JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રસારિત તીવ્રતા $I_1 = I_0/2$ થાય છે.
$P_3$ ની પાસ એક્સિસ $P_1$ ની સાપેક્ષમાં ક્રોસ થયેલી છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$P_2$ ની પાસ એક્સિસ $P_3$ ની પાસ એક્સિસ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. તેથી,$P_2$ અને $P_1$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_2$ માંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$ મળે છે.
$P_3$ અને $P_2$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
ફરીથી મેલસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_3$ માંથી પ્રસારિત અંતિમ તીવ્રતા $I = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (3I_0/8) \times (1/4) = 3I_0/32$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $(I_0/I) = 32/3 \approx 10.67$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતાનું સંકલન કરીને $Q$ અને $R$ ના પદમાં અચળાંક $k$ શોધીએ:
$2Q = \int_{0}^{R} \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_{0}^{R} r^3 dr = 4\pi k \frac{R^4}{4} = \pi k R^4$.
તેથી,$k = \frac{2Q}{\pi R^4}$.
હવે,ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રથી $a$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શોધીએ:
$E(4\pi a^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{0}^{a} (kr) 4\pi r^2 dr = \frac{4\pi k}{\varepsilon_0} \frac{a^4}{4} = \frac{\pi k a^4}{\varepsilon_0}$.
$E = \frac{k a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{(2Q/\pi R^4) a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4}$.
વિદ્યુતભાર $A$ (અથવા $B$) પર કોઈ બળ ન લાગે તે માટે,ગોળા દ્વારા લાગતું બળ અને બીજા વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોવું જોઈએ:
$|qE| = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|Q||-Q|}{(2a)^2} \implies Q \left( \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4} \right) = \frac{Q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{a^2}{2 R^4} = \frac{1}{16 a^2} \implies a^4 = \frac{R^4}{8} \implies a = \frac{R}{8^{1/4}} = 8^{-1/4}R$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(KE)}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 10^{-3}} \approx 0.02248 \, m = 2.248 \, cm$.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{R} = \frac{2}{2.248} \approx 0.8896$,તેથી $\theta \approx 62.8^\circ$.
બહાર નીકળવાના બિંદુ $T$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = R(1 - \cos \theta) = 2.248(1 - \cos(62.8^\circ)) \approx 2.248(1 - 0.457) \approx 1.22 \, cm$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. બહાર નીકળવાના બિંદુ $T$ થી પડદા સુધીનું અંતર $8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$ છે.
વધારાનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $\Delta y = (6 \, cm) \tan \theta = 6 \times \tan(62.8^\circ) \approx 6 \times 1.945 \approx 11.67 \, cm$.
કુલ અંતર $d = y + \Delta y = 1.22 + 11.67 = 12.89 \, cm$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $12.87 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
ન્યુક્લિયસ $A$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2, A} = 10 \, min$. $t = 60 \, min$ પછી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 60/10 = 6$.
ક્ષય પામ્યા વગરના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A = N_0 / 2^6 = N_0 / 64$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $D_A = N_0 - N_A = N_0(1 - 1/64) = 63N_0 / 64$.
ન્યુક્લિયસ $B$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2, B} = 20 \, min$. $t = 60 \, min$ પછી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 60/20 = 3$.
ક્ષય પામ્યા વગરના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B = N_0 / 2^3 = N_0 / 8$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $D_B = N_0 - N_B = N_0(1 - 1/8) = 7N_0 / 8$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $D_A / D_B = (63N_0 / 64) / (7N_0 / 8) = (63/64) \times (8/7) = 9/8$.

(A) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર $(A_m)$ અને કેરિયર વેવના કંપવિસ્તાર $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{2}{4} = 0.5$.
કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $f_c$ એ $2 \pi f_c = 20000 \pi$ પરથી મળે છે,જે $f_c = 10000 \text{ Hz} = 10 \text{ kHz}$ આપે છે.
મોડ્યુલેટિંગ ફ્રીક્વન્સી $f_m$ એ $2 \pi f_m = 2000 \pi$ પરથી મળે છે,જે $f_m = 1000 \text{ Hz} = 1 \text{ kHz}$ આપે છે.
લોઅર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $(LSB)$ $f_c - f_m = 10 \text{ kHz} - 1 \text{ kHz} = 9 \text{ kHz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.5$ છે અને લોઅર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $9 \text{ kHz}$ છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં સ્વિચ બંધ કર્યા પછી સમય $t$ પરનો પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$t = 0$ થી $t = \frac{L}{R}$ ના સમયગાળામાં બેટરીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહનું સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરવાથી મળે છે:
$q = \int_{0}^{\frac{L}{R}} i(t) dt = \int_{0}^{\frac{L}{R}} \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}) dt$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$q = \frac{E}{R} \left[ t + \frac{L}{R} e^{-\frac{Rt}{L}} \right]_{0}^{\frac{L}{R}}$
$q = \frac{E}{R} \left[ (\frac{L}{R} + \frac{L}{R} e^{-1}) - (0 + \frac{L}{R} e^{0}) \right]$
$q = \frac{E}{R} \left[ \frac{L}{R} + \frac{L}{Re} - \frac{L}{R} \right]$
$q = \frac{E}{R} \cdot \frac{L}{Re} = \frac{EL}{eR^2}$
અહીં $e \approx 2.718$ હોવાથી:
$q = \frac{EL}{2.7R^2}$

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી તરંગનું સમીકરણ $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \, T$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 23.9 \times 10^9 \approx 1.5 \times 10^{11} \, rad/s$ છે.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\omega}{c} = \frac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 \, m^{-1}$ છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે $x$ અથવા $y$ દિશામાં હોય છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રસરણની દિશા $(z)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોવું જોઈએ. આમ,$y$ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$ દિશામાં હોય છે. સાચું સ્વરૂપ $\vec B = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 z - 1.5 \times 10^{11} t) \hat i$ છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા મર્યાદિત સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
અહીં,તાર $AB$ ની લંબાઈ $6\, cm$ છે,તેથી કેન્દ્રથી દરેક છેડાનું અંતર $3\, cm$ છે.
બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $d = 4\, cm$ છે ($3-4-5$ ત્રિકોણની ભૂમિતિ મુજબ).
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = \theta$,જ્યાં $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5} = 0.6$.
તેથી,$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(2 \sin \theta)$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(10^{-7} \times 4\pi) \times 5}{4\pi \times (4 \times 10^{-2})} \times 2 \times \frac{3}{5}$.
$B = \frac{10^{-7} \times 5}{4 \times 10^{-2}} \times \frac{6}{5} = \frac{10^{-5} \times 5}{4} \times 1.2 = 1.25 \times 1.2 \times 10^{-5} = 1.5 \times 10^{-5}\, T$.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ થી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 3)$ માં પ્રથમ કૂદકા માટે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં બીજા કૂદકા માટે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(5/36)}{R(7/144)} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.

(D) ધારો કે $C$ એ ઘન $(\mu_2)$ અને પ્રવાહી $(\mu_1)$ વચ્ચેની આંતર સપાટી માટે ક્રાંતિકોણ છે.
$E$ બિંદુએ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે,$BC$ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i'$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,$i' > C$.
ભૂમિતિ પરથી,$AB$ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ $r$ એ $i'$ સાથે $r = 90^\circ - i'$ સંબંધ ધરાવે છે.
$i' > C$ હોવાથી,$90^\circ - r > C$,અથવા $r < 90^\circ - C$.
$AB$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$.
$\sin$ એ વધતું વિધેય હોવાથી,$\sin r < \sin(90^\circ - C) = \cos C$.
તેથી,$\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \cos C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \frac{\mu_1}{\mu_2}$,તેથી $\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \frac{\mu_1^2}{\mu_2^2}} = \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2}$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\mu_1 \sin \theta < \mu_2 \left( \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_2} \right) = \sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}$.
$\sin \theta < \frac{\sqrt{\mu_2^2 - \mu_1^2}}{\mu_1} = \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.
આમ,$\theta < \sin^{-1} \sqrt{\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} - 1}$.

(B) એમીટર માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $R_A$ જોડવામાં આવે છે.
$I_g G = (I_0 - I_g) R_A$
$R_A = \left( \frac{I_g}{I_0 - I_g} \right) G$
વોલ્ટમીટર માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં અવરોધ $R_V$ જોડવામાં આવે છે.
$I_g (G + R_V) = V = G I_0$
$G + R_V = \frac{G I_0}{I_g}$
$R_V = \frac{G I_0}{I_g} - G = G \left( \frac{I_0 - I_g}{I_g} \right)$
હવે,ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$R_A R_V = \left( \frac{I_g}{I_0 - I_g} G \right) \times \left( \frac{I_0 - I_g}{I_g} G \right) = G^2$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{R_A}{R_V} = \frac{\left( \frac{I_g}{I_0 - I_g} \right) G}{G \left( \frac{I_0 - I_g}{I_g} \right)} = \left( \frac{I_g}{I_0 - I_g} \right)^2$