JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સમયના વિધેય તરીકે સ્થાનના યામ આપેલા છે:
$x = 2 + 4t$
$y = 3t + 8t^2$
પ્રથમ,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગના ઘટકો મેળવો:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 4$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3 + 16t$
ત્યારબાદ,વેગના ઘટકોનું વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો મેળવો:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 16$
પ્રવેગના ઘટકો અચળ હોવાથી ($a_x = 0$ અને $a_y = 16$),કણની ગતિ નિયમિત પ્રવેગી છે.
પથ નક્કી કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણમાંથી $t$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં લખો:
$t = \frac{x - 2}{4}$
આ કિંમતને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 3\left(\frac{x - 2}{4}\right) + 8\left(\frac{x - 2}{4}\right)^2$
આ સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ ના સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે પરવલયાકાર પથ દર્શાવે છે.
તેથી,કણની ગતિ પરવલયાકાર પથ પર નિયમિત પ્રવેગી છે.

(B) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = S \times \Delta A$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: $S = 40 \ dyne/cm$,$W = 36960 \ erg$,અને પ્રારંભિક વ્યાસ $d_1 = 7 \ cm$,તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 3.5 \ cm = \frac{7}{2} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $36960 = 40 \times 8 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - (3.5)^2)$.
$36960 = 320 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$36960 = \frac{7040}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$r_2^2 - 12.25 = \frac{36960 \times 7}{7040} = 36.75$.
$r_2^2 = 36.75 + 12.25 = 49$.
$r_2 = 7 \ cm$.

(D) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ છે। સ્પ્રિંગમાં તણાવ $T = K(L - \ell)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે।
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3 = K(a - \ell)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $2 = K(b - \ell)$ --- $(2)$
આપણે લંબાઈ $L' = (3a - 2b)$ માટે તણાવ $T'$ શોધવાનો છે।
$T' = K(L' - \ell) = K(3a - 2b - \ell)$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $T' = K[3(a - \ell) - 2(b - \ell)]$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$T' = 3[K(a - \ell)] - 2[K(b - \ell)]$
$T' = 3(3) - 2(2)$
$T' = 9 - 4 = 5 \,N$.

(A) ધારો કે નાના બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}_1| = F$ છે.
તેથી મોટા બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}_2| = 3F$ થશે.
પરિણામી બળ $\vec{F}_R$ નું મૂલ્ય મોટા બળ જેટલું છે,તેથી $|\vec{F}_R| = 3F$.
પરિણામી બળના મૂલ્યનું સૂત્ર $F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3F)^2 = F^2 + (3F)^2 + 2(F)(3F) \cos \theta$.
$9F^2 = F^2 + 9F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$9F^2 = 10F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$-F^2 = 6F^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{6}$.
આને $\cos \theta = \frac{1}{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -6$ મળે છે.
તેથી,$|n| = |-6| = 6$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$mgh = K.E._{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યારે પદાર્થ લપસ્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે $\omega = \frac{v}{R}$ અને $I = Mk^2$,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$
આમ,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
નક્કર ગોળા માટે,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$,તેથી $h_1 \propto (1 + \frac{2}{5}) = \frac{7}{5}$.
પોલા નળાકાર માટે,$\frac{k^2}{R^2} = 1$,તેથી $h_2 \propto (1 + 1) = 2$.
તેથી,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{7/5}{2} = \frac{7}{10}$.
આપેલ છે કે $\frac{h_1}{h_2} = \frac{n}{10}$,તેથી $n = 7$.

(B) $CH_4$ અણુ એ બહુપરમાણ્વીય અરેખીય (non-linear) અણુ છે.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ અણુ માટે,સ્થાનાંતરીય મુક્તિની માત્રા $(f_t)$ હંમેશા $3$ હોય છે,જે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ છે.
અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે,ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રા $(f_r)$ પણ $3$ હોય છે,જે જડત્વની ત્રણ મુખ્ય અક્ષોની આસપાસના પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,$CH_4$ માટે,$f_t = 3$ અને $f_r = 3$ થાય છે.

(B) સાયકલ સવાર બિંદુ $P$ થી બિંદુ $S$ સુધી વર્તુળના પરિઘ પર ગતિ કરે છે।
માર્ગ વર્તુળાકાર હોવાથી, બિંદુઓ $P, O, S$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે।
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $P$ અને અંતિમ બિંદુ $S$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે।
$\triangle POS$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સ્થાનાંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \sqrt{OP^2 + OS^2}$
ત્રિજ્યા $R = 2 \,km$ આપેલ છે, તેથી $OP = OS = R = 2 \,km$।
$d = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$d = 2\sqrt{2} \,km = \sqrt{4 \times 2} \,km = \sqrt{8} \,km$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહ માટે જે પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણ કરે છે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{(R+h)}$
$\Rightarrow \frac{GM}{(R+h)} = v^2 \quad \dots(1)$
કારણ કે $v = (R+h)\omega = (R+h)\frac{2\pi}{T}$,તેથી $v^2 = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2} \quad \dots(2)$
વળી,પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,તેથી $GM = gR^2 \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{gR^2}{(R+h)} = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2}$
$\Rightarrow (R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$
$\Rightarrow R+h = \left(\frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow h = \left(\frac{T^2 R^2 g}{4\pi^2}\right)^{1/3} - R$

(C) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે સંપર્ક કોણ એ ઘન અને પ્રવાહીની સપાટીના સ્વભાવ તેમજ અણુઓ વચ્ચેના સસંજક (cohesive) અને આસંજક (adhesive) બળો પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશનળીની આંતરિક ત્રિજ્યા છે. $h \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,પ્રવાહીનું સ્તર નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય $(WET)$ લાગુ પાડતા:
$W_{mg} = K_{B} - K_{A}$
માર્ગ ઘર્ષણરહિત હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$mg \times h = \frac{1}{2} mv_{B}^2 - 0$
ભૂમિતિ પરથી,પદાર્થ દ્વારા $A$ થી $B$ સુધી કાપેલ શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = R \sin(45^{\circ}) + R = \frac{R}{\sqrt{2}} + R$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$mg \times R \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \right) = \frac{1}{2} mv_{B}^2$
$gR \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} v_{B}^2$
$v_{B}^2 = 2gR \left( \frac{1 + 1.4}{1.4} \right) = 2 \times 10 \times 14 \times \left( \frac{2.4}{1.4} \right)$
$v_{B}^2 = 20 \times 10 \times 2.4 = 480$
$v_{B} = \sqrt{480} \approx 21.9 \ m/s$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતી સપાટી પર સરકવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે તે નમનકોણને વિરામકોણ $(\theta)$ કહેવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિમાં,ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ $(f_L)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg \sin \theta = f_L$
તે જ રીતે,લંબબળ $(N)$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના લંબ ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$N = mg \cos \theta$
કારણ કે $f_L = \mu_s N$,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે:
$mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$
$\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\mu_s = \tan 45^{\circ} = 1$
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $1$ છે.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(T.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T.E. = \frac{1}{2} k A^2$
જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા માત્ર બળ અચળાંક $k$ અને કંપવિસ્તાર $A$ પર આધાર રાખે છે.
તે દોલન કરતા કણના દળ $m$ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે કંપવિસ્તાર $A$ સમાન રહે છે અને બળ અચળાંક $k$ (જે સ્પ્રિંગના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે) બદલાતો નથી,તેથી તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ જ રહેશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$,$T_i = T$,અને $V_f = 2V_i$ આપેલ છે.
એડિબેટિક સંબંધ $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$.
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
હવે,કાર્યના સૂત્રમાં $T_f$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$LHS$ ના પરિમાણો $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માટે: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ નું પરિમાણ = $[T^2]$
$RHS$ નું પરિમાણ = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
આમ,$LHS$ અને $RHS$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
અહીં $h = 2R$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left(1 + \frac{2R}{R}\right)^{-2} = g(1 + 2)^{-2} = g(3)^{-2} = \frac{g}{9}$.
$g = 10 \,ms^{-2}$ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $g' = \frac{10}{9} \,ms^{-2}$ થાય.
$m = 90 \,kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F = m \times g' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \,N$.

(A) આપેલ છે કે,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \ m$ છે.
આવર્તકાળ $T = 3.14 \ s$. આપણે જાણીએ છીએ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$3.14 = \frac{2 \times 3.14}{\omega}$,તેથી $\omega = 2 \ rad/s$ મળે છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\right]$.
$v = 10 \omega \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 0$ સમયે,વેગ $v = 10 \times 2 \times \cos \left(0 + \frac{\pi}{3}\right)$ થશે.
$v = 20 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$ (કારણ કે બસ અટકી જાય છે).
સમય $t = 4 \,s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રવેગ શોધીએ છીએ:
$0 = 20 + a(4) \Rightarrow 4a = -20 \Rightarrow a = -5 \,m/s^2$.
બસ દ્વારા કાપેલું અંતર $s$ ગતિના બીજા સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$s = (20)(4) + \frac{1}{2}(-5)(4)^2$
$s = 80 - \frac{1}{2}(5)(16)$
$s = 80 - 40 = 40 \,m$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta X_{\text{COM}} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મૂળ સ્થાને રહેવું જોઈએ,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય છે,એટલે કે $\Delta X_{\text{COM}} = 0$.
ધારો કે $m_1$ નું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = +2 \text{ cm}$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ) છે અને $m_2$ નું સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = -x$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ) છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{3 \times 2 + 2 \times (-x)}{3 + 2}$
$0 = \frac{6 - 2x}{5}$
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = 3 \text{ cm}$.
તેથી,$m_2$ દળના કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $3 \text{ cm}$ અંતરે ખસેડવો જોઈએ.

(B) નળીના તળિયે લાગતું કુલ બળ $F$ એ વાતાવરણીય દબાણને કારણે લાગતું બળ અને પારાના સ્તંભના વજનને કારણે લાગતા બળનો સરવાળો છે.
$F = (P_0 + \rho gh) A$
અહીં,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2} \,m)^2 = \frac{22}{7} \times 4 \times 10^{-4} \,m^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \,m^2$.
વાતાવરણીય દબાણને કારણે બળ $F_{atm} = P_0 A = 10^5 \times 1.257 \times 10^{-3} = 125.7 \,N$.
પારાના સ્તંભને કારણે બળ $F_{Hg} = \rho gh A = (1.36 \times 10^4) \times 10 \times (30 \times 10^{-2}) \times (1.257 \times 10^{-3}) = 13600 \times 10 \times 0.3 \times 1.257 \times 10^{-3} \approx 51.3 \,N$.
કુલ બળ $F = 125.7 + 51.3 = 177 \,N$.

(B) ઉર્જા ઘનતા $u$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $G$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
તેથી,$uG$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^0 L^2 T^{-4}]$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{uG}$ નું પરિમાણ $[L^1 T^{-2}]$ મળે છે.
આ પરિમાણ $[L T^{-2}]$ એ પ્રવેગનું પરિમાણ છે.
એકમ દળ દીઠ બળ $F/m = ma/m = a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું પરિમાણ $[L T^{-2}]$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના ઉપર ચડવાની કે નીચે ઉતરવાની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સંપર્ક કોણ $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય,જેના પરિણામે ઊંચાઈ $h = \frac{2T}{\rho gr}$ મળે છે,જે શૂન્ય નથી. તેથી,પ્રવાહી કેશિકામાં ઉપર ચડવું જ જોઈએ. આમ,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
સંપર્ક કોણ $\theta$ એ ઘન સપાટી,પ્રવાહી અને આસપાસના માધ્યમ (વાયુ/બાષ્પ) ની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે. તેથી,તે સંકળાયેલા દ્રવ્યોનો ગુણધર્મ છે. આમ,વિધાન-$II$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P})$ અને $\vec{B} = (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ આ બે સદિશોનો સરવાળો છે:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P}) + (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\vec{R} = 2 \vec{Q} + 2 \vec{Q} + 2 \vec{P} - 2 \vec{P} = 4 \vec{Q}$.
અહીં પરિણામી સદિશ $\vec{R} = 4 \vec{Q}$ એ $\vec{Q}$ નો ધન અચળાંક $(4)$ સાથેનો ગુણાકાર હોવાથી,સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{Q}$ ની દિશામાં જ છે.
તેથી,સદિશ $\vec{Q}$ અને પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(C) વાયુના અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ $Z$ એ સંબંધ $Z \propto n \sigma v_{avg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે,$\sigma$ એ અથડામણ ક્રોસ-સેક્શન છે,અને $v_{avg}$ એ સરેરાશ ઝડપ છે.
બંધ પાત્રમાં,સંખ્યા ઘનતા $n$ અને અથડામણ ક્રોસ-સેક્શન $\sigma$ અચળ રહે છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,અથડામણ આવૃત્તિ $Z \propto \sqrt{T}$.
અહીં,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળા માટે,તેના વ્યાસ અક્ષ $AB$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{3} MR^2$ છે.
$I = Mk^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_1$ માટે $k_1^2 = \frac{2}{3} R^2$ મળે.
$M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $4R$ લંબાઈ ધરાવતા નક્કર નળાકાર માટે,અક્ષ $AB$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
નળાકાર માટે $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{12} M(4R)^2 + \frac{1}{4} MR^2 + M(2R)^2 = \frac{16}{12} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 + 4MR^2 = (\frac{4}{3} + \frac{1}{4} + 4) MR^2 = \frac{67}{12} MR^2$ મળે.
તેથી,$k_2^2 = \frac{67}{12} R^2$.
ગુણોત્તર $\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{2/3}{67/12}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{67}} = \sqrt{\frac{8}{67}}$.
આમ,$x = 67$.

(A) સૂર્ય ($M$ દળ) ની આસપાસ $a$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ગ્રહ માટે:
$1$. ગતિઊર્જા $(KE)$: કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$ છે. તેથી,$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}$. આ $(2)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $(PE)$: તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $PE = -\frac{GMm}{a}$ છે. આ $(1)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(TE)$: $TE = KE + PE = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$. આ $(4)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઊર્જા: સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઊર્જા જરૂરી છે,જે $\frac{GM_p m}{r}$ છે. એકમ દળના પદાર્થ માટે $(m=1)$,આ $\frac{GM_p}{r}$ થાય છે. આ $(3)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A) - II, (B) - I, (C) - IV, (D) - III$ છે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = 5 \, kg + 25 \, kg = 30 \, kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ છે.
ધારો કે $N$ એ ભોંયતળિયા દ્વારા તંત્ર પર લાગતું લંબબળ (normal reaction) છે. નીચેની તરફની ગતિ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$Mg - N = Ma$
કિંમતો મૂકતા:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું ક્રિયાબળ એ લંબબળ $N$ જેટલું જ હોય છે, જે $291 \, N$ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell (R+h)^2}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+h)$.
ઊંચાઈ $h_1 = R$ માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (2R)$.
ઊંચાઈ $h_2 = 2R$ માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+2R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (3R)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3T_1 = 2T_2$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $W = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,દળ $m = 50 \ kg$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = 20 \ m$ સમાન છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ શિરોલંબ સ્થાનો પર આધાર રાખે છે,તે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,કિસ્સા-$1$ માં કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_1 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ છે.
કિસ્સા-$2$ માં કરવામાં આવેલું કાર્ય પણ $W_2 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ છે.
કરવામાં આવેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $W_1 : W_2 = 1000g : 1000g = 1: 1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલા અવલોકનો $4.62 \,s, 4.632 \,s, 4.6 \,s$ અને $4.64 \,s$ છે.
સરેરાશ શોધવા માટે,પહેલા આપણે સરવાળો કરીએ: $4.62 + 4.632 + 4.6 + 4.64 = 18.492 \,s$.
સરવાળા માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાન ધરાવતા માપન જેટલી હોવી જોઈએ. અહીં,$4.6 \,s$ માં દશાંશ પછી માત્ર એક જ અંક છે.
તેથી,સરવાળાને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા: $18.5 \,s$ મળે.
હવે,સરેરાશની ગણતરી કરીએ: $\text{Mean} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \,s$.
છેલ્લે,ભાગાકાર માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતા માપન જેટલી હોવી જોઈએ. અહીં $4.6 \,s$ માં બે સાર્થક અંકો છે.
તેથી,$4.625 \,s$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $4.6 \,s$ મળે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$, શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ કરેલા કાર્ય $W$ જેટલી છે, જે $P-V$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$P-V$ વક્ર એ એક વર્તુળ છે જેનો દબાણ અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_P = (340 - 60) \,kPa = 280 \,kPa = 280 \times 10^3 \,Pa$ અને કદ અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_V = (340 - 60) \,cc = 280 \,cm^3 = 280 \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_P = 140 \times 10^3 \,Pa$ અને $r_V = 140 \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times r_P \times r_V$ છે.
$W = \pi \times (140 \times 10^3 \,Pa) \times (140 \times 10^{-6} \,m^3) = \pi \times 140 \times 140 \times 10^{-3} \,J = \pi \times 19.6 \,J \approx 3.14159 \times 19.6 \,J \approx 61.575 \,J \approx 61.6 \,J$.

(D) ધારો કે તંત્રનું કુલ દળ $M = M_1 + M_2 + M_3 = 4 \ kg + 6 \ kg + 10 \ kg = 20 \ kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતું કુલ અધોદિશામાં બળ $W = Mg = 20 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 200 \ N$ છે.
તંત્ર $a = 2 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T_1 - Mg = Ma$.
કિંમતો મૂકતા: $T_1 - 200 = 20 \times 2$.
$T_1 - 200 = 40$.
$T_1 = 240 \ N$.

(A) ધારો કે $\rho$ ઘનતા છે,$\sigma$ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $L$ તારની લંબાઈ છે.
તાર તૂટવાની સ્થિતિમાં,તેના પોતાના વજનને કારણે તારના ઉપરના ભાગે લાગતું સ્ટ્રેસ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ જેટલું હોય છે.
તારનું વજન $W = mg = (\rho A L) g'$ છે.
અહીં,$g'$ એ ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,જે $g' = \frac{g}{3} = \frac{10}{3} \ m/s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{W}{A} = \frac{\rho A L g'}{A} = \rho L g'$ છે.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$L = \frac{\sigma}{\rho g'}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sigma = 1.2 \times 10^8 \ N/m^2$,$\rho = 6 \times 10^4 \ kg/m^3$,અને $g' = \frac{10}{3} \ m/s^2$.
$L = \frac{1.2 \times 10^8}{6 \times 10^4 \times (10/3)} = \frac{1.2 \times 10^8 \times 3}{6 \times 10^4 \times 10} = \frac{3.6 \times 10^8}{6 \times 10^5} = 0.6 \times 10^3 = 600 \ m$.

(B) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$u = 0$,તેથી $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$.
$n=10$ માટે,$S_{10} = \frac{a}{2}(2(10)-1) = \frac{19a}{2}$.
$n-1=9$ માટે,$S_{9} = \frac{a}{2}(2(9)-1) = \frac{17a}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{S_{n-1}}{S_n} = \frac{17a/2}{19a/2} = \frac{17}{19}$ થાય.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $1 - \frac{2}{x}$ છે,તેથી $1 - \frac{2}{x} = \frac{17}{19}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2}{x} = 1 - \frac{17}{19} = \frac{2}{19}$.
તેથી,$x = 19$.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
વાયુઓના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
જ્યાં:
$n$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે.

(A) આપેલ રેખીય વેગમાન $\vec{P}(t) = \cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}$ છે.
બળ $\vec{F}$ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 9 \,m$.
માણસ $3$ મિનિટમાં $120$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે।
સૌ પ્રથમ,કોણીય વેગ $\omega$ ની ગણતરી કરો:
$\omega = \frac{120 \text{ પરિભ્રમણ}}{3 \text{ મિનિટ}} = \frac{120 \times 2\pi \text{ રેડિયન}}{3 \times 60 \text{ સેકન્ડ}} = \frac{240\pi}{180} = \frac{4\pi}{3} \,rad/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 R$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $a_c = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{16\pi^2}{9} \times 9 = 16\pi^2 \,m/s^2$.

(B) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
પદ $(V-b)$ માં,$V$ એ કદ હોવાથી,$b$ નું પરિમાણ $V$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$[b] = [L^3]$.
પદ $(P + \frac{a}{V^2})$ માં,$\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ દબાણ $P$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
તેથી,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
હવે,આપણે $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધવાનું છે.
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
પાવર $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$ હોવાથી,$m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = P$ મળે.
બંને બાજુ સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int m \cdot v \cdot dv = \int P \cdot dt$.
આનાથી $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \propto t$,અથવા $v \propto t^{1/2}$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$ મળે.
સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}$.
તેથી,સ્થાનાંતર $s \propto t^{3/2}$ થાય.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી આપણે લખી શકીએ $P = k T^3$,જેનો અર્થ છે $P T^{-3} = \text{constant}$.
આને પ્રમાણિત એડિબેટિક સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે સરખાવતા,આપણે આપેલ સંબંધને $n$ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ જેથી $T$ નો ઘાતાંક સમાન થાય:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$.
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ અને $P^n T^{-3n}$ માંથી $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\gamma = -3n$ અને $1-\gamma = n$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $n = 1-\gamma$ મૂકતા: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $2\gamma = 3$ મળે છે,તેથી $\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.

(C) યાદી-$I$ માં આપેલી વ્યાખ્યાઓ યાદી-$II$ ના નીચેના ભૌતિક ખ્યાલો સાથે સુસંગત છે:
$(A)$ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું લાવતું બળ એ $\text{Stress} = \frac{F_{\text{restoring}}}{A}$ ની વ્યાખ્યા છે. જો $A = 1$ હોય,તો $\text{Stress} = F_{\text{restoring}}$. તેથી,$(A)-(III)$.
$(B)$ પદાર્થની વિરુદ્ધ સપાટીઓને સમાંતર લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો પદાર્થના કદમાં ફેરફાર કર્યા વિના તેના આકારમાં ફેરફાર કરે છે,જે $\text{Shear modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(B)-(IV)$.
$(C)$ સપાટીને દરેક જગ્યાએ લંબ રૂપે લાગતું બળ,જે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય,તે કદ પ્રતિબળ (volumetric stress) ઉત્પન્ન કરે છે,જે $\text{Bulk modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(C)-(I)$.
$(D)$ વિરુદ્ધ સપાટીઓને લંબ રૂપે લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો લંબાઈમાં ફેરફાર કરે છે,જે $\text{Young's modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(D)-(II)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(II)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $20$ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગો $(VSD)$ એ મુખ્ય સ્કેલના $19$ વિભાગો $(MSD)$ સાથે સંપાત થાય છે।
તેથી, $1 \,VSD = \frac{19}{20} \,MSD$.
વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(L.C.)$ એ $L.C. = 1 \,MSD - 1 \,VSD$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે।
આપેલ છે કે $L.C. = 0.1 \,mm$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 \,mm = 1 \,MSD - \frac{19}{20} \,MSD$.
$0.1 \,mm = (1 - \frac{19}{20}) \,MSD$.
$0.1 \,mm = \frac{1}{20} \,MSD$.
$1 \,MSD = 0.1 \,mm \times 20 = 2 \,mm$.

(B) ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_k = \mu_k N$
જ્યાં $\mu_k$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે।
સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા બોક્સ માટે, લંબબળ $N$ એ બોક્સના વજન $mg$ જેટલું હોય છે।
આપેલ છે:
દળ $m = 50 \,kg$
ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.3$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$
લંબબળની ગણતરી:
$N = mg = 50 \times 9.8 = 490 \,N$
ગતિક ઘર્ષણ બળની ગણતરી:
$f_k = 0.3 \times 490 = 147 \,N$

(D) ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{M}}$,જેનો અર્થ છે $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/2}$.
અહીં,$T_1 = 6 \text{ કલાક}$,$T_2 = 24 \text{ કલાક}$ (પૃથ્વીની ભૂ-સ્થિર કક્ષા માટે).
$M_1 = \frac{M_e}{4}$ અને $M_2 = M_e$.
$r_2 = 4.2 \times 10^4 \text{ km}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{24} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \left(\frac{M_e}{M_e/4}\right)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times (4)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times 2$.
$\frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$\frac{1}{4} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$r_1 = \frac{4.2 \times 10^4}{4} = 1.05 \times 10^4 \text{ km}$.

(D) સોનોમીટરના તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $L$ એ અનુનાદિત લંબાઈ છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$f_0 L = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
આપેલ છે કે $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,અને $f_2 = 600 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા પોલા ગોળા માટે,તેની સંમિતિની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$ છે.
$v = R\omega$ હોવાથી,$K_{total} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 + \frac{1}{2} m(R\omega)^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2 + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 = (\frac{2+3}{6}) mR^2 \omega^2 = \frac{5}{6} mR^2 \omega^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{3} mR^2 \omega^2}{\frac{5}{6} mR^2 \omega^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
આને $\frac{x}{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે।
તેથી, સંતુલન માટે બંને ભુજાઓ પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં, $F_1$ એ જાડી ભુજા પરનું બળ છે, $A_1$ એ જાડી ભુજાનું ક્ષેત્રફળ છે, $F_2 = 10 \,N$ એ પાતળી ભુજા પરનું બળ છે, અને $A_2$ એ પાતળી ભુજાનું ક્ષેત્રફળ છે।
જાડી ભુજાનો વ્યાસ $D_1 = 14 \,cm$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 7 \,cm$ છે।
પાતળી ભુજાનો વ્યાસ $D_2 = 1.4 \,cm$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_2 = 0.7 \,cm$ છે।
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા:
$\frac{F_1}{\pi (7)^2} = \frac{10}{\pi (0.7)^2}$
$F_1 = 10 \times \frac{49}{0.49}$
$F_1 = 10 \times 100 = 1000 \,N$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ અચળ રહે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H_{\max} \propto u^2$.
તેથી, નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{2\max})$ અને પ્રારંભિક મહત્તમ ઊંચાઈ $(H_{1\max})$ નો ગુણોત્તર $\frac{H_{2\max}}{H_{1\max}} = \frac{u_2^2}{u_1^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $H_{1\max} = 64 \,m$ અને નવો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = \frac{u_1}{2}$ આપેલ છે, આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{H_{2\max}}{64} = \frac{(u_1 / 2)^2}{u_1^2} = \frac{u_1^2 / 4}{u_1^2} = \frac{1}{4}$.
$H_{2\max}$ માટે ઉકેલતા, આપણને $H_{2\max} = \frac{64}{4} = 16 \,m$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે: દળમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \% = -1 \%$ અને સમયમાં ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \% = 2 \%$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યો લઈએ છીએ: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |\frac{\Delta m}{m} \%| + 2 |\frac{\Delta T}{T} \%|$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |-1 \%| + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$.

(D) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^2 = \frac{1}{2} m (100)^2 = 5000 m \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^2 = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800 m \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{K_{i} - K_{f}}{K_{i}} \times 100$.
$= \frac{5000 m - 800 m}{5000 m} \times 100$.
$= \frac{4200}{5000} \times 100 = 84 \%$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_E}}$ છે.
પદાર્થને અનંત અંતરે ફેંકવા માટે,જરૂરી ગતિઊર્જા $K$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
$K = \frac{GMm}{R_E}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_E^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $GM = gR_E^2$.
$GM$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{(gR_E^2)m}{R_E} = mgR_E$.
તેથી,જરૂરી ગતિઊર્જા $mgR_E$ છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના સમઘન $C_1$ માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_1 = 2Q$ છે. તેથી,$C_1$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{2Q}{\epsilon_0}$ થાય.
મોટા સમઘન $C_2$ માટે,તેની અંદરનો કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_2 = 2Q + 3Q = 5Q$ થાય છે. તેથી,$C_2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = \frac{5Q}{\epsilon_0}$ થાય.
$C_1$ અને $C_2$ માંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{2Q/\epsilon_0}{5Q/\epsilon_0} = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $4 \ \Omega$,$2 \ \Omega$ (ગેલ્વેનોમીટર),અને $6 \ \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4 + 2 + 6 = 12 \ \Omega$.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
ધારો કે નોડ્સ $A$ (ડાબે),$B$ (ઉપર),$C$ (નીચે),અને $D$ (જમણે) છે. $C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નોડ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો તફાવત છે. $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નોડ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન = $6 \ V$,$D$ પરનું સ્થિતિમાન = $0 \ V$.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન = $V_A - I \times 4 \ \Omega = 6 - 0.5 \times 4 = 4 \ V$.
$C$ પરનું સ્થિતિમાન = $V_B - I \times 2 \ \Omega = 4 - 0.5 \times 2 = 3 \ V$.
$C_1$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_{C1})$ = $V_A - V_C = 6 - 3 = 3 \ V$.
$C_2$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_{C2})$ = $V_B - V_D = 4 - 0 = 4 \ V$.
વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 \times V_{C1} = 4 \ \mu F \times 3 \ V = 12 \ \mu C$.
વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 \times V_{C2} = 6 \ \mu F \times 4 \ V = 24 \ \mu C$.
ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{12 \ \mu C}{24 \ \mu C} = \frac{1}{2}$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,ડાબી ગેપમાં અવરોધ $R_1 = 2 \ \Omega$ છે અને જમણી ગેપમાં અજ્ઞાત અવરોધ $X$ છે. સંતુલન લંબાઈ $\ell_1 = 40 \ cm$ છે.
મીટર-બ્રિજના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{\ell_1} = \frac{X}{100 - \ell_1} \Rightarrow \frac{2}{40} = \frac{X}{60} \Rightarrow X = 3 \ \Omega$.
બીજા કિસ્સામાં,અજ્ઞાત અવરોધ $X$ ને $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. નવો સમતુલ્ય અવરોધ $X^{\prime}$ છે:
$X^{\prime} = \frac{X \times 2}{X + 2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2$ છે.
$\frac{2}{\ell_2} = \frac{1.2}{100 - \ell_2} \Rightarrow 2(100 - \ell_2) = 1.2\ell_2 \Rightarrow 200 - 2\ell_2 = 1.2\ell_2 \Rightarrow 3.2\ell_2 = 200 \Rightarrow \ell_2 = \frac{200}{3.2} = 62.5 \ cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $|\ell_2 - \ell_1| = |62.5 - 40| = 22.5 \ cm$ છે.

(B) કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ એ આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
આપેલ છે: ઇનપુટ પાવર $P_{in} = 4 \ kW = 4000 \ W$, કાર્યક્ષમતા $\eta = 80\% = 0.8$, સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_S = 240 \ V$.
આઉટપુટ પાવર $P_{out} = V_S \times I_S$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0.8 = \frac{V_S \times I_S}{P_{in}}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.8 = \frac{240 \times I_S}{4000}$.
$I_S = \frac{0.8 \times 4000}{240} = \frac{3200}{240}$.
$I_S = 13.33 \ A$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઇલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = BINA \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કોઇલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે. રેડિયલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,$\phi = 90^{\circ}$,તેથી $\sin 90^{\circ} = 1$.
સસ્પેન્શન વાયર દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = C \theta$ છે,જ્યાં $C$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $\theta$ એ વિચલન છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $C \theta = BINA$.
આપેલ કિંમતો: $N = 100$,$A = 2.0 \,cm^2 = 2.0 \times 10^{-4} \,m^2$,$B = 0.01 \,T$,$I = 10 \,mA = 10 \times 10^{-3} \,A$,અને $\theta = 0.05 \,rad$.
$C$ ના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{BINA}{\theta} = \frac{0.01 \times 10 \times 10^{-3} \times 100 \times 2.0 \times 10^{-4}}{0.05}$
$C = \frac{0.01 \times 0.01 \times 100 \times 2.0 \times 10^{-4}}{0.05} = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.05} = 40 \times 10^{-6} = 4 \times 10^{-5} \,N-m/rad$.
આને $x \times 10^{-5} \,N-m/rad$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=2$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે:
$\nu_1 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = K \left( \frac{3}{4} \right) = 3 \times 10^{15} \,Hz$.
$n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે:
$\nu_2 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{8}{9} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{K(8/9)}{K(3/4)} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
તેથી, $\nu_2 = \frac{32}{27} \times 3 \times 10^{15} \,Hz = \frac{32}{9} \times 10^{15} \,Hz$.
આને $\frac{x}{9} \times 10^{15} \,Hz$ સાથે સરખાવતા, આપણને $X = 32$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,પ્રવાહ $I_2 = 0 \ A$ છે.
કેપેસિટર શાખા ઓપન હોવાથી,પ્રવાહ $I_1$ એ અવરોધ $R_1$ માંથી અને ત્યારબાદ અવરોધ $R_3$ માંથી વહે છે. આમ,$I_1 = I_3$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_3 = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{10 \ \Omega} = 1 \ A$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_c$ એ અવરોધ $R_3$ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ જેટલો છે કારણ કે તેઓ કેપેસિટર શાખા સાથે સમાંતરમાં છે (સ્થાયી અવસ્થામાં $R_2$ પર કોઈ વોલ્ટેજ ડ્રોપ થતો નથી).
$V_c = I_3 \times R_3 = 1 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c = 10 \ \mu F \times 6 \ V = 60 \ \mu C$ છે.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NAB \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = NAB\omega \sin(\omega t)$ છે.
ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $\varepsilon_{\max} = NAB\omega$ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 200$
ક્ષેત્રફળ $A = 0.20 \ m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \ T$
આવૃત્તિ $f = 0.5 \ rev/s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi(0.5) = \pi \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 200 \times 0.20 \times 0.01 \times \pi$
$\varepsilon_{\max} = 40 \times 0.01 \times \pi = 0.4\pi = \frac{4\pi}{10} = \frac{2\pi}{5} \ V$.
આને $\frac{2\pi}{\beta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક સ્લિટને કારણે પડદા પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
પડદાના કેન્દ્ર પર મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે.
જ્યાં કળા તફાવત $\phi$ હોય તે બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતા કરતા અડધી થાય છે,તેથી $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$.
આમ,$2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 1/2 \implies \cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$.
આનાથી $\phi/2 = \pi/4$ મળે છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = \pi/2$.
કળા તફાવત એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2} \implies \Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $d(y/D) = \lambda/4 \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$,$d = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$,અને $D = 1.0 \ m$.
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4} \ m = 125 \times 10^{-6} \ m$.
તેથી,અંતર $125$ છે.

(B) ધારો કે દોરા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{10 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,કણ પર લાગતા બળો છે: દોરામાં તણાવ $T$,નીચેની તરફ વજન $mg$,અને દીવાલથી દૂર આડી દિશામાં વિદ્યુત બળ $qE$.
બળોના ઘટકો પાડતા: $T \sin \theta = qE$ અને $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$.
આપેલ છે $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,$E = 2 \times 10^4 \ N/C$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-3} \times 10} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-2}} = q \times 10^6$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = q \times 10^6 \implies q = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{-6} \ C = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \mu C$.
$\frac{1}{\sqrt{x}} \ \mu C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) લાંબા પ્રવાહધારિત સોલેનોઇડની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમાન હોય છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને અક્ષની દિશામાં વેગ $\vec{v}$ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે (એટલે કે,$\vec{v} \parallel \vec{B}$).
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = qvB \sin \theta$ છે. અહીં $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ છે,તેથી $\sin \theta = 0$ થાય.
તેથી,ચુંબકીય બળ $\vec{F} = 0$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું ન હોવાથી,તે સોલેનોઇડની અક્ષ પર તેના પ્રારંભિક સમાન વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(D) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \hat{i} 40 \cos \omega(t - \frac{z}{c})$ છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ એ $+x$ અક્ષની દિશામાં છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $(t - z/c)$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે).
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશા દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $+y$ અક્ષ $(\hat{j})$ ની દિશામાં હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $B_0 = \frac{E_0}{c}$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $E_0 = 40 \text{ N/C}$ આપેલ હોવાથી,$B_0 = \frac{40}{c} \text{ T}$ મળે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = \hat{j} \frac{40}{c} \cos \omega(t - \frac{z}{c}) \text{ T}$ થશે.

(D) ન્યુક્લિયર વિખંડન પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ અને કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
પ્રક્રિયા માટે: ${ }_{92}^{235} U + { }_{0}^{1} n \rightarrow { }_{56}^{144} Ba + { }_{36}^{89} Kr + x{ }_{0}^{1} n$
દળ ક્રમાંકનું સંતુલન તપાસતા:
$235 + 1 = 144 + 89 + x$
$236 = 233 + x$
$x = 3$
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંતુલન તપાસતા:
$92 + 0 = 56 + 36 + 0$
$92 = 92$
બંને બાજુ સંતુલિત હોવાથી,સાચી પ્રક્રિયા ${ }_{92}^{235} U + { }_{0}^{1} n \rightarrow { }_{56}^{144} Ba + { }_{36}^{89} Kr + 3{ }_{0}^{1} n$ છે.

(B) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે,જેને $f^{-1} = v^{-1} - u^{-1}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$-f^{-2} df = -v^{-2} dv - u^{-2} du$.
$-1$ વડે ગુણતા:
$\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
ત્રુટિઓ $du$ અને $dv$ માટે લઘુત્તમ માપક્રમ $\Delta u$ અને $\Delta v$ મૂકતા,કેન્દ્રલંબાઈમાં થતી ત્રુટિ $\Delta f$:
$\Delta f = f^2 \left[ \frac{\Delta u}{u^2} + \frac{\Delta v}{v^2} \right]$.

(A) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો અસરકારક પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $P_{eq} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$.
અહીં $5$ લેન્સ સમાન હોવાથી,$P_{eq} = 5P$ થાય.
આપેલ છે કે $P_{eq} = 25 \ D$,તેથી $5P = 25 \ D$,જેનો અર્થ છે કે $P = 5 \ D$.
પાવર $P$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{1}{f}$ છે.
તેથી,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \ m = 0.2 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$f = 0.2 \times 100 \ cm = 20 \ cm$.
આમ,દરેક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા અને આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે. તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને તીવ્રતાઓ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ સમાન રહે છે.
તીવ્રતા $I_2 > I_1$ હોવાથી,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $I_1$ કરતા $I_2$ માટે વધારે છે. પરિણામે,$I_2$ માટેનો સેચ્યુરેશન પ્રવાહ $I_1$ કરતા વધારે હશે.
આપેલ આકૃતિઓ સાથે સરખામણી કરતા,આકૃતિ $C$ સાચી રીતે દર્શાવે છે કે બંને વક્રો ઋણ $V$-અક્ષ પર સમાન સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(-V_0)$ થી શરૂ થાય છે,અને $I_2$ માટેનો સેચ્યુરેશન પ્રવાહ $I_1$ કરતા વધારે છે.
આમ,સાચી આકૃતિ $C$ છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $\ell_1$ એ ઓપન સર્કિટ માટેની સંતુલન લંબાઈ છે અને $\ell_2$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથેની સંતુલન લંબાઈ છે.
આ પ્રશ્નમાં,આપણને બે અલગ-અલગ બાહ્ય અવરોધો $R_1 = 10 \ \Omega$ અને $R_2 = 1 \ \Omega$ આપેલા છે,જેની સંતુલન લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1 = 500 \ cm$ અને $\ell_2 = 400 \ cm$ છે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = \varepsilon - Ir = I R = \lambda \ell$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$R_1 = 10 \ \Omega$ માટે: $V_1 = \frac{\varepsilon}{r + 10} \times 10 = \lambda \times 500 \implies \varepsilon = 50 \lambda (r + 10)$.
$R_2 = 1 \ \Omega$ માટે: $V_2 = \frac{\varepsilon}{r + 1} \times 1 = \lambda \times 400 \implies \varepsilon = 400 \lambda (r + 1)$.
$\varepsilon$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$50 \lambda (r + 10) = 400 \lambda (r + 1)$
$r + 10 = 8(r + 1)$
$r + 10 = 8r + 8$
$7r = 2$
$r = \frac{2}{7} \approx 0.285 \ \Omega \approx 0.3 \ \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અનંત લંબાઈના વીજભારિત તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
$e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = eE = \frac{2 k \lambda e}{r}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર પરિભ્રમણ કરે તે માટે,આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_c = \frac{m v^2}{r} = \frac{2 k \lambda e}{r}$
આના પરથી,આપણે વેગનો વર્ગ $v^2$ શોધી શકીએ છીએ:
$v^2 = \frac{2 k \lambda e}{m}$
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $KE$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{2 k \lambda e}{m} \right) = k \lambda e$
અહીં $k$,$\lambda$ અને $e$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $KE$ એ ત્રિજ્યા $r$ પર આધારિત નથી. તેથી,$KE$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા હશે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાચો છે.

(C) ડાબા છેડા પરનો પોટેન્શિયલ $V_A = -6 \text{ V}$ છે અને જમણા છેડા પરનો પોટેન્શિયલ $V_B = -8 \text{ V}$ છે.
$10 \Omega$ અવરોધ અને ડાયોડ $1$ ધરાવતી વચ્ચેની શાખા માટે,ડાયોડ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_A - V_B = -6 - (-8) = +2 \text{ V}$ છે. એનોડ કેથોડ કરતા ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ પર હોવાથી,ડાયોડ $1$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને તે વાહક તાર તરીકે વર્તે છે.
$5 \Omega$ અવરોધ અને ડાયોડ $2$ ધરાવતી નીચેની શાખા માટે,ડાયોડ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_B - V_A = -8 - (-6) = -2 \text{ V}$ છે. એનોડ કેથોડ કરતા નીચા પોટેન્શિયલ પર હોવાથી,ડાયોડ $2$ રિવર્સ બાયસમાં છે અને તે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે.
ઉપરની શાખામાં $15 \Omega$ નો અવરોધ છે.
આમ,પરિપથ $15 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણમાં ફેરવાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6 \Omega$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં, ત્વરિત પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ અને વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ શૂન્ય હોય, ત્યારે $\sin(\omega t + \phi) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t + \phi = 0$ અથવા $\pi$.
જ્યારે વોલ્ટેજ મહત્તમ હોય, ત્યારે $\sin(\omega t) = 1$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
પ્રવાહના સમીકરણમાં $\omega t = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા: $\sin(\frac{\pi}{2} + \phi) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) = 0$, તેથી $\phi = \pm \frac{\pi}{2}$.
આ $\frac{\pi}{2}$ નો ફેઝ તફાવત શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર $(\phi = -\frac{\pi}{2})$, શુદ્ધ કેપેસિટર $(\phi = +\frac{\pi}{2})$, અથવા $LC$ સર્કિટમાં જોવા મળે છે.
તેથી, વિકલ્પો $A, B$ અને $D$ સાચા છે.

(A) અનંત સમતલ વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_S = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(0, 0, 2)$ બિંદુ પર,શીટથી (જે $x-y$ સમતલ,એટલે કે $z=0$ પર છે) અંતર $r_S = 2 \text{ m}$ છે.
અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\ell} = \frac{|\lambda_e|}{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર $z=4 \text{ m}$ પર છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે. બિંદુ $(0, 0, 2)$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારથી બિંદુ $(0, 0, 2)$ સુધીનું લંબ અંતર $r_{\ell} = |4 - 2| = 2 \text{ m}$ છે.
આપેલ છે કે $|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$.
વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{|\sigma_s| / 2\epsilon_0}{|\lambda_e| / 2\pi\epsilon_0 r_{\ell}} = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0} \times \frac{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}{|\lambda_e|} = \frac{|\sigma_s| \pi r_{\ell}}{|\lambda_e|}$.
$|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$ અને $r_{\ell} = 2 \text{ m}$ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{2|\lambda_e| \times \pi \times 2}{|\lambda_e|} = 4\pi$.
આપણને ગુણોત્તર $\pi \sqrt{n} : 1$ આપેલ છે,તેથી $\pi \sqrt{n} = 4\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{n} = 4$.
તેથી,$n = 16$.

(B) $n=3$ થી $n=2$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.9 \text{ eV}$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરમાણુ $v$ વેગ સાથે રિકોઇલ અનુભવે છે,તેથી $mv = \frac{h}{\lambda'}$,જ્યાં $\lambda'$ એ રિકોઇલને ધ્યાનમાં લેતા ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ છે.
ઉર્જા સંતુલન સમીકરણ $\Delta E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{hc}{\lambda'}$ છે.
$v = \frac{h}{m\lambda'}$ મૂકતા,આપણને $\Delta E = \frac{h^2}{2m\lambda'^2} + \frac{hc}{\lambda'}$ મળે છે.
$\lambda'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda' \approx \lambda \left(1 + \frac{\Delta E}{2mc^2}\right)$ મળે છે.
તરંગલંબાઇમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta E}{2mc^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2} \approx 10^{-9}$.
પ્રશ્નમાં ટકાવારી ફેરફાર પૂછ્યો હોવાથી,$\% \text{ ફેરફાર} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times 100 \approx 10^{-9} \times 10^2 = 10^{-7}$.
આમ,$n = 7$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.2(1 + 2x) \hat{k} \text{ T}$ છે. લૂપ એક ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $L = 0.5 \text{ m}$ છે. લૂપ $x = 2 \text{ m}$ થી $x = 2.5 \text{ m}$ અને $y = 2 \text{ m}$ થી $y = 2.5 \text{ m}$ વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યો છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર બાજુઓ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$y$-અક્ષને સમાંતર બાજુઓ માટે,બળ $\vec{F} = I \int (d\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2 \text{ m}$ પર,પ્રવાહ ઋણ $y$-દિશામાં વહે છે: $\vec{F}_1 = I L \hat{j} \times \vec{B}(x=2) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2))] \hat{j} \times \hat{k} = 0.25 \times 1 \hat{i} = 0.25 \text{ N}$ ($+x$ દિશામાં).
$x = 2.5 \text{ m}$ પર,પ્રવાહ ધન $y$-દિશામાં વહે છે: $\vec{F}_2 = I L (-\hat{j}) \times \vec{B}(x=2.5) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2.5))] (-\hat{j}) \times \hat{k} = 0.25 \times 1.2 (-\hat{i}) = -0.30 \text{ N}$ ($-x$ દિશામાં).
કુલ બળ $F_{\text{net}} = |F_1 - F_2| = |0.25 - 0.30| = 0.05 \text{ N} = 50 \text{ mN}$ છે.

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = I_{dc} + I_{ac} \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_{dc} = 6 \ A$ અને અલ્ટરનેટિંગ ઘટકનું મહત્તમ મૂલ્ય $I_m = \sqrt{56} \ A$ છે.
મિશ્ર પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્ય $I_{\text{rms}} = \sqrt{I_{dc}^2 + \frac{I_m^2}{2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{6^2 + \frac{(\sqrt{56})^2}{2}}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{36 + \frac{56}{2}}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{36 + 28}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{64}$
$I_{\text{rms}} = 8 \ A$.

(A) ધારો કે બેટરીમાંથી નીકળતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે. સમઘનનો ફલક વિકર્ણ (બિંદુ $a$ અને $c$) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{3}{4}R$ છે. આપેલ $R = 2 \Omega$ માટે,$R_{eq} = \frac{3}{4} \times 2 = 1.5 \Omega$ થાય.
કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1.5} = 4 \text{ A}$ થાય.
સંમિતિ મુજબ,બિંદુ $a$ પર પ્રવાહ $I$ ત્રણ માર્ગોમાં વહેંચાય છે: $ab$,$ad$,અને $ah$. $a$ અને $c$ બેટરી સાથે જોડાયેલા હોવાથી,પ્રવાહના માર્ગો સંમિત છે. $ab$ અને $ad$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ છે. $ah$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ છે.
બિંદુ $h$ પર,પ્રવાહ $I_2$ એ $he$ અને $hg$ માં વહેંચાય છે. સંમિતિ મુજબ,$I_{he} = I_{hg} = I_2/2 = (4/3)/2 = 2/3 \text{ A}$ થાય.
તે જ રીતે,બિંદુ $e$ પર,પ્રવાહ $I_{he}$ આવે છે અને $ef$ તથા $ed$ માં વહેંચાય છે. સંમિતિ મુજબ,$ef$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{ef} = I_{he}/2 = (2/3)/2 = 1/3 \text{ A}$ થાય.
$e$ અને $f$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ તફાવત $V_{ef} = I_{ef} \times R = (1/3) \times 2 = 2/3 \text{ V} \approx 0.67 \text{ V}$ થાય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1 \text{ V}$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે $n$-મી પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $y_n = \frac{n D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તરંગલંબાઈઓ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે ઓવરલેપ થવા માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $y_{n_1} = y_{n_2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ ફ્રિન્જના ક્રમ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $n_1 (450 \ nm) = n_2 (650 \ nm)$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{650}{450} = \frac{13}{9}$.
કારણ કે $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્યો $n_1 = 13$ અને $n_2 = 9$ છે.
આમ,$\lambda_2$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ફ્રિન્જનો ન્યૂનતમ ક્રમ $n = 9$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિમાં,ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે,તેથી $U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$.
સૌથી અસ્થાયી સંતુલન સ્થિતિમાં,ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે,તેથી $U_f = -mB \cos 180^{\circ} = +mB$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
$W = mB - (-mB) = 2mB$.
અહીં $m = 0.5 \text{ A m}^2$ અને $B = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$ આપેલ છે.
$W = 2 \times 0.5 \times 8 \times 10^{-2} = 1 \times 8 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(A) $p$-$n$ જંકશન ડાયોડના ડાયનેમિક અવરોધને માપવા માટે,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ.
ફોરવર્ડ બાયસ્ડ સર્કિટમાં,ડાયોડનો $p$-ટર્મિનલ (એનોડ) વોલ્ટેજ સ્ત્રોતના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ હોય છે,અને $n$-ટર્મિનલ (કેથોડ) ઋણ ટર્મિનલ (અથવા ગ્રાઉન્ડ) સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા:
- વિકલ્પ $A$ માં,ડાયોડ $D_4$ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે કારણ કે બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-બાજુ સાથે જોડાયેલ છે.
- વિકલ્પ $B$ માં,ડાયોડ $D_2$ રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
- વિકલ્પ $C$ માં,ડાયોડ $D_3$ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે,પરંતુ તે કેપેસિટર સાથે જોડાયેલ છે,જે $DC$ પ્રવાહને અવરોધે છે.
- વિકલ્પ $D$ માં,ડાયોડ $D_1$ રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલી સર્કિટ ડાયનેમિક અવરોધ માપવા માટે સાચી ફોરવર્ડ બાયસ્ડ ગોઠવણી દર્શાવે છે.

(C) તરંગલંબાઈના વધતા ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ નીચે મુજબ છે:
ગેમા કિરણો < એક્સ-રે < અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો < દ્રશ્ય પ્રકાશ < ઇન્ફ્રારેડ તરંગો < માઇક્રોવેવ્સ < રેડિયો તરંગો.
આપેલ તરંગલંબાઈઓ:
ગેમા કિરણો: $\lambda_1$
એક્સ-રે: $\lambda_2$
ઇન્ફ્રારેડ તરંગો: $\lambda_3$
માઇક્રોવેવ્સ: $\lambda_4$
આની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
$1$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$.
$4$. તેથી,સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ બને છે,જે $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આમ,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.

(A) સ્લિટમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$.
આપેલ છે કે એક સ્લિટની પહોળાઈ બીજી કરતા $4$ ગણી છે,તેથી તીવ્રતા $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ લેતા.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$ થાય.

(D) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે. તેથી,$A$ એ $I$ સાથે જોડાય છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે. તેથી,$B$ એ $IV$ સાથે જોડાય છે.
રેઝોનન્સ પર $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે,જેનાથી સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક બને છે. શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ અને પ્રવાહ $I$ સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,$C$ એ $II$ સાથે જોડાય છે.
સામાન્ય $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $I$ કરતા કળા તફાવત $\theta$ જેટલો આગળ અથવા પાછળ હોય છે. તેથી,$D$ એ $III$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-I, B-IV, C-II, D-III$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R$ તેના રેટ કરેલ પાવર $P_{rated}$ અને રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $V_{rated}$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{(200)^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
જ્યારે બલ્બને નવા સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_{applied} = 100 \, V$ સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વાસ્તવિક પાવર વ્યય $P_{actual}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_{actual} = \frac{V_{applied}^2}{R} = \frac{(100)^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
આમ, બલ્બનો પાવર વ્યય $12.5 \, W$ છે। તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{n h \nu}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ સમય દીઠ ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
આના પરથી,એકમ સમય દીઠ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{IA}{h \nu}$ થાય છે.
જો તીવ્રતા $I$ અચળ રાખવામાં આવે,તો આવૃત્તિ $\nu$ વધારવાથી ફોટોનની સંખ્યા $n$ માં ઘટાડો થાય છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h \nu - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જેમ આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ વધે છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન (moment of momentum) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
અહીં ઇલેક્ટ્રોન $4^{\text{th}}$ કક્ષામાં છે,તેથી $n = 4$ લેતા.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \frac{4h}{2\pi}$
$L = \frac{2h}{\pi}$
આમ,કોણીય વેગમાન $\frac{2h}{\pi}$ થાય છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનની એક સપાટી પર મૂકવામાં આવે ત્યારે ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ ઘનની ઉપર એક સમાન બીજો ઘન એવી રીતે મૂકીએ છીએ કે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ હવે બે ઘન દ્વારા બનેલી બંધ ગાઉસિયન સપાટીના કેન્દ્રમાં આવી જાય.
આ સંયુક્ત ગાઉસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર બંને ઘનની વચ્ચે સમાન રીતે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,દરેક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,એક ઘન સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{2} \phi_{total} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$ થશે.

(C) પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_0 = 12.5 \ pF$ અને પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 12.0 \ V$ છે.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_0 V = 12.5 \times 10^{-12} \times 12 = 150 \times 10^{-12} \ C$ છે.
પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} \times 12.5 \times 10^{-12} \times (12)^2 = 900 \times 10^{-12} \ J$ છે.
બેટરી દૂર કર્યા પછી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે. જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C_f = \epsilon_r C_0 = 6 \times 12.5 \ pF = 75 \ pF$ થાય છે.
અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{Q^2}{2 \epsilon_r C_0} = \frac{U_i}{\epsilon_r} = \frac{900 \times 10^{-12}}{6} = 150 \times 10^{-12} \ J$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_i - U_f = 900 \times 10^{-12} - 150 \times 10^{-12} = 750 \times 10^{-12} \ J$ છે.

(A) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયા: ${ }^{235} U \rightarrow{ }^{140} Ce+{ }^{94} Zr+n$ છે.
વિઘટન ઉર્જા $Q$ એ $Q = (m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}) c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયકોનું દળ $(m_{\text{reactants}})$ = $m({ }^{235} U) = 235.0439 \text{ u}$.
નીપજોનું દળ $(m_{\text{products}})$ = $m({ }^{140} Ce) + m({ }^{94} Zr) + m(n) = 139.9054 \text{ u} + 93.9063 \text{ u} + 1.0086 \text{ u} = 234.8203 \text{ u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}} = 235.0439 \text{ u} - 234.8203 \text{ u} = 0.2236 \text{ u}$.
વિઘટન ઉર્જા $Q = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 0.2236 \times 931 \text{ MeV} = 208.1716 \text{ MeV}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$Q \approx 208 \text{ MeV}$.

(B) આપેલ છે:
જાડાઈ $t = 4 \sqrt{3} \text{ cm}$
વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$
આપાતકોણ $i = \theta_c$ (ક્રાંતિકોણ)
$1$. ક્રાંતિકોણની ગણતરી:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta_c = 45^{\circ}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.
$2$. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
$3$. પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $\Delta$ ની ગણતરી:
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\Delta = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ છે.
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}$
આપેલ છે કે $\sin 15^{\circ} = 0.25 = \frac{1}{4}$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot (1/4)}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2 \text{ cm}$.
આમ,પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $2 \text{ cm}$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ફરતા ભાગની લંબાઈ છે.
અહીં,સળિયો તેના કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ ફરે છે. સળિયાના બે ભાગ $OA$ અને $OB$,જે દરેકની લંબાઈ $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે,તે એક છેડાની આસપાસ ફરતા બે અલગ સળિયા તરીકે વર્તે છે.
$OA$ ભાગમાં ઉદ્ભવતું $EMF$ $\varepsilon_{OA} = V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.
$OB$ ભાગમાં ઉદ્ભવતું $EMF$ $\varepsilon_{OB} = V_O - V_B = \frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભ્રમણની ધરીને સમાંતર હોવાથી,સળિયાના બંને છેડા $A$ અને $B$ પર કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન હોય છે. તેથી,છેડાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = (V_O - V_B) - (V_O - V_A) = 0 - 0 = 0 \ V$ થાય છે.

(D) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho_d \times A \times \ell$ અચળ હોવાથી,અને દ્રવ્ય સમાન હોવાથી (સમાન ઘનતા $\rho_d$),કદ $V = A \ell$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\ell = \frac{V}{A}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\rho V}{A^2}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$.
આપેલ છે કે $r_A = 2.0 \ mm$,$r_B = 4.0 \ mm$,અને $R_B = 2 \ \Omega$:
$\frac{R_A}{2} = \left( \frac{4.0}{2.0} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_A = 16 \times 2 = 32 \ \Omega$.

(A) લાંબા સીધા તાર દ્વારા $d$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે ($I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $1$ થી $r$ અંતરે અને $2I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $2$ થી $3r$ અંતરે):
$B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{3 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I + 2 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{5 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
બિંદુ $C$ માટે ($I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $1$ થી $3r$ અંતરે અને $2I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $2$ થી $r$ અંતરે):
$B_C = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{2 \mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 6 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{7 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_A}{B_C} = \frac{5 \mu_0 I / 6 \pi r}{7 \mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{5}{7}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x}{7}$ છે,તેથી $x = 5$ મળે છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશના બિંદુવત સ્ત્રોતને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન પામ્યા પછી મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
કારણ કે બહાર આવતા પ્રકાશના કિરણો સમાંતર છે,તેઓ એક ચોક્કસ દિશામાં ગતિ કરતા પ્રકાશના કિરણપુંજનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તરંગાગ્રહને એવા તમામ બિંદુઓના બિંદુપથ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે દોલનની સમાન કળામાં હોય છે.
સમાંતર પ્રકાશના કિરણપુંજ માટે,તરંગાગ્રહ એ પ્રકાશના પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલ હોય છે.
તેથી,બહાર આવતા પ્રકાશના તરંગાગ્રહનો આકાર સમતલ હોય છે.

(B) જો બલ્બની બંને બાજુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોય તો જ બલ્બ પ્રકાશિત થશે. આનો અર્થ એ છે કે બલ્બનો એક છેડો ઉચ્ચ સ્થિતિમાન $(1)$ પર અને બીજો છેડો નીચા સ્થિતિમાન $(0)$ પર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $X$ એ પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,$Y$ એ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,અને $Z$ એ અવરોધ સાથે જોડાયેલ અંતિમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે.
$X = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Y = \overline{B \cdot C}$
$Z = \overline{X+Y} = \overline{\overline{A} + \overline{B \cdot C}} = A \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C$
ધારો કે $W$ એ નીચેના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $W = \overline{D+D} = \overline{D}$.
જો $Z$ અને $W$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1$ હોય,એટલે કે $(Z=1, W=0)$ અથવા $(Z=0, W=1)$ હોય,તો બલ્બ પ્રકાશિત થાય છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $A=1, B=0, C=0, D=0$.
$Z = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$W = \overline{0} = 1$
અહીં $Z=0$ અને $W=1$ હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મળે છે,તેથી બલ્બ પ્રકાશિત થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = eV_0 = hv - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $V_0 = \frac{h}{e}v - \frac{\phi}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $\frac{h}{e}$ મળે છે,જે તમામ પદાર્થો માટે અચળ છે. આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
આલેખ પરથી,આપેલી આવૃત્તિ $v$ માટે,$M_1$ માટેનું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $M_2$ કરતા વધારે છે $(V_{0, M_1} > V_{0, M_2})$. કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી $M_1$ માંથી ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $M_2$ કરતા વધારે છે. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ બળ $F_e = \frac{k e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ અને $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}$ છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $\frac{F_e}{F_g} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{101.3 \times 10^{-69}} \approx 0.227 \times 10^{40} \approx 2.27 \times 10^{39}$ મળે છે.
આમ,પરિમાણનો ક્રમ $10^{39}$ છે.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કેબલની બહારના બિંદુ માટે (બહારના વાહકની ત્રિજ્યા કરતા વધારે અંતર $r$ પર),એમ્પીરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ એ કેન્દ્રિય વાહકનો પ્રવાહ $(+I)$ અને બહારના વાહકનો પ્રવાહ $(-I)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$.
જેમ કે $I_{\text{enclosed}} = 0$,તેથી કેબલની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F = \frac{k(Ze)(e)}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,ગતિ ઊર્જા $(KE)$:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{kZe^2}{2r}$
સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{kZe^2}{r}$
કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E = KE + U = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$
$E$ અને $U$ ની સરખામણી કરતા:
$E = \frac{1}{2} \left( -\frac{kZe^2}{r} \right) = \frac{U}{2}$
તેથી,$2E = U$.

(A) ધારો કે $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહારની લૂપ $B$ માંથી $i$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે.
લૂપ $B$ માં વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 i}{2b}$ છે.
અહીં $b >> a$ હોવાથી,આપણે માની શકીએ કે આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અંદરની લૂપ $A$ ના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
અંદરની લૂપ $A$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B_{center} \cdot A_{area} = \left( \frac{\mu_0 i}{2b} \right) (\pi a^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi = Mi$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Mi = \frac{\mu_0 i \pi a^2}{2b}$.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ મળે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,અવરોધો $R_2, R_3,$ અને $R_4$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1+2+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_p = 2 \Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ અવરોધ $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = R_1 + R_p = 10 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{12 \Omega} = 1 \text{ A}$.