JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) જ્યારે બોટલને $x$ અંતર જેટલી નીચે દબાવવામાં આવે ત્યારે લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F = A \rho g x$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ બોટલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$F = m \omega^2 x$,જ્યાં $m$ એ બોટલની અંદરના પાણીનું દળ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\pi r^2 \rho g x = m \omega^2 x$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{m}}$.
અહીં $m = \rho V$,જ્યાં $V = 310\, ml = 310 \times 10^{-6}\, m^3$ અને $r = 2.5 \times 10^{-2}\, m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{\rho V}} = r \sqrt{\frac{\pi g}{V}}$.
$\omega = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{3.14 \times 10}{310 \times 10^{-6}}} = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{31.4}{310 \times 10^{-6}}} \approx (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{10^5} \approx 2.5 \times 316 \times 10^{-2} \approx 7.9\, rad\, s^{-1}$.

(C) આપેલ છે,કંપનવિસ્તાર $A = 5\, cm$ અને સ્થાનાંતર $x = 4\, cm$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં વેગનું મૂલ્ય $|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x = 4\, cm$ પર $|v| = |a|$:
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega \sqrt{5^2 - 4^2} = 4\omega^2$
$\omega \sqrt{25 - 16} = 4\omega^2$
$3\omega = 4\omega^2$
$\omega = \frac{3}{4}\, rad/s$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$:
$T = \frac{2\pi}{3/4} = \frac{8\pi}{3}\, s$.

(C) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $M = 2\, kg$ અને ઘનતા $\rho = 8\, kg/m^3$ હોવાથી,કદ $V = \frac{M}{\rho} = \frac{2}{8} = 0.25\, m^3$ થાય.
દબાણ $P = 4 \times 10^4\, N/m^2$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times (4 \times 10^4) \times 0.25$
$U = 1.5 \times 10^4\, J$.
આમ,ઉર્જાનો ક્રમ $10^4\, J$ છે.

(B) શરૂઆતના વેગના ઘટકો: $u_x = 10 \cos 60^\circ = 5\,ms^{-1}$ અને $u_y = 10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}\,ms^{-1}$.
$t = 1\,s$ સમયે,વેગના ઘટકો:
$v_x = u_x = 5\,ms^{-1}$
$v_y = u_y - gt = 5\sqrt{3} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10\,ms^{-1}$.
$t = 1\,s$ સમયે ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2} = \sqrt{25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3})} = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}} \approx \sqrt{26.8} \approx 5.17\,ms^{-1}$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^2}{a_{\perp}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{\perp}$ એ વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5\sqrt{3} - 10}{5} = \sqrt{3} - 2 \approx -0.268$. તેથી,$\theta \approx -15^\circ$.
પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. વેગને લંબ $g$ નો ઘટક $a_{\perp} = g \cos \theta$ છે.
$R = \frac{v^2}{g \cos \theta} = \frac{200 - 100\sqrt{3}}{10 \cos(-15^\circ)} = \frac{26.8}{10 \times 0.966} \approx 2.77\,m \approx 2.8\,m$.

(D) સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{\pi}{90} \ rad/s$ છે.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\cos^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)} = \cot^2(\omega t)$ છે.
$t = 210 \ s$ સમયે,કળા $\omega t = \frac{\pi}{90} \times 210 = \frac{21\pi}{9} = \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{K}{U} = \cot^2\left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cot^2\left( \frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3}$.

(D) $h$ ઊંચાઈએ ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $h \ll R$,આપણે $R+h \approx R$ લઈ શકીએ છીએ. તેથી,$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$.
$h$ ઊંચાઈએથી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી નિષ્ક્રમણ વેગ $v' = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$ છે.
ફરીથી,$h \ll R$ નો ઉપયોગ કરતા,$v' = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
ઝડપમાં જરૂરી લઘુત્તમ વધારો $\Delta v = v' - v$ છે.
$\Delta v = \sqrt{2gR} - \sqrt{gR} = \sqrt{gR}(\sqrt{2} - 1)$.

(B) ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$[\frac{x^2}{\alpha kt}] = [M^0L^0T^0]$.
અહીં $[x^2] = L^2$ અને $[kt] = [Energy] = ML^2T^{-2}$ હોવાથી:
$[\alpha] = \frac{[x^2]}{[kt]} = \frac{L^2}{ML^2T^{-2}} = M^{-1}T^2$.
બળ $F$ એ $F = \alpha \beta \exp(\dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘાતાંકીય પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,$F$ ના પરિમાણો એ $\alpha \beta$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[F] = [\alpha][\beta]$
$MLT^{-2} = (M^{-1}T^2) [\beta]$
$[\beta] = \frac{MLT^{-2}}{M^{-1}T^2} = M^2LT^{-4}$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$ છે. પાતળા સમાન સમબાજુ ત્રિકોણની તેના મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{6} M L^2$ છે,જ્યાં $M$ એ ત્રિકોણનું દળ છે. શીટ સમાન હોવાથી,દળ $M$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $M = \sigma A$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. આમ,$I \propto A \cdot L^2 \propto L^2 \cdot L^2 = L^4$.
ધારો કે $I_0$ એ મૂળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ સાથેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. તેથી,$I_0 = k L^4$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની બાજુની લંબાઈ $L/2$ છે. તેનું દળ $m$ એ મૂળ ત્રિકોણના દળ $M$ ના $1/4$ ભાગનું છે કારણ કે તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું છે. નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની તેના પોતાના મધ્યકેન્દ્ર (જે $G$ પણ છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{DEF} = k (L/2)^4 = k \frac{L^4}{16} = \frac{I_0}{16}$ છે.
બાકી રહેલી આકૃતિની જડત્વની ચાકમાત્રા એ મૂળ ત્રિકોણ અને દૂર કરેલા ત્રિકોણની જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો તફાવત છે: $I = I_0 - I_{DEF} = I_0 - \frac{I_0}{16} = \frac{15}{16}I_0$.

(B) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\vec \tau_O$ એ વ્યક્તિગત બળોને કારણે લાગતા ટોર્કનો સરવાળો છે: $\vec \tau_O = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2$
બળ $\vec F_1$ માટે: સ્થાન સદિશ $\vec r_1 = 2\hat i + 3\hat j$ છે અને બળ $\vec F_1 = F\hat k$ છે. તેથી,$\vec r_1 \times \vec F_1 = (2\hat i + 3\hat j) \times F\hat k = 2F(\hat i \times \hat k) + 3F(\hat j \times \hat k) = -2F\hat j + 3F\hat i = 3F\hat i - 2F\hat j$
બળ $\vec F_2$ માટે: સ્થાન સદિશ $\vec r_2 = 6\hat j$ છે. બળ $\vec F_2$ એ $XY$-સમતલમાં $y$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\vec F_2 = F(-\cos 30^\circ \hat i - \sin 30^\circ \hat j) = F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j)$
ટોર્કની ગણતરી કરતા: $\vec r_2 \times \vec F_2 = (6\hat j) \times F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j) = 3\sqrt{3}F\hat k$
આમ,કુલ ટોર્ક $\vec \tau_O = (3\hat i - 2\hat j + 3\hat k)F$ થાય છે.

(D) ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલા બરફનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
પાણી દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w c_w \Delta T = 50 \times 4.2 \times (40 - 0) = 8400\,J.$
બરફ દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain,1} = m c_{ice} \Delta T = m \times 2.1 \times (0 - (-20)) = 42m\,J.$
બરફના ઓગળેલા ભાગ દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવસ્થા બદલવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain,2} = (m - 20) \times 334\,J.$
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_{gain,1} + Q_{gain,2}.$
$8400 = 42m + 334(m - 20).$
$8400 = 42m + 334m - 6680.$
$8400 + 6680 = 376m.$
$15080 = 376m.$
$m = 15080 / 376 \approx 40.1\,g.$
આમ,ઉમેરવામાં આવેલા બરફનું પ્રમાણ આશરે $40\,g$ છે.

(D) અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે $\theta$ ખૂણે વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta \vec{v}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta v = 2v \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 10\,m/s$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)$
$\Delta v = 20 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ છે:
$\Delta v = 20 \times 0.5 = 10\,m/s$
તેથી,વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $10\,m/s$ છે.

(A) તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{\text{total}}$ એ વ્યક્તિગત વાયુઓની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા $U_{O_2} = n_1 \frac{f_1}{2} RT = 3 \times \frac{5}{2} RT = 7.5 \, RT$ છે.
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_2 = 3$ ($3$ સ્થાનાંતરિત) છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા $U_{Ar} = n_2 \frac{f_2}{2} RT = 5 \times \frac{3}{2} RT = 7.5 \, RT$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{\text{total}} = U_{O_2} + U_{Ar} = 7.5 \, RT + 7.5 \, RT = 15 \, RT$ થાય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} =$ અચળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $TV^x =$ અચળ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \gamma - 1$ મળે છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક આદર્શ વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ ના સમીકરણમાં $\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}$.

(B) ધારો કે દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ છે. જાળી પર લાગતું બળ એ પ્રવાહીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$50\%$ પ્રવાહી જે પસાર થાય છે તેના માટે: $\Delta p = 0$,તેથી $F_1 = 0$.
$25\%$ પ્રવાહી જે તમામ વેગમાન ગુમાવે છે તેના માટે: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - 0 = 0.25 \rho A v^2$.
$25\%$ પ્રવાહી જે પાછું ફેંકાય છે તેના માટે: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - (0.25 \frac{dm}{dt})(-v) = 0.5 \rho A v^2$.
કુલ બળ $F = F_1 + F_2 + F_3 = 0 + 0.25 \rho A v^2 + 0.5 \rho A v^2 = 0.75 \rho A v^2 = \frac{3}{4} \rho A v^2$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{3}{4} \rho v^2$.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.03 \sin(450t - 9x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 450 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 9 \, m^{-1}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{450}{9} = 50 \, m/s$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 5 \, g/m = 5 \times 10^{-3} \, kg/m$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,તેથી $T = \mu v^2$.
કિંમતો મૂકતા,$T = (5 \times 10^{-3} \, kg/m) \times (50 \, m/s)^2$.
$T = 5 \times 10^{-3} \times 2500 = 5 \times 2.5 = 12.5 \, N$.

(D) $1$. પ્લેટફોર્મ સાથે અથડાતા પહેલા $1\,kg$ ના પદાર્થનો વેગ: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 100} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}\,m/s.$
$2$. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ નો ઉપયોગ કરતા: $m_1 v = (m_1 + m_2) v',$
જ્યાં $v'$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(1+3 = 4\,kg)$ નો વેગ છે.
$1 \times 20\sqrt{5} = 4 \times v' \implies v' = 5\sqrt{5}\,m/s.$
$3$. અથડામણના બિંદુથી મહત્તમ સંકોચન $x$ સુધીની સિસ્ટમ માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સંયુક્ત દળની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જાનું રૂપાંતર સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાના ફેરફારમાં થાય છે.
સ્પ્રિંગની સંતુલન સ્થિતિને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા. પ્લેટફોર્મ પહેલેથી જ $x_0 = \frac{m_2 g}{k} = \frac{3 \times 10}{1.25 \times 10^6} = 2.4 \times 10^{-5}\,m$ જેટલું સંકોચાયેલું છે,જે અવગણ્ય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણ લાગુ કરતા: $\frac{1}{2} M (v')^2 + M g x = \frac{1}{2} k x^2,$
જ્યાં $M = 4\,kg.$
$\frac{1}{2} \times 4 \times (5\sqrt{5})^2 + 4 \times 10 \times x = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^6 \times x^2.$
$2 \times 125 + 40x = 6.25 \times 10^5 x^2.$
$6.25 \times 10^5 x^2 - 40x - 250 = 0.$
કારણ કે $x$ ખૂબ નાનું છે,$40x$ એ $250$ અને $6.25 \times 10^5 x^2$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય છે.
$6.25 \times 10^5 x^2 \approx 250 \implies x^2 \approx \frac{250}{6.25 \times 10^5} = 40 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-4}.$
$x = 0.02\,m = 2\,cm.$

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = (2.0\hat i + 4.0\hat j) \, m$
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (5.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s$
પ્રવેગ $\vec{a} = (4.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s^2$
સમય $t = 2 \, s$
ગતિના સમીકરણ $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (5.0\hat i + 4.0\hat j)(2) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(2)^2$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(4)$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + (8.0\hat i + 8.0\hat j)$
$\vec{r}(2) = (2.0 + 10.0 + 8.0)\hat i + (4.0 + 8.0 + 8.0)\hat j$
$\vec{r}(2) = (20.0\hat i + 20.0\hat j) \, m$
ઉગમબિંદુથી અંતર એ સ્થાન સદિશનું માન છે:
$|\vec{r}(2)| = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m$.

(A) રેખીય સ્કેલ માટે,તાપમાન $T$ અને વાંચન $x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{x - x_{ice}}{x_{steam} - x_{ice}} \times 100^\circ C$
આપેલ છે:
$x_{steam} = x_0$
$x_{ice} = x_0/3$
$x = x_0/2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{x_0/2 - x_0/3}{x_0 - x_0/3} \times 100^\circ C$
$T = \frac{(3x_0 - 2x_0)/6}{(3x_0 - x_0)/3} \times 100^\circ C$
$T = \frac{x_0/6}{2x_0/3} \times 100^\circ C$
$T = \frac{x_0}{6} \times \frac{3}{2x_0} \times 100^\circ C$
$T = \frac{1}{4} \times 100^\circ C = 25^\circ C$

(B) તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $OO'$ અક્ષને અનુલક્ષીને ત્રણેય તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
તકતી $D_1$ માટે,$OO'$ અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેના સમતલને લંબ છે. તેથી,$I_1 = \frac{1}{2}MR^2$.
તકતી $D_2$ અને $D_3$ માટે,$OO'$ અક્ષ તેમના વ્યાસને સમાંતર છે અને તેમના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે પસાર થાય છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{2,3} = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$.
આવી બે તકતીઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 2 \times I_{2,3} = \frac{1}{2}MR^2 + 2 \times (\frac{5}{4}MR^2) = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{5}{2}MR^2 = 3MR^2$ થાય.

(A) ટોર્કનું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $\tau = rF \sin \theta$ છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય છે,$F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $\tau = 2.5\,Nm$,$F = 1\,N$,અને $r = 5\,m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2.5 = 5 \times 1 \times \sin \theta$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\sin \theta = \frac{2.5}{5} = 0.5$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન થાય.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર લાગુ પડેલા બળ જેટલો હોય છે:
$\frac{dp}{dt} = F = kt$
બંને બાજુએ સમય $t = 0$ થી $t = T$ અને વેગમાન $p$ થી $3p$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{p}^{3p} dp = \int_{0}^{T} kt \, dt$
$[p]_{p}^{3p} = k \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{T}$
$3p - p = k \left( \frac{T^2}{2} - 0 \right)$
$2p = \frac{kT^2}{2}$
$4p = kT^2$
$T^2 = \frac{4p}{k}$
$T = 2\sqrt{\frac{p}{k}}$

(A) સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g_{eff}}{\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \frac{\Delta g_{eff}}{g_{eff}}$ મળે છે.
જ્યારે આધાર $A$ કંપનવિસ્તાર અને $\omega_s$ આવૃત્તિ સાથે ઊભી દિશામાં દોલન કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $\Delta g = A \omega_s^2$ જેટલો બદલાય છે.
અહીં,$A = 10^{-2}\, m$ અને $\omega_s = 1\, rad/s$ છે.
તેથી,$\Delta g = 10^{-2} \times (1)^2 = 10^{-2}\, m/s^2$.
$g \approx 10\, m/s^2$ લેતા,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta g}{g} = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-3}$ થાય છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \times \frac{\Delta g}{g} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનો ક્રમ $10^{-3}$ છે.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ છે।
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, ધાતુના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને પાત્ર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા।
$m_{metal} c_{metal} (T_{initial, metal} - T) = (m_{water} c_{water} + C_{vessel}) (T - T_{initial, water})$
$0.1 \times 400 \times (500 - T) = (0.5 \times 4200 + 800) \times (T - 30)$
$40(500 - T) = (2100 + 800) \times (T - 30)$
$20000 - 40T = 2900(T - 30)$
$20000 - 40T = 2900T - 87000$
$107000 = 2940T$
$T = \frac{107000}{2940} \approx 36.39 \, ^\circ C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 36.39 - 30 = 6.39 \, ^\circ C$.
ટકાવારી વધારો = $\frac{\Delta T}{T_{initial}} \times 100 = \frac{6.39}{30} \times 100 \approx 21.3 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $20 \%$ છે।

(A) સરળ લોલકની તેના સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ ગતિઊર્જા તેના મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પરની સ્થિતિઊર્જા $U = mg\ell(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $\ell$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_1 = mg\ell(1 - \cos \theta)$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે $(\ell' = 2\ell)$ અને કોણીય કંપનવિસ્તાર $\theta$ સમાન રહે છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2 = mg(2\ell)(1 - \cos \theta)$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $K_2 = 2 \times [mg\ell(1 - \cos \theta)] = 2K_1$ મળે છે.

(A) ધારો કે બંને સળિયાની પ્રારંભિક લંબાઈ $L_0$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 30\,^{\circ}C$ છે.
સળિયાની અંતિમ લંબાઈનું સૂત્ર $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અંતિમ લંબાઈ સમાન હોવાથી:
$L_0(1 + \alpha_A \Delta T_A) = L_0(1 + \alpha_B \Delta T_B)$
આથી:
$\alpha_A \Delta T_A = \alpha_B \Delta T_B$
અહીં $\frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{4}{3}$,$\Delta T_A = 180 - 30 = 150\,^{\circ}C$,અને $\Delta T_B = T - 30$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} = \frac{T - 30}{150}$
$T - 30 = \frac{4}{3} \times 150$
$T - 30 = 4 \times 50 = 200$
$T = 200 + 30 = 230\,^{\circ}C$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે. સ્ટ્રેઈન પરિમાણરહિત હોવાથી,$Y$ નું પરિમાણ સ્ટ્રેસ (બળ/ક્ષેત્રફળ) જેટલું જ હોય છે.
$[Y] = [F] / [L^2]$.
અહીં આપણને મૂળભૂત એકમો $V, A, F$ આપેલા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $F = M \cdot A$,તેથી $M = F \cdot A^{-1}$.
વળી,$V = L \cdot T^{-1}$ અને $A = L \cdot T^{-2}$.
$A$ ને $V$ વડે ભાગતા: $A/V = (L \cdot T^{-2}) / (L \cdot T^{-1}) = T^{-1}$,તેથી $T = V \cdot A^{-1}$.
હવે,$L = V \cdot T = V \cdot (V \cdot A^{-1}) = V^2 \cdot A^{-1}$.
તેથી,$L^2 = (V^2 \cdot A^{-1})^2 = V^4 \cdot A^{-2}$.
આ કિંમતોને $Y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[Y] = [F] / [L^2] = F / (V^4 \cdot A^{-2}) = F \cdot V^{-4} \cdot A^2$.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 5\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.5\, m$,બળ $F = 40\, N$. પોલા નળાકાર માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
ધારો કે સંપર્ક બિંદુ પર પાછળની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
રેખીય ગતિ માટેનું સમીકરણ: $F + f = Ma$,જ્યાં સરક્યા વિના ગબડવા માટે $a = R\alpha$ છે.
તેથી,$40 + f = M(R\alpha) \quad (i)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ માટેનું સમીકરણ: $(F \times R) - (f \times R) = I\alpha$.
$I = MR^2$ મૂકતા: $(40 - f)R = (MR^2)\alpha \implies 40 - f = MR\alpha \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(40 + f) + (40 - f) = MR\alpha + MR\alpha$
$80 = 2MR\alpha$
$80 = 2 \times 5 \times 0.5 \times \alpha$
$80 = 5\alpha$
$\alpha = 16\, rad/s^2$.

(D) ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = 3M_e$ અને $D_p = 3D_e$,જેનો અર્થ છે કે $R_p = 3R_e$.
ગ્રહ અને પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણનો ગુણોત્તર $\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2 = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ છે.
સાદા લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે,તેથી $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
તેથી,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે $T_e = 2 \ s$,તેથી $T_p = 2\sqrt{3} \ s$.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા સંબંધ: $VT = K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
આ કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $V \left( \frac{PV}{nR} \right) = K$.
આથી $PV^2 = nRK$ મળે,જે $PV^x = \text{constant}$ પ્રકારની પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા છે,જ્યાં $x = 2$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = C_v + \frac{R}{1-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1-2} = \frac{3}{2} R - R = \frac{1}{2} R$.
$n$ મોલ વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C \Delta T$ છે.
અહીં $n = 1$ હોવાથી,$\Delta Q = 1 \times \left( \frac{1}{2} R \right) \times \Delta T = \frac{1}{2} R \Delta T$ મળે.

(C) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહી $A$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પ્રવાહી $B$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m_A S_A (T_{A,initial} - T_{mix}) = m_B S_B (T_{mix} - T_{B,initial})$
$100 \times S_A \times (100 - 90) = 50 \times S_B \times (90 - 75)$
$1000 S_A = 750 S_B$
$S_A = 0.75 S_B = \frac{3}{4} S_B$
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે:
$100 \times S_A \times (100 - T) = 50 \times S_B \times (T - 50)$
$S_A = \frac{3}{4} S_B$ મૂકતા:
$100 \times (\frac{3}{4} S_B) \times (100 - T) = 50 \times S_B \times (T - 50)$
$75 (100 - T) = 50 (T - 50)$
$3 (100 - T) = 2 (T - 50)$
$300 - 3T = 2T - 100$
$5T = 400$
$T = 80\,^oC$

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકી શકીએ છીએ,જેથી $U = \frac{f}{2} PV$ મળે.
અહીં $P = 3\times10^6\, Pa$ અને $V = 2\, m^3$ આપેલ છે,તેથી $PV = 6\times10^6\, J$ થાય.
મુક્તિના અંશો $f$ એ વાયુના પ્રકાર (એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક,વગેરે) પર આધાર રાખે છે અને પ્રશ્નમાં આપેલ નથી,તેથી આંતરિક ઉર્જા ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(C) પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 10^{-3} \sin(50t + 2x)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$\omega = 50 \ rad/s$ અને $k = 2 \ rad/m$ છે.
$t$ અને $x$ પદો વચ્ચેની નિશાની ધન $(+)$ હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{\omega}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{50}{2} = 25 \ m/s$.
તેથી,તરંગ $25 \ m/s$ ની ઝડપે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) પેસેન્જર ટ્રેન દ્વારા માલગાડીને સંપૂર્ણપણે ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 60\, m + 120\, m = 180\, m = 0.18\, km$.
$(i)$ જ્યારે સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = 80 - 30 = 50\, km/hr$ થાય.
લાગતો સમય $t_1 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{50}\, hr$ છે.
$(ii)$ જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = 80 + 30 = 110\, km/hr$ થાય.
લાગતો સમય $t_2 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{110}\, hr$ છે.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{0.18 / 50}{0.18 / 110} = \frac{110}{50} = \frac{11}{5} = 2.2$ થાય.

(D) ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = (A + Bx^2)dx$ છે.
આ ઘટક દ્વારા $x = 0$ પર રહેલા બિંદુવત દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $dF = \frac{G(dm)m}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dm$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = \frac{Gm(A + Bx^2)dx}{x^2} = Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx$ મળે છે.
કુલ બળ શોધવા માટે,આપણે $x = a$ થી $x = a + L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_a^{a+L} Gm\left( \frac{A}{x^2} + B \right)dx = Gm \left[ A \int_a^{a+L} x^{-2} dx + B \int_a^{a+L} dx \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{x} \right)_a^{a+L} + B(x)_a^{a+L} \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( -\frac{1}{a+L} + \frac{1}{a} \right) + B(a+L-a) \right]$.
$F = Gm \left[ A \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right) + BL \right]$.

(B) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $CAB$ માટે:
$V$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $\Delta V = 5 - 1 = 4 \, m^3$ છે.
$P$-અક્ષ પર ત્રિકોણની ઊંચાઈ $\Delta P = 6 - 1 = 5 \, Pa$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10 \, J$.
ચક્ર $CAB$ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ઋણ છે. જોકે,મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,થયેલ કાર્ય $10 \, J$ છે.

(A) સળિયાને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે,દરેકને તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત દળ તરીકે ગણી શકાય.
$1$. $2L$ લંબાઈના આડા ભાગનું દળ $2m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L, L)$ પર છે.
$2$. $x=2L$ થી $x=2L$ સુધીના ઊભા ભાગનું દળ $m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2L, 0.5L)$ પર છે.
$3$. $x=2L$ થી $x=3L$ સુધીના આડા ભાગનું દળ $m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2.5L, 0)$ પર છે.
કુલ દળ $M = 2m + m + m = 4m$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{2m(L\hat{i} + L\hat{j}) + m(2L\hat{i} + 0.5L\hat{j}) + m(2.5L\hat{i} + 0\hat{j})}{4m}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{(2L + 2L + 2.5L)\hat{i} + (2L + 0.5L + 0)\hat{j}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{6.5L\hat{i} + 2.5L\hat{j}}{4} = \frac{13/2 L\hat{i} + 5/2 L\hat{j}}{4} = \frac{13}{8}L\hat{i} + \frac{5}{8}L\hat{j}$.

(D) ધારો કે $V_{P}$ એ વિમાનની ઝડપ છે અને $\upsilon$ એ અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે વિમાન દ્વારા અવાજ ઉત્પન્ન થયો,ત્યારે તે એવી સ્થિતિમાં હતું કે અવાજના તરંગો અવલોકનકાર સુધી જમીન સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પહોંચ્યા.
ધારો કે અવલોકનકાર બિંદુ $C$ પર છે અને જ્યારે અવાજ ઉત્પન્ન થયો ત્યારે વિમાન બિંદુ $A$ પર હતું.
અવાજ $t$ સમયમાં $AC$ અંતર કાપે છે,તેથી $AC = \upsilon t$.
વિમાન તે જ સમય $t$ માં આડું અંતર $AB$ કાપે છે,તેથી $AB = V_{P} t$.
ત્રિકોણ $ABC$ ની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં $\angle ACB = 60^{\circ}$ છે,આપણને મળે છે:
$V_{P} = \upsilon \cos(60^{\circ})$
$V_{P} = \upsilon \times \frac{1}{2} = \frac{\upsilon}{2}$.

(C) ધારો કે સળિયાને નાના ખૂણા $\theta$ થી ફેરવવામાં આવે છે. સળિયાના દરેક છેડાનું સ્થાનાંતર $x = \frac{l}{2} \theta$ છે.
દરેક સ્પ્રિંગ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx = k \frac{l}{2} \theta$ લગાડે છે.
કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = 2 \times (F \times \frac{l}{2}) = 2 \times (k \frac{l}{2} \theta \times \frac{l}{2}) = \frac{k l^2}{2} \theta$ છે.
સળિયાની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = -I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\frac{k l^2}{2} \theta = -(\frac{ml^2}{12}) \alpha \implies \alpha = -(\frac{6k}{m}) \theta$.
આને કોણીય સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{6k}{m}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{6k}{m}}$.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{6k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) નાના ખૂણાઓ માટે,$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ થાય છે. સૌથી નીચલા બિંદુએ $m$ દળના ગોળાનો વેગ $v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta_0)} \approx \sqrt{2gl(\frac{\theta_0^2}{2})} = \theta_0 \sqrt{gl}$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,ગોળો $v'$ વેગ સાથે પાછો ફેંકાય છે અને $\theta_1$ ખૂણા સુધી પહોંચે છે,તેથી $v' = \theta_1 \sqrt{gl}$ થાય.
સ્થિર $M$ દળના બ્લોક સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી $m$ દળના ગોળાનો વેગ $v' = \left( \frac{m - M}{m + M} \right)v$ હોય છે.
ગોળો પાછો ફેંકાતો હોવાથી,તેનો વેગ પ્રારંભિક દિશાની સાપેક્ષમાં ઋણ છે,તેથી $v' = -\theta_1 \sqrt{gl}$ થાય.
આમ,$-\theta_1 \sqrt{gl} = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) \theta_0 \sqrt{gl}$.
$-\theta_1 = \frac{m - M}{m + M} \theta_0 \implies -\theta_1(m + M) = \theta_0(m - M)$.
$-m\theta_1 - M\theta_1 = m\theta_0 - M\theta_0$.
$M(\theta_0 - \theta_1) = m(\theta_0 + \theta_1)$.
$M = m\left( \frac{\theta_0 + \theta_1}{\theta_0 - \theta_1} \right)$.

(D) જ્યારે ઉષ્મા નળાકારોની લંબાઈની દિશામાં વહે છે,ત્યારે બંને નળાકારો સમાંતર ઉષ્મા વાહકો તરીકે કાર્ય કરે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા એ વ્યક્તિગત ઉષ્મા વાહકતાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ઉષ્મા વાહકતા $C = \frac{KA}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
અંદરના નળાકાર માટે,ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે.
બહારની નળાકાર કવચ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ છે.
તંત્રનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = 4\pi R^2$ છે.
કુલ વાહકતાને વ્યક્તિગત વાહકતાઓના સરવાળા સાથે સરખાવતા:
$\frac{K_{eff} A}{L} = \frac{K_1 A_1}{L} + \frac{K_2 A_2}{L}$
$K_{eff} (4\pi R^2) = K_1 (\pi R^2) + K_2 (3\pi R^2)$
$4 K_{eff} = K_1 + 3 K_2$
$K_{eff} = \frac{K_1 + 3 K_2}{4}$

(B) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ એ સ્ક્રૂના પિચ અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના કુલ વિભાગોની સંખ્યા $(N)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પિચ = $1\, mm = 10^{-3}\, m$
$LC = 5\,\mu m = 5 \times 10^{-6}\, m$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$LC = \frac{\text{Pitch}}{N}$
$5 \times 10^{-6} = \frac{10^{-3}}{N}$
$N = \frac{10^{-3}}{5 \times 10^{-6}}$
$N = \frac{1000}{5} = 200$
તેથી,જરૂરી વિભાગોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $200$ છે.

(B) પોલા નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M (R^2 + r^2)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે,$R$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 10\, cm$ અને $R = 20\, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{1}{2} M (20^2 + 10^2) = \frac{1}{2} M (400 + 100) = \frac{1}{2} M (500) = 250 M$
સમાન દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $r_0$ ધરાવતા પાતળા નળાકાર (રિંગ) માટે,તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = M r_0^2$
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$M r_0^2 = 250 M$
$r_0^2 = 250$
$r_0 = \sqrt{250} \approx 15.81\, cm \approx 16\, cm$
આમ,પાતળા નળાકારની ત્રિજ્યા આશરે $16\, cm$ છે.

(B) ધારો કે ઉપગ્રહ સ્પર્શકની દિશામાં (ધારો કે $y$-અક્ષ પર) $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને ઉલ્કાપિંડ પૃથ્વી તરફ ( $x$-અક્ષ પર) $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,સંયુક્ત દળ $2M$ નવા વેગ સદિશ $\vec{V}$ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$x$-અક્ષ પર: $Mv = (2M)v_x \Rightarrow v_x = v/2$.
$y$-અક્ષ પર: $Mv = (2M)v_y \Rightarrow v_y = v/2$.
નવા વેગનું મૂલ્ય $V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v/2)^2 + (v/2)^2} = v/\sqrt{2}$ છે.
ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $v = \sqrt{GM/R}$ હતો. નવો વેગ $V = v/\sqrt{2} < v$ છે. ઉપરાંત,વેગની દિશા હવે સંપૂર્ણપણે સ્પર્શક નથી. સમાન કક્ષીય ત્રિજ્યા $R$ પર ઝડપ અને દિશા બંનેમાં ફેરફાર થવાને કારણે ગતિ લંબગોળ કક્ષામાં થશે.

(D) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષથી $x$ અંતરે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Mx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે) $I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
આ કિંમતને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $I(x) = \frac{2}{5}MR^2 + Mx^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = ax^2 + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = M$ અને $c = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
અહીં $c > 0$ હોવાથી,આલેખ એક પરવલય છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી,પરંતુ $I$-અક્ષ પર ધન કિંમત $I(0) = \frac{2}{5}MR^2$ થી શરૂ થાય છે અને ઉપરની તરફ ખુલે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,તારમાં તણાવ $T_1 = Mg$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta \ell_1 = \frac{MgL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે $\Delta \ell_1 = 4.0 \ mm$.
જ્યારે ભારને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $B$ ઉપરની તરફ લાગે છે. નવું તણાવ $T_2 = Mg - B$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $B = V \rho_{liquid} g$,જ્યાં $V$ એ ભારનું કદ છે.
ભારનું વજન $Mg = V \rho_{load} g$ છે.
તેથી,$B = Mg \left( \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{load}} \right) = Mg \left( \frac{2}{8} \right) = \frac{1}{4} Mg$.
નવું તણાવ $T_2 = Mg - \frac{1}{4} Mg = \frac{3}{4} Mg$.
નવો લંબાઈનો વધારો $\Delta \ell_2 = \frac{T_2 L}{AY} = \frac{3}{4} \left( \frac{MgL}{AY} \right) = \frac{3}{4} \Delta \ell_1$.
$\Delta \ell_1 = 4.0 \ mm$ મૂકતા,આપણને $\Delta \ell_2 = \frac{3}{4} \times 4.0 \ mm = 3.0 \ mm$ મળે છે.

(B) બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $\tau = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે અને $v_{avg}$ એ સરેરાશ ઝડપ છે.
કારણ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$ અને $v_{avg} \propto \sqrt{T}$,તેથી $\tau \propto \frac{T/P}{\sqrt{T}} \propto \frac{\sqrt{T}}{P}$ થાય.
આપેલ છે કે $P_1 = 2 \, atm$,$T_1 = 300 \, K$,અને $\tau_1 = 6 \times 10^{-8} \, s$.
નવી સ્થિતિ માટે,$P_2 = 2 P_1 = 4 \, atm$ અને $T_2 = 500 \, K$.
ગુણોત્તર $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{P_1}{P_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tau_2}{6 \times 10^{-8}} = \frac{2}{4} \sqrt{\frac{500}{300}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$\tau_2 = 6 \times 10^{-8} \times 0.5 \times 1.29 \approx 3.87 \times 10^{-8} \, s$.
આ કિંમત $4 \times 10^{-8} \, s$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) ધારો કે આલ્ફા-કણનો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $-v_1$ છે (કારણ કે તે પાછળની તરફ ફેંકાય છે).
ધારો કે ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv_0 = -mv_1 + Mv_2$ --- $(1)$
$1$-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના ગુણધર્મ મુજબ:
$v_0 = v_1 + v_2$ --- $(2)$
$(2)$ પરથી,$v_1 = v_0 - v_2$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$mv_0 = -m(v_0 - v_2) + Mv_2$
$mv_0 = -mv_0 + mv_2 + Mv_2$
$2mv_0 = (m + M)v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{2mv_0}{m + M}$
આલ્ફા-કણની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2$ છે.
આપેલ છે કે તે તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i = \frac{1}{2}mv_0^2)$ ના $64\%$ ગુમાવે છે,તેથી બાકી રહેલી ગતિઊર્જા $K_i$ ના $36\%$ છે:
$K_f = 0.36 K_i \Rightarrow \frac{1}{2}mv_1^2 = 0.36 \times \frac{1}{2}mv_0^2$
$v_1^2 = 0.36 v_0^2 \Rightarrow v_1 = 0.6 v_0$
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં અંતિમ વેગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v_1 = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) v_0$ (જ્યાં $v_1$ એ $v_0$ ની દિશામાં છે).
તે પાછળની તરફ ફેંકાતો હોવાથી,$v_1 = -0.6 v_0$,તેથી $\frac{m - M}{m + M} = -0.6$.
$m - M = -0.6m - 0.6M$
$1.6m = 0.4M \Rightarrow M = 4m$.

(D) ધારો કે નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પિસ્ટન પર લાગતા બળો ઉપરના વાયુનું દબાણ ($P_1 A$ નીચેની તરફ),નીચેના વાયુનું દબાણ ($P_2 A$ ઉપરની તરફ) અને પિસ્ટનનું વજન ($mg$ નીચેની તરફ) છે.
પિસ્ટન સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$P_2 A = P_1 A + mg$
$mg = (P_2 - P_1) A$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $V = Al$,આપણને $P = \frac{nRT}{Al}$ મળે છે.
તેથી,$P_1 = \frac{nRT}{Al_1}$ અને $P_2 = \frac{nRT}{Al_2}$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg = \left( \frac{nRT}{Al_2} - \frac{nRT}{Al_1} \right) A$
$mg = nRT \left( \frac{1}{l_2} - \frac{1}{l_1} \right)$
$m = \frac{nRT}{g} \left( \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2} \right)$

(B) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે: દળ $= m$,ત્રિજ્યા $= R$. તેથી,$K.E._A = \frac{GMm}{2R}$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે: દળ $= 2m$,ત્રિજ્યા $= 2R$. તેથી,$K.E._B = \frac{GM(2m)}{2(2R)} = \frac{GMm}{2R}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K.E._A}{K.E._B} = \frac{GMm/2R}{GMm/2R} = 1$.

(A) પરિભ્રમણ કરતા નળાકારમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીનો આકાર પરવલયાકાર હોય છે,જે સમીકરણ $y = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $y$ એ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા પરની દીવાલ વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm = 0.05 \, m$
પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $f = 2 \, rev/s$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, rad/s$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g \approx 10 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{(4 \pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$y = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$
$\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$y = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{0.4}{20} = 0.02 \, m = 2 \, cm$.

(A) અવરોધક માટેનો કલર કોડ છે: લીલો $(5)$,કાળો $(0)$,લાલ $(10^{2})$,કથ્થઈ $(\pm 1\% \text{ ટોલરન્સ})$.
અવરોધ $R$ ની ગણતરી $50 \times 10^{2} \, \Omega = 5000 \, \Omega$ મુજબ થાય છે.
પાવર રેટિંગ $P = 2 \, W$ આપેલ છે.
પાવરના સૂત્ર $P = I^{2}R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે મહત્તમ પ્રવાહ $I$ શોધી શકીએ છીએ:
$I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{2}{5000}} = \sqrt{\frac{1}{2500}} = \frac{1}{50} \, A$.
તેને મિલિએમ્પીયર $(mA)$ માં ફેરવતા:
$I = \frac{1}{50} \times 1000 \, mA = 20 \, mA$.

(C) ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \rho(x) dx = \rho_0 \frac{x}{l} dx$ છે.
જ્યારે સળિયો $n$ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ) સાથે ફરે છે,ત્યારે કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n$ થાય છે. આ ફરતા વિદ્યુતભાર ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $di = \frac{dq}{T} = dq \cdot n = \rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n$ છે.
$x$ ત્રિજ્યાના આ વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $dM = di \cdot A = di \cdot (\pi x^2)$ છે.
$di$ ની કિંમત મૂકતા: $dM = (\rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n) \cdot \pi x^2 = \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx$.
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા: $M = \int_0^l \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx = \frac{\pi n \rho_0}{l} [\frac{x^4}{4}]_0^l = \frac{\pi n \rho_0}{l} \cdot \frac{l^4}{4} = \frac{\pi}{4} n \rho_0 l^3$.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ છે.
$R_1$ માટેનો કલર કોડ (ઓરેન્જ,રેડ,બ્રાઉન) છે. પ્રમાણિત કલર કોડ ટેબલનો ઉપયોગ કરતા: ઓરેન્જ = $3$,રેડ = $2$,બ્રાઉન = $10^1$. તેથી,$R_1 = 32 \times 10^1 = 320 \, \Omega$.
આપેલ છે કે $R_2 = 80 \, \Omega$ અને $R_4 = 40 \, \Omega$.
સંતુલિત શરત પરથી,$R_3 = R_1 \times \frac{R_4}{R_2} = 320 \times \frac{40}{80} = 320 \times 0.5 = 160 \, \Omega$.
$R_3 = 160 \, \Omega$ માટે,કલર કોડ છે: $1$ (બ્રાઉન),$6$ (બ્લુ),$10^1$ (બ્રાઉન). તેથી,કલર કોડ (બ્રાઉન,બ્લુ,બ્રાઉન) થશે.

(D) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = (\text{નીપજોની કુલ B.E.}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ B.E.})$
$Q = (2 \times 4 \times 7.07 + 12 \times 7.86) - (20 \times 8.03)$
$Q = (56.56 + 94.32) - 160.6$
$Q = 150.88 - 160.6$
$Q = -9.72\, MeV$
અહીં $Q$ નું મૂલ્ય ઋણ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રક્રિયા થવા માટે સિસ્ટમને $9.72\, MeV$ ઉર્જા આપવી પડશે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mu B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\mu$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
હૂપ માટે,$I_h = MR^2$ અને $\mu_h = 2\mu_0$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I_c = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\mu_c = \mu_0$.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{I_h}{I_c} \cdot \frac{\mu_c}{\mu_h}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} \cdot \frac{\mu_0}{2\mu_0}}$
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$
તેથી,$T_h = T_c$.

(A) સ્વ-પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = L \frac{di}{dt}$ છે.
અહીં $\varepsilon = 25\,V$,$\Delta i = 25\,A - 10\,A = 15\,A$,અને $\Delta t = 1\,s$ આપેલ છે.
તેથી,$L = \frac{\varepsilon \Delta t}{\Delta i} = \frac{25 \times 1}{15} = \frac{5}{3}\,H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{1}{2} L (i_f^2 - i_i^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times (25^2 - 10^2)$.
$\Delta U = \frac{5}{6} \times (625 - 100) = \frac{5}{6} \times 525$.
$\Delta U = 437.5\,J$.

(B) ધારો કે $R = 30\,\Omega$ એ વાસ્તવિક અવરોધ છે અને $R_v$ એ વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ સર્કિટમાં,વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R \cdot R_v}{R + R_v}$
અવરોધનું માપેલ મૂલ્ય $R_{measured} = R_{eq} = \frac{30 R_v}{30 + R_v}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,માપેલ મૂલ્ય વાસ્તવિક મૂલ્ય કરતા $5\%$ ઓછું છે:
$R_{measured} = R \times (1 - 0.05) = 30 \times 0.95 = 28.5\,\Omega$.
$R_{measured}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{30 R_v}{30 + R_v} = 28.5$
$30 R_v = 28.5(30 + R_v)$
$30 R_v = 855 + 28.5 R_v$
$1.5 R_v = 855$
$R_v = \frac{855}{1.5} = 570\,\Omega$.
આમ,વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ $570\,\Omega$ છે.

(D) સોયની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l = 1.8 \times 0.12 = 0.216 \ A \ m^2$ છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને કારણે ટોર્ક $\tau = M B_H \sin(\theta)$ છે.
સંતુલનમાં,સોય સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\tau = M B_H \sin(45^{\circ})$.
સોયને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે,આપણે એક છેડે (ધરીથી $l = 0.06 \ m$ અંતરે) બળ $F$ લગાડીએ છીએ. આ બળને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક ચુંબકીય ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F \times l = M B_H \sin(45^{\circ})$.
ગણતરી મુજબ,$F \times 0.06 = 1.8 \times 18 \times 10^{-6} \times 0.12 \times \sin(45^{\circ})$ લેતા,$F \approx 6.48 \times 10^{-5} \ N$ મળે છે.

(C) $1$. પ્રતિ સેકન્ડ આપાત ફોટોનની સંખ્યા $(N_i)$ શોધો:
તીવ્રતા $I = 16 \, mW/m^2 = 16 \times 10^{-3} \, W/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = 10 \, eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-18} \, J$.
કુલ આપાત પાવર $P = I \times A = 16 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 16 \times 10^{-7} \, W$.
$N_i = P / E = (16 \times 10^{-7}) / (1.6 \times 10^{-18}) = 10^{12} \, \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.
$2$. પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(N_e)$ શોધો:
$N_e = 10\% \text{ of } N_i = 0.1 \times 10^{12} = 10^{11} \, \text{ઈલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
$3$. મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{\max})$ શોધો:
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = E - \phi = 10 \, eV - 5 \, eV = 5 \, eV$.

(A) બિંદુ $P$ (સીધું $S_1$ ની સામે) પર પ્રથમ ન્યૂનતમ મળે તે માટે,$S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$S_1$ થી $P$ નું અંતર $2d$ છે.
$S_2$ થી $P$ નું અંતર $\sqrt{(2d)^2 + d^2} = \sqrt{4d^2 + d^2} = \sqrt{5}d$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{5}d - 2d = d(\sqrt{5} - 2)$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે પથ તફાવતને $\frac{\lambda}{2}$ સાથે સરખાવતા:
$d(\sqrt{5} - 2) = \frac{\lambda}{2}$
તેથી,સ્લિટનું અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે:
$d = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 2)}$

(D) એક ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$ છે.
અહીં,$\mu_{1} = 1$ (હવા),$\mu_{2} = 1.34$ (આંખનું માધ્યમ),$R = 7.8 \, mm = 0.78 \, cm$,અને $u = -\infty$ (સમાંતર કિરણ).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.34}{v} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.34 - 1}{0.78}$
$\frac{1.34}{v} - 0 = \frac{0.34}{0.78}$
$v = \frac{1.34 \times 0.78}{0.34} \approx 3.074 \, cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v \approx 3.1 \, cm$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 2\, mA = 2 \times 10^{-3}\, A$,પાવર $P = 4.4\, W$.
સૂત્ર $P = I^2 R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અવરોધ $R$ શોધીએ છીએ:
$R = \frac{P}{I^2} = \frac{4.4}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{4.4}{4 \times 10^{-6}} = 1.1 \times 10^6\, \Omega$.
હવે,જ્યારે આ અવરોધક પર $V = 11\, V$ નો વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = \frac{V^2}{R} = \frac{11^2}{1.1 \times 10^6} = \frac{121}{1.1 \times 10^6} = 110 \times 10^{-6}\, W = 11 \times 10^{-5}\, W$.

(B) અનંત અંતરેથી ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતભાર $Q$ લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = V \cdot Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ચાર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી ચાર વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$r_1 = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
$r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_3 = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$r_4 = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$
ઉગમબિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r_1} + \frac{Q}{r_2} + \frac{Q}{r_3} + \frac{Q}{r_4} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right)$
$V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{2}{2\sqrt{5}} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = V \cdot Q = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ છે.

(D) આપેલ છે,મોડ્યુલેશન ફ્રીક્વન્સી $(f_m)$ = $250\, kHz$.
તે આપેલ છે કે $f_m$ એ કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $(f_c)$ ના $10\%$ છે.
તેથી,$250\, kHz = 0.10 \times f_c$.
માટે,$f_c = 2500\, kHz$.
હસ્તક્ષેપ ટાળવા માટે,બે $AM$ સ્ટેશનો વચ્ચે ન્યૂનતમ ફ્રીક્વન્સી તફાવત $2 \times f_m = 2 \times 250\, kHz = 500\, kHz$ હોવો જોઈએ.
આમ,આગામી ઉપલબ્ધ બ્રોડકાસ્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_c + 500\, kHz = 3000\, kHz$ અથવા $f_c - 500\, kHz = 2000\, kHz$ હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2000\, kHz$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) ઝેનર ડાયોડ $10 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $50 \, V$ હોવાથી,$10 \, k\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ પણ $50 \, V$ થશે.
$10 \, k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{50 \, V}{10 \, k\Omega} = 5 \, mA$ છે.
$120 \, V$ ના સોર્સ દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $5 \, k\Omega$ ના શ્રેણી અવરોધમાંથી પસાર થાય છે. આ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $120 \, V - 50 \, V = 70 \, V$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I_S = \frac{70 \, V}{5 \, k\Omega} = 14 \, mA$ છે.
નોડ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_Z = I_S - I_L = 14 \, mA - 5 \, mA = 9 \, mA$ થાય છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E(x,z,t) = 10 \hat j \cos(6x + 8z - \omega t)$ છે.
મુક્ત અવકાશમાં તરંગનો વેગ $c = \omega / k$ છે. તરંગ સદિશ $\vec k = 6\hat i + 8\hat k$ છે. તેનું મૂલ્ય $k = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ છે.
તેથી,$\omega = ck = 10c$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = 10 \hat j \cos(6x + 8z - 10ct)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = E_0 / c = 10/c$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat n = \vec k / k = (6\hat i + 8\hat k) / 10 = 0.6\hat i + 0.8\hat k$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = \frac{1}{c} (\hat n \times \vec E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec B = \frac{1}{c} [(0.6\hat i + 0.8\hat k) \times 10\hat j] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
$\vec B = \frac{1}{c} [6(\hat i \times \hat j) + 8(\hat k \times \hat j)] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
કારણ કે $\hat i \times \hat j = \hat k$ અને $\hat k \times \hat j = -\hat i$,આપણને મળે છે:
$\vec B = \frac{1}{c} (6\hat k - 8\hat i) \cos(6x + 8z - 10ct)$.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $y$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
$y >> 2a$ હોવાથી,આપણે $E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ લખી શકીએ.
વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = QE = Q \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $F \propto \frac{1}{y^3}$.
જ્યારે વિદ્યુતભારને $P'$ પર ખસેડવામાં આવે છે જ્યાં $OP' = y' = \frac{y}{3}$ છે,ત્યારે નવું બળ $F'$ એ $F' \propto \frac{1}{(y')^3} = \frac{1}{(y/3)^3} = \frac{27}{y^3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$F' = 27F$.

(B) પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 12 \, pF$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V = 10 \, V$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = 12 \, pF \times 10 \, V = 120 \, pC$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(120)^2}{2 \times 12} = \frac{14400}{24} = 600 \, pJ$.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = kC = 6.5 \times 12 = 78 \, pF$ થાય છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2kC} = \frac{U_i}{k} = \frac{600}{6.5} \approx 92.31 \, pJ$.
કેપેસીટર દ્વારા સ્લેબ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો છે: $W = U_i - U_f = 600 - 92.31 = 507.69 \, pJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $508 \, pJ$ મળે છે.

(C) શોષાયેલા ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12500 \ \text{eV-\AA}}{980 \ \text{\AA}} \approx 12.755 \ \text{eV}$ છે।
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ \text{eV}$ છે।
ધારો કે પરમાણુ $n$ ઉર્જા સ્તરમાં ઉત્તેજિત થાય છે. પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉર્જા $E = E_n - E_1$ છે।
$12.755 = -\frac{13.6}{n^2} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{12.755}{13.6} \approx 0.9378$.
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9378 = 0.0622$.
$n^2 = \frac{1}{0.0622} \approx 16$.
આમ, $n = 4$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$n = 4$ માટે, $r_4 = 4^2 a_0 = 16 \ a_0$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં છે કે નહીં. ધારો કે ઝેનર ડાયોડ વહન કરતું નથી $(i_Z = 0)$.
સર્કિટ $R_1 = 500 \ \Omega$ અને $R_2 = 1500 \ \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવી બને છે,જે બીજા $R_2 = 1500 \ \Omega$ સાથે સમાંતર છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = 12 \times \frac{750}{500 + 750} = 12 \times \frac{750}{1250} = 7.2 \ V$ છે.
કારણ કે $7.2 \ V < 10 \ V$ (ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ),ઝેનર ડાયોડ વહન કરતું નથી.
તેથી,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $0 \ mA$ છે.

(D) અંદરના સોલેનોઈડનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = \mu_0 n_1^2 A_1 l = \mu_0 n_1^2 (\pi r_1^2) l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સોલેનોઈડ્સનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \mu_0 n_1 n_2 A_1 l = \mu_0 n_1 n_2 (\pi r_1^2) l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_1$ એ અંદરના સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ અને અંદરના ગૂંચળાના સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L_1} = \frac{\mu_0 n_1 n_2 \pi r_1^2 l}{\mu_0 n_1^2 \pi r_1^2 l}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{M}{L_1} = \frac{n_2}{n_1}$ મળે છે.

(B) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે.
પ્રકાશિત શલાકાના કેન્દ્ર પર,કળા તફાવત $0$ હોય છે,તેથી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 2I_0(1 + \cos 0) = 4I_0$ થાય.
આપેલ બિંદુએ,તીવ્રતા $I = 2I_0(1 + \cos(\pi/4)) = 2I_0(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{max}} = \frac{2I_0(1 + 1/\sqrt{2})}{4I_0} = \frac{1 + 0.707}{2} = \frac{1.707}{2} \approx 0.85$ મળે છે.

(A) $0 \le t < t_0$ માટે,સર્કિટમાં બેટરી,અવરોધ $R$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ શ્રેણીમાં છે. પ્રવાહ એક્સપોનેન્શિયલ રીતે વધે છે: $I(t) = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt/L})$.
$t = t_0$ સમયે,પ્રવાહનું મૂલ્ય $I_0 = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt_0/L})$ થાય છે.
$t \ge t_0$ માટે,સ્વીચ $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે. બેટરી દૂર થાય છે અને ઇન્ડક્ટર $L$ અવરોધ $R$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. પ્રવાહ એક્સપોનેન્શિયલ રીતે ઘટે છે: $I(t) = I_0 e^{-R(t-t_0)/L}$.
સાચો ગ્રાફ એક્સપોનેન્શિયલ વૃદ્ધિ અને ત્યારબાદ શૂન્ય તરફ એક્સપોનેન્શિયલ ઘટાડો દર્શાવે છે,જે આપેલ ઉકેલની છબી સાથે મેળ ખાય છે.

(C) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અંતર $a, a$ અને $a\sqrt{2}$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{total}}$:
$U_{\text{total}} = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kq}{a} [Q + \frac{Q}{\sqrt{2}} + \frac{q}{\sqrt{2}}] = 0$
$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q = \frac{-q}{\sqrt{2}+1}$

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D_m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D_m = (n - 1)A$
જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે તેમ વક્રીભવનાંક $n$ ઘટે છે (કોશીનું વિક્ષેપન સૂત્ર: $n(\lambda) = a + b/\lambda^2 + ...$).
કારણ કે $D_m$ એ $(n - 1)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી જેમ $\lambda$ વધવાની સાથે $n$ ઘટે છે,તેમ $D_m$ પણ $\lambda$ વધવાની સાથે ઘટવો જોઈએ.
તેથી,$D_m$ વિરુદ્ધ $\lambda$ નો આલેખ ઘટતો ટ્રેન્ડ દર્શાવવો જોઈએ,જે પ્રથમ આલેખ (આલેખ $A$) ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $V(t) = A_c [1 + \mu \cos(\omega_m t)] \sin(\omega_c t)$ સ્વરૂપમાં છે。
સરખામણી કરતા, $\omega_c = 5.5 \times 10^5 \, rad/s$ અને $\omega_m = 2.2 \times 10^4 \, rad/s$ મળે છે。
કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{5.5 \times 10^5}{2 \times (22/7)} = 87.5 \, kHz$.
મોડ્યુલેટિંગ ફ્રીક્વન્સી $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi} = \frac{2.2 \times 10^4}{2 \times (22/7)} = 3.5 \, kHz$.
સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $f_c \pm f_m$ દ્વારા મળે છે。
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $89.25$ અને $85.75$ છે.

(D) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -20\,m$,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 0.3\,m$,વસ્તુની ઝડપ $v_o = \frac{du}{dt} = 5\,m/s$ (દૂર જાય છે,તેથી $\frac{du}{dt} = 5\,m/s$).
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{0.3} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{10}{3} - \frac{1}{20} = \frac{200 - 3}{60} = \frac{197}{60}$.
તેથી,$v = \frac{60}{197}\,m$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં લેન્સના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$.
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v}{u} \right)^2 \frac{du}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dv}{dt} = \left( \frac{60/197}{-20} \right)^2 \times 5 = \left( -\frac{3}{197} \right)^2 \times 5$.
$\frac{dv}{dt} = \frac{9}{38809} \times 5 \approx 0.00116\,m/s$.
ચિહ્ન ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ પ્રકાશની દિશામાં એટલે કે લેન્સથી દૂર જાય છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ થાય છે.
શ્રેણીમાં વપરાતો પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{2R} = 60 \, W$ છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{V^2}{R} = 120 \, W$ મળે છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
સમાંતરમાં વપરાતો પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/2} = 2 \left( \frac{V^2}{R} \right)$ છે.
$\frac{V^2}{R}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_p = 2 \times 120 = 240 \, W$ મળે છે.

(B) ધારો કે વાયર $AB$ નો અવરોધ $R_{AB} = 4\,\Omega$ છે. ધારો કે વિભાગ $AJ$ નો અવરોધ $R_{AJ}$ છે. $AJ$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AJ} = I \cdot R_{AJ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ મુખ્ય પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,મુખ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{6}{R_{h1} + R_{AB}} = \frac{6}{2 + 4} = 1\,\text{A}$ છે.
$AJ$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AJ} = I_1 \cdot R_{AJ} = 1 \cdot R_{AJ} = \varepsilon_1 = 0.5\,\text{V}$ છે.
આમ,$R_{AJ} = 0.5\,\Omega$ મળે છે.
બીજા કિસ્સામાં,મુખ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{6}{R_{h2} + R_{AB}} = \frac{6}{6 + 4} = 0.6\,\text{A}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $J$ સમાન હોવાથી,અવરોધ $R_{AJ}$ એ $0.5\,\Omega$ જ રહેશે.
બીજા કિસ્સામાં emf $\varepsilon_2$ એ $AJ$ ની આસપાસના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું છે:
$\varepsilon_2 = I_2 \cdot R_{AJ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,\text{V}$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. માધ્યમમાં પ્રવેશતી વખતે તીવ્રતા અચળ રહેતી હોવાથી,$I_i = I_f$.
તેથી,$\frac{1}{2} \epsilon_0 E_i^2 c = \frac{1}{2} \epsilon E_f^2 v$,જ્યાં $v = \frac{c}{n}$ અને $\epsilon = n^2 \epsilon_0$.
$\epsilon_0 E_i^2 c = (n^2 \epsilon_0) E_f^2 (\frac{c}{n}) \Rightarrow E_i^2 = n E_f^2 \Rightarrow \frac{E_i}{E_f} = \sqrt{n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,$B = \frac{E}{v}$.
$\frac{B_i}{B_f} = \frac{E_i / c}{E_f / v} = \frac{E_i}{E_f} \cdot \frac{v}{c} = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\left( \sqrt{n}, \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$ છે.

(D) $10\, \mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-30\,\mu C$ છે,જેનો અર્થ છે કે જમણી પ્લેટ પર $+30\,\mu C$ વિદ્યુતભાર છે. આ વિદ્યુતભાર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $6\,\mu F$ અને $4\,\mu F$ કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. $6\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = 6V$ અને $4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = 4V$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $30\,\mu C$ હોવાથી,$6V + 4V = 30$,જે આપણને $10V = 30$ આપે છે,તેથી $V = 3\,V$.
$6\,\mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $-q_1 = -6 \times 3 = -18\,\mu C$ છે અને જમણી પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+18\,\mu C$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{c}{\nu}$ છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\lambda_e = 10^{-3} \times \lambda_p$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h}{mv} = 10^{-3} \times \frac{c}{\nu}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $(v)$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \frac{h \nu}{m c \times 10^{-3}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 10^{-3}}$.
$v = \frac{39.78 \times 10^{-20}}{27.3 \times 10^{-26}} = 1.457 \times 10^6 \, m/s \approx 1.45 \times 10^6 \, m/s$.

(B) $r_0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < r_0)$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r_0}$ જેટલું હોય છે.
$2$. કવચની બહાર $(r > r_0)$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $V = \frac{kq}{r}$ મુજબ ઘટે છે,જે હાયપરબોલિક ફેરફાર છે.
$3$. આલેખ $r < r_0$ માટે અચળ મૂલ્ય અને $r > r_0$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે,જે સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના વર્તનને અનુરૂપ છે.

(D) વોલ્ટેજ $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગમાન $p = \sqrt{2meV}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{p}{eB} = \frac{\sqrt{2meV}}{eB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$ છે.
આપેલ છે: $V = 500 \, V$,$B = 100 \, mT = 0.1 \, T$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{1}{0.1} \sqrt{\frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 500}{1.6 \times 10^{-19}}}$
$R = 10 \times \sqrt{\frac{910 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10 \times \sqrt{568.75 \times 10^{-12}}$
$R = 10 \times 23.85 \times 10^{-6} \approx 7.53 \times 10^{-4} \, m$.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{X}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $R = 400 \,\Omega$ હોય,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત છે,તેથી $\frac{P}{Q} = \frac{400}{X} \quad .....(1)$
કિસ્સો $2$: $P$ અને $Q$ ને અદલાબદલી કરતા,નવી સંતુલન શરત $\frac{Q}{P} = \frac{405}{X} \quad .....(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $\frac{Q}{P} = \frac{X}{400}$ છે.
આને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{X}{400} = \frac{405}{X}$ મળે છે.
$X^2 = 400 \times 405 = 162000$.
$X = \sqrt{162000} = \sqrt{400 \times 405} = 20 \times \sqrt{405} \approx 20 \times 20.1246 = 402.492 \,\Omega$.
આમ,$X$ નું મૂલ્ય $402.5 \,\Omega$ ની નજીક છે.

(C) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 20\,\Omega$.
કાપાની સંખ્યા $N = 30$.
ફિગર ઓફ મેરિટ $k = 0.005\,A/division$.
માપવા માટેનો મહત્તમ વોલ્ટેજ $V = 15\,V$.
સૌ પ્રથમ,ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ $I_g$ શોધો:
$I_g = N \times k = 30 \times 0.005 = 0.15\,A$.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે છે.
કુલ અવરોધ માટેનું સૂત્ર $V = I_g(G + R)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$15 = 0.15(20 + R)$
$100 = 20 + R$
$R = 100 - 20 = 80\,\Omega$.
તેથી,જરૂરી શ્રેણી અવરોધ $80\,\Omega$ છે.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 40\,cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_2 = 1.5 R_1$ .....$(i)$
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $10\,\Omega$ જોડવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $(R_1 + 10)\,\Omega$ થાય છે. તટસ્થ બિંદુ $10\,cm$ ખસે છે. $R_1$ વધવાથી,તટસ્થ બિંદુ $B$ તરફ ખસે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = 40 + 10 = 50\,cm$ થાય.
આમ,$\frac{R_1 + 10}{R_2} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_1 + 10 = R_2$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $R_1 + 10 = 1.5 R_1 \implies 0.5 R_1 = 10 \implies R_1 = 20\,\Omega$ અને $R_2 = 30\,\Omega$.
હવે,આપણે $(R_1 + 10) = 30\,\Omega$ સાથે સમાંતરમાં $R$ અવરોધ જોડવો છે જેથી તટસ્થ બિંદુ ફરીથી $40\,cm$ પર આવે (એટલે કે ગુણોત્તર $\frac{2}{3}$ રહે).
ધારો કે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{30R}{30+R}$ છે.
તેથી $\frac{R_{eq}}{R_2} = \frac{2}{3} \implies \frac{R_{eq}}{30} = \frac{2}{3} \implies R_{eq} = 20\,\Omega$.
તેથી,$\frac{30R}{30+R} = 20 \implies 30R = 600 + 20R \implies 10R = 600 \implies R = 60\,\Omega$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે. ફ્રેમની પરિમિતિ $P = 3a$ છે. ધારો કે $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે. કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \times P = n(3a)$ દ્વારા મળે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
સોલેનોઇડ જેવી રચનાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \mu_0 n^2 A l_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ કોઈલની અસરકારક લંબાઈ છે. અહીં,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L \propto N \cdot A$ છે.
$N = n(3a) \propto a$ અને $A \propto a^2$ હોવાથી,$L \propto a \cdot a^2 = a^3$ થાય.
જો $a$ ને $3$ ના ગુણાંકમાં વધારવામાં આવે $(a' = 3a)$,તો $L' \propto (a')^3 = (3a)^3 = 27a^3$ થાય.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $27$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(D) સમઘનનું કદ $V = (1\, cm)^3 = (10^{-2}\, m)^3 = 10^{-6}\, m^3$ છે.
મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I = \frac{M}{V} = \frac{20 \times 10^{-6}\, J/T}{10^{-6}\, m^3} = 20\, A/m$.
ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\chi = \frac{I}{H}$.
અહીં $H = 60 \times 10^3\, A/m$ આપેલ છે,તેથી:
$\chi = \frac{20}{60 \times 10^3} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} = 0.333 \times 10^{-3} = 3.33 \times 10^{-4}$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,ડાયોડ $D_1$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને ડાયોડ $D_2$ રિવર્સ બાયસમાં છે.
$D_2$ રિવર્સ બાયસમાં હોવાથી,તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને $D_2$ વાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટ અસરકારક રીતે $6\,V$ ની બેટરી,$100\,\Omega $ નો અવરોધ,ડાયોડ $D_1$ (જેનો ફોરવર્ડ અવરોધ $50\,\Omega $ છે) અને $150\,\Omega $ ના અવરોધની શ્રેણી જોડાણ ધરાવે છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{diode} + R_1 + R_{series} = 50\,\Omega + 150\,\Omega + 100\,\Omega = 300\,\Omega$ છે.
$100\,\Omega $ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6\,V}{300\,\Omega} = 0.020\,A$.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -PE \cos \theta$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1000\,V/m = 10^3\,V/m$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $P = 10^{-29}\,C\cdot m$
ખૂણો $\theta = 45^\circ$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = -(10^{-29}) \times (10^3) \times \cos(45^\circ)$
$U = -10^{-26} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$U = -10^{-26} \times 0.7071$
$U = -0.7071 \times 10^{-26}\,J$
$U = -7.071 \times 10^{-27}\,J$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત:
$U \approx -7 \times 10^{-27}\,J$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B \hat k$ છે. કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{mv}{2qB}$,તેથી $r = 2d$ થાય.
જ્યારે કણ $y = d$ પર બહાર આવે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જે $\sin \theta = \frac{d}{r} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 30^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{6}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ છે. પ્રવેગ $\vec a = \frac{\vec F}{m} = \frac{q}{m}(\vec v \times \vec B)$ છે.
બહાર નીકળવાના બિંદુએ,વેગ સદિશ $\vec v = v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)$ છે.
તેથી,$\vec a = \frac{q}{m} [v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j) \times B \hat k] = \frac{qvB}{m} (\cos \theta (-\hat j) + \sin \theta (\hat i)) = \frac{qvB}{m} (\sin \theta \hat i - \cos \theta \hat j)$.
$\theta = 30^\circ$ મૂકતા,$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે,તેથી $\vec a = \frac{qvB}{m} (\frac{1}{2} \hat i - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat j)$ મળે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,મૂલ્ય અને દિશા વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{\text{Power}}{\text{Area}} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
આપેલ છે:
પાવર $P = 27 \times 10^{-3}\, W$
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \times 10^{-6}\, m^2$
$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12}\, SI\, \text{એકમ}$
$c = 3 \times 10^8\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$2700 = \frac{27 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{2700 \times 2}{27 \times 10^{-4}} = 200 \times 10^4 = 2 \times 10^6$
$E_0 = \sqrt{2} \times 10^3\, V/m \approx 1.414 \times 10^3\, V/m$
કારણ કે $10^3\, V/m = 1\, kV/m$, તેથી $E_0 \approx 1.4\, kV/m$.

(B) આ પરિપથમાં બિંદુઓ $D$ અને $C$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે. દરેક શાખામાં $E$ જેટલું $EMF$ અને $r$ જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી છે.
બેટરીઓના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{3}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{6}{3} = 2 \, V$
$r_{eq} = \frac{1}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} \, \Omega$
અહીં $A$ અને $B$ આગળ પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,બાહ્ય અવરોધો ($5 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $D$ અને $C$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ થાય.
તેથી,$V_{AB} = V_{DC} = E_{eq} = 2 \, V$.

(C) $1$. આલેખ પરથી,સિગ્નલનો એમ્પ્લિટ્યુડ $8 \, V$ અને $10 \, V$ ની વચ્ચે બદલાય છે. આને $A(t) = 9 + 1 \sin(\omega_m t) \, V$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$2$. મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ (એન્વલપ) નો સમયગાળો $T_m = 100 \, \mu s = 100 \times 10^{-6} \, s = 10^{-4} \, s$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega_m = \frac{2\pi}{T_m} = \frac{2\pi}{10^{-4}} = 2\pi \times 10^4 \, rad/s$ છે.
$3$. કેરિયર તરંગનો સમયગાળો $T_c = 8 \, \mu s = 8 \times 10^{-6} \, s$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega_c = \frac{2\pi}{T_c} = \frac{2\pi}{8 \times 10^{-6}} = 0.25 \times 10^6 \pi = 2.5\pi \times 10^5 \, rad/s$ છે.
$4$. એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલનું સામાન્ય સ્વરૂપ $V(t) = (A_c + A_m \sin(\omega_m t)) \sin(\omega_c t)$ છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા,આપણને $V(t) = (9 + 1 \sin(2\pi \times 10^4 t)) \sin(2.5\pi \times 10^5 t) \, V$ મળે છે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$M$-શેલ $(n_i = 3)$ થી $L$-શેલ $(n_f = 2)$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5K}{36}$,જ્યાં $K = R Z^2$.
$N$-શેલ $(n_i = 4)$ થી $L$-શેલ $(n_f = 2)$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda'} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = K \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3K}{16}$.
હવે,બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5K/36}{3K/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$.

(C) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત $i = e$ અને $r_1 = r_2 = r$ છે.
પ્રિઝમ સમબાજુ હોવાથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $60^{\circ} = 2r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$.
અહીં $n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = \sqrt{3}$ (પ્રિઝમ) આપેલ છે,તેથી $\sin i = \sqrt{3} \sin 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,આપણને $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$i = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^{\circ}$.

(B) વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n D \lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5303\,\mathring{A} = 5303 \times 10^{-10}\,m$,$a = 4.05\,\mu m = 4.05 \times 10^{-6}\,m$,$d = 19.44\,\mu m = 19.44 \times 10^{-6}\,m$.
પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ $(y_1)$ નું સ્થાન: $y_1 = \frac{D \lambda}{a}$.
દ્વિતીય વિવર્તન ન્યૂનતમ $(y_2)$ નું સ્થાન: $y_2 = \frac{2 D \lambda}{a}$.
વ્યતિકરણ માટે,પ્રકાશિત શલાકાની શરત પથ તફાવત $\Delta x = m \lambda$ છે,જ્યાં $\Delta x = \frac{d y}{D}$.
તેથી,$m = \frac{d y}{D \lambda}$.
$y_1 = \frac{D \lambda}{a}$ પર,વ્યતિકરણ શલાકાનો ક્રમ $m_1 = \frac{d}{D \lambda} \cdot \frac{D \lambda}{a} = \frac{d}{a} = \frac{19.44}{4.05} = 4.8$.
$y_2 = \frac{2 D \lambda}{a}$ પર,વ્યતિકરણ શલાકાનો ક્રમ $m_2 = \frac{d}{D \lambda} \cdot \frac{2 D \lambda}{a} = \frac{2d}{a} = 2 \times 4.8 = 9.6$.
$y_1$ અને $y_2$ વચ્ચેની પ્રકાશિત શલાકાઓ $m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોને અનુરૂપ છે જેથી $4.8 < m < 9.6$.
આ પૂર્ણાંકો $m = 5, 6, 7, 8, 9$ છે.
આમ,$5$ પ્રકાશિત શલાકાઓ હાજર છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 2\,\mu F$ છે. આપણે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{6}{13}\,\mu F$ મેળવવું છે.
આકૃતિ $B$ માં દર્શાવેલ ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લો. તેમાં $3$ કેપેસિટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે,જે પછી $4$ કેપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$1$. સમાંતર જોડાણમાં રહેલા $3$ કેપેસિટર્સનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3C = 3 \times 2 = 6\,\mu F$ થાય.
$2$. શ્રેણી જોડાણમાં રહેલા $4$ કેપેસિટર્સનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\,\mu F$ થાય.
$3$. હવે,$C_p$ અને $C_s$ શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{0.5} = \frac{1}{6} + 2 = \frac{1 + 12}{6} = \frac{13}{6}\,\mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{6}{13}\,\mu F$. આ ઇચ્છિત મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ચુંબકીય બળ વેગને લંબ હોય છે: $W_B = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{r} = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt = 0$.
તેથી,કુલ કાર્ય ફક્ત વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે થાય છે: $W = \int \vec{F}_E \cdot d\vec{r} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S} = (1 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
$W = q(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = q(2(1) + 3(1)) = 5q$.
કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $5q$ છે.