JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નું સૂત્ર: $LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$.
આપેલ છે,$LC = \frac{1}{20N} \text{ cm} = \frac{10}{20N} \text{ mm} = \frac{1}{2N} \text{ mm}$.
વળી,$1 \text{ MSD} = 1 \text{ mm}$.
આ કિંમતોને $LC$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{2N} = 1 - 1 \text{ VSD}$.
તેથી,$1 \text{ VSD} = 1 - \frac{1}{2N} = \frac{2N-1}{2N} \text{ mm}$.
ધારો કે $x$ એ મુખ્ય સ્કેલના વિભાગોની સંખ્યા છે જે વર્નિયર સ્કેલના $N$ વિભાગો સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,$N \times (1 \text{ VSD}) = x \times (1 \text{ MSD})$.
$N \times \left(\frac{2N-1}{2N}\right) = x \times 1$.
$x = \frac{2N-1}{2}$.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 100 \,J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુને આપેલી ઉષ્મા ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ દ્વારા મળે છે: $Q = \Delta U + W$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે. આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
$\Delta U$ અને $W$ ની કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} nR \Delta T + nR \Delta T = \left(\frac{5}{2} + 1\right) nR \Delta T = \frac{7}{2} nR \Delta T$.
અહીં $nR \Delta T = 100 \,J$ હોવાથી, $Q = \frac{7}{2} \times 100 = 350 \,J$ મળે છે.

(B) ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
આ સૂત્ર પરથી, $V_t \propto r^2$, જ્યાં $r$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $r$ એ નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ $8$ નાના ટીપાં જોડાઈને બનતા મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી, મોટા ટીપાંનું કદ $8$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$.
હવે, નવા ટર્મિનલ વેગ $V_t'$ અને પ્રારંભિક ટર્મિનલ વેગ $V_t$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_t'}{V_t} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
તેથી, $V_t' = 4 \times V_t = 4 \times 10 \,cm/s = 40 \,cm/s$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે。
$E = K.E. + P.E. = 0.5 \,J + 0.4 \,J = 0.9 \,J$.
કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે。
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times (\frac{25}{\pi}) = 50 \,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $0.9 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (50)^2 \times A^2$.
$0.9 = 0.1 \times 2500 \times A^2$.
$0.9 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{0.9}{250} = 0.0036 \,m^2$.
$A = \sqrt{0.0036} = 0.06 \,m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $A = 0.06 \times 100 = 6 \,cm$.

(A) $H$ ઊંચાઈ પરથી $v$ વેગ સાથે આડી દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે,અવધિ (horizontal range) $R = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે: $100 = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
બીજા કિસ્સા માટે,દળ $2M$ છે,વેગ $v' = \frac{v}{2}$ છે,અને ઊંચાઈ $H' = 4H$ છે.
નવી અવધિ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = v' \sqrt{\frac{2H'}{g}} = \left( \frac{v}{2} \right) \sqrt{\frac{2(4H)}{g}}$
$x = \frac{v}{2} \cdot 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$
કારણ કે $v \sqrt{\frac{2H}{g}} = 100 \ m$,તેથી આપણને $x = 100 \ m$ મળે છે.

(B) ટેબલના ફરતા ફ્રેમમાં,દડો કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = m \omega^2 x$ અનુભવે છે,જ્યાં $x$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી અંતર છે.
ખાંચ લીસી હોવાથી,ખાંચની દિશામાં દડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_c}{m} = \omega^2 x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,જ્યાં $v$ એ ત્રિજ્યાવર્તી વેગ છે.
તેથી,$v \frac{dv}{dx} = \omega^2 x$.
પ્રારંભિક સ્થાન $x_i = 1 \text{ m}$ થી અંતિમ સ્થાન $x_f = 3 \text{ m}$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^v v \, dv = \int_1^3 \omega^2 x \, dx$
$\frac{v^2}{2} = \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3$
$\frac{v^2}{2} = \frac{\omega^2}{2} (3^2 - 1^2)$
$v^2 = \omega^2 (9 - 1) = 8 \omega^2$
$v = \sqrt{8} \omega = 2 \sqrt{2} \omega \text{ m/s}$.
આને $x \sqrt{2} \omega$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે કુલ અંતર $2D$ છે। પ્રથમ અડધું અંતર $D$, $v_1 = 6 \, m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = D / 6$ છે.
બીજું અડધું અંતર $D$, બે સમાન સમયગાળા $t$ અને $t$ માં $v_2 = 9 \, m/s$ અને $v_3 = 15 \, m/s$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $D = v_2 t + v_3 t = (9 + 15)t = 24t$.
તેથી, $24t = D \Rightarrow t = D / 24$.
કુલ સમય $T = t_1 + 2t = D/6 + 2(D/24) = D/6 + D/12 = (2D + D) / 12 = 3D / 12 = D / 4$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \text{કુલ અંતર} / \text{કુલ સમય} = 2D / (D / 4) = 8 \, m/s$.

(A) ગોળાનું વજન $W = V_{material} \cdot \rho_{sphere} \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લવન બળ (buoyant force) એ ગોળા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_b = V_{total} \cdot \rho_w \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
ગોળો પાણીમાં તરતો રહે તે માટે,વજન અને પ્લવન બળ સમાન હોવા જોઈએ: $W = F_b$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(D^3 - d^3) \sigma = D^3$.
$D^3 \sigma$ વડે ભાગતા: $1 - \frac{d^3}{D^3} = \frac{1}{\sigma}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{d^3}{D^3} = 1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{\sigma - 1}{\sigma}$.
વ્યસ્ત કરીને ઘનમૂળ લેતા: $\frac{D}{d} = \left( \frac{\sigma}{\sigma - 1} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(A) ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ એ અવસ્થા પરિવર્તન માટે એકમ દળ $(m)$ દીઠ જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $(Q)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$L = \frac{Q}{m}$
ઉષ્મા ઉર્જા $(Q)$ એ કાર્ય અથવા ઉર્જાના પરિમાણો ધરાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
દળ $(m)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$ છે.
તેથી,ગુપ્ત ઉષ્માનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$L = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V_i = 5 \ L$,$V_f = 4 \ L$,અને $\gamma = 1.5 = 3/2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_i (5)^{3/2} = P_f (4)^{3/2}$.
પ્રારંભિક દબાણ અને અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર શોધવા માટે: $\frac{P_i}{P_f} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર દડાની પ્રારંભિક કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $TE_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 318.5 \ km$ અને $R_e = 6370 \ km$ હોવાથી,$h = \frac{R_e}{20}$ મળે છે.
$h$ ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર કક્ષામાં દડાની અંતિમ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + h)}$ છે.
$h = \frac{R_e}{20}$ મૂકતા,$TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + R_e/20)} = -\frac{GM_e m}{2(21R_e/20)} = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e}$ મળે છે.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta TE = TE_f - TE_i = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e})$ છે.
$\Delta TE = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{10}{21}) = \frac{11 GM_e m}{21 R_e}$ થાય.
આને $x \frac{GM_e m}{21 R_e}$ સાથે સરખાવતા,$x = 11$ મળે છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i$
આપેલ વેગનું સમીકરણ $v = \alpha \sqrt{x}$ છે:
$x = 0$ પર,પ્રારંભિક વેગ $v_i = \alpha \sqrt{0} = 0$ છે.
$x = d$ પર,અંતિમ વેગ $v_f = \alpha \sqrt{d}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (\alpha \sqrt{d})^2 = \frac{1}{2} m \alpha^2 d$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = \frac{1}{2} m \alpha^2 d - 0 = \frac{m \alpha^2 d}{2}$ થશે.

(A) ધારો કે લોખંડના સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાનું વજન $W$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે જમીન પરના છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
ધારો કે $R$ એ વ્યક્તિના ખભા દ્વારા સળિયા પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ છે. સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં છે.
જમીન પરના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
વજન $W$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_W = W \cdot (L/2) \cos \theta$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કાર્ય કરે છે).
પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_R = R \cdot L \cos \theta$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે).
પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,જમીન પરના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\sum \tau = 0$
$R \cdot L \cos \theta = W \cdot (L/2) \cos \theta$
બંને બાજુને $L \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\cos \theta \neq 0$):
$R = \frac{W}{2}$
આમ,વ્યક્તિ દ્વારા અનુભવાતું વજન $\frac{W}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે મુખ્ય સ્કેલના $n$ વિભાગો વર્નિયર સ્કેલના $(n+1)$ વિભાગો સાથે બંધબેસે છે.
$n \times (1 \text{ MSD}) = (n+1) \times (1 \text{ VSD})$
અહીં $1 \text{ MSD} = m$ એકમ હોવાથી,$n \times m = (n+1) \times (1 \text{ VSD})$.
તેથી,$1 \text{ VSD} = \frac{n}{n+1} m$.
વર્નિયર કેલિપરનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ એ એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(1 \text{ MSD})$ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ $(1 \text{ VSD})$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$
$LC = m - \frac{n}{n+1} m$
$LC = m \left( 1 - \frac{n}{n+1} \right)$
$LC = m \left( \frac{n+1-n}{n+1} \right)$
$LC = \frac{m}{n+1}$

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
અહીં $n = 1$,પ્રારંભિક તાપમાન $= T$,પ્રારંભિક કદ $= V$,અંતિમ કદ $= 2V$ અને $\gamma = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
સંબંધ લાગુ પાડતા: $T(V)^{\frac{3}{2}-1} = T_f(2V)^{\frac{3}{2}-1}$.
$T(V)^{\frac{1}{2}} = T_f(2)^{\frac{1}{2}}(V)^{\frac{1}{2}}$.
$T = T_f \sqrt{2} \Rightarrow T_f = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1 \cdot R(T - \frac{T}{\sqrt{2}})}{\frac{3}{2} - 1}$.
$W = \frac{R T (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{2}} = 2RT \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$W = RT(2 - \sqrt{2})$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{9}\right)$ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{5}{9}$.
આપણને શરત $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{2}|\vec{a}-\vec{b}|$ આપેલી છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}-\vec{b}|^2$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + b^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 2(a^2 + b^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$.
$a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 2a^2 + 2b^2 - 4ab\cos\theta$.
પદોને ગોઠવતા: $6ab\cos\theta = a^2 + b^2$.
$\cos\theta = \frac{5}{9}$ મૂકતા: $6ab\left(\frac{5}{9}\right) = a^2 + b^2$.
$\frac{10}{3}ab = a^2 + b^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = n|\vec{b}|$,તેથી $a = nb$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{10}{3}(nb)b = (nb)^2 + b^2$.
$\frac{10}{3}nb^2 = n^2b^2 + b^2$.
$b^2$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારીને): $\frac{10}{3}n = n^2 + 1$.
$3n^2 - 10n + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3n - 1)(n - 3) = 0$.
આમ,$n = \frac{1}{3}$ અથવા $n = 3$.
$n$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $3$ છે.

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.40 \ kg \cdot m^2$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,બળ $F = 40 \ N$,સમય $t = 10 \ s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$.
પૈડા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = 40 \times 0.1 = 4 \ N \cdot m$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$4 = 0.40 \times \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{4}{0.40} = 10 \ rad/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (10 \times 10) = 100 \ rad/s$.
આમ,$x = 100$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે, જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 200 \, N$ (નોંધ: જ્યારે તારને બંને છેડેથી $200 \, N$ ના બળથી ખેંચવામાં આવે, ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $200 \, N$ જ રહે છે)
મૂળ લંબાઈ $\ell = 2 \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1 \times 10^{11} \, N \, m^{-2}$
લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \ell = \frac{200 \times 2}{(2 \times 10^{-4}) \times (1 \times 10^{11})}$
$\Delta \ell = \frac{400}{2 \times 10^7}$
$\Delta \ell = 200 \times 10^{-7} \, m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \, m$
માઈક્રોમીટર $(\mu m)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$1 \, m = 10^6 \, \mu m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \times 10^6 \, \mu m = 20 \, \mu m$.

(A) આપેલ છે: સ્થાન $x = 4 \ m$,વેગ $v = 2 \ ms^{-1}$,પ્રવેગ $a = 16 \ ms^{-2}$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 = \omega^2(4) \Rightarrow \omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \ rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં વેગનું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} = A^2 - x^2$.
$A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $A^2 = \frac{2^2}{2^2} + 4^2 = \frac{4}{4} + 16 = 1 + 16 = 17$.
તેથી,$A = \sqrt{17} \ m$. આને $\sqrt{x} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 17$ મળે છે.

(B) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સંબંધ $K \propto T$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ગતિઊર્જા નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -78^{\circ} C$ આપેલ છે. તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_i = 273 + (-78) = 195 \ K$.
આપણે નવી ગતિઊર્જા $K' = 2K$ મેળવવા માંગીએ છીએ. કારણ કે $K \propto T$,જો ગતિઊર્જા બમણી થાય,તો નિરપેક્ષ તાપમાન પણ બમણું થવું જોઈએ.
તેથી,નવું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_f = 2 \times T_i = 2 \times 195 \ K = 390 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f(^{\circ} C) = 390 - 273 = 117^{\circ} C$.

(C) ધારો કે બે કાર $A$ અને $B$ છે. કાર $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 20 \,m \,s^{-1}$ અને કાર $B$ નો $u_B = -20 \,m \,s^{-1}$ છે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં કાર $B$ નો સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{BA} = u_B - u_A = -20 - 20 = -40 \,m \,s^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય $|u_{BA}| = 40 \,m \,s^{-1}$ છે.
બંને કાર $a = 2 \,m \,s^{-2}$ ના દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. ધારો કે $a_A = -2 \,m \,s^{-2}$ અને $a_B = 2 \,m \,s^{-2}$.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં કાર $B$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{BA} = a_B - a_A = 2 - (-2) = 4 \,m \,s^{-2}$ છે.
સાપેક્ષ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = 0$ છે:
$0^2 = (-40)^2 + 2(-4)S$
$0 = 1600 - 8S$
$8S = 1600 \implies S = 200 \,m$.
આ અંતર કાર સ્થિર થાય તે પહેલાં કપાયેલું સાપેક્ષ અંતર છે.
કારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $300 \,m$ હતું.
તેથી, જ્યારે તેઓ સ્થિર થાય ત્યારે તેમની વચ્ચેનું બાકી રહેલું અંતર $300 \,m - 200 \,m = 100 \,m$ છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P_1 = \frac{4T}{r_1}$ છે અને બીજા પરપોટામાં $\Delta P_2 = \frac{4T}{r_2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{4T}{r_1} = 3 \left( \frac{4T}{r_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ છે.
$r_2 = 3r_1$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{3r_1} \right)^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 27$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ને કર્તા બનાવતા,$h = \lambda \sqrt{2mE}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
દળ $m$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M]$ છે.
ઉર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
આ કિંમતો $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M] \cdot [ML^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M^2 L^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot [MLT^{-1}]$
$[h] = [ML^2 T^{-1}]$.
વૈકલ્પિક રીતે,$E = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ $[T^{-1}]$ છે:
$[h] = [E] / [\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઉપગ્રહ $r_1 = 2R$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં છે. તેની પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
આપેલ છે કે ઉપગ્રહને $\Delta E = \frac{10^4 R}{6} \text{ J}$ ઊર્જા આપવામાં આવે છે,તેથી નવી કુલ ઊર્જા $E_2 = E_1 + \Delta E$ થશે.
$E_2 = -\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6}$.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $r_2$ છે. તો $E_2 = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$E_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{mgR^2}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{mgR^2}{2r_2}$.
આપેલ છે $m = 10^3 \text{ kg}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$,તેથી $mg = 10^4 \text{ N}$.
$-\frac{10^4 R}{4} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{10^4 R^2}{2r_2}$.
$10^4 R$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{R}{2r_2}$.
$-\frac{3-2}{12} = -\frac{R}{2r_2} \implies -\frac{1}{12} = -\frac{R}{2r_2}$.
$\frac{1}{12} = \frac{R}{2r_2} \implies 2r_2 = 12R \implies r_2 = 6R$.

(B) $A$ થી $B$ માર્ગ માટે, પ્રક્રિયા $PV^3 = RT$ ને અનુસરે છે। અહીં $T = 300 \, K$ છે।
$W_{AB} = \int_{V_A}^{V_B} P \, dV = \int_{2}^{4} \frac{RT}{V^3} \, dV = RT \int_{2}^{4} V^{-3} \, dV$
$W_{AB} = 8 \times 300 \times \left[ \frac{V^{-2}}{-2} \right]_{2}^{4} = 2400 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \right) = -1200 \times \left( \frac{1-4}{16} \right) = -1200 \times \left( -\frac{3}{16} \right) = 225 \, J$.
$B$ થી $C$ માર્ગ માટે, આ $P = 10 \, Pa$ પર સમદાબી પ્રક્રિયા છે જ્યાં કદ $V = 4 \, m^3$ થી $V = 2 \, m^3$ થાય છે।
$W_{BC} = P(V_C - V_B) = 10(2 - 4) = -20 \, J$.
$C$ થી $A$ માર્ગ માટે, આ સમકદ પ્રક્રિયા છે જ્યાં $V = 2 \, m^3$ અચળ છે, તેથી $W_{CA} = 0 \, J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 225 - 20 + 0 = 205 \, J$.

(D) ધારો કે દોરડાના ઉપરના ભાગમાં તણાવ $T_1$ છે અને નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_2$ છે।
$1 \,kg$ દળ સંતુલનમાં હોવાથી, દોરડાના નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_2 = mg = 1 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 10 \,N$ થશે।
હવે, જે બિંદુ પર બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે તે બિંદુના સંતુલનનો વિચાર કરો।
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે: $T_1 \sin 45^{\circ} = F$
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $T_1 \cos 45^{\circ} = T_2 = 10 \,N$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_1 \sin 45^{\circ}}{T_1 \cos 45^{\circ}} = \frac{F}{10}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{F}{10}$
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી, આપણને $1 = \frac{F}{10}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $F = 10 \,N$।

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $V_T$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 g (\rho_B - \rho_L)}{\eta}$.
આપેલ છે: $R = 10^{-4} \,m$, $\rho_B = 10^5 \,kg/m^3$, $\rho_L = 10^3 \,kg/m^3$, $\eta = 9.8 \times 10^{-6} \,N s/m^2$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $V_T = \frac{2}{9} \times \frac{(10^{-4})^2 \times 9.8 \times (10^5 - 10^3)}{9.8 \times 10^{-6}}$.
$V_T = \frac{2}{9} \times \frac{10^{-8} \times 9.8 \times 99000}{9.8 \times 10^{-6}} = \frac{2}{9} \times 10^{-2} \times 99000 = 220 \,m/s$.
પાણીમાં પ્રવેશ્યા પછી વેગ અચળ રહેતો હોવાથી, $h$ ઊંચાઈએથી પડ્યા પછીનો વેગ ટર્મિનલ વેગ જેટલો હોવો જોઈએ: $V = \sqrt{2gh} = V_T$.
$h = \frac{V_T^2}{2g} = \frac{(220)^2}{2 \times 9.8} = \frac{48400}{19.6} \approx 2469 \,m$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકની કિંમત $2518 \,m$ છે.

(B) આપેલ દળ $m = 0.50 \ kg$ અને બળ $F = -50x$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -kx$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 50 \ N/m$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{22}{7 \times 5} = \frac{22}{35} \ s$ મળે છે.
આની સરખામણી આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{35} \ s$ સાથે કરતા,આપણને $x = 22$ મળે છે.

(A) ઘર્ષણ વગર સમતલ પર સરકતી વખતે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે. $l$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}}$ છે.
સમતલ પર ગબડતી વખતે,પ્રવેગ $a' = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ છે. વર્તુળાકાર ડિસ્ક માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$a' = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
ગબડવા માટે લાગતો સમય $t' = \sqrt{\frac{2l}{a'}} = \sqrt{\frac{2l}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} t$.
આને $t' = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} t$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3$.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{R} \perp \vec{A}$,તેથી $\vec{R}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ભૌમિતિક રીતે,જો $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ને લંબ હોય,તો $\vec{B}$ નો $\vec{A}$ ને લંબ ઘટક એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ ના મૂલ્ય જેટલો થાય.
આકૃતિ પરથી,$\sin \phi = \frac{R}{B} = \frac{B/2}{B} = \frac{1}{2}$,જ્યાં $\phi$ એ $\vec{B}$ અને લંબ દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$\phi = 30^{\circ}$ અથવા $\cos \phi = \frac{R}{B}$ જેવી ભૂલ ટાળવા માટે,આકૃતિમાં દર્શાવેલ ખૂણો $\theta$ એ $\vec{B}$ અને લંબ દિશા વચ્ચેનો છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{R}{B} = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$ થાય.

(A) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય સંકલન $W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = (3x^2 + 2x - 5) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,અને $x_2 = 4 \text{ m}$ આપેલ છે.
$W = \int_{2}^{4} (3x^2 + 2x - 5) \, dx$
પદોનું સંકલન કરતા: $W = [x^3 + x^2 - 5x]_{2}^{4}$
ઉપરની સીમા $(x = 4)$ માટે કિંમત મુકતા: $(4)^3 + (4)^2 - 5(4) = 64 + 16 - 20 = 60$
નીચેની સીમા $(x = 2)$ માટે કિંમત મુકતા: $(2)^3 + (2)^2 - 5(2) = 8 + 4 - 10 = 2$
કિંમતોની બાદબાકી કરતા: $W = 60 - 2 = 58 \text{ J}$.

(B) મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L \times C}}$
આપેલ મૂલ્યો:
$L = 100 \ mH = 0.1 \ H$
$C = 2.5 \ nF = 2.5 \times 10^{-9} \ F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.1 \times 2.5 \times 10^{-9}}}$
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-11}}} = \frac{1}{2 \pi \times 5 \times 10^{-5.5}}$
ગણતરી કરતા:
$f_0 = 10 \times 10^3 \ Hz$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}_f - (-\vec{\mu} \cdot \vec{B}_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર છે. આમ, ખૂણો $\theta_i = 0^{\circ}$ છે.
$90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી, કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર બને છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે. આમ, $\theta_f = 90^{\circ}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = N I A = 100 \times 1 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \, A \cdot m^2$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = -\mu B \cos(90^{\circ}) - (-\mu B \cos(0^{\circ})) = 0 + \mu B = \mu B$.
$W = (5 \times 10^{-4}) \times 0.20 = 1 \times 10^{-4} \, J$.
કારણ કે $1 \, J = 10^6 \, \mu J$, તેથી $W = 10^{-4} \times 10^6 \, \mu J = 100 \, \mu J$.

(B) એમીટર $240 \Omega$ ની કોઈલ અને $10 \Omega$ ના શંટના સમાંતર જોડાણનું બનેલું છે. એમીટરનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_A)$ નીચે મુજબ છે:
$R_A = \frac{240 \times 10}{240 + 10} = \frac{2400}{250} = 9.6 \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R_{eq})$ એ બાહ્ય અવરોધ અને એમીટરના અવરોધનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = 140.4 \Omega + 9.6 \Omega = 150 \Omega$
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I)$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24 \text{ V}}{150 \Omega} = 0.16 \text{ A}$
પ્રવાહને મિલિએમ્પિયર $(mA)$ માં ફેરવતા:
$I = 0.16 \times 1000 \text{ mA} = 160 \text{ mA}$
આમ,એમીટરનું રીડિંગ $160 \text{ mA}$ છે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે,તેથી $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત $I_{\max} - I_{\min} = 9I - I = 8I$ થાય છે.
આને $xI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(C) કેપેસિટરને બે સમાંતર કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ છે.
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{3 \epsilon_0 (A/2)}{d} = 1.5 \frac{\epsilon_0 A}{d}$
આપેલ પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ હોવાથી,$C_1 = 10 \mu F$ અને $C_2 = 15 \mu F$ મળે છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 A}$ છે. ડાયલેક્ટ્રિકથી ભરેલા કેપેસિટર માટે,બળ $F = \frac{K \epsilon_0 A V^2}{2 d^2}$ થાય છે.
કુલ બળ $F = F_1 + F_2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{4 d^2} (K_1 + K_2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$d = 10^{-2} \text{ m}$,$K_1+K_2 = 5$,$F = 8 \text{ N}$.
ગણતરી કરતા,$V = 60 \text{ V}$ મળે છે.

(B) બિન-પરાવર્તક સપાટી માટે,રેડિયેશન દબાણ $P = \frac{I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે。
કારણ કે $P = \frac{F}{A}$,તેથી $\frac{F}{A} = \frac{I}{c}$ થાય。
આપેલ તીવ્રતા $I = 360 \,W/cm^2 = 360 \times 10^4 \,W/m^2 = 3.6 \times 10^6 \,W/m^2$.
આપેલ બળ $F = 2.4 \times 10^{-4} \,N$ અને પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.4 \times 10^{-4}}{A} = \frac{3.6 \times 10^6}{3 \times 10^8}$.
$\frac{2.4 \times 10^{-4}}{A} = 1.2 \times 10^{-2}$.
$A = \frac{2.4 \times 10^{-4}}{1.2 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-2} \,m^2 = 0.02 \,m^2$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
બંને કણો માટે $\lambda$ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન $p$ પણ સમાન હશે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ અચળ હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{m_p}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_p = 1836 \ m_e$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{1836 \ m_e} = \frac{1}{1836}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1836$ છે.

(B) દરેક $4 \,\Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies R_{eq} = 2 \,\Omega$
હવે,પરિપથમાં $E = 3 \,V$ $EMF$ ધરાવતો કોષ અને $r = 1 \,\Omega$ આંતરિક અવરોધ,બાહ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2 \,\Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{E}{R_{eq} + r} = \frac{3}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1 \,A$
કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$:
$V = E - ir$
$V = 3 - (1 \times 1) = 3 - 1 = 2 \,V$

(D) દળ ક્ષતિ $\Delta m$ અને બંધન ઉર્જા $BE$ વચ્ચેનો સંબંધ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $BE = \Delta m c^2$.
અહીં $BE = 18 \times 10^8 \ J$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $18 \times 10^8 = \Delta m \times (3 \times 10^8)^2$.
$18 \times 10^8 = \Delta m \times 9 \times 10^{16}$.
$\Delta m = \frac{18 \times 10^8}{9 \times 10^{16}} = 2 \times 10^{-8} \ kg$.
માઈક્રોગ્રામમાં ફેરવતા: $2 \times 10^{-8} \ kg = 2 \times 10^{-8} \times 10^9 \ \mu g = 20 \ \mu g$.

(A) પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે।
$1$. તેઓ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે ($A$ સાચું છે)।
$2$. તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે, પ્રબળ રીતે નહીં (તેથી $B$ ખોટું છે)।
$3$. તેમની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ($\chi$) નાની અને ધન હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તે શૂન્ય કરતા થોડી વધારે હોય છે ($C$ સાચું છે)।
$4$. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ નિર્બળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર તરફ ગતિ કરે છે ($D$ ખોટું છે)।
તેથી, માત્ર વિધાનો $A$ અને $C$ સાચા છે।

(B) અનુનાદ સમયે,$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $Z = R$ થાય.
અનુનાદ સમયે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I$ એ $I = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને અડધો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવો પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I'$ એ $I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{R/2} = 2 \left( \frac{V}{R} \right) = 2I$ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણો થઈ જાય છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને બે $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરના ભાગમાં $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ્સ સાથે એક $OR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(A + \bar{B})$ છે.
$2$. નીચેના ભાગમાં $B$ અને $\bar{A}$ ઇનપુટ્સ સાથે એક $AND$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(B \cdot \bar{A})$ છે.
$3$. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે આઉટપુટ્સનું $AND$ ઓપરેશન છે: $Y = (A + \bar{B}) \cdot (B \cdot \bar{A})$.
$4$. આ પદનું વિસ્તરણ કરતા: $Y = (A \cdot B \cdot \bar{A}) + (\bar{B} \cdot B \cdot \bar{A})$.
$5$. કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી આપણને $Y = 0 + 0 = 0$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $0$ રહે છે.

(C) જ્યારે બે સુવાહક ગોળાઓને સુવાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે જ્યાં સુધી બંને સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે $a$ અને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
સુવાહક ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
બંને ગોળાઓના સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી:
$V_1 = V_2$
$\frac{Kq_1}{a} = \frac{Kq_2}{b}$
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{a}{b}$
આમ,વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{a}{b}$ છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_c = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે,જ્યાં $\mu_1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_2$ એ પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $\theta_c = 45^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા: $\sin 45^{\circ} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$.
આમ,પ્રથમ માધ્યમ અને બીજા માધ્યમના વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ એટલે કે $\sqrt{2}: 1$ થાય.

(B) ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$qE = qvB$
$E = vB$
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}}$.
અહીં $KE = 5 \ eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ અને $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^{12}} = \frac{4}{3} \times 10^6 \ m/s$.
હવે,$B = 3 \ \mu T = 3 \times 10^{-6} \ T$ સાથે $E = vB$ ની ગણતરી કરતા:
$E = (\frac{4}{3} \times 10^6) \times (3 \times 10^{-6}) = 4 \ N C^{-1}$.

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N=10$, ક્ષેત્રફળ $A=3.6 \times 10^{-3} \, m^2$, અવરોધ $R=100 \, \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B=0.5 \, T$, સમય $t=1.0 \, s$.
ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $\ell = \sqrt{A} = \sqrt{3.6 \times 10^{-3}} \, m$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\epsilon = N B \ell v$ છે, જ્યાં $v = \frac{\ell}{t}$ એ વેગ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} = \frac{N B \ell v}{R}$ છે.
લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = N i \ell B = \frac{N^2 B^2 \ell^2 v}{R} = \frac{N^2 B^2 A v}{R}$ છે.
લૂપને બહાર ખેંચવામાં આવતી હોવાથી, કાપેલું અંતર $\ell$ છે. કાર્ય $W = F \times \ell = \frac{N^2 B^2 A v \ell}{R} = \frac{N^2 B^2 A \ell^2}{R t} = \frac{N^2 B^2 A^2}{R t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{10^2 \times (0.5)^2 \times (3.6 \times 10^{-3})^2}{100 \times 1.0} = \frac{100 \times 0.25 \times 12.96 \times 10^{-6}}{100} = 3.24 \times 10^{-6} \, J$.
આમ, કરવામાં આવેલ કાર્ય $3.24 \times 10^{-6} \, J$ છે. નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે.

(D) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ} C$ પરનો અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$100^{\circ} C$ તાપમાને:
$10.2 = 10(1 + \alpha(100 - 0))$
$10.2 = 10 + 1000\alpha$
$0.2 = 1000\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{0.2}{1000} = 2 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$t^{\circ} C$ તાપમાને:
$10.95 = 10(1 + \alpha(t - 0))$
$10.95 = 10 + 10\alpha t$
$0.95 = 10 \times (2 \times 10^{-4}) \times t$
$0.95 = 2 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{0.95}{0.002} = 475^{\circ} C$.
તાપમાનને કેલ્વિન સ્કેલમાં ફેરવવા માટે:
$T(K) = t(^{\circ} C) + 273$
$T(K) = 475 + 273 = 748 \ K$.

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = A \hat{n} = 4 \left( \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \ m^2$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
$\phi = \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 8 \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \cdot \left( 4 \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (2 \times 2 + 6 \times 1 + 8 \times 1)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (4 + 6 + 8)$
$\phi = \frac{4}{6} \times 18$
$\phi = 4 \times 3 = 12 \ Vm$.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $b \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\theta = \frac{n \lambda}{b}$.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, સ્લિટની પહોળાઈ $b = 0.4 \,mm = 4 \times 10^{-4} \,m$, અને ક્રમ $n = 2$.
દ્વિતીય ક્રમના ન્યૂનતમનું કોણીય સ્થાન $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{-3} \,rad$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ દ્વિતીય ક્રમના ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કુલ કોણીય વિચલન $2\theta$ છે.
કુલ વિચલન $= 2 \times (3 \times 10^{-3} \,rad) = 6 \times 10^{-3} \,rad$.

(B) નજીકના અભિગમના અંતર $(r_{\min})$ પર,$\alpha$-કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(2e)}{r_{\min}}$
$v^2 = \frac{4 \times (9 \times 10^9) \times 80 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.72 \times 10^{-27} \times 4.5 \times 10^{-14}}$
ગણતરી કરતા,$v \approx 156 \times 10^5 \ m/s$ મળે છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં,કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ બંનેનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
આપેલ પ્રક્રિયા માટે: ${ }_{92} X^{236} \rightarrow{ }_{56} Y^{141}+{ }_{36} Z^{92}+3 R$
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ તપાસતા:
$LHS$: $Z = 92$
$RHS$: $Z = 56 + 36 = 92$
અહીં $92 = 92$ હોવાથી,પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ થાય છે.
દળ ક્રમાંક $(A)$ તપાસતા:
$LHS$: $A = 236$
$RHS$: $A = 141 + 92 + 3(A_R) = 233 + 3(A_R)$
દળ ક્રમાંકના સંરક્ષણ માટે: $236 = 233 + 3(A_R)$
$3(A_R) = 3$
$A_R = 1$
કણ $R$ નો દળ ક્રમાંક $1$ છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ છે (કારણ કે $Z$ પહેલેથી જ સંતુલિત છે),તેથી કણ $R$ એ ન્યુટ્રોન $({ }_{0} n^{1})$ છે.

(A) પ્રથમ લેન્સ માટે $(f_1 = 10 \ cm)$: વસ્તુ અંતર $u_1 = -30 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. તેથી,$v_1 = 15 \ cm$. પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ $15 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ માટે $(f_2 = -10 \ cm)$: પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે. પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. વસ્તુ અંતર $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{10} = 0$. તેથી,$v_2 = \infty$.
ત્રીજા લેન્સ માટે $(f_3 = 30 \ cm)$: કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે કારણ કે તે અનંત અંતરેથી આવે છે. તેથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે,જે ત્રીજા લેન્સની જમણી બાજુએ $30 \ cm$ અંતરે છે.

(C) તારની અંદર $r < a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r = \frac{a}{2}$ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ થાય।
તારની બહાર $r > a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r = 2a$ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ થાય।
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 4 \pi a} = 1: 1$ મળે છે।

(C) હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = V^2/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
કારણ કે $R = \rho \ell/A$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી $P \propto 1/\ell$ થાય.
પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H = P \times t$ છે. $H$ અચળ હોવાથી,$P_1 t_1 = P_2 t_2$ થાય.
તેથી,$P_1/P_2 = t_2/t_1 = 15/20 = 3/4$ મળે.
$P \propto 1/\ell$ હોવાથી,$P_1/P_2 = \ell_2/\ell_1$ થાય.
આમ,$\ell_2/\ell_1 = 3/4$ મળે.
નવી લંબાઈ $\ell_2$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1$ ના $3/4$ ગણી હોવાથી,લંબાઈને તેની પ્રારંભિક લંબાઈના $3/4$ ગણી ઘટાડવી જોઈએ.

(A) હવાથી ભરેલા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 12 \,cm^2$ અને $d = 0.6 \,cm$ છે.
જ્યારે $t = 0.6 \,cm$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, અને પ્લેટનું અંતર $0.2 \,cm$ વધારવામાં આવે છે (નવું અંતર $d' = 0.6 + 0.2 = 0.8 \,cm$), ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d' - t + t/K}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $C = C'$, તેથી $\frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d' - t + t/K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{0.6} = \frac{1}{0.8 - 0.6 + 0.6/K}$.
$0.6 = 0.2 + \frac{0.6}{K}$.
$0.4 = \frac{0.6}{K}$.
$K = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 90 \Omega$, સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 120 \text{ V}$, આવૃત્તિ $f = 60 \text{ Hz}$, અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = 36 \text{ V}$.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ A}$ છે.
પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \frac{V}{I} = \frac{120}{0.4} = 300 \Omega$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, તેથી $300 = \sqrt{90^2 + X_L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $90000 = 8100 + X_L^2$.
$X_L^2 = 90000 - 8100 = 81900$.
$X_L = \sqrt{81900} \approx 286.18 \Omega$.
$X_L = 2 \pi f L$ હોવાથી, $L = \frac{X_L}{2 \pi f} = \frac{286.18}{2 \times 3.14 \times 60} = \frac{286.18}{376.8} \approx 0.76 \text{ H}$ મળે છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ: $p_p = p_e = p$.
કણની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,આપણી પાસે $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$ અને $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ એ પ્રોટોનના દળ $m_p$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી $(m_e < m_p)$,તેથી $\frac{1}{2m_e} > \frac{1}{2m_p}$ થાય.
આથી,$K_e > K_p$,અથવા $K_p < K_e$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ ને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમસ્થાનિક ${ }_{5}^{12} B$ માં $Z = 5$ પ્રોટોન અને $A - Z = 12 - 5 = 7$ ન્યુટ્રોન છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ $(M_0)$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta m = (Z M_p + (A - Z) M_n) - M_0$
$\Delta m = (5 M_p + 7 M_n - M_0)$
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્ય સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$B.E. = \Delta m C^2$:
$B.E. = (5 M_p + 7 M_n - M_0) C^2$.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કોર્સિવિટી $H_c = 5 \times 10^3 \text{ A/m}$.
સોલેનોઈડની લંબાઈ $L = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$.
આંટાની સંખ્યા $N = 150$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{L} = \frac{150}{0.3} = 500 \text{ turns/m}$.
ચુંબકને ડિમેગ્નેટાઈઝ કરવા માટે,સોલેનોઈડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા ચુંબકની કોર્સિવિટી જેટલી હોવી જોઈએ:
$H = H_c$
$nI = 5 \times 10^3$
$500 \times I = 5000$
$I = \frac{5000}{500} = 10 \text{ A}$.
આમ,જરૂરી વિદ્યુતપ્રવાહ $10 \text{ A}$ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારોથી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $r_1$ અને $r_2$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$r_1 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \text{ cm}$ અને $r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ છે.
$q_2$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K q_2}{r_1^2} = \frac{K q_2}{20}$ છે. $Y$-અક્ષની દિશામાં તેનો ઘટક $E_{1y} = E_1 \cos \beta = \frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}}$ છે.
$q_3$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{K q_3}{r_2^2} = \frac{K q_3}{25}$ છે. $Y$-અક્ષની દિશામાં તેનો ઘટક $E_{2y} = E_2 \cos \theta = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$ છે.
$Y$-અક્ષ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,આ ઘટકોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{q_2}{20 \sqrt{20}} = \frac{q_3}{125} \Rightarrow \frac{q_2}{q_3} = \frac{20 \sqrt{20}}{125} = \frac{4 \sqrt{20}}{25} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{5}}{25} = \frac{8 \sqrt{5}}{25} = \frac{8}{5 \sqrt{5}}$.
આને $\frac{8}{5 \sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,હીટરનો અવરોધ ગણો:
$R_{\text{heater}} = \frac{V^2}{P} = \frac{(100)^2}{1000} = 10 \ \Omega$.
જ્યારે હીટર $P' = 62.5 \ W$ પર કામ કરે છે,ત્યારે તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ $(V')$ છે:
$P' = \frac{(V')^2}{R_{\text{heater}}} \Rightarrow V' = \sqrt{P' \cdot R_{\text{heater}}} = \sqrt{62.5 \times 10} = \sqrt{625} = 25 \ V$.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધ $(10 \ \Omega)$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_s = 100 \ V - 25 \ V = 75 \ V$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_s}{10 \ \Omega} = \frac{75}{10} = 7.5 \ A$ છે.
હીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_H = \frac{V'}{R_{\text{heater}}} = \frac{25}{10} = 2.5 \ A$ છે.
અવરોધ $R$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_R = I - I_H = 7.5 \ A - 2.5 \ A = 5 \ A$ છે.
$R$ એ હીટર સાથે સમાંતર હોવાથી,$R$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ પણ $25 \ V$ છે.
તેથી,$R = \frac{V'}{I_R} = \frac{25}{5} = 5 \ \Omega$.

(A) આપેલ છે: $C = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$,$E = 110 \sqrt{2} \sin(100t) \text{ V}$.
$E = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_0 = 110 \sqrt{2} \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5000 \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{110 \sqrt{2}}{5000} \text{ A}$.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{110 \sqrt{2}}{5000 \sqrt{2}} = \frac{110}{5000} \text{ A}$.
$I_{rms} = \frac{11}{500} \text{ A} = 0.022 \text{ A}$.
$mA$ માં ફેરવતા,$I_{rms} = 0.022 \times 1000 \text{ mA} = 22 \text{ mA}$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, પડદાનું અંતર $D = 1 \,m$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$.
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ દરેક સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણ પેટર્નની ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ડબલ સ્લિટ પેટર્નના $10$ અધિક્તમ એ સિંગલ સ્લિટ પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિક્તમની અંદર સમાય છે. તેથી, $10 \times \beta = \frac{2 \lambda D}{a}$.
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ મૂકતા:
$10 \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{a}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{10}{d} = \frac{2}{a}$
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$
$d = 1 \,mm = 10 \times 10^{-4} \,m$ હોવાથી:
$a = \frac{10 \times 10^{-4} \,m}{5} = 2 \times 10^{-4} \,m$.
આમ, જવાબ $2$ છે.

(D) $LED$ ને પ્રકાશિત કરવા માટે, $PQ$ વિભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) એ $LED$ ના થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ અને ઝેનર ડાયોડના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ।
$V_{PQ} = V_{LED} + V_{Zener}$
$V_{PQ} = 1.8 \,V + 3.2 \,V = 5.0 \,V$
પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર સર્કિટમાં કુલ લંબાઈ $PR = 20 \,cm$ પર કુલ $20 \,V$ નો વોલ્ટેજ છે।
પોટેન્શિયલ ડિવાઈડરના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા, કોઈ વિભાગ પરનો વોલ્ટેજ તેની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{V_{PQ}}{V_{PR}} = \frac{PQ}{PR}$
$\frac{5 \,V}{20 \,V} = \frac{PQ}{20 \,cm}$
$PQ = \left( \frac{5}{20} \right) \times 20 \,cm = 5 \,cm$
આમ, $PQ$ ની જરૂરી લઘુત્તમ લંબાઈ $5 \,cm$ છે।

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
તમામ કણો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો ક્રમ $m_{e} < m_{p} < m_{\alpha}$ છે.
તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ થશે.

(B) મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_0)$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = B_0 c$ છે.
અહીં $E_0 = 60 \text{ Vm}^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \text{ T}$.
તરંગ સંખ્યા $k$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે. $\lambda = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}$ હોવાથી,$k = \frac{2\pi}{4 \times 10^{-3}} = \frac{\pi}{2} \times 10^3 \text{ rad/m}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = ck = (3 \times 10^8) \times (\frac{\pi}{2} \times 10^3) = \frac{3\pi}{2} \times 10^{11} \text{ rad/s}$ છે.
તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $+y$ દિશામાં છે. પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $+z$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t) = 2 \times 10^{-7} \sin \left[ \frac{\pi}{2} \times 10^3 (x - 3 \times 10^8 t) \right] \hat{k} \text{ T}$ થશે.

(A) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે અંતર્ગોળ લેન્સ એ અપસારી લેન્સ છે. તે લેન્સની બીજી બાજુએ વક્રતા કેન્દ્ર પર વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચી શકતું નથી. અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું હોય છે,અને તે વસ્તુની બાજુએ જ પ્રકાશીય કેન્દ્ર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે રચાય છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે અંતર્ગોળ લેન્સ હંમેશા પ્રકાશના કિરણોને અપસારી કરે છે,જેના પરિણામે લેન્સની સામે વસ્તુના કોઈપણ સ્થાન માટે આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચાય છે.
તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે અને વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા એ સેમિકન્ડક્ટરના બેન્ડ ગેપ ઉર્જા જેટલી હોય છે, $E_g = 1.42 \,eV$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{hc}{E}$.
$hc \approx 1240 \,eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{1240 \,eV \cdot nm}{1.42 \,eV} \approx 873.24 \,nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા, $\lambda \approx 875 \,nm$ મળે છે.

(A) આ ગોઠવણીને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $\frac{A}{3}$ છે પરંતુ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અલગ-અલગ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર માટે,અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$ છે.
બીજા કેપેસિટર માટે,અંતર $2d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$ છે.
ત્રીજા કેપેસિટર માટે,અંતર $3d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ થાય.
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$.
$3, 6, 9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $18$ લેતા:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18 d}$.

(D) $\text{આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમકક્ષતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: } E = mc^2$.
$\text{આપેલ દળ } m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$.
$\text{પ્રકાશની ઝડપ } c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = (10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2 = 9 \times 10^{13} \,J$.
$\text{જૂલને } MeV \text{ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે રૂપાંતરણ અવયવ } 1 \,eV = 1.602 \times 10^{-19} \,J \text{ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેથી } 1 \,MeV = 1.602 \times 10^{-13} \,J$.
$E = \frac{9 \times 10^{13} \,J}{1.602 \times 10^{-13} \,J/MeV} \approx 5.618 \times 10^{26} \,MeV$.
$\text{આમ, ઊર્જા સમકક્ષતા આશરે } 5.6 \times 10^{26} \,MeV \text{ છે.}$

(C) વિધાન $(I)$ સાચું છે. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં,જ્યારે પ્રવાહ સમય સાથે બદલાય છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રો બદલાય છે અને વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર પોતે વેગમાન ધરાવે છે. ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ,તેના સરળ સ્વરૂપમાં,કણોને લાગુ પડે છે,પરંતુ સમગ્ર સિસ્ટમ માટે,કુલ વેગમાનના સંરક્ષણ માટે ક્ષેત્રના વેગમાનને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે. એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ બાયો-સાવર્ટના નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે. તે મૂળભૂત રીતે પ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના સંબંધનું સંકલિત સ્વરૂપ છે,જે મૂળભૂત રીતે બાયો-સાવર્ટના નિયમમાં રહેલું છે.

(B) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 200 \Omega$
પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $I_g = 20 \mu A = 20 \times 10^{-6} A$
એમીટરની જરૂરી રેન્જ $I = 20 mA = 20 \times 10^{-3} A$
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
શંટ અવરોધ માટેનું સૂત્ર $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{20 \times 10^{-6} \times 200}{20 \times 10^{-3} - 20 \times 10^{-6}}$
$S = \frac{4000 \times 10^{-6}}{20 \times 10^{-3} (1 - 0.001)}$
$S = \frac{4 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3} \times 0.999}$
$S = \frac{4}{20 \times 0.999} = \frac{0.2}{0.999} \approx 0.2002 \Omega$
આમ,જરૂરી શંટ અવરોધ આશરે $0.20 \Omega$ છે.

(A) $RC$ સર્કિટનું ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે $(C' = KC)$.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$C$ માં વધારો થવાથી કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સમાં ઘટાડો થાય છે $(X_C \downarrow)$.
જેમ $X_C$ ઘટે છે,તેમ સર્કિટનું કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટે છે $(Z \downarrow)$.
$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે. $Z$ ઘટતું હોવાથી,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ વધે છે.
પરિણામે,બલ્બમાં વપરાતો પાવર $(P = I^2 R)$ વધે છે,અને બલ્બનો પ્રકાશ વધે છે.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ.
નોડ્સને લેબલ કરીને,આપણે જોઈએ છીએ કે સમાંતર શાખાઓને ઓળખીને પરિપથને ઘટાડી શકાય છે.
$10 \Omega$ અને $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(15 \Omega)$,$4 \Omega$ અને $11 \Omega$ શ્રેણીમાં છે $(15 \Omega)$,અને મધ્યની ઊભી શાખા પણ નોડ $C$ અને $D$ વચ્ચે $15 \Omega$ નો માર્ગ બનાવે છે.
આ ત્રણેય $15 \Omega$ ની શાખાઓ નોડ $C$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતરમાં છે.
આ ત્રણેય સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{15 \Omega}{3} = 5 \Omega$ થાય છે.
હવે,પરિપથ $6 \Omega$,$5 \Omega$ અને $8 \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 6 \Omega + 5 \Omega + 8 \Omega = 19 \Omega$ થાય છે.

(B) ભારિત રિંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \frac{dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-રિંગ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
અર્ધ-રિંગ પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $R$ પર હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ થશે.
$Q = \lambda \pi R$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R}{R} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ મળે.
અહીં $\lambda = 4 \times 10^{-9} \ C/m$ અને $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ આપેલ છે.
$V = k \lambda \pi = (9 \times 10^9) \times (4 \times 10^{-9}) \times \pi$.
$V = 36 \pi \ V$.
આને $x \pi \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 36$ મળે છે.

(C) પ્રક્રિયા $3({ }^4 He) \rightarrow { }^{12} C + Q$ છે.
પ્રત્યેક પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = (3 \times m_{He} - m_C)c^2$ દ્વારા મળે છે.
$Q = (3 \times 4.0026 \ u - 12 \ u)c^2 = (12.0078 - 12) \ u \times c^2 = 0.0078 \ u \times c^2$.
$u$ ને $kg$ માં ફેરવતા: $Q = 0.0078 \times 1.66 \times 10^{-27} \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$Q = 0.0078 \times 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \ J = 1.16568 \times 10^{-12} \ J$.
ઉત્પન્ન થતી પાવર $P = R \times Q$ છે,જ્યાં $R$ એ પ્રક્રિયાનો દર છે (પ્રતિ સેકન્ડ પ્રક્રિયાઓની સંખ્યા).
$R = \frac{P}{Q} = \frac{5.808 \times 10^{30} \ W}{1.16568 \times 10^{-12} \ J} \approx 4.9825 \times 10^{42} \ s^{-1} \approx 5 \times 10^{42} \ s^{-1}$.
દરેક પ્રક્રિયામાં ત્રણ ${ }^4 He$ ન્યુક્લિયસ વપરાતા હોવાથી,${ }^4 He$ ના રૂપાંતરનો દર $3 \times R = 3 \times 5 \times 10^{42} = 15 \times 10^{42} \ s^{-1}$ છે.
આમ,$n = 15$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_{max}}{4}$,તેથી $\frac{I_{max}}{4} = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,જે કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{3}$ આપે છે.
કળા તફાવત અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે. કારણ કે $\Delta x = \frac{yd}{D}$,તેથી $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right)$.
$\Delta \phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{\lambda D}{3d}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{600 \times 10^{-9} \ m \times 1.0 \ m}{3 \times 1.0 \times 10^{-3} \ m} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} \ m = 200 \times 10^{-6} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,તેથી અંતર $y = 200 \ \mu m$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0(1+4x) \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x=0$ પરના ઊભી તાર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(0) = B_0(1+4(0)) = B_0 = 5 \ T$ છે.
આ તાર પરનું બળ $F_1 = i \ell B(0) = 2 \times 2 \times 5 = 20 \ N$ ($+x$ દિશામાં) છે.
$x=2$ પરના ઊભી તાર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(2) = B_0(1+4(2)) = 9B_0 = 9 \times 5 = 45 \ T$ છે.
આ તાર પરનું બળ $F_2 = i \ell B(2) = 2 \times 2 \times 45 = 180 \ N$ ($-x$ દિશામાં) છે.
આડા તાર પરના બળો એકબીજાને રદ કરે છે.
ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_2 - F_1 = 180 - 20 = 160 \ N$ છે.

(D) કિસ્સો-$I$: $DC$ સપ્લાય
$DC$ સર્કિટ માટે,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (માત્ર અવરોધ).
$R = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{5 \ A} = 4 \ \Omega$
કિસ્સો-$II$: $AC$ સપ્લાય
$AC$ સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Z = \frac{V}{I} = \frac{20 \ V}{4 \ A} = 5 \ \Omega$
કારણ કે $Z^2 = R^2 + X_L^2$,તેથી $5^2 = 4^2 + X_L^2$.
$25 = 16 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 9 \Rightarrow X_L = 3 \ \Omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = 2 \pi f L$,જ્યાં $f = 50 \ Hz$ અને $\pi = 3$.
$3 = 2 \times 3 \times 50 \times L$
$3 = 300 \times L$
$L = \frac{3}{300} \ H = 0.01 \ H$
મિલીહેનરી $(mH)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$L = 0.01 \times 1000 \ mH = 10 \ mH$

(B) ધારો કે નોડ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $y$ છે અને નોડ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $x$ છે. $10 \ V$ ની બેટરી અને $1 \Omega$ ના અવરોધ વચ્ચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $(x-10) \ V$ છે.
નોડ $C$ (સ્થિતિમાન $y$) પર નોડલ એનાલિસિસ લાગુ કરતા:
$\frac{y-5}{2} + \frac{y-0}{2} + \frac{y-(x-10)}{1} = 0$
$y-5 + y + 2y - 2x + 20 = 0$
$4y - 2x + 15 = 0 \quad \dots(i)$
નોડ $A$ (સ્થિતિમાન $x$) પર નોડલ એનાલિસિસ લાગુ કરતા:
$\frac{x-5}{4} + \frac{x-0}{4} + \frac{x-10-y}{1} = 0$
$x-5 + x + 4x - 40 - 4y = 0$
$6x - 4y - 45 = 0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4y - 2x + 15) + (6x - 4y - 45) = 0$
$4x - 30 = 0 \implies x = 7.5 \ V$
$(i)$ માં $x = 7.5$ મુકતા:
$4y - 2(7.5) + 15 = 0 \implies 4y - 15 + 15 = 0 \implies y = 0 \ V$
$1 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = \frac{y - (x-10)}{1} = \frac{0 - (7.5 - 10)}{1} = \frac{2.5}{1} = 2.5 \ A$
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{n}{10} \ A$,તેથી $\frac{n}{10} = 2.5 \implies n = 25$.