JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta_0 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 2x - 9x^2$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\tan \theta_0 = 2$. તેથી $\cos \theta_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$2$. $\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} = 9$.
$g = 10$ અને $\cos^2 \theta_0 = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$\frac{10}{2 v_0^2 (1/5)} = 9 \implies \frac{25}{v_0^2} = 9 \implies v_0^2 = \frac{25}{9} \implies v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$.
આમ,$\theta_0 = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ અને $v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોય છે: $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
આપેલ છે કે $\Delta U_{ca} = -180\, J$,તેથી $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} = 180\, J$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
માર્ગ $bc$ માટે,પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે ($P-V$ આલેખમાં ઉભી રેખા),તેથી $\Delta W_{bc} = 0$. આમ,$\Delta U_{bc} = \Delta Q_{bc} = 60\, J$.
આ કિંમતને ચક્રીય સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U_{ab} + 60 = 180 \implies \Delta U_{ab} = 120\, J$.
હવે,માર્ગ $ab$ માટે,$\Delta W_{ab} = \Delta Q_{ab} - \Delta U_{ab} = 250 - 120 = 130\, J$.
માર્ગ $abc$ પર થયેલ કુલ કાર્ય $\Delta W_{abc} = \Delta W_{ab} + \Delta W_{bc} = 130 + 0 = 130\, J$.

(A) સૌથી નીચલા બિંદુએ,વ્યક્તિનો વેગ $V_0 = \omega A = \sqrt{\frac{g}{L}} (\theta_0 L) = \theta_0 \sqrt{gL}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ઊભી થાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પીવટથી અંતર $L$ થી બદલાઈને $L-l$ થાય છે. પીવટ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M V_0 L = M V_1 (L-l) \implies V_1 = V_0 \frac{L}{L-l} = V_0 (1 - \frac{l}{L})^{-1} \approx V_0 (1 + \frac{l}{L})$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ: $W_g + W_p = \Delta KE$.
અહીં,$W_g = -Mgl$ (ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપર જાય છે).
$\Delta KE = \frac{1}{2} M (V_1^2 - V_0^2) = \frac{1}{2} M [V_0^2 (1 + \frac{l}{L})^2 - V_0^2] \approx \frac{1}{2} M V_0^2 (1 + \frac{2l}{L} - 1) = M V_0^2 \frac{l}{L}$.
$V_0^2 = \theta_0^2 gL$ મૂકતા:
$\Delta KE = M (\theta_0^2 gL) \frac{l}{L} = Mgl \theta_0^2$.
આમ,$W_p = Mgl + \Delta KE = Mgl + Mgl \theta_0^2 = Mgl(1 + \theta_0^2)$.

(D) ત્રણ કણોના યામ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 50\, g$ બિંદુ $(0, 0)$ પર
$m_2 = 100\, g$ બિંદુ $(1, 0)$ પર
$m_3 = 150\, g$ બિંદુ $(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ પર
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12}\, m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{300} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4}\, m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{7}{12}\,m, \frac{\sqrt{3}}{4}\,m \right)$ છે.

(D) પદાર્થનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,પદાર્થનું વજન ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે: $\frac{W_{earth}}{W_{planet}} = \frac{9}{4} = \frac{g_{earth}}{g_{planet}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$.
અહીં $\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \cdot \frac{R_p^2}{R_e^2}$.
આપેલ છે કે $M_p = \frac{M_e}{9}$,તેથી $\frac{M_e}{M_p} = 9$.
તેથી,$\frac{9}{4} = 9 \cdot \frac{R_p^2}{R^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{R_p^2}{R^2} \implies \frac{R_p}{R} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_p = \frac{R}{2}$.

(D) કિસ્સો $(A)$ (ધકેલવું):
લંબબળ: $N_1 = mg + F \sin 30^o = 5 \times 10 + 20 \times 0.5 = 50 + 10 = 60\, N$.
સમક્ષિતિજ બળ: $F_x = F \cos 30^o = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\, N$.
ઘર્ષણબળ: $f_1 = \mu N_1 = 0.2 \times 60 = 12\, N$.
પ્રવેગ: $a_1 = \frac{F_x - f_1}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{5} = 2\sqrt{3} - 2.4 \approx 1.064\, ms^{-2}$.
કિસ્સો $(B)$ (ખેંચવું):
લંબબળ: $N_2 = mg - F \sin 30^o = 5 \times 10 - 20 \times 0.5 = 50 - 10 = 40\, N$.
સમક્ષિતિજ બળ: $F_x = F \cos 30^o = 10\sqrt{3}\, N$.
ઘર્ષણબળ: $f_2 = \mu N_2 = 0.2 \times 40 = 8\, N$.
પ્રવેગ: $a_2 = \frac{F_x - f_2}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 8}{5} = 2\sqrt{3} - 1.6 \approx 1.864\, ms^{-2}$.
તફાવત: $a_2 - a_1 = (2\sqrt{3} - 1.6) - (2\sqrt{3} - 2.4) = 0.8\, ms^{-2}$.

(C) દ્રઢ અણુઓ ધરાવતા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{p} = \frac{7}{2} R$ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 10 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = n C_{p} \Delta T$ છે.
$C_{p} = \frac{7}{2} R$ મૂકતા,આપણને $\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$ મળે છે.
અહીં $nR \Delta T = W = 10 \ J$ હોવાથી,$\Delta Q = \frac{7}{2} \times 10 \ J = 35 \ J$ થાય.

(C) અવાજની પ્રબળતા ડેસિબલ $(dB)$ માં નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$,જ્યાં $I$ એ અવાજની તીવ્રતા છે અને $I_0 = 10^{-12}\, W/m^2$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
આપેલ છે કે $L = 120\, dB$,તેથી: $120 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right)$.
$10$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $12 = \log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I}{10^{-12}} = 10^{12}$.
આમ,$I = 10^{12} \times 10^{-12} = 1\, W/m^2$.
બિંદુ સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ છે,જ્યાં $P = 2\, W$ પાવર છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{2}{4 \pi r^2}$.
$r^2$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \approx \frac{1}{6.28} \approx 0.159\, m^2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \sqrt{0.159} \approx 0.399\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $r \approx 0.399 \times 100 = 39.9\, cm \approx 40\, cm$.

(C) સમાન અવધિ $R$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ પૂરક હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$.
બંને કણો માટે મહત્તમ ઊંચાઈઓ:
$h_1 = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g}$
$h_1$ અને $h_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{4g^2}$
$h_1 h_2 = \frac{1}{16} \left( \frac{4u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{g^2} \right) = \frac{1}{16} R^2$
તેથી,$R^2 = 16 h_1 h_2$.

(B) આપેલ ઝડપ $v = b\sqrt{x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = b\sqrt{x}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{\sqrt{x}} = b dt$ મળે છે.
બંને બાજુ $t = 0$ (જ્યાં $x = 0$) થી $t = \tau$ (જ્યાં $x = x$) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{\tau} b dt$
$[2\sqrt{x}]_{0}^{x} = b\tau$
$2\sqrt{x} = b\tau$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x} = \frac{b\tau}{2}$.
આ કિંમતને ઝડપના સમીકરણ $v = b\sqrt{x}$ માં મૂકતા:
$v = b \left( \frac{b\tau}{2} \right) = \frac{b^2\tau}{2}$.

(C) $1, kg$ પાણીનું તાપમાન $20, ^oC$ થી $100, ^oC$ સુધી વધારવા અને ત્યારબાદ તેનું બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q$ નીચે મુજબ છે:
$Q = mc\Delta T + mL$
અહીં, $m = 1, kg$, $c = 4200, J/kg, ^oC$, $\Delta T = (100 - 20) = 80, ^oC$, અને $L = 2260 \times 10^3, J/kg$.
$Q = (1 \times 4200 \times 80) + (1 \times 2260 \times 10^3) = 336000 + 2260000 = 2596000, J$.
હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા વપરાતો પાવર $P$:
$P = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{200^2}{20} = \frac{40000}{20} = 2000, W$.
લાગતો સમય $t = \frac{Q}{P}$:
$t = \frac{2596000}{2000} = 1298, s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $t = \frac{1298}{60} \approx 21.63, min \approx 22, min$.

(C) નળાકારની લંબાઈ બદલાતી નથી,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મીય પ્રસરણ એ રેખીય સંકોચન દ્વારા સંપૂર્ણપણે સરભર થાય છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણ વિકૃતિ $\Delta L / L = \alpha T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
બળ $F$ ને કારણે સંકોચન વિકૃતિ $\Delta L / L = \text{Stress} / Y = F / (A Y) = F / (\pi r^2 Y)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વિકૃતિઓને સરખાવતા: $\alpha T = F / (\pi r^2 Y)$.
તેથી,$\alpha = F / (\pi r^2 YT)$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ સાથે $\gamma = 3\alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\gamma = 3F / (\pi r^2 YT)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: સ્ત્રોતોની આવૃત્તિ $f = 660\, Hz$, ધ્વનિનો વેગ $v = 330\, m/s$, અને બીટ આવૃત્તિ $f_b = 10\, \text{beats/s}$.
જ્યારે શ્રોતા $S_1$ થી $u$ ઝડપે દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_1$ છે:
$f_1 = f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
જ્યારે શ્રોતા $S_2$ તરફ $u$ ઝડપે ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f \left( \frac{v + u}{v} \right)$
બીટ આવૃત્તિ એ બે અવલોકિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_b = f_2 - f_1 = f \left( \frac{v + u}{v} \right) - f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
$f_b = \frac{f}{v} [v + u - (v - u)] = \frac{f}{v} [2u]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{660}{330} \times 2u$
$10 = 2 \times 2u$
$10 = 4u$
$u = \frac{10}{4} = 2.5\, m/s$.

(D) ધારો કે મણકાનું દળ $m$ છે અને તાર દ્વારા મણકા પર લાગતું લંબબળ $N$ છે.
મણકાના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R_{path} = r/2$ છે.
મણકા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબબળ $N$ (તારને લંબ) છે.
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$N \sin \theta = m R_{path} \omega^2 = m (r/2) \omega^2$ ... $(i)$
$N \cos \theta = mg$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\tan \theta = \frac{(r/2) \omega^2}{g} = \frac{r \omega^2}{2g}$
વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી,કેન્દ્ર $O$ થી શિરોલંબ અક્ષ સુધીનું અંતર $r/2$ છે. ત્રિજ્યા સદિશ $OP$ શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\sin \theta = \frac{r/2}{r} = 1/2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 30^\circ$.
આમ,$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r \omega^2}{2g}$
$\omega^2 = \frac{2g}{r\sqrt{3}}$

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_T \propto r^2$.
ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. જ્યારે ગોળાને $27$ સમાન નાના ગોળાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે કુલ કદ સમાન રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \Rightarrow R = 3r \Rightarrow r = R/3$.
હવે,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{R^2}{(R/3)^2} = \frac{R^2}{R^2/9} = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $(\nu_1/\nu_2)$ નું મૂલ્ય $9$ છે.

(A) અણુઓની કુલ સંખ્યા $N$ એ સમગ્ર કદ પર સંખ્યા ઘનતા $n(r)$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,કદનો ઘટક $dV = 4\pi r^2 dr$ છે.
તેથી,$N = \int_{0}^{\infty} n(r) dV = \int_{0}^{\infty} n_0 e^{-\alpha r^4} (4\pi r^2) dr$.
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-\alpha r^4} dr$.
ધારો કે $u = \alpha r^4$,તો $r = (u/\alpha)^{1/4}$ અને $dr = \frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} (u/\alpha)^{2/4} e^{-u} (\frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4}) du$.
$N = \pi n_0 \alpha^{-1/2} \alpha^{-1/4} \int_{0}^{\infty} u^{1/2 - 3/4} e^{-u} du = \pi n_0 \alpha^{-3/4} \int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$.
સંકલન $\int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$ એ એક અચળાંક (Gamma વિધેય $\Gamma(3/4)$) છે.
તેથી,$N \propto n_0 \alpha^{-3/4}$.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબના પ્રયોગમાં,અવાજની ઝડપ $\nu$,આવૃત્તિ $f$ અને બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈઓ $\ell_1$ અને $\ell_2$ વચ્ચેના તફાવત સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\nu = 2f(\ell_2 - \ell_1)$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $f = 480\, Hz$
$\ell_1 = 30\, cm = 0.30\, m$
$\ell_2 = 70\, cm = 0.70\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\nu = 2 \times 480 \times (0.70 - 0.30)$
$\nu = 960 \times 0.40$
$\nu = 384\, m/s$.

(D) સ્પ્રિંગનો ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $k$ તેની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{\ell}$,જેનો અર્થ છે કે $k\ell = C$ (અચળાંક).
બે ટુકડાઓ માટે,આપણી પાસે $k_1 \ell_1 = C$ અને $k_2 \ell_2 = C$ છે.
તેથી,$k_1 \ell_1 = k_2 \ell_2$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\ell_1 = n\ell_2$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\ell_2}{n\ell_2} = \frac{1}{n}$.

(A) ધારો કે સમય $T \propto c^{x} G^{y} h^{z}$.
$\Rightarrow T = k c^{x} G^{y} h^{z}$.
બંને બાજુ પરિમાણો લેતા: $[M^{0} L^{0} T^{1}] = [L T^{-1}]^{x} [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{y} [M L^{2} T^{-1}]^{z}$.
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$-y + z = 0 \implies z = y \quad \dots(1)$
$x + 3y + 2z = 0 \quad \dots(2)$
$-x - 2y - z = 1 \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(x + 3y + 2z) + (-x - 2y - z) = 0 + 1 \implies y + z = 1$.
$z = y$ હોવાથી,$2y = 1 \implies y = 1/2$.
તેથી,$z = 1/2$.
$(2)$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 3(1/2) + 2(1/2) = 0 \implies x + 3/2 + 1 = 0 \implies x = -5/2$.
તેથી,$[T] = [G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$.

(A) $q = CV$ સંબંધ પરથી, $q-V$ આલેખનો ઢાળ કેપેસિટન્સ $C = q/V$ દર્શાવે છે.
રેખા $A$ માટે, કેપેસિટન્સ $C_A = 500\,\mu C / 10\,V = 50\,\mu F$ છે.
રેખા $B$ માટે, કેપેસિટન્સ $C_B = 80\,\mu C / 10\,V = 8\,\mu F$ છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શ્રેણી જોડાણ કરતા વધારે હોવાથી, $C_{parallel} = 50\,\mu F$ અને $C_{series} = 8\,\mu F$ મળે.
ધારો કે બે કેપેસિટર્સ $C_1$ અને $C_2$ છે. તેથી $C_1 + C_2 = 50$ અને $(C_1 C_2) / (C_1 + C_2) = 8$ થાય.
શ્રેણી જોડાણના સૂત્રમાં $C_1 + C_2 = 50$ મૂકતા: $(C_1 C_2) / 50 = 8$, તેથી $C_1 C_2 = 400$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 50x + 400 = 0$ ઉકેલતા, આપણને $(x - 40)(x - 10) = 0$ મળે.
આમ, કેપેસિટન્સ $40\,\mu F$ અને $10\,\mu F$ છે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર પર $r$ અંતરે રહેલા $I'$ પ્રવાહ ધરાવતા બીજા સમાંતર તારને કારણે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F = \frac{\mu_0 I I'}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $C$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય તે માટે,તાર $A$ અને $B$ દ્વારા લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ધારો કે તાર $C$ એ $A$ થી $x$ અંતરે અને $B$ થી $(d-x)$ અંતરે છે. $A$ ને કારણે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F_A = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi x}$ છે.
$B$ ને કારણે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F_B = \frac{\mu_0 I_2 I}{2 \pi (d-x)}$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જો $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોય તો બળો એક જ દિશામાં હશે. તેથી,સંતુલન બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર હોવું જોઈએ.
$C$ ના સ્થાન પર $A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi |x - d|}$
$\frac{I_1}{x} = \frac{I_2}{|x - d|}$
કિસ્સો $1$: $x > d$,તો $x - d = x - d$,તેથી $I_1(x - d) = I_2 x \Rightarrow x(I_1 - I_2) = I_1 d \Rightarrow x = \frac{I_1 d}{I_1 - I_2}$.
આમ,સંતુલન માટેનું બિંદુ $x = \frac{I_1 d}{I_1 - I_2}$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
અહીં $K$ અને $B$ સમાન હોવાથી,$r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m, q_p = e$,તેથી $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ માટે: $m_e \approx \frac{m}{1836}, q_e = e$,તેથી $r_e \propto \frac{\sqrt{m/1836}}{e} = \frac{r_p}{\sqrt{1836}}$. આમ,$r_e < r_p$.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(He^{2+})$ માટે: $m_{He} \approx 4m, q_{He} = 2e$,તેથી $r_{He} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e} = r_p$.
તેથી,$r_e < r_p = r_{He}$.

(B) પરિપથમાં શ્રેણીમાં $1.5\,V$ ના બે કોષો છે,તેથી કુલ $EMF$ $E_{eq} = 1.5 + 1.5 = 3\,V$ છે. કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r + r = 2r$ છે.
બાહ્ય પરિપથમાં $15\,\Omega$ અને $10\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર છે,જે $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6\,\Omega$ છે.
કુલ બાહ્ય અવરોધ $R_{ext} = 6 + 2 = 8\,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 8 + 2r$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3}{8 + 2r}$ છે.
વોલ્ટમીટર $10\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે,જે સમાંતર જોડાણનો ભાગ છે. સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_p = i \times R_p = i \times 6$ છે.
આપેલ છે કે $V_p = 2\,V$,તેથી $2 = \frac{3}{8 + 2r} \times 6$.
$2 = \frac{18}{8 + 2r} \Rightarrow 16 + 4r = 18 \Rightarrow 4r = 2 \Rightarrow r = 0.5\,\Omega$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = E_0 \hat i \cos(kz) \cos(\omega t)$ છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને $\vec E$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$.
$z$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગ માટે,$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
$E_x$ નું $z$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{\partial}{\partial z} [E_0 \cos(kz) \cos(\omega t)] = -k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
તેથી,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
$t$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: $B_y = \int k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t) dt = \frac{k E_0}{\omega} \sin(kz) \sin(\omega t)$.
$c = \frac{\omega}{k}$ હોવાથી,$\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$ થાય.
તેથી,$\vec B = \frac{E_0}{c} \hat j \sin(kz) \sin(\omega t)$.

(B) $dB$ માં પાવર ગેઇન $G_p = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) = 60\, dB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{P_{out}}{P_{in}} = 10^{(60/10)} = 10^6$.
પાવર ગેઇનને $A_p = \beta^2 \times \frac{R_{out}}{R_{in}}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ કરંટ ગેઇન છે,$R_{out} = 10\, k\Omega = 10^4\,\Omega$,અને $R_{in} = 100\,\Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^6 = \beta^2 \times \frac{10^4}{100}$.
$10^6 = \beta^2 \times 10^2$.
$\beta^2 = \frac{10^6}{10^2} = 10^4$.
$\beta = \sqrt{10^4} = 100$.

(A) મીટર બ્રિજમાં, અજ્ઞાત અવરોધ $X$ નું સૂત્ર $X = R \frac{(100 - l)}{l}$ છે, જ્યાં $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે।
અવલોકન $1$ માટે: $X = 1000 \times \frac{(100 - 60)}{60} = 1000 \times \frac{40}{60} \approx 666.67 \, \Omega$.
અવલોકન $2$ માટે: $X = 100 \times \frac{(100 - 13)}{13} = 100 \times \frac{87}{13} \approx 669.23 \, \Omega$.
અવલોકન $3$ માટે: $X = 10 \times \frac{(100 - 1.5)}{1.5} = 10 \times \frac{98.5}{1.5} \approx 656.67 \, \Omega$.
અવલોકન $4$ માટે: $X = 1 \times \frac{(100 - 1)}{1} = 1 \times 99 = 99 \, \Omega$.
$X$ ના ગણતરી કરેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, અવલોકન $1, 2,$ અને $3$ ના મૂલ્યો સુસંગત છે (આશરે $660 \, \Omega$), જ્યારે અવલોકન $4$ નું મૂલ્ય નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે। તેથી, અવલોકન $4$ અસંગત છે।

(A) આપેલ છે: પ્રાઇમરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $N_{p} = 300$,સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $N_{s} = 150$,આઉટપુટ પાવર $P_{s} = 2.2\, kW = 2200\, W$,સેકન્ડરી પ્રવાહ $I_{s} = 10\, A$.
પ્રથમ,$P_{s} = V_{s} I_{s}$ નો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_{s}$ શોધો:
$2200 = V_{s} \times 10 \Rightarrow V_{s} = 220\, V$.
ટ્રાન્સફોર્મરના ગુણોત્તર $\frac{V_{p}}{V_{s}} = \frac{N_{p}}{N_{s}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_{p}}{220} = \frac{300}{150} = 2 \Rightarrow V_{p} = 440\, V$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર ધારીએ તો,ઇનપુટ પાવર $P_{p} = P_{s} = 2200\, W$:
$P_{p} = V_{p} I_{p} \Rightarrow 2200 = 440 \times I_{p} \Rightarrow I_{p} = \frac{2200}{440} = 5\, A$.
આમ,ઇનપુટ વોલ્ટેજ $440\, V$ અને ઇનપુટ પ્રવાહ $5\, A$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર $z$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}$ છે.
અહીં,$R = 3a$. $z = 4a$ આગળ,સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2}} = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(z = 0)$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = qV = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$. કણ ઉગમબિંદુને પાર કરે તે માટે $K_f = 0$ લેતા,
$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (5a)} = 0 + \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 (3a)}$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} (\frac{2}{15})$.
$v^2 = \frac{2}{m} \cdot \frac{2}{15} \cdot \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
$v = \sqrt{\frac{2}{m}} \left( \frac{2}{15} \frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} \right)^{1/2}$.

(B) મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{V_d}{E}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$E = \rho J$,જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે અને $J$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે.
પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A} = \frac{I}{\pi r^2}$.
આપેલ છે: $I = 5\, A$,$\rho = 1.7 \times 10^{-8}\, \Omega \, m$,$r = 5\, mm = 5 \times 10^{-3}\, m$,અને $V_d = 1.1 \times 10^{-3}\, m/s$.
પ્રથમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = \rho \times \frac{I}{\pi r^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times (5 \times 10^{-3})^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times 25 \times 10^{-6}} \approx 1.08 \times 10^{-3}\, V/m$.
હવે,મોબિલિટી $\mu$ શોધો:
$\mu = \frac{1.1 \times 10^{-3}}{1.08 \times 10^{-3}} \approx 1.01\, m^2/Vs$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.0\, m^2/Vs$ છે.

(A) આપેલ છે:
મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_m = 100\, MHz = 10^8\, Hz$.
મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $V_m = 100\, V$.
કેરિયર તરંગની આવૃત્તિ $f_c = 300\, GHz$.
કેરિયર તરંગનો પીક વોલ્ટેજ $V_c = 400\, V$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{V_m}{V_c} = \frac{100}{400} = 0.25$ છે.
બે સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $(f_c + f_m)$ અને $(f_c - f_m)$ છે.
બંને સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $(f_c + f_m) - (f_c - f_m) = 2f_m$ થાય.
$f_m$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2 \times 10^8\, Hz$ મળે છે.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં,$n_1 = 1$ (શૂન્યાવકાશ),$i = 60^o$,$n_2 = \mu$ (કાચ),અને $r = 30^o$ છે.
$1 \cdot \sin 60^o = \mu \cdot \sin 30^o$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow \mu = \sqrt{3}$.
ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ એટલે દરેક માધ્યમ માટે વક્રીભવનાંક અને ભૌમિતિક પથ લંબાઈના ગુણાકારનો સરવાળો.
ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $= n_{vacuum} \cdot AO + n_{glass} \cdot OB$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$AO = \frac{a}{\cos 60^o} = \frac{a}{1/2} = 2a$.
$OB = \frac{b}{\cos 30^o} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{2b}{\sqrt{3}}$.
ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $= 1 \cdot (2a) + \sqrt{3} \cdot \left( \frac{2b}{\sqrt{3}} \right) = 2a + 2b$.

(C) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$t$ સમયે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A = N_0 e^{-10\lambda t}$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે,$t$ સમયે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{e}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-9\lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $-9\lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $E = \frac{1237}{\lambda}$ અને $\phi = \frac{1237}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0 = 380 \, nm$ અને $\lambda = 260 \, nm$.
$K_{\max} = \frac{1237}{260} - \frac{1237}{380}$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{380 - 260}{380 \times 260} \right)$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{120}{98800} \right)$
$K_{\max} \approx 1.5 \, eV$.

(C) પ્રથમ લેન્સ (સમતલ-બહિર્ગોળ) માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
બીજા લેન્સ (સમતલ-અંતર્ગોળ) માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(D) ધારો કે $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I_g = 10^{-4} \ A$ એ ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
$V = 5 \ V$ ની રેન્જના વોલ્ટમીટર માટે શ્રેણી અવરોધ $R_s = 2 \ M\Omega = 2 \times 10^6 \ \Omega$ છે:
$V = I_g(R_s + G)$
$5 = 10^{-4}(2 \times 10^6 + G)$
$5 \times 10^4 = 2 \times 10^6 + G$
$G = 50000 - 2000000 = -1950000 \ \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી પ્રશ્નમાં આપેલી કિંમતો અસંગત છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 1\,m$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = \frac{a}{2\tan(60^\circ)} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
દરેક બાજુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 60^\circ$,તેથી $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2\sqrt{3})} \times \sqrt{3} = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{2\pi a} \times \sqrt{3} = \frac{3\mu_0 i}{2\pi a}$ છે.
ત્રણ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્રમાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3\mu_0 i}{2\pi a} = \frac{9\mu_0 i}{2\pi a}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 1} = 18 \times 10^{-6}\,T = 18\,\mu T$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(t) = N_0 e^{-5\lambda t}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A(t)}{N_B(t)} = \frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-4\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $(1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
તેથી,$e^{-4\lambda t} = e^{-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4\lambda t = -2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{-2}{-4\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ધરાસ્થિતિ $(n=1)$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
અહીં $N = 6$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n(n-1)}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - n - 12 = 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(n-4)(n+3) = 0$ મળે છે. $n > 0$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $n = 4$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત થાય છે.
હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ હોય ત્યારે $n=1$ થી $n=4$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે શોષાયેલા ફોટોનની ઉર્જા: $\Delta E = 13.6 \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$ છે.
$Li^{++}$ માટે,$Z = 3$. તેથી,$\Delta E = 13.6 \times 3^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \times 9 \times \frac{15}{16} \approx 114.75 \, eV$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ દ્વારા મળે છે. $hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ લેતા,$\lambda = \frac{1240}{114.75} \approx 10.8 \, nm$ મળે છે.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,મોટવણી $m$ એ $m = \frac{v}{f} - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{1}{f}$ છે.
આલેખ પરથી,ઢાળ એ મોટવણીમાં થતો ફેરફાર ભાગ્યા પ્રતિબિંબ અંતરમાં થતો ફેરફાર છે:
ઢાળ $= \frac{\Delta m}{\Delta v} = \frac{c}{b}$.
કારણ કે ઢાળ એ $\frac{1}{f}$ ની બરાબર પણ છે,તેથી આપણી પાસે $\frac{1}{f} = \frac{c}{b}$ છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{b}{c}$ છે.

(C) ઉર્જા ફ્લક્સ $I = 25\,W/cm^2$ આપેલ છે. સપાટી પર આપાત થતો કુલ પાવર $P = I \times A = 25\,W/cm^2 \times 25\,cm^2 = 625\,W$ છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી માટે,રેડિયેશન દબાણ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{P}{c}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8\,m/s)$ છે.
$F = \frac{625}{3 \times 10^8}\,N.$
સમય $t$ માં સપાટી પર સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન $p = F \times t$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમય $t = 40\,min = 40 \times 60\,s = 2400\,s.$
$p = \left( \frac{625}{3 \times 10^8} \right) \times 2400 = \frac{625 \times 2400}{3 \times 10^8} = \frac{1500000}{3 \times 10^8} = 500000 \times 10^{-8} = 5.0 \times 10^{-3}\,Ns.$

(D) બે ગોળાઓ વચ્ચે $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક ગોળીય કવચનો વિચાર કરો.
આ કવચનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi x^2$ છે.
આ પાતળી કવચનો અવરોધ $dR = \rho \frac{dx}{A} = \rho \frac{dx}{4\pi x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R$ શોધવા માટે,આપણે $r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$R = \int_a^b \frac{\rho}{4\pi x^2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \int_a^b x^{-2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^b$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{a}) \right) = \frac{\rho}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$.

(D) આપેલ છે: ઝેનર ડાયોડનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_Z = 6\,V,$ લોડ અવરોધ $R_L = 4\,k\Omega,$ શ્રેણી અવરોધ $R_i = 1\,k\Omega.$
લોડ અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ અચળ રહે છે કારણ કે ઝેનર ડાયોડ તેની આસપાસ અચળ વોલ્ટેજ $V_Z$ જાળવી રાખે છે:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{6\,V}{4\,k\Omega} = 1.5\,mA.$
શ્રેણી અવરોધ $R_i$ દ્વારા બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I_i$ એ $I_i = \frac{V_B - V_Z}{R_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ બેટરી વોલ્ટેજ $V_B = 8\,V$ માટે:
$I_{i,min} = \frac{8\,V - 6\,V}{1\,k\Omega} = \frac{2\,V}{1\,k\Omega} = 2\,mA.$
ઝેનર પ્રવાહ $I_Z = I_i - I_L = 2\,mA - 1.5\,mA = 0.5\,mA.$
મહત્તમ બેટરી વોલ્ટેજ $V_B = 16\,V$ માટે:
$I_{i,max} = \frac{16\,V - 6\,V}{1\,k\Omega} = \frac{10\,V}{1\,k\Omega} = 10\,mA.$
ઝેનર પ્રવાહ $I_Z = I_i - I_L = 10\,mA - 1.5\,mA = 8.5\,mA.$
આમ,ઝેનર ડાયોડમાંથી પસાર થતા ન્યૂનતમ અને મહત્તમ પ્રવાહ અનુક્રમે $0.5\,mA$ અને $8.5\,mA$ છે.

(D) લોલકના ગોળા પર બે લંબ બળો લાગે છે: નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને આડું લાગતું વિદ્યુત બળ $qE$ છે.
ગોળા દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને વિદ્યુત પ્રવેગ $a_e = \frac{qE}{m}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_e^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ છે.
$g_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}}$

(D) આપેલ છે: $q_A = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$q_B = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$m_B = 4\,\mu g = 4 \times 10^{-9}\,kg$,$r_1 = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$r_2 = 9\,mm = 9 \times 10^{-3}\,m$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$\Delta U = \Delta K$
$k q_A q_B \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{1}{2} m_B v^2$
કિંમતો મૂકતા:
$9 \times 10^9 \times (10^{-6}) \times (10^{-6}) \left( \frac{1}{10^{-3}} - \frac{1}{9 \times 10^{-3}} \right) = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \left( 1000 - \frac{1000}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \times 1000 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times \frac{8}{9} = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$8 = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$v^2 = 4 \times 10^9$
$v = \sqrt{40 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \times \sqrt{10} \approx 6.32 \times 10^4\,m/s$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) લેસરનો પાવર $P = n \cdot E_{photon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}.$
અહીં $P = 2\,mW = 2 \times 10^{-3}\,W,$ $\lambda = 500\,nm = 500 \times 10^{-9}\,m,$ $h = 6.6 \times 10^{-34}\,Js,$ અને $c = 3.0 \times 10^8\,m/s$ છે.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 10^{-3} \times 500 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}$
$n = \frac{1000 \times 10^{-12}}{19.8 \times 10^{-26}}$
$n = \frac{10^{-9}}{19.8 \times 10^{-26}} \approx 5 \times 10^{15}.$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $5 \times 10^{15}$ છે.

(A) આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$,કોઈલનો અવરોધ $r_1 = 0.1\,\Omega$,આંતરિક અવરોધ $r_2 = 0.9\,\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = r_1 + r_2 = 0.1 + 0.9 = 1.0\,\Omega$ છે.
$LR$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R} = \frac{10 \times 10^{-3}}{1.0} = 10^{-2}\,s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $i = i_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0$ એ સંતૃપ્ત પ્રવાહ છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $i = 0.8 i_0$ હોય.
$0.8 i_0 = i_0(1 - e^{-t/\tau})$
$0.8 = 1 - e^{-t/\tau}$
$e^{-t/\tau} = 0.2 = \frac{1}{5}$
$e^{t/\tau} = 5$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{t}{\tau} = \ln 5$.
આપેલ છે કે $\ln 5 = 1.6$,તેથી $t = 1.6 \times \tau = 1.6 \times 10^{-2}\,s = 0.016\,s$.

(A) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $I_1/I_2 = w_1/w_2 = 4/1$ થાય.
ધારો કે $I_1 = 4I_0$ અને $I_2 = I_0$.
કંપવિસ્તાર $a_1 = \sqrt{I_1} = 2\sqrt{I_0}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{I_0}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0}}{2\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0}} \right)^2 = \left( \frac{3\sqrt{I_0}}{\sqrt{I_0}} \right)^2 = (3)^2 = 9/1$.

(C) $l$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,પરિમિતિ $P = 4l$ અને ક્ષેત્રફળ $A_s = l^2$ છે. ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = I A_s = I l^2$ છે.
જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર લૂપમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે પરિમિતિ સમાન રહે છે: $2\pi r = 4l$,જે આપણને $r = \frac{2l}{\pi}$ આપે છે.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{2l}{\pi}\right)^2 = \frac{4l^2}{\pi}$ છે.
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m'$ એ $m' = I A_c = I \left(\frac{4l^2}{\pi}\right)$ છે.
કારણ કે $m = I l^2$,આપણે આ કિંમત $m'$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$m' = \frac{4}{\pi} (I l^2) = \frac{4m}{\pi}$.

(C) માઈક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ (resolving power) બે બિંદુઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર $d$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે જેમને અલગ જોઈ શકાય છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$
આપેલ છે:
$\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\,\text{m} = 5 \times 10^{-7}\,\text{m}$
$\text{NA} = 1.25$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{0.61 \times 5 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = \frac{3.05 \times 10^{-7}}{1.25}$
$d = 2.44 \times 10^{-7}\,\text{m}$
માઈક્રોમીટર $(\mu m)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$d = 2.44 \times 10^{-7} \times 10^6\,\mu m = 0.244\,\mu m \approx 0.24\,\mu m$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણીએ.
$1$. બે $4 \, R$ અવરોધોનું પ્રથમ સમાંતર જોડાણ $R_{p1} = \frac{4R \times 4R}{4R + 4R} = 2R$ છે.
$2$. $6 \, R$ અને $12 \, R$ અવરોધોનું બીજું સમાંતર જોડાણ $R_{p2} = \frac{6R \times 12R}{6R + 12R} = \frac{72R^2}{18R} = 4R$ છે.
$3$. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ શ્રેણીમાં રહેલા અન્ય બે $R$ અવરોધો સાથેનો સરવાળો છે: $R_{eq} = 2R + R + 4R + R = 8R$.
$4$. વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{16^2}{8R} \implies 4 = \frac{256}{8R} \implies 4 = \frac{32}{R}$.
$6$. તેથી,$R = \frac{32}{4} = 8 \, \Omega$.

(D) $1$. અવરોધ નેટવર્કનું વિશ્લેષણ કરો: આ નેટવર્ક $1\, \Omega, 2\, \Omega, 1\, \Omega, 2\, \Omega$ ની બાજુઓ અને મધ્યમાં $3\, \Omega$ ના અવરોધ સાથેનો વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $\frac{1}{1} = \frac{2}{2}$ હોવાથી,આ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. મધ્યના $3\, \Omega$ અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. બ્રિજનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(1+2)(1+2)}{(1+2)+(1+2)} = \frac{3 \times 3}{3+3} = 1.5\, \Omega$ છે.
$2$. પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ની ગણતરી કરો: ગતિશીલ $EMF$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$B = 1\, T$,$\ell = 5\, cm = 0.05\, m$,અને $v = 1\, cm/s = 0.01\, m/s$ છે. તેથી,$\varepsilon = 1 \times 0.05 \times 0.01 = 5 \times 10^{-4}\, V$.
$3$. કુલ અવરોધની ગણતરી કરો: કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{eq} = 1.7\, \Omega + 1.5\, \Omega = 3.2\, \Omega$.
$4$. પ્રવાહની ગણતરી કરો: પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{5 \times 10^{-4}}{3.2} \approx 1.5625 \times 10^{-4}\, A = 156.25\, \mu A$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$150\, \mu A$ સૌથી નજીકની કિંમત છે.

(B) કેપેસિટર $(I)$ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ શ્રેણીમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_i = \frac{3 \varepsilon_0 A K_i}{d}$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \varepsilon_0 A} (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} + \frac{1}{K_3}) = \frac{d(K_2 K_3 + K_3 K_1 + K_1 K_2)}{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}$.
આમ,$C_{eq} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.
કેપેસિટર $(II)$ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સમાંતરમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_i' = \frac{\varepsilon_0 (A/3) K_i}{d} = \frac{\varepsilon_0 A K_i}{3d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$C_{eq}' = C_1' + C_2' + C_3' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} (K_1 + K_2 + K_3)$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C V^2$ છે. તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_{eq}}{C_{eq}'} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)} \cdot \frac{3d}{\varepsilon_0 A (K_1 + K_2 + K_3)} = \frac{9 K_1 K_2 K_3}{(K_1 + K_2 + K_3)(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = \phi + eV_0$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$V_0 = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$
આપેલ આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ એવી આવૃત્તિ છે જ્યાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ શૂન્ય થાય છે. આલેખ જોતા,જ્યારે $\nu = 4 \times 10^{14} \, Hz$ હોય ત્યારે $V_0 = 0$ થાય છે.
આ બિંદુએ:
$0 = \frac{h\nu_0}{e} - \frac{\phi}{e}$
$\Rightarrow \phi = h\nu_0$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \, Js) \times (4 \times 10^{14} \, Hz)$
$\phi = 26.52 \times 10^{-20} \, J$
વર્ક ફંક્શનને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે:
$\phi (eV) = \frac{26.52 \times 10^{-20} \, J}{1.6 \times 10^{-19} \, C}$
$\phi = 1.6575 \, eV \approx 1.66 \, eV$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય સોયના દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu B_H}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \delta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $\delta$ એ ડીપ એંગલ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 30 \text{ દોલન/મિનિટ}$ જ્યાં $\delta_1 = 45^{\circ}$ અને $f_2 = 40 \text{ દોલન/મિનિટ}$ જ્યાં $\delta_2 = 30^{\circ}$.
તેથી,$f_1^2 \propto B_1 \cos 45^{\circ}$ અને $f_2^2 \propto B_2 \cos 30^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_1^2}{f_2^2} = \frac{B_1 \cos 45^{\circ}}{B_2 \cos 30^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{30}{40})^2 = \frac{B_1 (1/\sqrt{2})}{B_2 (\sqrt{3}/2)}$.
$\frac{9}{16} = \frac{B_1}{B_2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{B_1}{B_2} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{9}{16} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 0.5625 \times 1.2247 \approx 0.689 \approx 0.7$.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
પ્રથમ સંક્રમણ માટે, $\lambda_1 = 108.5 \, nm$, તેથી $E_1 = \frac{1240}{108.5} \approx 11.43 \, eV$.
બીજા સંક્રમણ માટે, $\lambda_2 = 30.4 \, nm$, તેથી $E_2 = \frac{1240}{30.4} \approx 40.79 \, eV$.
મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $E_{total} = E_1 + E_2 = 11.43 + 40.79 = 52.22 \, eV$ છે।
હાઇડ્રોજન જેવા આયનની $n$-મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \, Z^2 \frac{1}{n^2}$ છે।
$He^+$ માટે, $Z = 2$, તેથી $E_n = -13.6 \times 4 \times \frac{1}{n^2} = -54.4 \frac{1}{n^2} \, eV$.
સંક્રમણ $n$ અવસ્થાથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ સુધીનું છે, તેથી $E_{total} = E_n - E_1 = -54.4 \left(\frac{1}{n^2} - 1\right) = 54.4 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$54.4 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = 52.22$ લેતા, આપણને $1 - \frac{1}{n^2} = \frac{52.22}{54.4} \approx 0.96$ મળે છે।
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.96 = 0.04$.
$n^2 = \frac{1}{0.04} = 25$, તેથી $n = 5$.

(A) આપેલ છે: ઇનપુટ અવરોધ $R_{\text{in}} = 100\,\Omega$,આઉટપુટ અવરોધ $R_{\text{out}} = 100\,k\Omega = 10^5\,\Omega$.
આલેખ પરથી,પ્રવાહ ગેઇન $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{(20 - 5) \times 10^{-3} \text{ A}}{(400 - 100) \times 10^{-6} \text{ A}} = \frac{15 \times 10^{-3}}{300 \times 10^{-6}} = \frac{15000}{300} = 50$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V = \beta \times \frac{R_{\text{out}}}{R_{\text{in}}} = 50 \times \frac{10^5}{100} = 50 \times 10^3 = 5 \times 10^4$.
પાવર ગેઇન $A_P = \beta \times A_V = 50 \times (5 \times 10^4) = 250 \times 10^4 = 2.5 \times 10^6$.

(B) ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે,તેથી આંતરિક સપાટી પર પ્રેરિત થતો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ થાય છે. કવચ વાહક હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બાહ્ય સપાટી પર રહે છે.
ડાયપોલ કેન્દ્રમાં હોવાથી,તે પોલાણની અંદર અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આના કારણે કવચની આંતરિક સપાટી પર અસમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ થાય છે.
જોકે,કવચની બહારના કોઈપણ બિંદુ $(r > b)$ માટે,આંતરિક સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારો અને ડાયપોલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત અને સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકના ગુણધર્મોને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,કવચની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર બાહ્ય સપાટી પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે હોય છે,જે કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ ને સમાન છે.

(D) શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\varepsilon_0] = M^{-1}L^{-3}T^4A^2$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીબિલિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\mu_0] = MLT^{-2}A^{-2}$ છે.
વિદ્યુત અવરોધનું પારિમાણિક સૂત્ર $[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$ છે.
હવે,પદ $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \sqrt{\frac{MLT^{-2}A^{-2}}{M^{-1}L^{-3}T^4A^2}} = \sqrt{M^2L^4T^{-6}A^{-4}} = ML^2T^{-3}A^{-2}$.
આ વિદ્યુત અવરોધ $[R]$ ના પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g = 50 \times 20 \times 10^{-6} \, A = 10^{-3} \, A = 1 \, mA$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 100 \, \Omega$ છે.
$V$ રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટર માટે,જરૂરી કુલ અવરોધ $R_{total} = V / I_g$ છે.
શ્રેણીમાં ઉમેરવાનો અવરોધ $R = R_{total} - G$ છે.
$0-2 \, V$ રેન્જ માટે: $R_{total} = 2 / 10^{-3} = 2000 \, \Omega$. તેથી,$R_1 = 2000 - 100 = 1900 \, \Omega$.
$0-10 \, V$ રેન્જ માટે: $R_{total} = 10 / 10^{-3} = 10000 \, \Omega$. $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવેલ અવરોધ $R_2 = 10000 - 2000 = 8000 \, \Omega$ છે.
$0-20 \, V$ રેન્જ માટે: $R_{total} = 20 / 10^{-3} = 20000 \, \Omega$. $R_1 + R_2$ સાથે શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવેલ અવરોધ $R_3 = 20000 - 10000 = 10000 \, \Omega$ છે.
આમ,સર્કિટમાં શ્રેણીમાં $R_1 = 1900 \, \Omega$,$R_2 = 8000 \, \Omega$ અને $R_3 = 10000 \, \Omega$ હોવા જોઈએ.

(B) જ્યારે યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં એક સ્લિટની સામે $\mu$ વક્રીભવનાંક અને $t$ જાડાઈની પાતળી ફિલ્મ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
ફ્રિન્જ પેટર્નમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર એક ફ્રિન્જની પહોળાઈ જેટલું છે,તેથી $\Delta y = \beta$.
તેથી,$\frac{D}{d} (\mu - 1)t = \frac{\lambda D}{d}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $(\mu - 1)t = \lambda$ મળે છે.
આમ,$t = \frac{\lambda}{\mu - 1}$.

(D) ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ (આ કિસ્સામાં $y$-અક્ષ) પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે ડાયપોલના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન આ સમતલના દરેક બિંદુએ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$V = 0$
ડાયપોલથી $d$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{d^3}$
આપેલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = -p_0\hat{x}$ મૂકતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,જે $-\vec{p}$ ની દિશા સાથે સુસંગત છે.
આમ,સ્થિતિમાન $0$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $-\frac{\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0 d^3}$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સ્વરૂપ $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin(\omega t + \vec{k} \cdot \vec{r})$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin[\omega t + (6y - 8z)]$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સદિશ $\vec{k} = 6\hat{j} - 8\hat{k}$ મળે છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{s}$ એ $-\vec{k}$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
તેથી,$\hat{s} = -\frac{\vec{k}}{|\vec{k}|} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{36 + 64}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{10} = \frac{-6\hat{j} + 8\hat{k}}{10} = \frac{-3\hat{j} + 4\hat{k}}{5}$.

(D) ભ્રમણ કરતી વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 q \omega}{2R(2 \pi)} = \frac{\mu_0 q \omega}{4 \pi R}$.
આપેલ છે: $R = 0.1 \, m$,$\omega = 40 \pi \, rad/s$,$B = 3.8 \times 10^{-9} \, T$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, N/A^2$.
$q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $q = \frac{B \cdot 4 \pi R}{\mu_0 \omega}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-9} \times 4 \pi \times 0.1}{4 \pi \times 10^{-7} \times 40 \pi}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-10}}{40 \pi \times 10^{-7}} = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{40 \pi} \approx 3.02 \times 10^{-5} \, C$.
આમ,વિદ્યુતભાર આશરે $3 \times 10^{-5} \, C$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે। ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $C$ છે. તેથી $C = A + B$ થાય.
$NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A \cdot C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Y$ ના સમીકરણમાં $C = A + B$ મૂકતા, આપણને $Y = \overline{A \cdot (A + B)} = \overline{A \cdot A + A \cdot B} = \overline{A + A \cdot B} = \overline{A(1 + B)} = \overline{A}$ મળે છે.
ચાલો આને ટ્રુથ ટેબલ દ્વારા ચકાસીએ:

$A$	$B$	$C = A + B$	$A \cdot C$	$Y = \overline{A \cdot C}$
$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

આ કોષ્ટકની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા, તે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) કણ $P$ માંથી આવતો પ્રકાશ અરીસા પર પરાવર્તિત થશે.
અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u = -5\, cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f = -R/2 = -20\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$
$v = +\frac{20}{3}\, cm$.
આ પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન પામતા પ્રકાશ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરશે.
પાણીની સપાટીથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $d_{obj} = 5 + \frac{20}{3} = \frac{35}{3}\, cm$ છે.
પ્રકાશ પાણી $(\mu_1 = 4/3)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1)$ માં જતો હોવાથી,આભાસી ઊંડાઈ $d'$ એ $d' = d_{obj} \times (\mu_2 / \mu_1)$ દ્વારા મળે છે.
$d' = \left( \frac{35}{3} \right) \times \left( \frac{1}{4/3} \right) = \frac{35}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{35}{4} = 8.75\, cm$.
આમ,$d \approx 8.8\, cm$.

(C) બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ $emf$ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આલેખ પરથી,જ્યારે પ્રવાહ $I = 0$ હોય,ત્યારે વોલ્ટેજ $V = E = 1.5 \, V$ મળે છે.
જ્યારે પ્રવાહ $I = 1000 \, mA = 1 \, A$ હોય,ત્યારે વોલ્ટેજ $V = V_0 \approx 0 \, V$ મળે છે.
આ કિંમતોને $V = E - Ir$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = 1.5 - (1 \, A) \times r$
$r = 1.5 \, \Omega$.
આમ,બેટરીનું $emf$ $1.5 \, V$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $1.5 \, \Omega$ છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે છે, જે જ્યારે બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં હોય ત્યારે લોડ અવરોધ $R_L = 4\,k\Omega$ પર $V_Z = 6\,V$ નો અચળ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે.
લોડ પ્રવાહ $I_L$ અચળ છે અને તે નીચે મુજબ મળે છે:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{6\,V}{4\,k\Omega} = 1.5\,mA$
કુલ સોર્સ પ્રવાહ $I_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_S = \frac{V_{in} - V_Z}{R_S}$
ઝેનર પ્રવાહ $I_Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_Z = I_S - I_L = \frac{V_{in} - 6}{2\,k\Omega} - 1.5\,mA$
$I_Z$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in} = 16\,V$ નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ:
$I_{S,max} = \frac{16\,V - 6\,V}{2\,k\Omega} = \frac{10\,V}{2\,k\Omega} = 5\,mA$
તેથી, મહત્તમ ઝેનર પ્રવાહ:
$I_{Z,max} = I_{S,max} - I_L = 5\,mA - 1.5\,mA = 3.5\,mA$

(B) સૌ પ્રથમ,પરિપથને સરળ બનાવો. $1\, \mu F$ અને $5\, \mu F$ ના કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 1\, \mu F + 5\, \mu F = 6\, \mu F$ થાય.
આ $6\, \mu F$ કેપેસિટર,$4\, \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 2.4\, \mu F$ થાય.
આ $2.4\, \mu F$ ની શાખા,$10\, V$ ની બેટરી સાથે $3\, \mu F$ ના કેપેસિટરની સમાંતરમાં છે.
$2.4\, \mu F$ ની શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $q = C_s \times V = 2.4\, \mu F \times 10\, V = 24\, \mu C$ થાય.
કેમ કે $4\, \mu F$ અને $6\, \mu F$ ($1\, \mu F$ અને $5\, \mu F$ નું સમતુલ્ય) કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,તેથી તે દરેક પરનો વિદ્યુતભાર શાખાના કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ એટલે કે $24\, \mu C$ હશે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,બોહરના અધિતર્ક મુજબ સ્થાયી કક્ષા માટેની શરત $2 \pi r_n = n \lambda_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે,$r_n$ એ $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $\lambda_n$ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$ ને અનુરૂપ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=3$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં હોવાથી,$n=3$ અને ત્રિજ્યા $r_3 = 4.65 \, \mathring{A}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$3 \lambda_3 = 2 \pi r_3$
$\lambda_3 = \frac{2 \pi (4.65 \, \mathring{A})}{3}$
$\lambda_3 = 2 \times 3.14159 \times 1.55 \, \mathring{A}$
$\lambda_3 \approx 9.738 \, \mathring{A}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda_3 = 9.7 \, \mathring{A}$ મળે છે.