 \, V$

(A) બલ્બનો પાવર $P$ એ $P = V \cdot I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $P = 110 \,W$ અને $V = 220 \,V$.
કિંમતો મૂકતા,$110 = 220 \times I$.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{110}{220} = 0.5 \,A$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{q}{t} = \frac{n \cdot e}{t}$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે.
આપણે પ્રતિ સેકન્ડ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$ છે.
$I = 0.5 \,A$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{0.5}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{5}{16} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 31.25 \times 10^{17}$ ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(A)$ રેખીય ચુંબકીય પદાર્થ માટે, મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ મેગ્નેટાઇઝિંગ ફિલ્ડ $(H)$ થી સ્વતંત્ર છે। તેથી, આલેખ એક આડી સીધી રેખા છે। આ $(III)$ ને અનુરૂપ છે।
$(B)$ પ્રવાહધારિત તાર માટે, અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(x < a)$ $B = \frac{\mu_0 i x}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $B \propto x$ હોવાથી, આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે। આ $(IV)$ ને અનુરૂપ છે।
$(C)$ પ્રવાહધારિત તાર માટે, બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(x > a)$ $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $B \propto \frac{1}{x}$ હોવાથી, આલેખ લંબચોરસ હાઇપરબોલા છે। આ $(II)$ ને અનુરૂપ છે।
$(D)$ આદર્શ લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે, એટલે કે તે કેન્દ્રથી અંતર સાથે બદલાતું નથી। આથી તે $(III)$ ને અનુરૂપ છે।

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુને પ્રથમ ઉત્તેજિત સ્તર પર ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ વોલ્ટેજ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પ્રથમ ડીપ જોવા મળે છે, જે $E = 10.2 \, eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા તેની તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $E = \frac{hc}{\lambda}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10.2 \, eV = \frac{1245 \, eV \cdot nm}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{1245}{10.2} \, nm \approx 122.06 \, nm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, તરંગલંબાઇ $122 \, nm$ મળે છે.