JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.5\, kg\, m^2$,ચાકગતિ ઉર્જા $K = 1200\, J$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 20\, rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1200 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times \omega^2$.
$1200 = 0.75 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1200}{0.75} = 1600$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{1600} = 40\, rad/s$.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$40 = 0 + 20 \times t$.
$t = \frac{40}{20} = 2\, s$.

(C) એક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a = 5.29\ cm^2$ આપેલ છે.
આવા $7$ ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 7 \times a$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$A = 7 \times 5.29 = 37.03\ cm^2$ મળે છે.
સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,જ્યારે કોઈ માપેલ કિંમતને ચોક્કસ સંખ્યા (જેમ કે $7$) વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે પરિણામમાં માપેલ કિંમત જેટલા જ સાર્થક અંકો હોવા જોઈએ.
અહીં $5.29$ માં $3$ સાર્થક અંકો છે.
તેથી,અંતિમ પરિણામ $37.03$ ને $3$ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$37.03$ ને $3$ સાર્થક અંકોમાં ફેરવતા $37.0\ cm^2$ મળે છે.

(D) વાયુ $A$ માટે: અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = 22 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ છે.
સંબંધ $C_V = \frac{f}{2}R$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R \approx 8.314 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$,આપણને $f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 22}{8.314} \approx 5.29$ મળે છે.
અહીં $f$ એ $5$ (દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટેની મુક્તિના અંશો) કરતા થોડું વધારે હોવાથી,તે $1$ કંપન મોડની હાજરી સૂચવે છે.
વાયુ $B$ માટે: અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = 21 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ છે.
$f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 21}{8.314} \approx 5.05$ મળે છે.
આ મૂલ્ય આશરે $5$ છે,જે કંપન મોડ વગરના દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુને અનુરૂપ છે.
આમ,$A$ પાસે કંપન મોડ છે પરંતુ $B$ પાસે કોઈ નથી.

(D) સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = (15t^2) \hat{i} + (4 - 20t^2) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{r}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{i} + \frac{d}{dt}(4 - 20t^2) \hat{j} = (30t) \hat{i} - (40t) \hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{v}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(30t) \hat{i} - \frac{d}{dt}(40t) \hat{j} = 30 \hat{i} - 40 \hat{j}$.
પ્રવેગ અચળ છે અને સમય પર આધારિત નથી.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{(30)^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ m/s^2$ છે.

(D) $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = \frac{GM(r)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M(r)$ એ $r$ ત્રિજ્યામાં સમાયેલું દળ છે.
આપેલ છે કે $\rho(r) = \frac{K}{r^2}$,તેથી દળ $M(r)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(x) \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r \frac{K}{x^2} \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r 4\pi K dx = 4\pi Kr$.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના સમીકરણમાં $M(r)$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{G(4\pi Kr)}{r^2} = \frac{4\pi GK}{r}$.
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $m$ દળના કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mV^2}{R} = mE = m \left( \frac{4\pi GK}{R} \right)$.
આના પરથી $V^2 = 4\pi GK$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કક્ષીય ઝડપ $V$ અચળ છે.
કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $V$ અચળ છે,તેથી $T \propto R$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T}{R} = \text{અચળ}$.

(B) ગતિની મૂળ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$m(2v) + (2m)(v) = m(0) + m(v') \cos(45^o) + m(v') \cos(45^o)$
$2mv + 2mv = 0 + 2mv' \cos(45^o)$
$4mv = 2mv' (1 / \sqrt{2})$
$4v = v' \sqrt{2}$
$v' = 4v / \sqrt{2} = 2\sqrt{2}v$
તેથી,ગતિ કરતા દરેક કણની ઝડપ $2\sqrt{2}v$ છે.

(C) પ્રથમ પરિસ્થિતિમાં,બ્લોક પાણીમાં તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$V_b \rho_b g = V_s \rho_w g$
$\frac{V_s}{V_b} = \frac{\rho_b}{\rho_w} = \frac{4}{5} \quad ... (i)$
અહીં,$V_b$ એ બ્લોકનું કદ છે,$V_s$ એ ડૂબેલું કદ છે,$\rho_b$ એ બ્લોકની ઘનતા છે,અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બીજી પરિસ્થિતિમાં,બ્લોક તેલ અને પાણીના મિશ્રણમાં તરે છે. બ્લોકનું કુલ વજન તેલ અને પાણી બંને દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V_b \rho_b g = \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_o g + \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_w g$
$V_b g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\rho_b = \frac{\rho_o}{2} + \frac{\rho_w}{2}$
$2 \rho_b = \rho_o + \rho_w$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\rho_b = \frac{4}{5} \rho_w$ મૂકતા:
$2 \left(\frac{4}{5} \rho_w\right) = \rho_o + \rho_w$
$\frac{8}{5} \rho_w - \rho_w = \rho_o$
$\rho_o = \frac{3}{5} \rho_w = 0.6 \rho_w$
તેથી,પાણીની સાપેક્ષમાં તેલની ઘનતા $\frac{\rho_o}{\rho_w} = 0.6$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v = 340 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
કાર $A$ માં રહેલો અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $v_o = 20 \, ms^{-1}$ (દૂર જતું હોવાથી ઋણ ચિહ્ન).
કાર $B$ માં રહેલો સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $v_s = 20 \, ms^{-1}$ (દૂર જતું હોવાથી ધન ચિહ્ન).
આપેલ છે $f = 2000 \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $2000 = f_0 \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$.
$2000 = f_0 \left( \frac{320}{360} \right)$.
$2000 = f_0 \left( \frac{8}{9} \right)$.
$f_0 = \frac{2000 \times 9}{8} = 250 \times 9 = 2250 \, Hz$.

(C) ધારો કે કણ વેજ પર $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. આ સમયે,કણ અને વેજ બંને એકસાથે સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $V_f$ થી ગતિ કરે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + M)V_f$
અહીં $M = 4m$ હોવાથી:
$mv = (m + 4m)V_f = 5mV_f$
$V_f = \frac{v}{5}$
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m + M)V_f^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v}{5}\right)^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v^2}{25}\right) + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{10}mv^2 + mgh$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{10}mv^2 = \frac{5-1}{10}mv^2 = \frac{4}{10}mv^2 = \frac{2}{5}mv^2$
$h = \frac{2v^2}{5g}$

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને પદાર્થોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $H_1 = \frac{(3K)A(\theta_2 - \theta)}{d}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $H_2 = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$.
$H_1$ અને $H_2$ ને સરખાવતા:
$\frac{3KA(\theta_2 - \theta)}{d} = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$
$9(\theta_2 - \theta) = \theta - \theta_1$
$9\theta_2 - 9\theta = \theta - \theta_1$
$10\theta = 9\theta_2 + \theta_1$
$\theta = \frac{9\theta_2 + \theta_1}{10} = \frac{\theta_1}{10} + \frac{9\theta_2}{10}$.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$ .
સળિયાની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = \frac{ML^2}{12}$ છે. મણકા કેન્દ્ર પર હોવાથી,અક્ષથી તેમનું પ્રારંભિક અંતર $0$ છે. તેથી,$I_i = \frac{ML^2}{12}$ .
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega_0 = \left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0$ છે.
જ્યારે મણકા છેડા પર પહોંચે છે,ત્યારે અક્ષથી તેમનું અંતર $L/2$ હોય છે. અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = \frac{ML^2}{12} + 2 \left( m \left( \frac{L}{2} \right)^2 \right) = \frac{ML^2}{12} + \frac{2mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ છે.
$L_i = L_f$ નો ઉપયોગ કરતા: $\left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0 = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right) \omega_f$ .
$\omega_f$ માટે ઉકેલતા: $\omega_f = \frac{M\omega_0}{M + 6m}$.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2.0\, m$,આવૃત્તિ $f_3 = 240\, Hz$,અને હાર્મોનિક $n = 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $240 = \frac{3 \times v}{2 \times 2.0}$.
$240 = \frac{3v}{4} \Rightarrow 3v = 960 \Rightarrow v = 320\, m/s$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n=1)$ $f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{320}{2 \times 2.0} = \frac{320}{4} = 80\, Hz$ થાય.

(A) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (x_0 + a \cos \omega_1 t) \hat{i} + (y_0 + b \sin \omega_2 t) \hat{j}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$\vec{r} = (x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}$ થાય.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (-a \omega_1^2 \cos \omega_1 t) \hat{i} + (-b \omega_2^2 \sin \omega_2 t) \hat{j}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$\vec{a} = -a \omega_1^2 \hat{i}$ થાય.
કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = m \vec{a} = -m a \omega_1^2 \hat{i}$ છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
$\vec{\tau} = [(x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}] \times [-m a \omega_1^2 \hat{i}]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = y_0 (-m a \omega_1^2) (\hat{j} \times \hat{i}) = y_0 (-m a \omega_1^2) (-\hat{k}) = m y_0 a \omega_1^2 \hat{k}$.

(D) સ્થિર સ્ત્રોત અને ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v} \right)$ છે,જ્યાં $f = 500\, Hz$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$v = 300\, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
પ્રથમ અવલોકનકાર માટે જે $480\, Hz$ અનુભવે છે (દૂર જઈ રહ્યો છે): $480 = 500 \left( \frac{300 - v_{o1}}{300} \right)$.
$\frac{480}{500} = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow 0.96 = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o1}}{300} = 0.04 \Rightarrow v_{o1} = 12\, m/s$.
બીજા અવલોકનકાર માટે જે $530\, Hz$ અનુભવે છે (નજીક આવી રહ્યો છે): $530 = 500 \left( \frac{300 + v_{o2}}{300} \right)$.
$\frac{530}{500} = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow 1.06 = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o2}}{300} = 0.06 \Rightarrow v_{o2} = 18\, m/s$.
આમ,તેમની ઝડપ $12\, m/s$ અને $18\, m/s$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = 10(\cos 30^\circ \hat{i} - \sin 30^\circ \hat{j})$ અને $\vec{u}_2 = 5(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$ છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $\vec{v}_1 = v_1(\cos 30^\circ \hat{i} + \sin 30^\circ \hat{j})$ અને $\vec{v}_2 = v_2(\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j})$ છે.
$x$-દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M(10 \cos 30^\circ) + 2M(5 \cos 45^\circ) = 2M(v_1 \cos 30^\circ) + M(v_2 \cos 45^\circ)$
$5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = v_1\sqrt{3} + \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (i)$
$y$-દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M(-10 \sin 30^\circ) + 2M(5 \sin 45^\circ) = 2M(v_1 \sin 30^\circ) + M(-v_2 \sin 45^\circ)$
$-5 + 5\sqrt{2} = v_1 - \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$v_1(\sqrt{3} + 1) = 5\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 5 \Rightarrow v_1 \approx 6.5\, m/s$
$v_1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$v_2 \approx 6.3\, m/s$.

(C) $STP$ પર,આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $22.4 \, L/mol$ હોય છે.
હિલિયમ વાયુના મોલની સંખ્યા $n = \frac{67.2 \, L}{22.4 \, L/mol} = 3 \, mol$ છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ થાય.
જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 3 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 20$.
$\Delta Q = 3 \times 1.5 \times 8.31 \times 20 = 4.5 \times 166.2 = 747.9 \, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\Delta Q \approx 748 \, J$ મળે છે.

(B) જ્યારે દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ અને ડ્રેગ ફોર્સ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. ગતિનું સમીકરણ: $m \frac{dv}{dt} = -mg - m\gamma v^2$.
$m$ વડે ભાગતા: $\frac{dv}{dt} = -(g + \gamma v^2)$.
સંકલન માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{dv}{g + \gamma v^2} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
$t=0$ થી $T$ અને $v=V_0$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^T dt = -\frac{1}{\gamma} \int_{V_0}^0 \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
ધારો કે $a^2 = g/\gamma$,તો $\int \frac{dv}{a^2 + v^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a})$.
$T = \frac{1}{\gamma} \int_0^{V_0} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2} = \frac{1}{\gamma} [\frac{1}{\sqrt{g/\gamma}} \tan^{-1}(\frac{v}{\sqrt{g/\gamma}})]_0^{V_0}$.
$T = \frac{1}{\sqrt{\gamma g}} \tan^{-1} (V_0 \sqrt{\frac{\gamma}{g}})$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે તકતીનું કુલ દળ $M$ શોધીએ:
$M = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi k \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{2}$
આના પરથી,આપણને $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મળે છે.
હવે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ની ગણતરી કરીએ:
$I = \int_0^R (dm) r^2 = \int_0^R (\sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr) r^2 = \int_0^R (kr^2) \cdot 2\pi r^3 \, dr = 2\pi k \int_0^R r^5 \, dr$
$I = 2\pi k \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = 2\pi k \frac{R^6}{6} = \frac{\pi k R^6}{3}$
$I$ ના સમીકરણમાં $k = \frac{2M}{\pi R^4}$ મૂકતા:
$I = \frac{\pi}{3} \left( \frac{2M}{\pi R^4} \right) R^6 = \frac{2}{3} MR^2$

(D) પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2})^2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{16} I_1 \omega_1^2 = \frac{9}{16} I_1 \omega_1^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 + (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2}) = (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f$.
$I_1 \omega_1 + \frac{1}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \frac{5}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac{5}{6} \omega_1$.
અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} I_1) (\frac{5}{6} \omega_1)^2 = \frac{3}{4} I_1 (\frac{25}{36} \omega_1^2) = \frac{25}{48} I_1 \omega_1^2$.
ઉર્જામાં ફેરફાર $E_f - E_i = I_1 \omega_1^2 (\frac{25}{48} - \frac{9}{16}) = I_1 \omega_1^2 (\frac{25 - 27}{48}) = -\frac{2}{48} I_1 \omega_1^2 = -\frac{I_1 \omega_1^2}{24}$.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ કે ઘટાડાનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પારા માટે $(1)$: $h = \frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g}$.
પાણી માટે $(2)$: $h = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
અહીં $h$ નું મૂલ્ય સમાન હોવાથી: $\frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g} = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}$.
આપેલ છે: $\frac{S_1}{S_2} = 7.5$,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = 13.6 \Rightarrow \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13.6}$,$\theta_1 = 135^o$,$\theta_2 = 0^o$.
$\cos 135^o = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 0^o = 1$.
માત્ર મૂલ્ય લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = 7.5 \times \frac{1}{13.6} \times \frac{1/\sqrt{2}}{1} \approx 0.39$.
આ મૂલ્ય $2/5 = 0.4$ ની નજીક છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2} = 9.8\, m\,s^{-2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપણને $g' = 4.9\, m\,s^{-2}$ આપેલ છે,જે $g/2$ છે.
તેથી,$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{2} \frac{GM}{R^2}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R+h}{R} = \sqrt{2}$.
$1 + \frac{h}{R} = 1.414$.
$\frac{h}{R} = 0.414$.
$h = 0.414 \times R = 0.414 \times 6.4 \times 10^6\, m$.
$h \approx 2.65 \times 10^6\, m$.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p = C_v + R$ (જ્યાં $C_v$ અને $C_p$ મોલર ઉષ્માધારિતા છે).
તેથી,આપેલી ઉષ્મા $Q = n(C_v + R) \Delta T = (n C_v + nR) \Delta T$ થાય.
થયેલ કાર્ય અને આપેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{W}{Q} = \frac{nR \Delta T}{(n C_v + nR) \Delta T} = \frac{nR}{n C_v + nR}$ મળે.
જો $C_v$ એ $n$ મોલની કુલ ઉષ્માધારિતા હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{nR}{C_v + nR}$ થાય.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = e^{-0.1t} \cos(10\pi t + \varphi)$ સાથે સરખાવતા,આપણે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-0.1t}$ તરીકે ઓળખીએ છીએ,જ્યાં $A_0 = 1$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાની જરૂર છે જ્યારે કંપવિસ્તાર $A(t)$ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય $A_0$ ના અડધા થાય.
$A(t) = \frac{A_0}{2}$ લેતા,આપણને $A_0 e^{-0.1t} = \frac{A_0}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $A_0$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{-0.1t} = \frac{1}{2}$ અથવા $e^{0.1t} = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $0.1t = \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0.1t = 0.693$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $t \approx 7 \, s$ મળે છે.

(A) અથડામણ આવૃત્તિ $Z = \frac{v_{avg}}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n}$ છે,જ્યાં $n = \frac{N}{V} = \frac{N_A}{V}$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{V}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}$ મળે છે.
આમ,$Z = \frac{v_{avg} \sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}{V}$.
આપેલ છે: $V = 25 \times 10^{-3} \, m^3$,$\sigma = 0.3 \times 10^{-9} \, m$,$v_{rms} = 200 \, m/s$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$v_{avg} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} v_{rms} \approx 0.921 \times 200 \approx 184.2 \, m/s$ નો ઉપયોગ કરતા.
$Z = \frac{184.2 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 6.022 \times 10^{23}}{25 \times 10^{-3}}$.
$Z \approx \frac{184.2 \times 1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23}}{0.025} \approx \frac{439.5}{0.025} \times 10^5 \approx 1.75 \times 10^{10} \, s^{-1}$.
તેથી,અથડામણ દર $\sim 10^{10} \, s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે $n = 1$ મોલ.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = RT$,તેથી $P = \frac{RT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધ $P = P_0 \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{V} \right)^2 \right]$ માં મૂકતા:
$\frac{RT}{V} = P_0 \left[ 1 - \frac{V_0^2}{2V^2} \right]$
$T = \frac{P_0}{R} \left[ V - \frac{V_0^2}{2V} \right]$
હવે,$V = V_0$ અને $V = 2V_0$ માટે તાપમાનની ગણતરી કરતા:
$T_1 = T(V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0^2}{2V_0} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0}{2} \right] = \frac{P_0 V_0}{2R}$
$T_2 = T(2V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0^2}{2(2V_0)} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0}{4} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ \frac{7V_0}{4} \right] = \frac{7 P_0 V_0}{4R}$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{7 P_0 V_0}{4R} - \frac{P_0 V_0}{2R} = \frac{7 P_0 V_0 - 2 P_0 V_0}{4R} = \frac{5 P_0 V_0}{4R}$.

(D) પ્રથમ ભાગનું દળ $M_1 = \frac{7M}{8}$ છે અને તેને $R_1 = 2R$ ત્રિજ્યાની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R_1^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{7M}{8} \right) (2R)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{7M}{8} \times 4R^2 = \frac{7MR^2}{4}$.
બીજા ભાગનું દળ $M_2 = M - \frac{7M}{8} = \frac{M}{8}$ છે.
ઘનતા સમાન રહેતી હોવાથી,કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3 = \frac{1}{8} V_{total} = \frac{1}{8} (\frac{4}{3} \pi R^3)$,જે સૂચવે છે કે $R_2^3 = \frac{R^3}{8}$,તેથી $R_2 = \frac{R}{2}$.
નક્કર ગોળાની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_2 = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{8} \times \frac{R^2}{4} = \frac{MR^2}{80}$.
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{7MR^2 / 4}{MR^2 / 80} = \frac{7}{4} \times 80 = 7 \times 20 = 140$ થાય.

(C) જ્યારે થોડી અલગ આવૃત્તિ $f_1$ અને $f_2$ ધરાવતા બે તરંગોનું સુપરપોઝિશન થાય છે,ત્યારે તે બીટ્સ (beats) ઉત્પન્ન કરે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $f_1 = 9\,Hz$ અને $f_2 = 11\,Hz$ આપેલ છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |11 - 9| = 2\,Hz$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે,અથવા દર $0.5\,s$ માં એક બીટ મળે છે.
પરિણામી તરંગ ભાતનું એન્વલપ કંપવિસ્તારમાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે,જે પ્રતિ સેકન્ડ બે વાર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ થાય છે.
આપેલ આકૃતિઓ જોતા,જે તરંગ ભાત $1\,s$ ના અંતરાલમાં કંપવિસ્તાર મોડ્યુલેશનના બે સંપૂર્ણ ચક્ર (અથવા એન્વલપનું એક ચક્ર) દર્શાવે છે,તે $2\,Hz$ ની બીટ આવૃત્તિને અનુરૂપ છે.
આકૃતિ $C$ એ આપેલ સમય અંતરાલ દરમિયાન $2\,Hz$ ની બીટ આવૃત્તિ સાથેના બે તરંગોના સુપરપોઝિશનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે: દરેક તારની લંબાઈ $\ell = 1\,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 1\,mm^2 = 10^{-6}\,m^2$,કુલ ખેંચાણ $\Delta \ell = 0.2\,mm = 0.2 \times 10^{-3}\,m$.
સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસ $Y_s = 120 \times 10^9\,N/m^2$ અને પિત્તળ માટે $Y_b = 60 \times 10^9\,N/m^2$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને પર લાગતું બળ $F$ સમાન રહેશે.
કુલ ખેંચાણ $\Delta \ell = \Delta \ell_s + \Delta \ell_b = \frac{F \ell}{A Y_s} + \frac{F \ell}{A Y_b} = \frac{F \ell}{A} \left( \frac{1}{Y_s} + \frac{1}{Y_b} \right)$.
પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{\Delta \ell}{\ell \left( \frac{1}{Y_s} + \frac{1}{Y_b} \right)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma = \frac{0.2 \times 10^{-3}}{1 \left( \frac{1}{120 \times 10^9} + \frac{1}{60 \times 10^9} \right)} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \times 120 \times 10^9}{1 + 2} = \frac{0.2 \times 120 \times 10^6}{3} = 8 \times 10^6\,N/m^2$.
આથી $8 \times 10^6\,N/m^2$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સખત અણુઓ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2} R$ છે.
આપેલ છે કે અચળ કદ પર $Q$ ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q = n C_V \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T$.
અચળ દબાણે તાપમાનમાં સમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q' = n C_P \Delta T$ છે,જ્યાં $C_P = \frac{7}{2} R$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{Q'}{Q} = \frac{n C_P \Delta T}{n C_V \Delta T} = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$.
તેથી,$Q' = \frac{7}{5} Q$.

(A) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 20\,g = 20 \times 10^{-3}\,kg = 0.02\,kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 1\,ms^{-1}$
દીવાલની જાડાઈ,$s = 20\,cm = 0.2\,m$
સરેરાશ અવરોધક બળ,$F = 2.5 \times 10^{-2}\,N$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-F \times s = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$-(2.5 \times 10^{-2}) \times 0.2 = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-3}) \times (v^2 - 1^2)$
$-0.5 \times 10^{-2} = 10 \times 10^{-3} \times (v^2 - 1)$
$-0.005 = 0.01 \times (v^2 - 1)$
$-0.5 = v^2 - 1$
$v^2 = 1 - 0.5 = 0.5$
$v = \sqrt{0.5} \approx 0.707\,ms^{-1}$
આમ,ઝડપ આશરે $0.7\,ms^{-1}$ છે.

(B) સ્ટ્રેસ $\sigma$ એ બળ $F$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે. સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં રહેવા માટે,સ્ટ્રેસ તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા $\sigma_{max} = 379\,MPa = 379 \times 10^6\,Pa$ થી વધવો જોઈએ નહીં.
સ્ટ્રેસનું સૂત્ર $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\frac{\pi}{4}d^2}$ છે.
અહીં $F = 400\,N$ અને $\sigma = 379 \times 10^6\,Pa$ આપેલ છે,તેથી:
$379 \times 10^6 = \frac{400}{\frac{\pi}{4}d^2}$.
$d^2$ ને કર્તા બનાવતા:
$d^2 = \frac{4 \times 400}{\pi \times 379 \times 10^6} = \frac{1600}{1190.7 \times 10^6} \approx 1.3437 \times 10^{-6}\,m^2$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$d = \sqrt{1.3437} \times 10^{-3}\,m \approx 1.159 \times 10^{-3}\,m$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા:
$d \approx 1.16\,mm$.

(D) ઢળતા સમતલ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{g \sin \alpha}{2} \left( \frac{2 u \sin \theta}{g \cos \alpha} \right)^2$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{2 u^2 \sin^2 \theta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} (\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos(\theta + \alpha)}{g \cos^2 \alpha}$
અહીં $u = 2 \, m/s$,$\theta = 15^o$,$\alpha = 30^o$,અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે:
$R = \frac{2 \times (2)^2 \times \sin(15^o) \times \cos(45^o)}{10 \times \cos^2(30^o)}$
$R = \frac{8 \times \sin(15^o) \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times \frac{3}{4}}$
$R = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{4}}{7.5} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{7.5} = \frac{2(1.732-1)}{7.5} = \frac{1.464}{7.5} \approx 0.195 \, m = 19.5 \, cm \approx 20 \, cm$.

(B) બ્લોક $A$ એ $B$ પર સરકે નહીં તે માટે,તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના ઘર્ષણ દ્વારા મર્યાદિત છે.
$A$ પર લાગતું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu_1 m_A g = 0.2 \times 1 \times 10 = 2\,N$ છે.
આ ઘર્ષણ બ્લોક $A$ ને મહત્તમ પ્રવેગ આપે છે: $a_{max} = \frac{f_{max}}{m_A} = \frac{2}{1} = 2\,m/s^2$.
હવે,આખા તંત્ર $(A+B)$ ને $a_{max}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતું ગણો. બાહ્ય બળ $F$ એ $B$ અને ટેબલની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણ $(f_{table})$ ને દૂર કરવું જોઈએ અને બંને બ્લોક્સને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ.
$B$ અને ટેબલ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $f_{table} = \mu_2 (m_A + m_B) g = 0.2 \times (1 + 3) \times 10 = 0.2 \times 4 \times 10 = 8\,N$ છે.
તંત્ર $(A+B)$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F - f_{table} = (m_A + m_B) a_{max}$.
$F - 8 = (1 + 3) \times 2$.
$F - 8 = 4 \times 2 = 8$.
$F = 8 + 8 = 16\,N$.

(B) આપેલ સૂત્ર $X = 5YZ^2$ પરથી,આપણે $Y$ ને $Y = \frac{X}{5Z^2}$ તરીકે લખી શકીએ.
કેપેસીટન્સ $X$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Z$ નું પરિમાણ $[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $Y$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]^2}$
$Y = \frac{[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}{[M^2 L^0 T^{-4} A^{-2}]}$
$Y = [M^{-1-2} L^{-2-0} T^{4-(-4)} A^{2-(-2)}]$
$Y = [M^{-3} L^{-2} T^8 A^4]$.

(B) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $V$ એ $\frac{mV^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનું સાદું રૂપ $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ થાય છે。
અહીં, $r = R + h = 2 \times 10^6 \, m + 20 \times 10^3 \, m = 2.02 \times 10^6 \, m$.
એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T_p = \frac{2\pi r}{V} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
$T = 24 \, \text{કલાક }= 24 \times 3600 \, \text{સેકન્ડ}$ સમયમાં પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{T}{T_p} = \frac{T}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{24 \times 3600}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 8 \times 10^{22}}{(2.02 \times 10^6)^3}}$.
$n = \frac{86400}{6.28} \sqrt{\frac{53.36 \times 10^{11}}{8.2424 \times 10^{18}}} = 13758 \times \sqrt{6.47 \times 10^{-7}} = 13758 \times 8.04 \times 10^{-4} \approx 11.06$.
આમ, પૂર્ણ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $11$ છે.

(A) આપેલ છે: $\vec r(t) = 2t \hat i - 3t^2 \hat j$ અને $m = 2 \ kg$.
વેગ $\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = 2 \hat i - 6t \hat j$.
$t = 2 \ s$ સમયે,સ્થાન $\vec r = 2(2) \hat i - 3(2)^2 \hat j = 4 \hat i - 12 \hat j$.
$t = 2 \ s$ સમયે,વેગ $\vec v = 2 \hat i - 6(2) \hat j = 2 \hat i - 12 \hat j$.
વેગમાન $\vec p = m \vec v = 2(2 \hat i - 12 \hat j) = 4 \hat i - 24 \hat j$.
કોણીય વેગમાન $\vec L = \vec r \times \vec p = (4 \hat i - 12 \hat j) \times (4 \hat i - 24 \hat j)$.
સદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\vec L = [4(-24) - (-12)(4)] \hat k = (-96 + 48) \hat k = -48 \hat k$.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A_1 = 10^{-4}\,m^2$ અને $v_1 = 1.0\,ms^{-1}$ છે.
તેથી,$A_2 v_2 = A_1 v_1 = 10^{-4} \times 1 = 10^{-4}\,m^3s^{-1} \dots (1)$.
અચળ દબાણ હેઠળ ધારારેખી પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$.
દબાણ અચળ હોવાથી,$\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$ મળે.
આને ગોઠવતા $v_2^2 - v_1^2 = 2g(h_1 - h_2) = 2gh$ મળે,જ્યાં $h = 0.15\,m$ છે.
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{1^2 + 2 \times 10 \times 0.15} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $A_2 \times 2 = 10^{-4}$.
તેથી,$A_2 = \frac{10^{-4}}{2} = 0.5 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-5}\,m^2$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5\,g = 5 \times 10^{-3}\,kg$,ત્રિજ્યા $r = 1\,cm = 10^{-2}\,m$,સમય $t = 5\,s$,અંતિમ આવૃત્તિ $f = 25\,rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 25 = 50\pi\,rad/s$.
અક્ષ $AB$ (તકતીને સ્પર્શક) ની આસપાસ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha = \frac{\omega}{t}$:
$\tau = I \times \frac{\omega}{t} = \left(\frac{3}{2}mr^2\right) \times \frac{\omega}{t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{3}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})^2 \times \frac{50\pi}{5}$.
$\tau = \frac{3}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times 10^{-4} \times 10\pi$.
$\tau = 7.5 \times 10^{-7} \times 10\pi = 7.5\pi \times 10^{-6} \approx 23.56 \times 10^{-6} = 2.356 \times 10^{-5}\,Nm$.
આપેલા વિકલ્પોને આધારે,સૌથી નજીકની કિંમત $2.0 \times 10^{-5}\,Nm$ છે.

(D) પ્રવાહીમાં $d$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_{atm} + \rho g d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે અલગ-અલગ ઊંડાઈ $d_1$ અને $d_2$ માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_2 - P_1 = \rho g (d_2 - d_1)$ છે.
આપેલ છે કે $P_1 = 5.05 \times 10^6 \, Pa$ અને $P_2 = 8.08 \times 10^6 \, Pa.$
દબાણનો તફાવત $\Delta P = (8.08 - 5.05) \times 10^6 \, Pa = 3.03 \times 10^6 \, Pa$ છે.
સૂત્ર $\Delta P = \rho g (d_2 - d_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\rho = 10^3 \, kg/m^3$ અને $g = 10 \, m/s^2$:
$3.03 \times 10^6 = 10^3 \times 10 \times (d_2 - d_1)$
$3.03 \times 10^6 = 10^4 \times (d_2 - d_1)$
$d_2 - d_1 = \frac{3.03 \times 10^6}{10^4} = 3.03 \times 10^2 = 303 \, m.$
તેથી,$d_2 - d_1$ નું મૂલ્ય $303 \, m$ છે.

(D) ધારો કે ઘન બ્લોકની બાજુ $\ell = 0.5\,m$ છે. ઘનનું કદ $V = \ell^3 = (0.5)^3 = 0.125\,m^3$ છે.
શરૂઆતમાં,$30\%$ કદ પાણીમાં ડૂબેલું છે,તેથી ઉત્પ્લાવક બળ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$V_{sub} \cdot \rho_w \cdot g = V \cdot \rho_{block} \cdot g$
$0.3 \cdot V \cdot \rho_w = V \cdot \rho_{block}$
$\rho_{block} = 0.3 \cdot \rho_w = 0.3 \cdot 1000 = 300\,kg/m^3$.
બ્લોકનું દળ $m_{block} = V \cdot \rho_{block} = 0.125 \cdot 300 = 37.5\,kg$ છે.
જ્યારે બ્લોક પર વધારાનું દળ $M$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક સંપૂર્ણપણે ડૂબી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ વજન સંપૂર્ણ કદ $V$ માટે ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું થાય છે:
$(m_{block} + M)g = V \cdot \rho_w \cdot g$
$M = V \cdot \rho_w - m_{block} = (0.125 \cdot 1000) - 37.5 = 125 - 37.5 = 87.5\,kg$.

(C) ધારો કે $f$ એ સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$V = 350\,m/s$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,અને $V_s = 50\,m/s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_a = \frac{V}{V - V_s} f = 1000\,Hz$
$1000 = \frac{350}{350 - 50} f = \frac{350}{300} f = \frac{7}{6} f$
તેથી,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f = 1000 \times \frac{6}{7} = \frac{6000}{7}\,Hz$.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_a'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_a' = \frac{V}{V + V_s} f$
કિંમતો મૂકતા:
$f_a' = \frac{350}{350 + 50} \times \frac{6000}{7} = \frac{350}{400} \times \frac{6000}{7} = \frac{7}{8} \times \frac{6000}{7} = \frac{6000}{8} = 750\,Hz$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક પાતળી રીંગનો વિચાર કરો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r dr$ છે. આ ઘટકનું દળ $dm = \sigma(r) dA = \left(\frac{\sigma_0}{r}\right) (2\pi r dr) = 2\pi \sigma_0 dr$ છે.
તકતીનું કુલ દળ $M = \int_a^b dm = \int_a^b 2\pi \sigma_0 dr = 2\pi \sigma_0 (b - a)$ છે.
કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 (2\pi \sigma_0 dr) = 2\pi \sigma_0 \int_a^b r^2 dr = 2\pi \sigma_0 \left(\frac{b^3 - a^3}{3}\right)$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $k^2 = \frac{I}{M}$.
$k^2 = \frac{2\pi \sigma_0 (b^3 - a^3) / 3}{2\pi \sigma_0 (b - a)} = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)}$.
નિત્યસમ $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + a^2 + ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k^2 = \frac{(b - a)(b^2 + a^2 + ab)}{3(b - a)} = \frac{a^2 + b^2 + ab}{3}$ મળે છે.
તેથી,$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + ab}{3}}$.

(D) ધારો કે માણસનું દળ $m_1 = 50\, kg$ અને પુત્રનું દળ $m_2 = 20\, kg$ છે.
ધારો કે સપાટીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $V_1$ છે અને પુત્રનો વેગ $V_2$ છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,તેથી રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,બંને સ્થિર છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
$m_1 V_1 + m_2 V_2 = 0$
પુત્રની ગતિની દિશાને ધન લેતા,$50 V_1 + 20 V_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $50 V_1 = -20 V_2$,અથવા $V_2 = -2.5 V_1$.
માણસની સાપેક્ષમાં પુત્રની ઝડપ $V_{rel} = V_2 - V_1 = 0.70\, ms^{-1}$ આપેલ છે.
સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં $V_2 = -2.5 V_1$ મૂકતા:
$-2.5 V_1 - V_1 = 0.70$
$-3.5 V_1 = 0.70$
$V_1 = -0.20\, ms^{-1}$.
સપાટીની સાપેક્ષમાં માણસની ઝડપનું મૂલ્ય $0.20\, ms^{-1}$ છે.

(A) હિલિયમ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે.
હાઇડ્રોજન (દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
મિશ્રણ માટે અસરકારક મુક્તિના અંશો $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{\text{mix}} = \frac{2 \times 3 + 3 \times 5}{2 + 3} = \frac{6 + 15}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v, \text{mix}} = \frac{f_{\text{mix}} R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C_{v, \text{mix}} = \frac{4.2 \times 8.3}{2} = 2.1 \times 8.3 = 17.43\, J/mol\, K$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $17.4\, J/mol\, K$ છે.

(C) તારનું ઉષ્મીય સંકોચન $\Delta L_{thermal} = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તાર ઠંડો થાય છે,ત્યારે તે $\Delta L = L \alpha \Delta T$ જેટલું સંકોચાય છે. લટકાવેલ દળ $M$ તણાવ $T = Mg$ ઉત્પન્ન કરે છે જે $\Delta L_{elastic} = \frac{MgL}{AY}$ જેટલું વિસ્તરણ કરે છે.
તાર તેની મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવે છે,તેથી ઉષ્મીય સંકોચન એ સ્થિતિસ્થાપક વિસ્તરણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$L \alpha \Delta T = \frac{MgL}{AY}$
$Mg = AY \alpha \Delta T$
અહીં $r = 0.5 \times 10^{-3} \, m$,તેથી $A = \pi r^2 = 0.25 \pi \times 10^{-6} \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g} = \frac{(0.25 \pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 20}{10} = 5 \pi \approx 15.7 \, kg$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$0.9 \, kg$ એ સૌથી નજીકનો તાર્કિક જવાબ છે.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,$Heat\,lost = Heat\,gained$ (ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા).
$50\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડા થતા $M_2$ ગ્રામ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = M_2 \times c_w \times \Delta T = M_2 \times 1 \times (50 - 0) = 50M_2$ છે.
$-10\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ થતા અને ત્યારબાદ $0\,^{\circ}C$ પર પીગળતા $M_1$ ગ્રામ બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gained} = M_1 \times c_{ice} \times \Delta T + M_1 \times L_f = M_1 \times 0.5 \times 10 + M_1 \times L_f = 5M_1 + M_1 L_f$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $50M_2 = 5M_1 + M_1 L_f$.
$L_f$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $M_1 L_f = 50M_2 - 5M_1$.
તેથી,$L_f = \frac{50M_2}{M_1} - 5$.

(A) આપેલ અવધિ $R$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $u$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણના બે શક્ય મૂલ્યો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ હોય છે,જે સમાન અવધિ આપે છે.
આ બે ખૂણાઓ માટે ઉડ્ડયન સમય નીચે મુજબ છે:
$t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$
ક્ષૈતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
હવે,$t_1t_2$ નો ગુણાકાર મેળવતા:
$t_1t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right)$
$t_1t_2 = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$
$R$ નું પદ મૂકતા:
$t_1t_2 = \frac{2}{g} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સમીકરણ $y(x, 0) = A \sin(kx + \phi)$ બને છે.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે $t = 0$ અને $x = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y(0, 0) = 0$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = A \sin(k(0) + \phi) \Rightarrow \sin(\phi) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\phi = 0$ અથવા $\phi = \pi$.
સાચી કિંમત નક્કી કરવા માટે,આપણે $x = 0$ આગળ તરંગનો ઢાળ તપાસીએ. ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 0$ આગળ,ઢાળ $Ak \cos(\phi)$ છે.
આલેખ પરથી,$x = 0$ આગળ,જેમ $x$ વધે છે તેમ તરંગ નીચેની તરફ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ ઋણ છે.
જો $\phi = 0$ હોય,તો ઢાળ $Ak \cos(0) = Ak$ થાય,જે ધન છે.
જો $\phi = \pi$ હોય,તો ઢાળ $Ak \cos(\pi) = -Ak$ થાય,જે ઋણ છે.
તેથી,કળા $\phi = \pi$ હોવી જોઈએ.

(D) પરિભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = (M/l) dr$ છે,જ્યાં $M$ એ સળિયાનું કુલ દળ છે.
ધરીથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x)$ એ સળિયાના $x$ થી $l$ સુધીના ભાગને ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ.
$T(x) = \int_{x}^{l} (dm) \omega^2 r = \int_{x}^{l} \left(\frac{M}{l}\right) dr \omega^2 r$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{l} \int_{x}^{l} r dr = \frac{M \omega^2}{l} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{x}^{l}$
$T(x) = \frac{M \omega^2}{2l} (l^2 - x^2)$
આ સમીકરણ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે. $x = 0$ પર,$T(0) = \frac{1}{2} M \omega^2 l$. $x = l$ પર,$T(l) = 0$. આ પરવલય આકારનો આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) આપેલ છે:
પાણીમાં અવાજની ઝડપ,$V = 1500\, m/s$
સબમરીન $A$ ની ઝડપ,$V_A = 18\, km/hr = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$
સબમરીન $B$ ની ઝડપ,$V_B = 27\, km/hr = 27 \times \frac{5}{18} = 7.5\, m/s$
સ્ત્રોત આવૃત્તિ,$f_0 = 500\, Hz$
પગલું $1$: સબમરીન $A$ (અવલોકનકાર તરીકે) દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ:
$f' = f_0 \left( \frac{V - V_A}{V - V_B} \right) = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right)$
પગલું $2$: સબમરીન $A$ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે,જે સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,અને સબમરીન $B$ તેને પ્રાપ્ત કરે છે (અવલોકનકાર તરીકે):
$v = f'' = f' \left( \frac{V + V_B}{V + V_A} \right)$
$f'$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right) \left( \frac{1500 + 7.5}{1500 + 5} \right)$
$v = 500 \left( \frac{1495}{1492.5} \right) \left( \frac{1507.5}{1505} \right)$
$v \approx 500 \times 1.001675 \times 1.001661 \approx 501.67\, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v \approx 502\, Hz$.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,આડું લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ અને દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$.
સંતુલન માટે,આડા અને શિરોલંબ બંને દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
આપેલ છે: $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$,$q = 5.0\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$,$E = 2000\,V/m$,$g = 10\,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{5 \times 10^{-6} \times 2000}{2 \times 10^{-3} \times 10}$
$\tan \theta = \frac{10 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3}} = \frac{10}{20} = 0.5$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.5)$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ $EMF$ $E_{eq} = 1.5\, V + 1.5\, V = 3.0\, V$ છે.
બે કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{int} = 0.5\, \Omega + 0.5\, \Omega = 1.0\, \Omega$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{ext} + r_{int} + R_{wire} = 1.0\, \Omega + 1.0\, \Omega + (400\, cm \times 0.01\, \Omega/cm) = 2.0\, \Omega + 4.0\, \Omega = 6.0\, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3.0\, V}{6.0\, \Omega} = 0.5\, A$ છે.
વોલ્ટમીટર તારના $50\, cm$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે.
આ $50\, cm$ ના ભાગનો અવરોધ $R_{50} = 50\, cm \times 0.01\, \Omega/cm = 0.5\, \Omega$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $V = i \times R_{50} = 0.5\, A \times 0.5\, \Omega = 0.25\, V$ થશે.

(B) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બે પ્લેટોને $q_1$ અને $q_2$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટોની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_1 = +2\,\mu C$ અને $q_2 = +4\,\mu C$ છે.
તેથી,અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{2\,\mu C - 4\,\mu C}{2} = -1\,\mu C$ (મૂલ્યમાં,$1\,\mu C$) છે.
કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1\,\mu C}{1\,\mu F} = 1\,V$.

(B) બિંદુ $P$ પર ડાયપોલ $X$ (અક્ષીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ છે જે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર ડાયપોલ $Y$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ છે જે શિરોલંબ દિશામાં છે.
અહીં $B_1 = B_2$ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ સમક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નો વેગ સદિશ $\vec{v}$ પણ સમક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}$ અને $\vec{B}_{net}$ સમાંતર છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,તેમનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે,તેથી કણ પર લાગતું બળ $0$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ શોધીએ.
અહીં $u = -30\, cm$ અને $f = +20\, cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
આમ,$v = +60\, cm$ લેન્સની જમણી બાજુએ મળે છે.
જ્યારે અરીસો દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન બદલાતું નથી,તેનો અર્થ એ છે કે પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,એટલે કે લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ પર છે.
લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર $80\, cm$ છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60\, cm$ દૂર છે,તેથી અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $80 - 60 = 20\, cm$ છે.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 20\, cm$,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = 10\, cm$.
અંતર્ગોળ અરીસો ત્યારે જ આભાસી પ્રતિબિંબ આપે છે જ્યારે વસ્તુ ધ્રુવ $(P)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,અરીસાથી વસ્તુનું મહત્તમ અંતર જેના માટે આભાસી પ્રતિબિંબ રચાય છે તે તેની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું એટલે કે $10\, cm$ છે.

(D) પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{E}{r + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ ને આપવામાં આવતો પાવર $P = i^2 R$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \left(\frac{E}{r + R}\right)^2 R = \frac{E^2 R}{(r + R)^2}$ મળે છે.
મહત્તમ પાવર માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dP}{dR} = E^2 \left[ \frac{(r + R)^2 \cdot 1 - R \cdot 2(r + R)}{(r + R)^4} \right] = 0$.
આનું સાદું રૂપ $(r + R)^2 - 2R(r + R) = 0$ થાય છે.
$(r + R)$ વડે ભાગતા,આપણને $(r + R) - 2R = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r - R = 0$ અથવા $R = r$.
આમ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ કોષના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય ત્યારે પાવર મહત્તમ હોય છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\frac{dV}{dx} \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $dV = -E_x dx$.
બંને બાજુ $x = -5$ થી $x = 1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V_2}^{V_1} dV = -\int_{-5}^{1} (Ax + B) dx$
$V_1 - V_2 = -\int_{-5}^{1} (20x + 10) dx$
$V_1 - V_2 = -[10x^2 + 10x]_{-5}^{1}$
$V_1 - V_2 = -[(10(1)^2 + 10(1)) - (10(-5)^2 + 10(-5))]$
$V_1 - V_2 = -[(10 + 10) - (250 - 50)]$
$V_1 - V_2 = -[20 - 200]$
$V_1 - V_2 = -[-180] = 180\, V$.

(D) ન્યુક્લિયર દળ ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ છે.
ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ $A^{1/3}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R = R_0 A^{1/3})$,કદ $V$ એ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\rho = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$.
આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર દળ ઘનતા એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,તમામ ન્યુક્લિયસની દળ ઘનતા લગભગ સમાન હોય છે.
પરિણામે,$^{40}Ca$ અને $^{16}O$ ની દળ ઘનતાનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.

(B) ડાયપોલની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m\left(\frac{d}{2}\right)^2 + m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2 \cdot m \frac{d^2}{4} = \frac{md^2}{2}$
એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = pE \sin \theta = (qd) E \sin \theta$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$(qEd) \sin \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$. તેથી:
$(qEd) \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
$\alpha = \left(\frac{2qE}{md}\right) \theta$
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $\alpha = \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega^2 = \frac{2qE}{md}$
$\omega = \sqrt{\frac{2qE}{md}}$

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_0 = c B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
આપેલ છે કે $B_0 = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{2^2 + 1^2} = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5}$.
તેથી,$E_0 = 3 \times 10^8 \times 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5} = 4.8 \times 10^2 \sqrt{5}$.
તરંગ $-\hat k$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (કારણ કે ફેઝ $kz + \omega t$ છે).
પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec E \cdot \vec B = 0$,સદિશ $\vec E$ એ $(2\hat i + \hat j)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસતા: $\vec E \propto (-\hat i + 2\hat j)$.
ડોટ ગુણાકાર: $(-\hat i + 2\hat j) \cdot (2\hat i + \hat j) = -2 + 2 = 0$. આ લંબ હોવાની શરત સંતોષે છે.
ક્રોસ ગુણાકાર: $(-\hat i + 2\hat j) \times (2\hat i + \hat j) = -\hat k - 4\hat k = -5\hat k$. આ પ્રસરણની દિશા $-\hat k$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) સેચ્યુરેશન (સંતૃપ્ત) અવસ્થામાં,કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આઉટપુટ લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$V_{CC} - i_C R_C - V_{CE} = 0$
સેચ્યુરેશન પર $V_{CE} = 0$ હોવાથી:
$i_C = \frac{V_{CC}}{R_C} = \frac{10\,V}{1000\,\Omega} = 10\,mA = 10 \times 10^{-3}\,A$.
કરંટ ગેઈન $\beta$ એ કલેક્ટર કરંટ અને બેઝ કરંટનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{i_C}{i_B}$
અહીં $\beta = 250$ આપેલ છે,તેથી સેચ્યુરેશન માટે જરૂરી લઘુત્તમ બેઝ કરંટ $i_B$ નીચે મુજબ મળે:
$i_B = \frac{i_C}{\beta} = \frac{10\,mA}{250} = \frac{10 \times 10^{-3}\,A}{250} = 0.04 \times 10^{-3}\,A = 40 \times 10^{-6}\,A = 40\,\mu A$.

(C) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા રેખીય વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_0$ અને $r$ અંતર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\int_{r_0}^{r} E \, dr = -\int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \, dr = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r_0}{r} \right)$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = q(V_i - V_f) = q \Delta V$.
સ્થિતિમાનના તફાવતને મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = q \left( \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) \right)$.
અહીં $m, q, \lambda, \pi, \varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$v^2 \propto \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{\ln \left( \frac{r}{r_0} \right)}$.

(C) સૌ પ્રથમ,પરિપથનું અવલોકન કરો. અવરોધો $R_3, R_4$ અને $R_5$ શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R_3 + R_4 + R_5 = 20 + 5 + 25 = 50\,\Omega$ છે.
આ $R_s$ એ $R_2 = 10\,\Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_2 \times R_s}{R_2 + R_s} = \frac{10 \times 50}{10 + 50} = \frac{500}{60} = \frac{25}{3}\,\Omega$ છે.
હવે,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_p + R_6 = 15 + \frac{25}{3} + 30 = 45 + \frac{25}{3} = \frac{135 + 25}{3} = \frac{160}{3}\,\Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{15}{160/3} = \frac{15 \times 3}{160} = \frac{45}{160} = \frac{9}{32}\,A$ છે.

(A) લાઈન ઓફ સાઈટ કોમ્યુનિકેશન માટે રેન્જ $d$ નું સૂત્ર: $d = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$ છે.
આપેલ છે: $d = 50 \times 10^3\, m$,$R = 6.4 \times 10^6\, m$,$h_R = 70\, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$50 \times 10^3 = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times h_T} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 70}$.
$50000 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_T} + \sqrt{896 \times 10^6}$.
$50000 = \sqrt{12.8 \times 10^6} \times \sqrt{h_T} + 29933$.
$50000 - 29933 = 3577.7 \times \sqrt{h_T}$.
$20067 = 3577.7 \times \sqrt{h_T}$.
$\sqrt{h_T} \approx 5.61$.
$h_T \approx 31.47\, m \approx 32\, m$.

(A) $RL$ અથવા $RC$ સર્કિટમાં કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X = R$.
અહીં,$\omega = 1000 \text{ rad/s}$ અને $R = 1000 \Omega$ છે.
$RC$ સર્કિટ માટે,$X_C = \frac{1}{\omega C} = R \implies C = \frac{1}{\omega R} = \frac{1}{1000 \times 1000} = 10^{-6} \text{ F} = 1 \mu\text{F}$.
$RL$ સર્કિટ માટે,$X_L = \omega L = R \implies L = \frac{R}{\omega} = \frac{1000}{1000} = 1 \text{ H}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(A)$: $R = 1000 \Omega$,$C = 1 \mu\text{F}$. $X_C = \frac{1}{1000 \times 10^{-6}} = 1000 \Omega$. $X_C = R$ હોવાથી,કળા તફાવત $\frac{\pi}{4}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે ન્યુક્લિયસ $A$ નું દળ $2m$ છે,તેથી દરેક ન્યુક્લિયસ $B$ અને $C$ નું દળ $m$ છે. ધારો કે $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે. પ્રારંભિક વેગમાન $P_A = (2m)v_0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પ્રારંભિક વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ. ધારો કે $B$ નો વેગ $v$ છે. તો $C$ નો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v/2$ છે.
$P_f = m v - m(v/2) = m v / 2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $2m v_0 = m v / 2$,જે આપણને $v = 4v_0$ આપે છે.
હવે,$B$ અને $C$ ના વેગમાનની ગણતરી કરીએ:
$P_B = m v = m(4v_0) = 4m v_0$.
$P_C = m(v/2) = m(2v_0) = 2m v_0$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = h/P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_A = h / (2m v_0)$.
$\lambda_B = h / P_B = h / (4m v_0) = \frac{1}{2} \times \frac{h}{2m v_0} = \frac{\lambda_A}{2}$.
$\lambda_C = h / P_C = h / (2m v_0) = \lambda_A$.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda_B = \frac{\lambda_A}{2}$ અને $\lambda_C = \lambda_A$ છે.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\theta)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$
આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ $(D)$ $= 200\, cm = 2\, m = 200 \times 10^{-2}\, m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ $= 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{200 \times 10^{-2}}$
$\theta = \frac{1.22 \times 500}{200} \times 10^{-7}$
$\theta = 1.22 \times 2.5 \times 10^{-7}$
$\theta = 3.05 \times 10^{-7}\, \text{રેડિયન}$
$\theta = 305 \times 10^{-9}\, \text{રેડિયન}$

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $+y$ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા ઊભા તાર માટે,બિંદુ $P$ (જે $(d, d)$ પર સ્થિત છે) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ,એટલે કે $-\hat{k}$ દિશામાં છે.
$2$. $+x$ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા આડા તાર માટે,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ,એટલે કે $+\hat{k}$ દિશામાં છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}_{net} = \overrightarrow{B}_1 + \overrightarrow{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(\hat{k}) = 0$ થશે.

(A) સોલેનોઇડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_{ind}$ એ સૂત્ર $L_{ind} = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે કુલ આંટાની સંખ્યા $N$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ નિશ્ચિત (અચળ) છે,તેથી સમીકરણ $L_{ind} \propto \frac{1}{l}$ બને છે.
તેથી,સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ તેની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) જ્યારે યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં એક સ્લિટની સામે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી પારદર્શક શીટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમનું સ્થાનાંતર $y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે (આકૃતિમાં $a$ તરીકે આપેલ છે).
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થાનાંતર $n$ ફ્રિન્જ પહોળાઈ જેટલું છે,તેથી $y = n\beta$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{D}{a}(\mu - 1)t = n \frac{\lambda D}{a}$
બંને બાજુથી $\frac{D}{a}$ ને દૂર કરતા:
$(\mu - 1)t = n\lambda$
તેથી,$t = \frac{n\lambda}{(\mu - 1)}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ એ $\frac{n\lambda}{(\mu - 1)}$ છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા $U_{total}$ એ ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા (સ્વ-ઊર્જા) અને ડાયપોલની વિદ્યુતભાર $Q$ સાથેની આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. ડાયપોલની સ્વ-ઊર્જા ($+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો $d$ અંતરે છે) $U_{dipole} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d}$ છે.
$2$. ડાયપોલની $Q$ સાથેની આંતરક્રિયા ઊર્જા $U_{interaction} = V_Q(+q) + V_Q(-q) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{q}{D+d} - \frac{q}{D} \right)$ છે.
$3$. $D >> d$ હોવાથી,દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{D+d} \approx \frac{1}{D} (1 - d/D) = \frac{1}{D} - \frac{d}{D^2}$.
$4$. આ કિંમત આંતરક્રિયા ઊર્જામાં મૂકતા: $U_{interaction} \approx \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0} (\frac{1}{D} - \frac{d}{D^2} - \frac{1}{D}) = -\frac{qQd}{4\pi \varepsilon_0 D^2}$.
તેથી,$U_{total} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d} - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQd}{D^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{d} - \frac{qQd}{D^2} \right]$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 50\,\Omega$ છે.
તેને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે શ્રેણીમાં જોડેલ અવરોધ $R = 5\,k\Omega = 5000\,\Omega$ છે.
પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન માટેનો પ્રવાહ $I_g = 4\,mA = 4 \times 10^{-3}\,A$ છે.
વોલ્ટમીટર દ્વારા માપી શકાતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $V$ નું સૂત્ર $V = I_g(G + R)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 4 \times 10^{-3}\,A \times (50\,\Omega + 5000\,\Omega)$.
$V = 4 \times 10^{-3} \times 5050$.
$V = 4 \times 5.05 = 20.2\,V$.
તેથી,માપી શકાતો મહત્તમ વોલ્ટેજ $20\,V$ ની નજીક છે.

(A) આપેલ છે:
લોડ અવરોધ $R_L = 1\,k\Omega = 1000\,\Omega$
ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ $\Delta V_{in} = 10\,mV = 10 \times 10^{-3}\,V$
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_C = 3\,mA = 3 \times 10^{-3}\,A$
બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_B = 15\,\mu A = 15 \times 10^{-6}\,A$
$1$. ઇનપુટ અવરોધ $(r_{in})$:
ઇનપુટ અવરોધ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજમાં ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$r_{in} = \frac{\Delta V_{in}}{\Delta I_B} = \frac{10 \times 10^{-3}}{15 \times 10^{-6}} = \frac{10000}{15} \approx 666.67\,\Omega = 0.67\,k\Omega$
$2$. વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$:
વોલ્ટેજ ગેઇન એ આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ફેરફાર અને ઇનપુટ વોલ્ટેજમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ફેરફાર $\Delta V_{out} = \Delta I_C \times R_L = (3 \times 10^{-3}\,A) \times (1000\,\Omega) = 3\,V$
$A_v = \frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}} = \frac{3\,V}{10 \times 10^{-3}\,V} = \frac{3}{0.01} = 300$
આમ,ઇનપુટ અવરોધ $0.67\,k\Omega$ છે અને વોલ્ટેજ ગેઇન $300$ છે.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $\vec E = E_0 \cos(kx - \omega t)$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 6 \times 10^{14} \, rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = 6 \times 10^{14} \, Hz$ થાય.
ફોટોનની ઉર્જા $E = hf$ છે. $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{14}} = 5000 \, \mathring{A}$.
તેથી,$E = \frac{12400}{5000} = 2.48 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = E - \phi$,જ્યાં $\phi = 2 \, eV$.
$eV_s = 2.48 - 2 = 0.48 \, eV$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.48 \, V$ મળે છે.

(B) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ $(AM)$ તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ આ મુજબ છે:
$v_{AM} = (v_0 + A_m \sin \omega_m t) \sin \omega_c t$
અહીં મેસેજ સિગ્નલ $A \cos \omega t$ છે અને કેરિયર વેવ $v_0 \sin \omega_0 t$ છે,તેથી મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલ થશે:
$v_{AM} = (v_0 + A \cos \omega t) \sin \omega_0 t$
$v_{AM} = v_0 \sin \omega_0 t + A \cos \omega t \sin \omega_0 t$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A \cos \omega t \sin \omega_0 t = \frac{A}{2} [2 \sin \omega_0 t \cos \omega t] = \frac{A}{2} [\sin(\omega_0 + \omega)t + \sin(\omega_0 - \omega)t]$
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{AM} = v_0 \sin \omega_0 t + \frac{A}{2} \sin(\omega_0 + \omega)t + \frac{A}{2} \sin(\omega_0 - \omega)t$
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -0.4\,m = -40\,cm$ છે.
ચત્તું (આભાસી) પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,મોટવણી $m = +5$ લેવામાં આવે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ અને વસ્તુ અંતર $u$ ના સંદર્ભમાં મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f}{f - u}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{-40}{-40 - u}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(-40 - u) = -40$.
$-200 - 5u = -40$.
$-5u = 160$.
$u = -32\,cm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $u = -0.32\,m$.
તેથી,અરીસાને તમારા ચહેરાથી $0.32\,m$ ના અંતરે રાખવો જોઈએ.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પ્રથમ,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ નક્કી કરવા માટે આપણે પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધીએ છીએ.
$10 \, \Omega$ નો અવરોધ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે,પરંતુ કેપેસિટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,પ્રવાહ $10 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
$2 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $12 \, \Omega$ થાય છે.
આ સંયોજન $4 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે: $R_p = \frac{12 \times 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3 \, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 6 \, \Omega + 3 \, \Omega = 9 \, \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{72 \, V}{9 \, \Omega} = 8 \, A$ છે.
$4 \, \Omega$ ના અવરોધ (અને $2 \, \Omega$ તથા $10 \, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ) પરનો વોલ્ટેજ $V_p = I \times R_p = 8 \, A \times 3 \, \Omega = 24 \, V$ છે.
$2 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ ના અવરોધો ધરાવતી શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{24 \, V}{2 \, \Omega + 10 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે: $V_c = I' \times 10 \, \Omega = 2 \, A \times 10 \, \Omega = 20 \, V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c = 10 \, \mu F \times 20 \, V = 200 \, \mu C$ થાય.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = N I A \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = 100$,$I = 3\,A$,અને $A = 5\,cm \times 2\,cm = 10^{-3}\,m^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3\,Am^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 1\,T$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં છે.
શરૂઆતમાં કોઈલ $X-Z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે. જ્યારે કોઈલને $Z$-અક્ષની આસપાસ $45^{\circ}$ નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ છે,અને તેનું મૂલ્ય $\tau = M B \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 0.3 \times 1 \times \sin 45^{\circ} = 0.3 \times 0.707 = 0.212\,Nm$.

(D) સ્થિર વિદ્યુતભાર $Q$ પર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં લાગતું બળ માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ ને કારણે હોય છે,કારણ કે $\vec F = Q\vec E$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$\vec E = c(\vec B \times \hat k)$,જ્યાં $\hat k$ એ પ્રસરણની દિશા ($z$-અક્ષ) છે.
આપેલ છે $\vec B = B_0 \cos(kz - \omega t) \hat i + B_1 \cos(kz - \omega t) \hat j$.
તેથી $\vec E = c [ (B_0 \hat i + B_1 \hat j) \times \hat k ] \cos(kz - \omega t) = c [ -B_0 \hat j + B_1 \hat i ] \cos(kz - \omega t)$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = c \sqrt{B_0^2 + B_1^2} |\cos(kz - \omega t)|$ છે.
મહત્તમ બળ $F_0 = Q E_{max} = Q c \sqrt{B_0^2 + B_1^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_0 = 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (2 \times 10^{-6})^2} \approx 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times 3 \times 10^{-5} = 0.9 \, N$.
rms બળ $F_{rms} = \frac{F_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.9}{1.414} \approx 0.636 \, N$.
આમ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $0.6 \, N$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ લૂપના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S$ છે,જેમાં $PQ$ બાજુ તારથી $a$ અંતરે છે. લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ છે.
$1$. $PQ$ બાજુ માટે (લંબાઈ $a$,અંતર $a$): પ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,બળ $F_1$ તારથી દૂર (અપાકર્ષી) લાગે છે,જેનું મૂલ્ય $F_1 = I_2 B_1 a = I_2 \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a} \right) a = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}$ છે.
$2$. $RS$ બાજુ માટે (લંબાઈ $a$,અંતર $2a$): પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,બળ $F_2$ તારની તરફ (આકર્ષી) લાગે છે,જેનું મૂલ્ય $F_2 = I_2 B_2 a = I_2 \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi (2a)} \right) a = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi}$ છે.
$3$. ઉપરની અને નીચેની બાજુઓ માટે: આ ભાગો પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
$4$. પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} - \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi}$ છે. $F_1 > F_2$ હોવાથી,પરિણામી બળ અપાકર્ષી છે.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
પ્રથમ બામર રેખા માટે $(n_i = 3, n_f = 2)$: $\frac{1}{660} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$ .... $(1)$
બીજી બામર રેખા માટે $(n_i = 4, n_f = 2)$: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = \frac{3R}{16}$ .... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda}{660} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{80}{108} = \frac{20}{27}$
$\lambda = 660 \times \frac{20}{27} = \frac{13200}{27} \approx 488.88\,nm \approx 488.9\,nm$.

(A) કેપેસીટરને ચાર્જ કર્યા પછી અલગ કરવામાં આવતું હોવાથી તેના પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_i = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$.
અંતિમ કેપેસીટન્સ $C_f = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$.
વિદ્યુતભાર $q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$.
કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલું કાર્ય $W = \Delta U = U_f - U_i = \frac{q^2}{2C_f} - \frac{q^2}{2C_i} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(5 \times 10^{-6})^2}{2} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-6}} - \frac{1}{5 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{5 - 2}{10 \times 10^{-6}} \right) = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{3}{10 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{75 \times 10^{-12}}{20 \times 10^{-6}} = 3.75 \times 10^{-6}\,J$.

(B) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. તેને ચાર સમાન બાજુઓવાળા ચોરસમાં વાળવામાં આવતા,દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ થાય છે.
બિંદુ $E$ એ $CD$ બાજુનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$DE$ વિભાગનો અવરોધ $R/8$ અને $EC$ વિભાગનો અવરોધ $R/8$ થાય છે.
$E$ અને $C$ વચ્ચેનો પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે:
શાખા $1$: $EC$ વિભાગ,જેનો અવરોધ $R_1 = R/8$ છે.
શાખા $2$: $E-D-A-B-C$ માર્ગ,જેનો અવરોધ $R_2 = R_{ED} + R_{DA} + R_{AB} + R_{BC} = R/8 + R/4 + R/4 + R/4 = R/8 + 3R/4 = 7R/8$ થાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/8} + \frac{1}{7R/8} = \frac{8}{R} + \frac{8}{7R} = \frac{56+8}{7R} = \frac{64}{7R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{7R}{64}$.

(B) અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,એક કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ બીજી કોઈલમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\phi = MI$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,જ્યારે કોઈલ $P$ માંથી $I_P = 3\, A$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે કોઈલ $Q$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_Q = 10^{-3}\, Wb$ છે.
સંબંધ $\phi_Q = M I_P$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10^{-3} = M \times 3$
$M = \frac{1}{3} \times 10^{-3}\, H$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યારે કોઈલ $Q$ માંથી $I_Q = 2\, A$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે કોઈલ $P$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_P = M I_Q$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $M$ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન હોવાથી:
$\phi_P = (\frac{1}{3} \times 10^{-3}) \times 2$
$\phi_P = \frac{2}{3} \times 10^{-3}\, Wb$
$\phi_P = 0.666... \times 10^{-3}\, Wb = 6.67 \times 10^{-4}\, Wb$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{\rho \ell^2}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તારનું કદ છે. ખેંચાણ દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$R \propto \ell^2$.
જ્યારે લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = R \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12\,\Omega$ થાય છે.
આ $12\,\Omega$ ના તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે. તારના ભાગનો અવરોધ તે કેન્દ્ર પર આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં હોય છે.
વર્તુળ બે બિંદુઓ દ્વારા બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે: એક ભાગ $60^o$ નો ખૂણો આંતરે છે અને બીજો $360^o - 60^o = 300^o$ નો ખૂણો આંતરે છે.
નાના ચાપનો અવરોધ $(R_1)$ $R_1 = 12 \times \frac{60}{360} = 2\,\Omega$ છે.
મોટા ચાપનો અવરોધ $(R_2)$ $R_2 = 12 \times \frac{300}{360} = 10\,\Omega$ છે.
આ બે અવરોધો આ બે બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2 \times 10}{2 + 10} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\,\Omega$ થાય.

(A) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
ધારો કે $G = 50\, \Omega$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_g = 0.002\, A$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ છે.
એમીટરની જરૂરી રેન્જ $I = 0.5\, A$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{I_g \cdot G}{I - I_g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{0.002 \times 50}{0.5 - 0.002}$
$S = \frac{0.1}{0.498}$
$S \approx 0.2008\, \Omega$
નજીકની કિંમત લેતા,$S \approx 0.2\, \Omega$ મળે છે.

(B) પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,કિરણોએ તેમના માર્ગ પર પાછા ફરવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કિરણો સમતલ અરીસા $M$ પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જ્યારે લેન્સ સીધો અરીસા પર હોય,ત્યારે $A$ પરની વસ્તુ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ. આપેલ છે $OA = f = 18\, cm$.
સપ્રમાણ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(R_1 = R, R_2 = -R)$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
$f = 18\, cm$ હોવાથી,આપણને $R = 18\, cm$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: બહિર્ગોળ લેન્સ અને અરીસાની વચ્ચે પ્રવાહીનો લેન્સ બને છે. આ પ્રવાહી લેન્સ એ સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ છે જેની વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 18\, cm$ અને સપાટ સપાટી માટે $\infty$ છે.
પ્રવાહી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{(\mu_l - 1)}{R}$
બહિર્ગોળ લેન્સ $(f_1 = 18\, cm)$ અને પ્રવાહી લેન્સ $(f_l)$ નું સંયોજન $F = OA' = 27\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સંયોજનના સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{18} - \frac{(\mu_l - 1)}{18}$
$\frac{1}{27} = \frac{1 - \mu_l + 1}{18} = \frac{2 - \mu_l}{18}$
$18 = 27(2 - \mu_l)$
$2 = 3(2 - \mu_l)$
$2 = 6 - 3\mu_l$
$3\mu_l = 4$
$\mu_l = \frac{4}{3}$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને સમાંતર હોવાથી,કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
ટોર્સન બેન્ડ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા પુનઃસ્થાપક ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = C \phi$ છે,જ્યાં $C = 10^{-6} \, N \cdot m/rad$ અને $\phi = 10^{\circ} = 10 \times \frac{\pi}{180} \, rad$ છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $C \phi = N I A B$.
આપેલ મૂલ્યો: $N = 175$,$I = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$,$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$,$C = 10^{-6} \, N \cdot m/rad$,અને $\phi = \frac{\pi}{18} \, rad$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-6} \times \frac{\pi}{18} = 175 \times 10^{-3} \times 10^{-4} \times B$.
$B = \frac{10^{-6} \times \pi}{18 \times 175 \times 10^{-7}} = \frac{10 \times \pi}{18 \times 175} \approx \frac{31.4}{3150} \approx 0.0099 \approx 10^{-2} \, T$.

(D) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I(t)$ છે.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બાહ્ય કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ માત્ર સોલેનોઈડની અંદરના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે છે (કારણ કે આદર્શ સોલેનોઈડની બહાર ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે). તેથી,$\phi = B \cdot A = (\mu_0 n I(t))(\pi R^2)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi R^2 \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $I(t) = kt e^{-\alpha t}$,તેથી $\frac{dI}{dt} = k(e^{-\alpha t} + t(-\alpha)e^{-\alpha t}) = k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$.
તેથી,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$.
$t = 0$ સમયે,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k(1) = -\text{અચળાંક}$. પ્રેરિત પ્રવાહ $i_{ind} = \frac{\varepsilon}{R_{coil}}$ હોવાથી,$t = 0$ સમયે પ્રવાહ ઋણ છે.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ $(1 - \alpha t)$ પદ $t = 1/\alpha$ સમયે શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય અક્ષને ઓળંગે છે.
$t > 1/\alpha$ માટે,$(1 - \alpha t)$ પદ ઋણ બને છે,જેનાથી પ્રેરિત પ્રવાહ ધન બને છે.
આ વર્તણૂક તે આલેખને અનુરૂપ છે જે ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,$t = 1/\alpha$ પર $t$-અક્ષને ઓળંગે છે,ધન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ $t \to \infty$ થતા શૂન્ય તરફ ઘટે છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન એ સંઘાત પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે કણ $x$ અને $y$ ના વેગમાન અનુક્રમે $\vec{p}_x$ અને $\vec{p}_y$ છે.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે એક દિશાને ધન અને બીજી દિશાને ઋણ લઈએ છીએ.
વેગમાનનું મૂલ્ય ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સાથે $p = \frac{h}{\lambda}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ધારો કે $p_x = \frac{h}{\lambda_x}$ અને $p_y = \frac{h}{\lambda_y}$.
કણ $P$ નું અંતિમ વેગમાન $p_f = |p_x - p_y|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p_f = |\frac{h}{\lambda_x} - \frac{h}{\lambda_y}| = h |\frac{1}{\lambda_x} - \frac{1}{\lambda_y}|$.
કારણ કે $p_f = \frac{h}{\lambda}$,તેથી $\frac{h}{\lambda} = h |\frac{\lambda_y - \lambda_x}{\lambda_x \lambda_y}|$.
આમ,$\lambda = \frac{\lambda_x \lambda_y}{|\lambda_x - \lambda_y|}$.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે.
અહીં $f = 20 \ cm$ અને $|m| = 2$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -2$.
$-2 = \frac{20}{20 + x_1} \implies -40 - 2x_1 = 20 \implies -2x_1 = 60 \implies x_1 = 30 \ cm$.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ માટે,$m = +2$.
$2 = \frac{20}{20 + x_2} \implies 40 + 2x_2 = 20 \implies 2x_2 = -20 \implies x_2 = 10 \ cm$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{x_1}{x_2} = \frac{30}{10} = 3:1$ થાય.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\Delta\theta)$ નું સૂત્ર: $\Delta\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m$
$d = 250\, cm = 2.5\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta\theta = \frac{1.22 \times 600 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = \frac{732 \times 10^{-9}}{2.5}$
$\Delta\theta = 292.8 \times 10^{-9}\, rad = 2.928 \times 10^{-7}\, rad$
આ મૂલ્ય $3.0 \times 10^{-7}\, rad$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ છે જે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આમ,આઉટપુટ $Y = A + B$,જે $OR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
ટ્રુથ ટેબલ:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

તેથી,સમકક્ષ ગેટ $OR$ ગેટ છે.

(D) સૂર્યપ્રકાશની તીવ્રતા $I = 50\, W/m^2$ છે.
કોઈ સપાટી માટે,રેડિયેશન દબાણ $P = \frac{I}{c}(1 + r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરાવર્તન ગુણાંક છે.
અહીં,$r = 0.25$ (કારણ કે $25\%$ પરાવર્તિત થાય છે) અને શોષણ ગુણાંક $a = 0.75$ છે.
લાગતું દબાણ $P = \frac{I}{c} \times a + \frac{2I}{c} \times r$ થશે.
$P = \frac{I}{c} (0.75 + 2 \times 0.25) = \frac{I}{c} (0.75 + 0.50) = 1.25 \frac{I}{c}$.
આપેલ $I = 50\, W/m^2$ અને $c = 3 \times 10^8\, m/s$ માટે,દબાણ $P = 1.25 \times \frac{50}{3 \times 10^8} = \frac{62.5}{3} \times 10^{-8} \approx 20.83 \times 10^{-8}\, N/m^2$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A = 1\, m^2$ હોવાથી,બળ $F = P \times A = 20.83 \times 10^{-8}\, N$ થાય.
આ મૂલ્ય $20 \times 10^{-8}\, N$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવર એન્ટેનાનું ભૌતિક કદ સામાન્ય રીતે પ્રસારિત અથવા પ્રાપ્ત થતા સિગ્નલની તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે સંબંધિત હોય છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = c/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $f$ એ કેરિયર ફ્રીક્વન્સી છે. એન્ટેનાની લંબાઈ $L$ એ $\lambda$ ના પ્રમાણમાં હોય છે (દા.ત.,$L = \lambda/2$ અથવા $L = \lambda/4$).
તેથી,$L \propto 1/f$.
આનો અર્થ એ છે કે ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવર એન્ટેનાનું ભૌતિક કદ કેરિયર ફ્રીક્વન્સીના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) બિંદુ $P(D, 0)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ચાર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રોના $y$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
$y = \pm d$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારોની જોડીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2kq}{(d^2+D^2)} \cos \theta_1 = \frac{2kqD}{(d^2+D^2)^{3/2}}$ છે.
$y = \pm 2d$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારોની જોડીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{2kq}{((2d)^2+D^2)} \cos \theta_2 = \frac{2kqD}{((2d)^2+D^2)^{3/2}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2 = 2kqD \left[ (d^2+D^2)^{-3/2} - (4d^2+D^2)^{-3/2} \right]$.
કૌંસમાંથી $D^2$ સામાન્ય લેતા: $E = \frac{2kqD}{D^3} \left[ (1 + \frac{d^2}{D^2})^{-3/2} - (1 + \frac{4d^2}{D^2})^{-3/2} \right]$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x << 1$:
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ (1 - \frac{3d^2}{2D^2}) - (1 - \frac{6d^2}{D^2}) \right]$.
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{6d^2}{D^2} - \frac{3d^2}{2D^2} \right] = \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{9d^2}{2D^2} \right] = \frac{9kqd^2}{D^4}$.
આમ,$E \propto \frac{1}{D^4}$.

(C) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ નીચે મુજબ છે:
$Q_{total} = C V + n C V = (n + 1) C V$
$2$. બેટરી દૂર કર્યા પછી,સિસ્ટમમાં કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જ્યારે પ્રથમ કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K C$ થાય છે. બીજું કેપેસિટર $n C$ કેપેસિટન્સ સાથે યથાવત રહે છે.
$4$. કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં હોવાથી,તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c$ ધરાવે છે. સિસ્ટમનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = K C + n C = (K + n) C$ થાય છે.
$5$. નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_c = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{(n + 1) C V}{(K + n) C} = \frac{(n + 1) V}{K + n}$

(D) વાહકની અવરોધકતા $\rho$ શોધવાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{m_e}{n e^2 \tau}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 8.5 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$\tau = 25 \ fs = 25 \times 10^{-15} \ s$
$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (25 \times 10^{-15})}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 25 \times 10^{-15}}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{544 \times 10^{-25}}$
$\rho \approx 0.0167 \times 10^{-6} \ \Omega m \approx 1.67 \times 10^{-8} \ \Omega m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આશરે કિંમત $10^{-8} \ \Omega m$ મળે છે.

(B) $1$. $Optical\, Fiber\, Communication - Infrared\, light$: ઓપ્ટિકલ ફાઈબર કોમ્યુનિકેશનમાં પ્રકાશના સંકેતોનો ઉપયોગ થાય છે, જે સામાન્ય રીતે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર $(850\, nm, 1300\, nm, 1550\, nm)$ માં હોય છે, જેથી કાચના ફાઈબરમાં એટેન્યુએશન અને સ્કેટરિંગ ઘટાડી શકાય.
$2$. $Radar - Radio\, waves$: રડાર (રેડિયો ડિટેક્શન એન્ડ રેન્જિંગ) સિસ્ટમ દૂરના પદાર્થોની સ્થિતિ, વેગ અને અન્ય લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે રેડિયો તરંગોનો ઉપયોગ કરે છે.
$3$. $Sonar - Ultrasound$: સોનાર (સાઉન્ડ નેવિગેશન એન્ડ રેન્જિંગ) પાણીની અંદર અથવા રોબોટિક્સમાં પદાર્થોને શોધવા માટે અલ્ટ્રાસોનિક ધ્વનિ તરંગોનો ઉપયોગ કરે છે, કારણ કે આ તરંગો માધ્યમમાં અસરકારક રીતે પ્રસરણ કરી શકે છે.
$4$. $Mobile\, Phones - Microwaves$: મોબાઈલ ફોન હેન્ડસેટ અને બેઝ સ્ટેશન વચ્ચે વાયરલેસ કોમ્યુનિકેશન માટે માઇક્રોવેવ ફ્રીક્વન્સી ($GHz$ રેન્જમાં) નો ઉપયોગ કરે છે.
તેથી, સાચી જોડી $A-Q, B-S, C-P, D-R$ છે.

(D) આલેખ $\ln R(T)$ અને $1/T^2$ વચ્ચે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
અહીં,$y = \ln R(T)$ અને $x = 1/T^2$ છે.
તેથી,$\ln R(T) = m(1/T^2) + c$,જ્યાં $m$ એ ઋણ ઢાળ છે અને $c$ એ અંતઃખંડ છે.
ધારો કે $1/T^2 = 0$ પર અંતઃખંડ $\ln R_0$ છે. તો $\ln R(T) = -k(1/T^2) + \ln R_0$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આને $\ln R(T) = \ln R_0 - k/T^2$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $R(T) = R_0 e^{-k/T^2}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો આપણે $k = T_0^2$ લઈએ,તો $R(T) = R_0 e^{-T_0^2/T^2}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો અને ઋણ ઢાળને ધ્યાનમાં લેતા,વિકલ્પ $D$ એ ગાણિતિક રીતે સૌથી નજીકનું સ્વરૂપ છે.