JEE Main 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે. બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg \sin \theta$ ઢાળની નીચેની તરફ),લંબબળ $(N = mg \cos \theta)$,અને ઘર્ષણ $(f_{max} = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોક નીચે તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે બાહ્ય બળ $F_1 = 2 \ N$ ઢાળની નીચેની તરફ લગાડવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ ઢાળની ઉપરની તરફ લાગે છે.
$mg \sin \theta = F_1 + f_{max} \implies mg \sin 30^\circ = 2 + \mu mg \cos 30^\circ \implies \frac{mg}{2} = 2 + \mu mg \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ... (1)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોક ઉપર તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે બાહ્ય બળ $F_2 = 10 \ N$ ઢાળની ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે.
$F_2 = mg \sin \theta + f_{max} \implies 10 = mg \sin 30^\circ + \mu mg \cos 30^\circ \implies 10 = \frac{mg}{2} + \mu mg \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ... (2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$10 + 2 = 2 \left( \frac{mg}{2} \right) \implies 12 = mg$
$(2)$ માં $mg = 12$ મૂકતા:
$10 = \frac{12}{2} + \mu (12) \frac{\sqrt{3}}{2} \implies 10 = 6 + 6\sqrt{3} \mu \implies 4 = 6\sqrt{3} \mu$
$\mu = \frac{4}{6\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

(D) બિંદુ $A$ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E_A = E_B$
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B = \sqrt{v_A^2 + 2gh}$
અહીં $v_A = 5\,m/s$,$g = 10\,m/s^2$,અને $h = 10\,m$ આપેલ છે:
$v_B = \sqrt{5^2 + 2 \times 10 \times 10} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15\,m/s$
બિંદુ $B$ પર,કણ બિંદુ $O$ થી $r = a = 10\,m$ ના અંતરે છે. $B$ પર વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા $OB$ ને લંબ છે.
$O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ મળે:
$L = m \cdot v_B \cdot r$
$L = (20 \times 10^{-3}\,kg) \times (15\,m/s) \times (10\,m)$
$L = 0.02 \times 150 = 3\,kg \cdot m^2/s$.

(D) $\text{ધારો કે સાબુના પરપોટાનું કદ } V \text{ છે અને વધારાનો દર અચળ છે, તેથી } V = kt, \text{ જ્યાં } k \text{ અચળાંક છે。}
V = \frac{4}{3}\pi R^3 \text{ હોવાથી, } \frac{4}{3}\pi R^3 = kt \text{ મળે, જેનો અર્થ છે કે } R = \left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}.
\text{સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{R} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં } P_{atm} \text{ વાતાવરણીય દબાણ છે અને } T \text{ પૃષ્ઠતાણ છે。}
\text{દબાણના સમીકરણમાં } R \text{ ની કિંમત મૂકતા: } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{\left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}}。
\text{આને } P_{in} = P_{atm} + C \cdot t^{-1/3} \text{ તરીકે લખી શકાય, જ્યાં } C \text{ અચળાંક છે。}
\text{આપેલા કોઈ પણ આલેખ } (P \text{ વિરુદ્ધ } 1/t, P \text{ વિરુદ્ધ } \log(t), \text{ અથવા } P \text{ વિરુદ્ધ } t) P \propto t^{-1/3} \text{ સંબંધ દર્શાવતા નથી。}
\text{તેથી, સાચો વિકલ્પ } D \text{ છે。}$

(D) પ્રથમ રેઝોનન્સ માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L = l + e$ છે,જ્યાં $l$ એ માપેલ લંબાઈ છે અને $e$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $f_1 = 512\,Hz$,$l_1 = 11\,cm$.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $L_1 = \frac{\lambda_1}{4} = \frac{v}{4f_1} \Rightarrow 11 + e = \frac{v}{4 \times 512} \quad (1)$ છે.
બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે: $f_2 = 256\,Hz$,$l_2 = 27\,cm$.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $L_2 = \frac{\lambda_2}{4} = \frac{v}{4f_2} \Rightarrow 27 + e = \frac{v}{4 \times 256} \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{11 + e}{27 + e} = \frac{256}{512} = \frac{1}{2}$
$22 + 2e = 27 + e \Rightarrow e = 5\,cm$.
$e = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$11 + 5 = \frac{v}{4 \times 512} \Rightarrow 16 = \frac{v}{2048}$
$v = 16 \times 2048 = 32768\,cm/s = 327.68\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,વેગ $328\,ms^{-1}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે,જેનું પરિમાણ સમય $[T]$ છે.
તે જ રીતે,$RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે,જેનું પરિમાણ પણ સમય $[T]$ છે.
તેથી,પદ $\frac{L}{RCV}$ ને $\frac{L/R}{CV} = \frac{\tau}{CV}$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = CV$,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $\frac{L}{RCV} = \frac{L/R}{Q} = \frac{[T]}{[AT]} = [A^{-1}]$.
આમ,પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0 A^{-1}]$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = 5(\sin 3\pi t + \sqrt{3} \cos 3\pi t) \ cm$.
આપણે તેને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3\pi t \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \phi = 1/2$ અને $\sin \phi = \sqrt{3}/2$ લેતા,આપણને $\phi = \pi/3$ મળે છે.
તેથી,$y = 10 \sin(3\pi t + \pi/3) \ cm$.
કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3\pi \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} \ s$.

(C) $t = 0$ સમયે,કણ $A$ એ $(R_1, 0)$ પર છે અને $+y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\overrightarrow{V_A} = \omega R_1 \hat{j}$. કણ $B$ એ $(R_2, 0)$ પર છે અને $-y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{j}$.
$t = \frac{\pi}{2\omega}$ સમય પછી,પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \omega t = \omega \left( \frac{\pi}{2\omega} \right) = \frac{\pi}{2}$ (એટલે કે $90^\circ$) થશે.
કણ $A$ એ $(R_1, 0)$ થી $(0, R_1)$ પર જાય છે,અને તેનો વેગ સદિશ $90^\circ$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. તેથી,$\overrightarrow{V_A} = -\omega R_1 \hat{i}$.
કણ $B$ એ $(R_2, 0)$ થી $(0, R_2)$ પર જાય છે,અને તેનો વેગ સદિશ $90^\circ$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે. તેથી,$\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{i}$.
સાપેક્ષ વેગ $\overrightarrow{V_{rel}} = \overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B} = (-\omega R_1 \hat{i}) - (-\omega R_2 \hat{i}) = \omega(R_2 - R_1) \hat{i}$ થાય.

(D) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું લંબ બળ.
બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,એટલે કે $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
સપાટી સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ છે.
આપેલ છે:
દર સેકન્ડે અણુઓની સંખ્યા,$N = 10^{22} \ s^{-1}$
દરેક અણુનું દળ,$m = 10^{-26} \ kg$
દરેક અણુની ઝડપ,$v = 10^4 \ m/s$
ક્ષેત્રફળ,$A = 1 \ m^2$
સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F = N \times (2mv)$ છે.
$F = 10^{22} \times 2 \times 10^{-26} \times 10^4 = 2 \ N$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{2 \ N}{1 \ m^2} = 2 \ N/m^2$.
ગણતરી કરેલ કિંમત $2 \ N/m^2$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈની સાથે મેળ ખાતી નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE = KE_{final} - KE_{initial}$
કરેલું કાર્ય એ $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ = ($x=0$ થી $x=2$ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ) + ($x=2$ થી $x=3$ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ)
ક્ષેત્રફળ = $(2\, m \times 2\, N) + \frac{(2\, N + 3\, N) \times (3\, m - 2\, m)}{2}$
ક્ષેત્રફળ = $4\, J + \frac{5\, N \times 1\, m}{2} = 4\, J + 2.5\, J = 6.5\, J$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,$KE_{initial} = 0$.
તેથી,$KE_{final} = 6.5\, J$.

(A) કણોના પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$\vec{a}_A = -a\hat{i}$
$\vec{a}_B = a\hat{j}$
$\vec{a}_C = a\hat{i}$
$\vec{a}_D = -a\hat{j}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m_A\vec{a}_A + m_B\vec{a}_B + m_C\vec{a}_C + m_D\vec{a}_D}{m_A + m_B + m_C + m_D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m(-a\hat{i}) + 2m(a\hat{j}) + 3m(a\hat{i}) + 4m(-a\hat{j})}{m + 2m + 3m + 4m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{-ma\hat{i} + 2ma\hat{j} + 3ma\hat{i} - 4ma\hat{j}}{10m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{2ma\hat{i} - 2ma\hat{j}}{10m} = \frac{a}{5}\hat{i} - \frac{a}{5}\hat{j} = \frac{a}{5}(\hat{i} - \hat{j})$

(A) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર નીચે મુજબ છે:
$-ms\frac{dT}{dt} = e\sigma A(T^4 - T_0^4)$
તાપમાનના નાના તફાવત માટે,આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$-\frac{dT}{dt} = \frac{4e\sigma AT_0^3}{ms}(T - T_0)$
ધારો કે $k = \frac{4e\sigma AT_0^3}{ms}$. $m = \rho V$ હોવાથી,$k = \frac{4e\sigma AT_0^3}{\rho Vs}$ મળે.
આમ,ઠંડા પડવાનો દર $|\frac{dT}{dt}|$ એ ઘનતા અને વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણાકાર $(\rho s)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$|\frac{dT}{dt}| \propto \frac{1}{\rho s}$
બંને પ્રવાહી માટે $(\rho s)$ ની ગણતરી કરતા:
$(\rho s)_A = (8 \times 10^2) \times 2000 = 1.6 \times 10^6\, Jm^{-3}K^{-1}$
$(\rho s)_B = 10^3 \times 4000 = 4 \times 10^6\, Jm^{-3}K^{-1}$
અહીં $(\rho s)_A < (\rho s)_B$ હોવાથી,પ્રવાહી $A$ નો ઠંડા પડવાનો દર પ્રવાહી $B$ કરતા વધારે છે $(|\frac{dT}{dt}|_A > |\frac{dT}{dt}|_B)$.
તેથી,પ્રવાહી $A$ એ પ્રવાહી $B$ કરતા ઝડપથી ઠંડું પડે છે,જે આલેખ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે તાર $A$ અને $B$ ની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અનુક્રમે $\mu_1$ અને $\mu_2$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ સમાન રહેશે.
$\mu_1 = \rho \pi r^2$ અને $\mu_2 = \rho \pi (2r)^2 = 4 \rho \pi r^2 = 4 \mu_1$.
બંને તારમાં તણાવ $T$ સમાન છે.
તારમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{T/\mu}$ છે.
તેથી,$v_1 = \sqrt{T/\mu_1} = v$ અને $v_2 = \sqrt{T/\mu_2} = \sqrt{T/(4\mu_1)} = v/2$.
બંને છેડે જડિત $L$ લંબાઈના તાર માટે,$n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f = n \frac{v}{2L}$ છે.
જોડાણ નિસ્પંદ બિંદુ હોવાથી,બંને તાર સમાન આવૃત્તિ $f$ સાથે સ્વતંત્ર રીતે કંપન કરે છે.
$f = p \frac{v_1}{2L} = q \frac{v_2}{2L}$,જ્યાં $p$ અને $q$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે (જે પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી જ છે).
$p \frac{v}{2L} = q \frac{v/2}{2L} \implies p = q/2 \implies p/q = 1/2$.
તેથી,ગુણોત્તર $p : q$ એ $1 : 2$ છે.

(D) તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ પ્રતિબળ $(\sigma)$ એ તણાવ બળ $(F)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $2.0 \, mm = 2.0 \times 10^{-3} \, m$
ભાર $(m)$ = $4 \, kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $3.1\pi \, m/s^2$
સૂત્ર:
$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{\pi r^2}$
ગણતરી:
$\sigma = \frac{4 \times 3.1\pi}{\pi \times (2.0 \times 10^{-3})^2}$
$\sigma = \frac{4 \times 3.1\pi}{\pi \times 4.0 \times 10^{-6}}$
$\sigma = \frac{12.4\pi}{4.0\pi \times 10^{-6}}$
$\sigma = 3.1 \times 10^6 \, N/m^2$

(D) $\text{રેનોલ્ડ્સ નંબર } (Re) \text{ નું સૂત્ર: } Re = \frac{\rho v D}{\eta}, \text{જ્યાં } \rho \text{ ઘનતા છે } v \text{ વેગ છે } D \text{ પાઇપનો વ્યાસ છે અને } \eta \text{ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે।}
\text{પ્રથમ, બધા એકમોને } SI \text{ એકમોમાં ફેરવો:}
\text{વોલ્યુમ ફ્લો રેટ } (Q) = 100\, L/min = \frac{100 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = \frac{1}{60}\, m^3/s.
\text{ત્રિજ્યા } (r) = 5\, cm = 0.05\, m, \text{તેથી વ્યાસ } (D) = 2r = 0.1\, m.
\text{ઘનતા } (\rho) = 1000\, kg/m^3.
\text{સ્નિગ્ધતા } (\eta) = 1\, mPa\, s = 10^{-3}\, Pa\, s.
\text{વેગ } (v) \text{ ની ગણતરી:}
Q = A \times v = (\pi r^2) \times v
v = \frac{Q}{\pi r^2} = \frac{1/60}{\pi \times (0.05)^2} = \frac{20}{3\pi}\, m/s.
\text{હવે, રેનોલ્ડ્સ નંબરની ગણતરી:}
Re = \frac{1000 \times (20 / 3\pi) \times 0.1}{10^{-3}} = \frac{2000}{3\pi} \times 10^3 \approx 2.12 \times 10^5.
\text{આપેલા વિકલ્પો મુજબ, યોગ્ય ક્રમ } 10^4 \text{ છે।}$

(B) ખેંચાયેલી રબરની દોરીમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા પથ્થરની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ખેંચાયેલી દોરીમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \times Y \times A \times \ell \times \left( \frac{\Delta \ell}{\ell} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે,અને $\Delta \ell$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે: $\ell = 0.42\, m$,$r = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$,$\Delta \ell = 0.20\, m$,$m = 0.02\, kg$,$v = 20\, m/s$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9\pi \times 10^{-6}\, m^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \left( \frac{0.20}{0.42} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (20)^2$.
$Y \times (9\pi \times 10^{-6}) \times 0.42 \times \frac{0.04}{0.1764} = 0.02 \times 400 = 8$.
$Y \times (9 \times 3.14 \times 10^{-6}) \times 0.42 \times 0.2267 = 8$.
$Y \approx 3 \times 10^6\, N/m^2$.

(B) ધારો કે ચાર કણો $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણા પર છે. ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક કણનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$M$ દળના એક કણનો વિચાર કરો. અન્ય ત્રણ કણોને કારણે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ચોરસની બાજુઓ પર $F_1 = \frac{GM^2}{a^2}$ મૂલ્યના બે બળો.
$2$. વિકર્ણ પર $F_2 = \frac{GM^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2a^2}$ મૂલ્યનું એક બળ.
કેન્દ્ર તરફનું પરિણામી બળ $F_c$ એ આ બળોના વિકર્ણ પરના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_c = F_1 \cos(45^\circ) + F_1 \cos(45^\circ) + F_2$
$F_c = 2 \left( \frac{GM^2}{a^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{GM^2}{2a^2} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_c = \frac{Mv^2}{r}$.
$r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$\frac{Mv^2}{a/\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + 0.5 \right)$
$v^2 = \frac{GM}{a} \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{0.5}{\sqrt{2}} \right) = \frac{GM}{a} (1 + 0.3535) \approx 1.3535 \frac{GM}{a}$.
$v \approx 1.16 \sqrt{\frac{GM}{a}}$.

(C) ધારો કે જહાજ $A$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
પ્રારંભિક સ્થાન સદિશો $\vec{r}_A = 0\hat{i} + 0\hat{j}$ અને $\vec{r}_B = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ છે.
વેગ સદિશો $\vec{v}_A = 30\hat{i} + 50\hat{j}$ અને $\vec{v}_B = -10\hat{i}$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-10\hat{i}) - (30\hat{i} + 50\hat{j}) = -40\hat{i} - 50\hat{j}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર માટેનો સમય $t = -\frac{\vec{r}_{BA} \cdot \vec{v}_{BA}}{|\vec{v}_{BA}|^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$t = -\frac{(80\hat{i} + 150\hat{j}) \cdot (-40\hat{i} - 50\hat{j})}{(-40)^2 + (-50)^2}$
$t = -\frac{(80 \times -40) + (150 \times -50)}{1600 + 2500}$
$t = -\frac{-3200 - 7500}{4100} = \frac{10700}{4100} = \frac{107}{41} \approx 2.61\,\text{hrs}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સમય $2.6\,\text{hrs}$ છે.

(D) ધારો કે $m$ ગ્રામ પાણીનું બાષ્પીભવન થાય છે.
પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી અને બહારથી કોઈ ઉષ્મા આપવામાં આવતી નથી,તેથી પાણીના એક ભાગના થીજી જવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બાષ્પીભવન પામતા ભાગ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
બરફમાં રૂપાંતરિત થતા પાણીનું દળ $= (150 - m)\, g$.
થીજી જતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q_{rel} = (150 - m) \times L_f$.
બાષ્પીભવન દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q_{req} = m \times L_v$.
બંનેને સરખાવતા: $(150 - m) \times L_f = m \times L_v$.
કિંમતો મૂકતા $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$ અને $L_v = 2.10 \times 10^6\, J/kg$:
$(150 - m) \times 3.36 \times 10^5 = m \times 21.0 \times 10^5$.
$150 \times 3.36 = m \times (21.0 + 3.36)$.
$504 = m \times 24.36$.
$m = 504 / 24.36 \approx 20.69\, g$.
બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દળ $20\, g$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) પ્લેટનું દળ $M$ એ ઘનતાનું ક્ષેત્રફળ પર સંકલન કરવાથી મળે છે: $M = \int_0^R \rho(r) (2\pi r dr) = \int_0^R \rho_0 r (2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^2 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(I_{CM})$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{CM} = \int_0^R r^2 dm = \int_0^R r^2 (\rho_0 r \cdot 2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^4 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^5}{5}$.
$I_{CM}$ ને $M$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $I_{CM} = (\frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}) \cdot \frac{3}{5} R^2 = \frac{3}{5} MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પ્લેટને લંબ અને તેની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{3}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{8}{5} MR^2$.
આને $I = aMR^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 8/5$ મળે છે.

(C) મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ છે.
મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\left[ \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \right] = \left[ \frac{M^{-1} L^{-3} T^4 A^2}{M L T^{-2} A^{-2}} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-1-1} L^{-3-1} T^{4-(-2)} A^{2-(-2)} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-2} L^{-4} T^6 A^4 \right]^{1/2}$
$= [M^{-1} L^{-2} T^3 A^2]$ થાય.

(D) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$,તેથી $h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$.
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2$,તેથી $k^2 = \frac{2}{5}R^2$. આમ,$h_{sph} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{2}{5}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{7}{5})$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $k^2 = \frac{1}{2}R^2$. આમ,$h_{cyl} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{3}{2})$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{h_{sph}}{h_{cyl}} = \frac{7/5}{3/2} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ થાય.

(A) ધારો કે રેખીય વેગમાન $P$ ને $P = k S^a I^b h^c$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$P = [MLT^{-1}]$
$S = [MT^{-2}]$
$I = [ML^2]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[MLT^{-1}] = [MT^{-2}]^a [ML^2]^b [ML^2T^{-1}]^c$
$[MLT^{-1}] = M^{a+b+c} L^{2b+2c} T^{-2a-c}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + b + c = 1$ $(1)$
$2b + 2c = 1$ $(2)$
$-2a - c = -1$ $(3)$
$(2)$ પરથી,$b + c = 1/2$. આને $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 1/2 = 1 \implies a = 1/2$
$(3)$ પરથી,$c = 1 - 2a = 1 - 2(1/2) = 0$.
$c = 0$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$2b = 1 \implies b = 1/2$.
આમ,રેખીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $S^{1/2} I^{1/2} h^0$ થાય છે.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 5 \text{ Hz}$ છે,તેથી એક દોલનનો સમયગાળો $T = \frac{1}{f} = 0.2 \text{ s}$ છે.
$10$ દોલનો માટે લાગતો સમય $t_{10} = 10 \times 0.2 = 2 \text{ s}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,કંપવિસ્તાર અડધો થઈ જાય છે,તેથી $A(2) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\gamma(2)} \implies 2 = e^{2\gamma} \implies \gamma = \frac{\ln 2}{2}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $A(t) = \frac{A_0}{1000}$ થાય.
$\frac{A_0}{1000} = A_0 e^{-\gamma t} \implies 1000 = e^{\gamma t} \implies \ln(1000) = \gamma t$.
$3 \ln(10) = \left(\frac{\ln 2}{2}\right) t$.
$t = \frac{6 \ln(10)}{\ln 2} \approx \frac{6 \times 2.303}{0.693} \approx 19.94 \text{ s}$.
આમ,$t \approx 20 \text{ s}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા, આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે:
$L = 55.0\,cm$, $\Delta L = 1\,mm = 0.1\,cm$.
$20$ દોલનો માટેનો સમય $t = 30\,s$ છે, તેથી $T = \frac{30}{20} = 1.5\,s$.
ઘડિયાળનું લઘુત્તમ માપ $1\,s$ છે, તેથી કુલ સમયમાં ત્રુટિ $\Delta t = 1\,s$ છે. આમ, $\Delta T = \frac{\Delta t}{20} = \frac{1}{20} = 0.05\,s$.
હવે, પ્રતિશત ત્રુટિની ગણતરી કરો:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta T}{T} \right) \times 100\%$
$= \left( \frac{0.1}{55.0} + 2 \times \frac{0.05}{1.5} \right) \times 100\%$
$= \left( 0.001818 + 0.06666 \right) \times 100\%$
$= 0.06848 \times 100\% \approx 6.8\%$.

(A) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = k_B N_A$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $(2 \times 10^{-3} \, kg/mol)$ છે.
પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{2gR_e}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = 2gR_e$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{2gR_e M}{3R}$.
અહીં $R = k_B N_A \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} = \frac{25600}{24.942} \approx 1026 \, K$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$1026 \, K$ ની સૌથી નજીકની કિંમત $800 \, K$ (વિકલ્પ $A$) છે.

(D) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
કણ સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતો હોવાથી,પ્રવેગ $a$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
$1$. પ્રવેગ-સમય આલેખ માટે: $a$ અચળ હોવાથી,આલેખ $(a)$ એ $t$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે,જે સાચું છે.
$2$. વેગ-સમય આલેખ માટે: સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = 0 + at = at$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,તેથી આલેખ $(b)$ સાચો છે.
$3$. સ્થાનાંતર-સમય આલેખ માટે: સમીકરણ $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = 0(t) + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે,તેથી આલેખ $(d)$ સાચો છે.
તેથી,આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$ અને $(d)$ ગતિનું યોગ્ય નિરૂપણ કરે છે.

(C) આપેલ છે:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{7}{4}$,$L_A = 2\, m$,$L_B = 1.5\, m$,$r_B = 2\, mm$,$r_A = R$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
કારણ કે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$\Delta l = \frac{F L}{A Y} \Rightarrow \frac{L_A}{A_A Y_A} = \frac{L_B}{A_B Y_B}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{A_A Y_A}{L_A} = \frac{A_B Y_B}{L_B}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(\pi R^2) Y_A}{2} = \frac{(\pi (2)^2) Y_B}{1.5}$.
$\frac{R^2}{2} \cdot \frac{Y_A}{Y_B} = \frac{4}{1.5}$.
$\frac{R^2}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{4}{1.5}$.
$R^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 4}{1.5 \cdot 7} = \frac{32}{10.5} \approx 3.047$.
$R = \sqrt{3.047} \approx 1.74\, mm$.
આમ,$R$ એ $1.7\, mm$ ની નજીક છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_3 + m_2 v_4$
અહીં આપેલ છે કે $m_2 = 0.5\, m_1$ અને $v_3 = 0.5\, v_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$m_1 v_1 + (0.5\, m_1) v_2 = m_1 (0.5\, v_1) + (0.5\, m_1) v_4$
બંને બાજુથી $m_1$ સામાન્ય કાઢીને દૂર કરતા:
$v_1 + 0.5\, v_2 = 0.5\, v_1 + 0.5\, v_4$
$v_1 - 0.5\, v_1 = 0.5\, v_4 - 0.5\, v_2$
$0.5\, v_1 = 0.5\, (v_4 - v_2)$
$v_1 = v_4 - v_2$

(A) કોણીય આવેગ એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$\tau \Delta t = \Delta L$
ટેબલની ધારને પીવટ પોઈન્ટ તરીકે લેતા,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = mg \frac{\ell}{2}$ થાય છે.
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = I \omega$
સળિયો ધારની આસપાસ ફરે છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m\ell^2}{3}$ છે.
$mg \frac{\ell}{2} \Delta t = \frac{m\ell^2}{3} \omega$
$\omega = \frac{3g \Delta t}{2\ell} = \frac{3 \times 10 \times 0.01}{2 \times 0.3} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\, rad/s$
સળિયાને જમીન પર અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1\, s$ છે.
આ સમય દરમિયાન સળિયા દ્વારા પરિભ્રમણ કરેલ ખૂણો $\theta = \omega t = 0.5 \times 1 = 0.5\, radian$ છે.

(C) આપેલ છે: $|\vec{A}_1| = 3$,$|\vec{A}_2| = 5$,અને $|\vec{A}_1 + \vec{A}_2| = 5$.
ગુણધર્મ $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$25 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$30 \cos \theta = -9 \implies \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = |\vec{A}_1||\vec{A}_2| \cos \theta = 3 \times 5 \times (-9/30) = -4.5$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ:
$(2\vec{A}_1 + 3\vec{A}_2) \cdot (3\vec{A}_1 - 2\vec{A}_2) = 6|\vec{A}_1|^2 - 4\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 + 9\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6|\vec{A}_1|^2 + 5(\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2) - 6|\vec{A}_2|^2$
$= 6(3^2) + 5(-4.5) - 6(5^2)$
$= 6(9) - 22.5 - 6(25)$
$= 54 - 22.5 - 150 = -118.5$.

(B) ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ સપાટી પરના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોય છે: $E = \frac{GMm}{R}$.
આપેલ છે કે પૃથ્વી અને ચંદ્રની ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી $M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
કારણ કે $V_e = 64 V_m$,તેથી $R_e^3 = 64 R_m^3$,જેનો અર્થ છે કે $R_e = 4 R_m$.
વળી,$M_e = \rho V_e = 64 \rho V_m = 64 M_m$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \frac{GMm}{R}$ છે.
તેથી,$\frac{E_m}{E_e} = \frac{M_m}{M_e} \cdot \frac{R_e}{R_m} = \frac{1}{64} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{16}$.
આમ,$E_m = \frac{E}{16}$.

(D) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. સમદાબી પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં દબાણ અચળ રહે છે. તેથી,સમદાબી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $a$.
$2$. સમકદ પ્રક્રિયા ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કદ અચળ રહે છે. તેથી,સમકદ $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $d$.
$3$. સમતાપી અને સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓ માટે,સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ એ સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે,જ્યાં $\gamma > 1$. તેથી,સમોષ્મી વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
$4$. વક્ર $b$ અને $c$ ની સરખામણી કરતા,વક્ર $c$ એ વક્ર $b$ કરતા વધુ તીવ્ર છે. તેથી,સમતાપી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $b$ અને સમોષ્મી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $c$.
$5$. સાચો ક્રમ છે: સમકદ $(d)$,સમદાબી $(a)$,સમતાપી $(b)$,સમોષ્મી $(c)$.
$6$. તેથી,સાચો ક્રમ $d, a, b, c$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસ શીટનું કુલ દળ $M$ છે. સંપૂર્ણ શીટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ પર છે.
છાયાંકિત ભાગ $HBGO$ એ $\frac{a}{2}$ લંબાઈ અને $\frac{b}{2}$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. તેનું દળ $m = M \times \frac{(\frac{a}{2} \times \frac{b}{2})}{(a \times b)} = \frac{M}{4}$ છે.
છાયાંકિત ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{4}, \frac{b}{2} + \frac{b}{4} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{3b}{4} \right)$ પર છે.
બાકી રહેલું દળ $M' = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{M(\frac{a}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3a}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{\frac{a}{2} - \frac{3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{8a-3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{5a}{12}$.
તે જ રીતે,$y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{M(\frac{b}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3b}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{5b}{12}$.
આમ,યામ $\left( \frac{5a}{12}, \frac{5b}{12} \right)$ છે.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{L^3}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $L$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $m = 10.00 \, kg$,$\Delta m = 0.10 \, kg$,$L = 0.10 \, m$,$\Delta L = 0.01 \, m$.
માપેલ ઘનતા $\rho = \frac{10.00}{(0.10)^3} = 10000 \, kg/m^3$ છે.
અહીં $L$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.10} = 0.1$ છે,જે નાની ન હોવાથી આપણે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ઘનતાની ગણતરી કરીશું.
$\rho_{max} = \frac{m + \Delta m}{(L - \Delta L)^3} = \frac{10.10}{(0.09)^3} \approx 13854.6 \, kg/m^3$.
$\rho_{min} = \frac{m - \Delta m}{(L + \Delta L)^3} = \frac{9.90}{(0.11)^3} \approx 7438.0 \, kg/m^3$.
ઘનતામાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \rho = \frac{\rho_{max} - \rho_{min}}{2} = \frac{13854.6 - 7438.0}{2} = 3208.3 \, kg/m^3$.
આ કિંમત આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T, \theta, \rho,$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
જ્યારે ત્રિજ્યા $2r$ થાય,ત્યારે નવી ઊંચાઈ $h' = h/2$ થાય.
કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $M = \pi r^2 h \rho$ છે.
નવી નળી માટે,દળ $M' = \pi (2r)^2 h' \rho$ થશે.
$h' = h/2$ મૂકતા,આપણને $M' = \pi (4r^2) (h/2) \rho = 2 \pi r^2 h \rho = 2M$ મળે છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુનો $rms$ વેગ અને તેના તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે,સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{2}m\bar{v}^2 = \frac{3}{2}k_B T$
અહીં,$\bar{v}$ એ અણુનો $rms$ વેગ દર્શાવે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$m\bar{v}^2 = 3k_B T$
તાપમાન $T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{m\bar{v}^2}{3k_B}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) બંને પ્રક્રિયાઓ $A$ અને $B$ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ અને અંતિમ અવસ્થા $f$ સમાન છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$\Delta U_A = \Delta U_B$.
$P-V$ આલેખમાં થયેલું કાર્ય $W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વક્ર $A$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ વક્ર $B$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા $A$ માં થયેલું કાર્ય પ્રક્રિયા $B$ માં થયેલા કાર્ય કરતા વધારે છે $(W_A > W_B)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U_A = \Delta U_B$ અને $W_A > W_B$,તેથી $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ મળે છે.

(B) લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = L/n$ છે.
કેબલ સમાન હોવાથી,લટકતા ભાગનું દળ $m = (M/L) \times l = M/n$ થાય.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સપાટીની ધારથી $h_{COM} = l/2 = L/(2n)$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
લટકતા ભાગને સપાટી પર લાવવા માટે,આપણે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સપાટીના સ્તર સુધી ઉપર લાવવું પડે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = m \times g \times h_{COM}$
$W = (M/n) \times g \times (L/(2n))$
$W = \frac{MgL}{2n^2}$

(B) સરક્યા વગર ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. તળિયે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$.
આમ,$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$. અહીં $v$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
$(i)$ રીંગ માટે,$I = mR^2 \implies k^2 = R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 1$. તેથી,$h_1 \propto (1 + 1) = 2$.
$(ii)$ નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2 \implies k^2 = \frac{1}{2}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$. તેથી,$h_2 \propto (1 + \frac{1}{2}) = 1.5$.
$(iii)$ નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2 \implies k^2 = \frac{2}{5}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$. તેથી,$h_3 \propto (1 + \frac{2}{5}) = 1.4$.
ગુણોત્તર $h_1 : h_2 : h_3 = 2 : 1.5 : 1.4 = 20 : 15 : 14$ થાય છે. વિકલ્પ $(B)$ માં $14 : 15 : 20$ આપેલ છે,જે ઉલટો ગુણોત્તર છે,પરંતુ તે જ સૌથી નજીકનો વિકલ્પ છે.

(D) તકતીની ચાકગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2}I\omega^2 = K\theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે કોણીય વેગ $\omega$ ને નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ:
$\omega^2 = \frac{2K\theta^2}{I} \implies \omega = \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \quad \dots(1)$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાં થતો ફેરફાર છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right) = \sqrt{\frac{2K}{I}} \frac{d\theta}{dt}$
કારણ કે $\frac{d\theta}{dt} = \omega,$ સમીકરણ $(1)$ માંથી $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha = \sqrt{\frac{2K}{I}} \left( \sqrt{\frac{2K}{I}}\theta \right)$
$\alpha = \frac{2K}{I}\theta.$

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g$ છે. તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$
જ્યારે ગોળાને $\rho_l$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે અને ગોળાની ઘનતા $\rho_b$ હોય,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( 1 - \frac{\rho_l}{\rho_b} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_l = \frac{1}{16} \rho_b,$ તેથી $g' = g \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = g \left( \frac{15}{16} \right).$
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \cdot \frac{15}{16}}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \sqrt{\frac{16}{15}} = T \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = 4T \sqrt{\frac{1}{15}}.$

(B) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
નોંધો કે $rms$ ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે: $T_1 = 127\,^oC = 127 + 273 = 400\,K$ અને $V_1 = 200\,m/s$.
આપેલ છે: $T_2 = 227\,^oC = 227 + 273 = 500\,K$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{V_2}{200} = \sqrt{\frac{500}{400}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$V_2 = 200 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = 100\sqrt{5}\,m/s$.

(C) નદીને સીધી પાર કરવા માટે,તરવૈયાના વેગનો નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક નદીના વેગને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
ધારો કે $\theta$ એ તરવૈયા દ્વારા નદીના પ્રવાહને લંબ રેખા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
નદીનો વેગ $v_r = 2\,km/h$ છે.
તરવૈયાનો વેગ $v_s = 4\,km/h$ છે.
તરવૈયો સીધો સામેના કાંઠે પહોંચે તે માટે,તરવૈયાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક નદીના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$v_s \sin \theta = v_r$
$4 \sin \theta = 2$
$\sin \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^\circ$ (લંબ રેખાની સાપેક્ષમાં).
નદીના પ્રવાહની દિશા સાથેનો ખૂણો $90^\circ + \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ થશે.

(A) ગોળાકાર રીતે સપ્રમાણ દળ વિતરણની બહારના બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ કેન્દ્ર પર સ્થિત સિસ્ટમના કુલ દળ જેટલા બિંદુ દળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રની સમકક્ષ હોય છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ એ નક્કર ગોળાના દળ અને ગોળાકાર કવચના દળનો સરવાળો છે:
$M_{total} = M + 2M = 3M$
કેન્દ્રથી અંતર $r = 3a$ છે.
બિંદુ દળ $M_{total}$ થી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ માટેનું સૂત્ર છે:
$g = \frac{G M_{total}}{r^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$g = \frac{G(3M)}{(3a)^2}$
$g = \frac{3GM}{9a^2}$
$g = \frac{GM}{3a^2}$

(B) બંને છેડે જકડાયેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકમાં લંબાઈ $\ell = n \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 4$ આપેલ છે,તેથી $\ell = 4 \frac{\lambda}{2} = 2\lambda$.
સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.3 \sin(0.157 x) \cos(200\pi t)$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 0.157$ મળે છે.
કારણ કે $0.157 \approx \frac{\pi}{20}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 40 \, m$ મળે છે.
આ કિંમતને લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\ell = 2 \lambda = 2 \times 40 = 80 \, m$.

(A) દડાનું વેગમાન $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળની ગતિ માટે,વેગ $v$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $v^2 = u^2 - 2gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
સમીકરણમાં $v = p/m$ મૂકતા,આપણને $(p/m)^2 = u^2 - 2gh$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p^2 = m^2u^2 - 2gm^2h$ મળે છે,જેને $p^2 = -2gm^2h + m^2u^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $p^2 = -Ah + B$ સ્વરૂપના પરવલયનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = 2gm^2$ અને $B = m^2u^2$ છે.
જેમ દડો ઉપર જાય છે,તેમ $h$ એ $0$ થી $H_{max}$ સુધી વધે છે અને $p$ એ $mu$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. જેમ તે પાછો નીચે આવે છે,તેમ $h$ એ $H_{max}$ થી $0$ સુધી ઘટે છે અને $p$ ઋણ બને છે તથા તેનું મૂલ્ય $0$ થી $-mu$ સુધી વધે છે.
સાચો આલેખ એ ઋણ $h$-અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે $p = mu$ (ધન) થી શરૂ થાય છે,$h=H_{max}$ પર $p=0$ માંથી પસાર થાય છે અને $h=0$ પર $p = -mu$ (ઋણ) પર સમાપ્ત થાય છે.

(B) ધારો કે $2\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે અને અંતિમ વેગ $v_0/4$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2v_0 = 2(v_0/4) + mv$
$2v_0 = v_0/2 + mv$
$mv = 3v_0/2$ --- $(1)$
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે:
$e = (v_{2} - v_{1}) / (u_{1} - u_{2}) = 1$
$v - v_0/4 = v_0 - 0$
$v = v_0 + v_0/4 = 5v_0/4$
$v$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m(5v_0/4) = 3v_0/2$
$m = (3/2) * (4/5) = 12/10 = 1.2\,kg$.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $P = 0.01 \sin(1000t - 3x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $P = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1000 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 3 \, m^{-1}$ મળે છે.
$0 \, ^oC$ $(T_0 = 273 \, K)$ પર અવાજની ઝડપ $v_0 = \frac{\omega}{k} = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \, m s^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવાજની ઝડપ $v \propto \sqrt{T}$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,$\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$.
તાપમાન $T$ પર $v = 336 \, m s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{336}{1000/3} = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
$\frac{1008}{1000} = \sqrt{\frac{T}{273}} \implies 1.008 = \sqrt{\frac{T}{273}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1.016 = \frac{T}{273}$.
$T = 273 \times 1.016 = 277.368 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T( ^oC) = 277.368 - 273 = 4.368 \, ^oC$.
આમ,$T$ નું આશરે મૂલ્ય $4 \, ^oC$ છે.

(D) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x(t) = at + bt^2 - ct^3$.
વેગ $v(t)$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = a + 2bt - 3ct^2$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 2b - 6ct$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે સમય $t$ શોધવા માટે:
$0 = 2b - 6ct \implies 6ct = 2b \implies t = \frac{b}{3c}$.
હવે,$t = \frac{b}{3c}$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = a + 2b\left(\frac{b}{3c}\right) - 3c\left(\frac{b}{3c}\right)^2$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - 3c\left(\frac{b^2}{9c^2}\right)$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c}$
$v = a + \frac{b^2}{3c}$.

(D) જ્યારે દોલનો બંધ થાય છે ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k x^2$.
અહીં $k = 800\, N/m$ અને $x = 2\, cm = 0.02\, m$ આપેલ છે.
$E = \frac{1}{2} \times 800 \times (0.02)^2 = 400 \times 0.0004 = 0.16\, J$.
આ ઉર્જા દળ અને પાણી દ્વારા શોષાય છે: $E = (m_1 s_1 + m_2 s_2) \Delta T$.
અહીં $m_1 = 0.5\, kg$,$s_1 = 400\, J/kg\, K$,$m_2 = 1\, kg$,$s_2 = 4184\, J/kg\, K$.
$0.16 = (0.5 \times 400 + 1 \times 4184) \Delta T$.
$0.16 = (200 + 4184) \Delta T = 4384 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{4384} \approx 3.65 \times 10^{-5}\, K$.
તેથી,તાપમાનના ફેરફારનો ક્રમ $10^{-5}\, K$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} = \phi + eV_{1}$ ...... $(i)$
$\frac{hc}{\lambda_{2}} = \phi + eV_{2}$ ...... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} - \frac{hc}{\lambda_{2}} = e(V_{1} - V_{2})$
$hc \left( \frac{1}{\lambda_{1}} - \frac{1}{\lambda_{2}} \right) = e \Delta V$
$\Delta V = \frac{hc}{e} \left( \frac{\lambda_{2} - \lambda_{1}}{\lambda_{1} \lambda_{2}} \right)$
અહીં $\frac{hc}{e} = 1240\, nm \cdot V$,$\lambda_{1} = 300\, nm$,અને $\lambda_{2} = 400\, nm$ આપેલ છે:
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{400 - 300}{300 \times 400} \right)$
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{100}{120000} \right)$
$\Delta V = \frac{1240}{1200} \approx 1.03\, V$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ઘટાડો આશરે $1\, V$ છે.

(C) પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{4}{5 + R}$ છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = i \times 5 = \frac{20}{5 + R}$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{20}{5 + R} \times \frac{1}{1} = \frac{20}{5 + R} \, V/m$ છે.
$10\, cm$ $(0.1\, m)$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AP} = k \times 0.1 = \frac{20}{5 + R} \times 0.1 = \frac{2}{5 + R}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{AP} = 5\, mV = 5 \times 10^{-3} \, V$,તેથી:
$\frac{2}{5 + R} = 5 \times 10^{-3}$
$5 + R = \frac{2}{5 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{5} = 400$
$R = 400 - 5 = 395\, \Omega$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{dR}{d\ell} = \frac{k}{\sqrt{\ell}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$\ell = 0$ થી $\ell = 1\, m$ સુધી સંકલન કરતા,તારનો કુલ અવરોધ $R_{AB}$ મળે છે:
$R_{AB} = \int_{0}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{1} = 2k$.
ધારો કે લંબાઈ $AP = L$ છે. વિભાગ $AP$ નો અવરોધ $R_{AP} = \int_{0}^{L} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{L} = 2k\sqrt{L}$ છે.
વિભાગ $PB$ નો અવરોધ $R_{PB} = \int_{L}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{L}^{1} = 2k(1 - \sqrt{L})$ છે.
સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,જ્યાં ગેપમાં સમાન અવરોધો $R'$ છે,શરત $\frac{R'}{R_{AP}} = \frac{R'}{R_{PB}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R_{AP} = R_{PB}$.
તેથી,$2k\sqrt{L} = 2k(1 - \sqrt{L})$.
$\sqrt{L} = 1 - \sqrt{L} \implies 2\sqrt{L} = 1 \implies \sqrt{L} = 0.5$.
$L = (0.5)^2 = 0.25\, m$.

(A) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બલ્બ $(25\, W, 220\, V)$ માટે: $R_1 = \frac{(220)^2}{25} = 1936\, \Omega$.
બીજા બલ્બ $(100\, W, 220\, V)$ માટે: $R_2 = \frac{(220)^2}{100} = 484\, \Omega$.
બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{220}{1936 + 484} = \frac{220}{2420} = \frac{1}{11}\, A$ છે.
પ્રથમ બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_1 = i^2 R_1 = \left(\frac{1}{11}\right)^2 \times 1936 = \frac{1936}{121} = 16\, W$ છે.
બીજા બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P_2 = i^2 R_2 = \left(\frac{1}{11}\right)^2 \times 484 = \frac{484}{121} = 4\, W$ છે.

(D) પગલું $1$: બહિર્ગોળ લેન્સ $(f_1 = +5 \, cm)$ દ્વારા પ્રતિબિંબનું નિર્માણ:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_1 = -20 \, cm$ અને $f_1 = +5 \, cm$ છે:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$.
તેથી,$v_1 = \frac{20}{3} \, cm$ લેન્સ $A$ ની જમણી બાજુએ મળે છે.
પગલું $2$: અંતર્ગોળ લેન્સ $(f_2 = -5 \, cm)$ દ્વારા પ્રતિબિંબનું નિર્માણ:
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \, cm$ છે.
બીજા લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u_2 = +(v_1 - d) = +(\frac{20}{3} - 2) = +\frac{14}{3} \, cm$ (આભાસી વસ્તુ) થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{14/3} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{15 - 14}{70} = \frac{1}{70}$.
આમ,$v_2 = +70 \, cm$.
$v_2$ ધન હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ બિંદુ $B$ ની જમણી બાજુએ $70 \, cm$ અંતરે રચાય છે અને તે વાસ્તવિક છે.

(C) ધારો કે અરીસો $y$-અક્ષ પર $y = -d/2$ થી $y = d/2$ સુધી મૂકવામાં આવ્યો છે. સ્ત્રોત $S$ એ $(L, 0)$ પર છે. સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$ એ $(-L, 0)$ પર રચાય છે.
માણસ $x = 2L$ રેખા પર ચાલે છે. પ્રતિબિંબ $S'$ માંથી આવતા કિરણો જે માણસ સુધી પહોંચે છે તે અરીસાની ધારમાંથી પસાર થવા જોઈએ.
અરીસાની ઉપરની ધાર $(0, d/2)$ અને નીચેની ધાર $(0, -d/2)$ માંથી પસાર થતા $S'$ ના કિરણો દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર નક્કી કરે છે.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,અરીસાથી $x = 2L$ અંતરે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની ઊંચાઈ $h$ એ અંતરોના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબિંબ $S'$ થી અરીસા સુધીનું અંતર $L$ છે,અને પ્રતિબિંબ $S'$ થી માણસ સુધીનું અંતર $L + 2L = 3L$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણ દ્વારા,દ્રષ્ટિ ક્ષેત્રની પહોળાઈ $h$ એ $\frac{h}{d} = \frac{3L}{L} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$h = 3d$.

(C) આપાત તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ છે.
કારણ કે $4\%$ પ્રકાશ પરાવર્તિત થાય છે,તેથી $96\%$ તીવ્રતા કાચના સ્લેબમાં પ્રસારિત થાય છે.
ધારો કે $E_0'$ એ કાચમાં વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે. કાચમાં તીવ્રતા $I' = \frac{1}{2} \varepsilon E_0'^2 v$ છે,જ્યાં $v = c/n$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 n^2$ છે.
આમ,$I' = 0.96 I$.
પદોને મૂકતા: $\frac{1}{2} \varepsilon_0 n^2 E_0'^2 (c/n) = 0.96 \times \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
સાદુરૂપ આપતા,$n E_0'^2 = 0.96 E_0^2$.
અહીં $n = 1.5$ અને $E_0 = 30\, V/m$ આપેલ છે:
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times (30)^2$.
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times 900 = 864$.
$E_0'^2 = 864 / 1.5 = 576$.
$E_0' = \sqrt{576} = 24\, V/m$.

(D) આ સિસ્ટમમાં ત્રણ વિદ્યુતભારો છે: $(0,0)$ પર $+q$,$(\ell, 0)$ પર $+q$,અને $(\ell/2, \ell\sqrt{3}/2)$ પર $-2q$.
આને બે ડાયપોલ તરીકે જોઈ શકાય છે,જેમાં દરેકનો વિદ્યુતભાર $q$ અને અંતર $\ell$ છે.
પ્રથમ ડાયપોલ $\overrightarrow{P}_1$ એ ઉપરના શિરોબિંદુ પરના $-q$ અને ઉગમબિંદુ પરના $+q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા બને છે. તેની દિશા ઉગમબિંદુથી ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બીજો ડાયપોલ $\overrightarrow{P}_2$ એ ઉપરના શિરોબિંદુ પરના બીજા $-q$ અને $(\ell, 0)$ પરના $+q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા બને છે. તેની દિશા $(\ell, 0)$ થી ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $120^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દરેક ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $P = q\ell$ છે.
$\overrightarrow{P}_1$ ના ઘટકો $P_x = q\ell \cos 60^\circ = q\ell/2$ અને $P_y = q\ell \sin 60^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ છે.
$\overrightarrow{P}_2$ ના ઘટકો $P_x = q\ell \cos 120^\circ = -q\ell/2$ અને $P_y = q\ell \sin 120^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ છે.
કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}_{net} = \overrightarrow{P}_1 + \overrightarrow{P}_2$ છે:
$P_{net, x} = q\ell/2 - q\ell/2 = 0$
$P_{net, y} = q\ell\sqrt{3}/2 + q\ell\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}q\ell$.
આમ,$\overrightarrow{P}_{net} = \sqrt{3}q\ell \hat{j}$.

(C) મોડ્યુલેટેડ વેવનો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A_c + A_m = 160\, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોડ્યુલેટેડ વેવનો ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{min} = A_c - A_m = 40\, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(A_c + A_m) + (A_c - A_m) = 160 + 40$,જે $2A_c = 200$ આપે છે,તેથી $A_c = 100\, V$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(A_c + A_m) - (A_c - A_m) = 160 - 40$,જે $2A_m = 120$ આપે છે,તેથી $A_m = 60\, V$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ને મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર અને કેરિયર વેવના કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{60}{100} = 0.6$.

(C) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $X$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot X} = \overline{A \cdot (\bar{A} + \bar{B})} = \overline{A\bar{A} + A\bar{B}} = \overline{0 + A\bar{B}} = \overline{A\bar{B}} = \bar{A} + B$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટના ઇનપુટ $X$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_2 = X + B = (\bar{A} + \bar{B}) + B = \bar{A} + (\bar{B} + B) = \bar{A} + 1 = 1$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\bar{A} + B) \cdot 1} = \overline{\bar{A} + B} = A \cdot \bar{B}$ છે.

(C) અંતર $d$ પર રહેલા અર્ધ-અનંત તારના વિભાગને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક તાર માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપતા બે અર્ધ-અનંત વિભાગો છે.
ડાબા તાર માટે,વિભાગ $LP$ અર્ધ-અનંત છે અને વિભાગ $PS$ પણ અર્ધ-અનંત છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ડાબા તારના બંને વિભાગો $O$ પર પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તે જ રીતે,જમણા તારના બંને વિભાગો $O$ પર પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total}$ એ ચારેય અર્ધ-અનંત વિભાગોના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B_{total} = 4 \times \left( \frac{\mu_0 i}{4\pi d} \right) = \frac{\mu_0 i}{\pi d}$.
આપેલ છે કે $B_{total} = 10^{-4}\, T$,$d = 4\, cm = 4 \times 10^{-2}\, m$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$:
$10^{-4} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times i}{\pi \times 4 \times 10^{-2}}$
$10^{-4} = i \times 10^{-5}$
$i = 10\, A$.
પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,$i = 20\, A$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}kr^2$ છે.
બળ $F = -\frac{dU}{dr} = -kr$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિતિમાન ક્ષેત્ર દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = kr \implies mv^2 = kr^2$ .... $(i)$
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ:
$mvr = \frac{nh}{2\pi} \implies v = \frac{nh}{2\pi mr}$ .... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$m(\frac{nh}{2\pi mr})^2 = kr^2$
$\frac{n^2h^2}{4\pi^2mr^2} = kr^2 \implies r^4 = \frac{n^2h^2}{4\pi^2mk} \implies r^2 \propto n \implies r_n \propto \sqrt{n}$.
કુલ ઉર્જા $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2$.
$(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kr^2$,તેથી $E = \frac{1}{2}kr^2 + \frac{1}{2}kr^2 = kr^2$.
જેમ કે $r^2 \propto n$,તેથી $E_n \propto n$ મળે છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$q_p = q$,$K_p = qV$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2q$,$K_{\alpha} = (2q)V = 2qV$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2m_p K_p} / q_p B}{\sqrt{2m_{\alpha} K_{\alpha}} / q_{\alpha} B} = \frac{\sqrt{m_p K_p}}{q_p} \cdot \frac{q_{\alpha}}{\sqrt{m_{\alpha} K_{\alpha}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{m \cdot qV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{4m \cdot 2qV}} = \frac{\sqrt{mqV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{8mqV}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતો તાર) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે.
હવે સર્કિટમાં $5\,\Omega$ ના બે અવરોધકો છે,જે $15\, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
બે સમાંતર અવરોધકોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = \frac{25}{10} = 2.5\,\Omega$
બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15}{2.5} = 6\, A$

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ (સ્વિચ $A$ પર): કેપેસીટર $C$ એ $E$ $EMF$ ધરાવતી બેટરી દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CE$ છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ (સ્વિચ $B$ પર): કેપેસીટર $C$ ને કેપેસીટર $3C$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસીટરો વચ્ચે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેઓ સમાંતર હોવાથી,બંને પરનો અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે. કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + 3C = 4C$ છે. અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{Q}{4C} = \frac{E}{4}$ છે.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C_{eq}V^2 = \frac{1}{2}(4C)\left(\frac{E}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}(4C)\frac{E^2}{16} = \frac{1}{8}CE^2 = \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C}$ છે.
સર્કિટમાં વ્યય થતી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} - \frac{1}{8}\frac{Q^2}{C} = \left(\frac{4-1}{8}\right)\frac{Q^2}{C} = \frac{3}{8}\frac{Q^2}{C}$ છે.

(B) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R$ છે. જ્યારે $K_1$ બંધ હોય અને $K_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથનો કુલ અવરોધ $220 + R$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{220 + R} = k\theta_0$ છે,જ્યાં $k$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અચળાંક છે.
જ્યારે $K_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર (અવરોધ $R$) એ અવરોધ $R_2 = 5\,\Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. નવું આવર્તન $\frac{\theta_0}{5}$ છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો નવો પ્રવાહ $i' = \frac{i}{5} = \frac{V}{5(220 + R)}$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_{parallel} = i' R = \frac{iR}{5}$ છે.
$R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2 = \frac{V_{parallel}}{R_2} = \frac{iR/5}{5} = \frac{iR}{25}$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = i' + i_2 = \frac{i}{5} + \frac{iR}{25} = i \left( \frac{5 + R}{25} \right)$ છે.
મુખ્ય લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V = I(220) + V_{parallel} = i \left( \frac{5 + R}{25} \right) 220 + \frac{iR}{5}$.
$V = i(220 + R)$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$i(220 + R) = i \left[ \frac{220(5 + R)}{25} + \frac{R}{5} \right]$.
$220 + R = \frac{44(5 + R)}{5} + \frac{R}{5} = \frac{220 + 44R + R}{5} = \frac{220 + 45R}{5} = 44 + 9R$.
$220 - 44 = 9R - R \Rightarrow 176 = 8R \Rightarrow R = 22\,\Omega$.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $A$ માટે: $\lambda_A = \frac{h}{\sqrt{2mq(50)}}$.
કણ $B$ માટે: $\lambda_B = \frac{h}{\sqrt{2(4m)q(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{8mq(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{20000mq}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\sqrt{2(4m)q(2500)}}{\sqrt{2mq(50)}} = \sqrt{\frac{8m \cdot q \cdot 2500}{2m \cdot q \cdot 50}} = \sqrt{\frac{20000}{100}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,ગુણોત્તર $10 \times 1.414 = 14.14$ થાય છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતભાર વિતરણની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા તેના વિસ્તરણ દરમિયાન ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$Q$ વિદ્યુતભાર અને $R_0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{k Q^2}{2 R_0}$ છે.
કોઈપણ તત્કાલીન ત્રિજ્યા $R(t)$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U_t = \frac{k Q^2}{2 R(t)}$ અને ગતિ ઉર્જા $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
તંત્ર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતું હોવાથી,$K_i = 0$. તેથી,$U_i = U_t + K_t$.
$\frac{k Q^2}{2 R_0} = \frac{k Q^2}{2 R(t)} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{k Q^2}{2} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)$
$v = \sqrt{\frac{k Q^2}{m} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)}$
જેમ $R(t) \to R_0$,તેમ $v \to 0$. જેમ $R(t) \to \infty$,તેમ $v \to \sqrt{\frac{k Q^2}{m R_0}}$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે. વિધેય $v(R)$ એ $0$ થી શરૂ થાય છે અને વધે છે,જે એક આડી અનંતસ્પર્શક (horizontal asymptote) તરફ જાય છે. આ વર્તણૂક આલેખ $C$ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(C) આપેલ છે: $\omega = 100 \, rad/s$,$L = \frac{\sqrt{3}}{10} \, H$,$R_1 = 10 \, \Omega$,$C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3} \, F$,$R_2 = 20 \, \Omega$.
$L-R_1$ શાખા માટે:
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{10} = 10\sqrt{3} \, \Omega$.
વોલ્ટેજ $V$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહ $I_1$ નો કળા કોણ $\phi_1$ એ $\tan \phi_1 = -\frac{X_L}{R_1} = -\frac{10\sqrt{3}}{10} = -\sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\phi_1 = -60^\circ$.
$C-R_2$ શાખા માટે:
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^{-3}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, \Omega$.
વોલ્ટેજ $V$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહ $I_2$ નો કળા કોણ $\phi_2$ એ $\tan \phi_2 = \frac{X_C}{R_2} = \frac{20/\sqrt{3}}{20} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\phi_2 = 30^\circ$.
$I_1$ અને $I_2$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $|\phi_2 - \phi_1| = |30^\circ - (-60^\circ)| = 90^\circ$ છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટર સેચ્યુરેશનમાં પહોંચે તે માટે,કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ શૂન્ય $(0\,V)$ હોવો જોઈએ.
આઉટપુટ લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$V_{CC} - I_C R_C - V_{CE} = 0$
સેચ્યુરેશન સમયે $V_{CE} = 0$ હોવાથી:
$I_C = \frac{V_{CC}}{R_C} = \frac{5\,V}{1\,k\Omega} = 5\,mA = 5 \times 10^{-3}\,A$.
કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ $I_C = \beta_{dc} I_B$ છે.
તેથી,સેચ્યુરેશન માટે જરૂરી લઘુત્તમ બેઝ પ્રવાહ:
$I_B = \frac{I_C}{\beta_{dc}} = \frac{5 \times 10^{-3}\,A}{200} = 25 \times 10^{-6}\,A = 25\,\mu A$.
હવે,ઇનપુટ લૂપ માટે $KVL$ લાગુ કરતા:
$V_{BB} - I_B R_B - V_{BE} = 0$
$V_{BB} = I_B R_B + V_{BE}$
$V_{BB} = (25 \times 10^{-6}\,A)(100 \times 10^3\,\Omega) + 1.0\,V$
$V_{BB} = 2.5\,V + 1.0\,V = 3.5\,V$.
આમ,લઘુત્તમ બેઝ પ્રવાહ $25\,\mu A$ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ $3.5\,V$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,પરિપથમાં સમાંતર જોડાણોને સરળ બનાવો.
$1$. નીચે ડાબી બાજુએ સમાંતરમાં રહેલા બે $2\,\mu F$ કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = 2 + 2 = 4\,\mu F$ છે.
$2$. જમણી બાજુએ સમાંતરમાં રહેલા $2\,\mu F$ અને $1\,\mu F$ કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 2 + 1 = 3\,\mu F$ છે.
$3$. હવે,$2\,\mu F$ કેપેસિટર $C_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $C_3 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5}\,\mu F$ આપે છે.
$4$. આપેલ ઉકેલ માળખા મુજબ,ગણતરી કરતા $C = \frac{7}{11}\,\mu F$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું $emf$ $e = B \ell v \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તાર ઉત્તર-પૂર્વથી દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકને લંબ રૂપે તારની અસરકારક લંબાઈ $\ell \sin 45^{\circ}$ થશે.
આપેલ છે: $B = 0.3 \times 10^{-4}\,Wb/m^2$,$\ell = 10\,m$,$v = 5.0\,m/s$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
$emf = B \ell v \sin 45^{\circ}$
$emf = (0.3 \times 10^{-4}) \times 10 \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$emf = \frac{15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 10.6 \times 10^{-4} = 1.06 \times 10^{-3}\,V \approx 1.1 \times 10^{-3}\,V$.

(C) $TV$ ટ્રાન્સમિશન ટાવરની $h$ ઊંચાઈ માટે કવરિંગ રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2hR}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $d \propto \sqrt{h}$.
ધારો કે પ્રારંભિક રેન્જ $d_1 = \sqrt{2h_1R}$ છે અને નવી રેન્જ $d_2 = \sqrt{2h_2R}$ છે.
આપણે નવી રેન્જને પ્રારંભિક રેન્જ કરતા બમણી કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $d_2 = 2d_1$.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને $\sqrt{2h_2R} = 2 \sqrt{2h_1R}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2h_2R = 4(2h_1R)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $h_2 = 4h_1$ મળે છે.
તેથી,કવરિંગ રેન્જ બમણી કરવા માટે ટાવરની ઊંચાઈને $4$ વડે ગુણવી આવશ્યક છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{1 - \mu_1}{R}$.
વક્રીભવનાંક $\mu_2$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_2 - 1}{R}$.
જ્યારે આ બંને લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1 - \mu_1}{R} + \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{1 - \mu_1 + \mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{\mu_2 - \mu_1}$ થશે.

(D) પારાના પરમાણુ સાથે અથડામણ દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ગુમાવેલી ઊર્જા તેની પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ ઊર્જાના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુમાવેલી ઊર્જા,$\Delta E = 5.6 \ eV - 0.7 \ eV = 4.9 \ eV$.
આ ઊર્જા પારાના પરમાણુ દ્વારા શોષાય છે,જે પછી તે ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી પાછા ફરતી વખતે ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = 4.9 \ eV$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા અને તેની તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.9 \ eV} \approx 253 \ nm$.
આપેલા વિકલ્પોમાં નજીકની કિંમત $250 \ nm$ છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $(I_g)$ એ પ્રતિ કાપા દીઠ પ્રવાહ અને કુલ કાપાની સંખ્યાના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$I_g = (4 \times 10^{-4}\, A/\text{division}) \times 25\, \text{divisions} = 10^{-2}\, A$.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ $G$ સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
સૂત્ર છે: $V = I_g(G + R)$.
અહીં $V = 2.5\, V$,$I_g = 10^{-2}\, A$,અને $G = 50\, \Omega$ આપેલ છે:
$2.5 = 10^{-2} \times (50 + R)$.
બંને બાજુ $10^{-2}$ વડે ભાગતા:
$250 = 50 + R$.
$R$ માટે ઉકેલતા:
$R = 250 - 50 = 200\, \Omega$.

(B) જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
જંકશન $S$ પર: $I_3 + I_5 = I_4 \Rightarrow I_3 = I_4 - I_5 = 0.8\,A - 0.4\,A = 0.4\,A$.
જંકશન $R$ પર: $I_4 = I_1 + I_2 \Rightarrow I_2 = I_4 - I_1 = 0.8\,A - (-0.3\,A) = 1.1\,A$.
જંકશન $Q$ પર: $I_3 = I_2 + I_1 + I_6 \Rightarrow 0.4 = 1.1 - 0.3 + I_6 \Rightarrow I_6 = -0.4\,A$.

(A) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,આપણે સંબંધ $\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$ લખી શકીએ.
આપેલ છે:
$\chi_1 = 2.8 \times 10^{-4}$
$T_1 = 350 \text{ K}$
$T_2 = 300 \text{ K}$
કિંમતો મૂકતા:
$\chi_2 = \frac{\chi_1 T_1}{T_2} = \frac{2.8 \times 10^{-4} \times 350}{300}$
$\chi_2 = \frac{2.8 \times 10^{-4} \times 7}{6}$
$\chi_2 = 3.2666... \times 10^{-4} \approx 3.267 \times 10^{-4}$.

(C) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${}_{90}^{232}Th$ છે.
દરેક $\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે.
દરેક $\beta$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $A$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
$6$ $\alpha$-ક્ષય પછી:
$A' = 232 - (6 \times 4) = 232 - 24 = 208$
$Z' = 90 - (6 \times 2) = 90 - 12 = 78$
$4$ $\beta$-ક્ષય પછી:
$A = A' = 208$
$Z = Z' + (4 \times 1) = 78 + 4 = 82$
આમ,અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${}_{82}^{208}X$ છે,જ્યાં $A = 208$ અને $Z = 82$ છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$ છે.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_{air} \approx 1$ થી વધીને $\mu_{water} \approx 1.33$ થાય છે. પરિણામે,સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu_{rel}$ ઘટે છે,જેના કારણે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ વધે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ વધતી હોવાથી,પ્રતિબિંબનું સ્થાન લેન્સથી દૂર ખસે છે. વસ્તુ અને પડદાના સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી,પ્રતિબિંબ હવે પડદા પર રચાશે નહીં. તેથી,પડદા પરથી પ્રતિબિંબ અદૃશ્ય થઈ જશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આવૃત્તિ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ: $eV_s = hv - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = hv_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(V_0/2) = hv - \phi$ ..... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(V_0) = h(v/2) - \phi$ ..... $(2)$
નોંધ: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ ઋણ આપેલું છે,જે ઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. તેથી,$eV_s = h(v - v_0)$.
$(1)$ પરથી: $eV_0/2 = hv - hv_0 \Rightarrow eV_0 = 2hv - 2hv_0$
$(2)$ પરથી: $eV_0 = hv/2 - hv_0$
$eV_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2hv - 2hv_0 = hv/2 - hv_0$
$2hv - hv/2 = 2hv_0 - hv_0$
$3hv/2 = hv_0$
$v_0 = 3v/2$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$ છે.
અહીં $I = 10^8 \ W/m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
પ્રથમ,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ શોધો:
$B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{c} = \frac{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^8}{3 \times 10^8} = \frac{8\pi}{3} \times 10^{-7} \approx 8.37 \times 10^{-7} \ T^2$.
$B_0 = \sqrt{8.37 \times 10^{-7}} \approx 9.15 \times 10^{-4} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું $rms$ મૂલ્ય $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$B_{rms} = \frac{9.15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 6.47 \times 10^{-4} \ T$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આ મૂલ્ય $10^{-4} \ T$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{A \varepsilon_0}$
જ્યાં $q$ એ પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(8.85 \times 10^{-12}\,F/m)$ છે.
$q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$q = E \cdot A \cdot \varepsilon_0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($E = 100\,N/C$,$A = 1\,m^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$):
$q = 100 \times 1 \times 8.85 \times 10^{-12}$
$q = 8.85 \times 10^{-10}\,C$
તેથી,દરેક પ્લેટ પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8.85 \times 10^{-10}\,C$ છે.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહેવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $q-t$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{dq}{dt}$.
આપેલ આલેખ પરથી,$t = 2 \, s$ અને $t = 6 \, s$ ની વચ્ચે,કેપેસિટર પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ એ $3 \, \mu C$ પર અચળ છે.
વિદ્યુતભાર અચળ હોવાથી,આ અંતરાલમાં આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે.
તેથી,$t = 4 \, s$ સમયે પ્રવાહ $I = 0 \, \mu A$ છે.

(D) પ્રકાશ ત્રણ ઘટનાઓમાંથી પસાર થાય છે:
$(i)$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
$(ii)$ અરીસા દ્વારા પરાવર્તન.
$(iii)$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
$1^{\text{st}}$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40\, cm$ અને $f = +20\, cm$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
મોટવણી $m_1 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
$2^{\text{nd}}$ અરીસા દ્વારા પરાવર્તન:
પ્રતિબિંબ $I_1$ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસાથી $I_1$ નું અંતર $60\, cm - 40\, cm = 20\, cm$ છે. તેથી,$u = -20\, cm$ અને $f = -10\, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-20} = -\frac{1}{20} \Rightarrow v = -20\, cm$.
મોટવણી $m_2 = -\frac{v}{u} = -\frac{-20}{-20} = -1$.
$3^{\text{rd}}$ લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન:
પ્રતિબિંબ $I_2$ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સથી $I_2$ નું અંતર $60\, cm - 20\, cm = 40\, cm$ છે. તેથી,$u = -40\, cm$ અને $f = +20\, cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \Rightarrow v = +40\, cm$.
મોટવણી $m_3 = \frac{v}{u} = \frac{40}{-40} = -1$.
કુલ મોટવણી $m = m_1 \times m_2 \times m_3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ અભિસારી લેન્સથી $40\, cm$ ના અંતરે રચાય છે,જે મૂળ વસ્તુના સ્થાન પર જ છે અને તેનું કદ વસ્તુ જેવડું જ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય બળ (લોરેન્ટ્ઝ બળ) ને કારણે પટ્ટીની ગતિ એ અવમંદિત આવર્ત ગતિ છે, જે અવમંદન બળ તરીકે કાર્ય કરે છે।
અવમંદન બળ $F_d = -B \ell I = -B \ell \left( \frac{B \ell v}{R} \right) = -\frac{B^2 \ell^2}{R} v$ છે।
આને અવમંદન બળના સમીકરણ $F_d = -bv$ સાથે સરખાવતા, આપણને અવમંદન અચળાંક $b = \frac{B^2 \ell^2}{R}$ મળે છે।
આપેલ છે: $B = 0.1\, T$, $\ell = 0.1\, m$, $R = 10\, \Omega$, $m = 0.05\, kg$, $k = 0.5\, N/m$.
$b = \frac{(0.1)^2 \times (0.1)^2}{10} = \frac{10^{-2} \times 10^{-2}}{10} = 10^{-5}\, kg/s$.
કંપવિસ્તારના ક્ષય માટેનો સમય અચળાંક $\tau = \frac{2m}{b} = \frac{2 \times 0.05}{10^{-5}} = \frac{0.1}{10^{-5}} = 10^4\, s$ છે।
સમય $t = \tau$ પછી, કંપવિસ્તાર $A = A_0 e^{-1}$ થાય છે।
દોલનોની સંખ્યા $N = \frac{t}{T_0}$, જ્યાં $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.05}{0.5}} = 2\pi \sqrt{0.1} = \frac{2\pi}{\sqrt{10}}$.
$N = \frac{10^4}{2\pi / \sqrt{10}} = \frac{10^4 \times \sqrt{10}}{2\pi} \approx \frac{10000 \times 3.162}{6.28} \approx 5035$.
આમ, $N$ એ $5000$ ની નજીક છે।

(D) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = E/R$ અને $\tau = L/R$ છે.
અહીં $L = 20 \, H$ અને $R = 10 \, \Omega$ આપેલ છે,તેથી ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = 20/10 = 2 \, s$ થાય.
તેથી,$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$.
અવરોધમાં ઉર્જાનો વ્યય (જૂલ ઉષ્મા) થવાનો દર $P_R = I^2 R = I^2 \times 10$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર $P_L = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} L I^2) = L I \frac{dI}{dt}$ છે.
$P_R = P_L$ લેતા,આપણને $I^2 R = L I \frac{dI}{dt}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $I R = L \frac{dI}{dt}$ થાય.
$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$ અને $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{10} \times \frac{1}{2} e^{-t/2}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E}{10}(1 - e^{-t/2}) \times 10 = 20 \times \frac{E}{20} e^{-t/2}$.
$1 - e^{-t/2} = e^{-t/2}$.
$1 = 2 e^{-t/2} \implies e^{-t/2} = 1/2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-t/2 = \ln(1/2) = -\ln 2$.
તેથી,$t = 2 \ln 2 \, s$.

(D) આપેલ છે:
વોલ્ટેજ રેટિંગ $V = 500\,V$
મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_{\max} = 10^6\,V/m$
પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-4}\,m^2$
કેપેસિટન્સ $C = 15\,pF = 15 \times 10^{-12}\,F$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.86 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,મહત્તમ વોલ્ટેજ $V$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ અને મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_{\max}$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$V = E_{\max} \times d$
$d = \frac{V}{E_{\max}} = \frac{500}{10^6} = 5 \times 10^{-4}\,m$
ડાયલેક્ટ્રિક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$
જ્યાં $k$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$k = \frac{C \times d}{\epsilon_0 \times A}$
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{15 \times 10^{-12} \times 5 \times 10^{-4}}{8.86 \times 10^{-12} \times 10^{-4}}$
$k = \frac{15 \times 5}{8.86} = \frac{75}{8.86} \approx 8.465$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$k \approx 8.5$ મળે છે.

(B) આપેલ એસી વોલ્ટેજ $v(t) = 220 \sin(100 \pi t)$ છે.
લોડ શુદ્ધ અવરોધક હોવાથી,પ્રવાહ $i(t)$ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે,જે $i(t) = I_0 \sin(100 \pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
પ્રવાહ શૂન્યથી તેના મહત્તમ મૂલ્યના અડધા સુધી વધે છે,તેથી $i(t) = \frac{I_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{I_0}{2} = I_0 \sin(100 \pi t) \implies \sin(100 \pi t) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $100 \pi t = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$).
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6 \times 100 \pi} = \frac{1}{600} \text{ s}$.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $t = \frac{1000}{600} \text{ ms} = 1.67 \text{ ms}$.
આપેલ વિકલ્પો અને આકૃતિના આધારે,જો પ્રશ્ન અડધા મહત્તમ મૂલ્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધીનો સમય પૂછતો હોય,તો $t = \frac{\pi/2 - \pi/6}{100 \pi} = \frac{\pi/3}{100 \pi} = 3.33 \text{ ms}$ મળે. તેથી સાચો વિકલ્પ $3.3 \text{ ms}$ છે.

(A) આધુનિક ઓપ્ટિકલ ફાઈબર કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં,સિગ્નલનું એટેન્યુએશન (ક્ષય) ચોક્કસ ઇન્ફ્રારેડ તરંગલંબાઈ પર ન્યૂનતમ હોય છે.
ખાસ કરીને,આ નેટવર્કમાં વપરાતા કેરિયર તરંગોની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $1500 \, nm$ ની નજીક હોય છે,જેથી ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન ઓછો વ્યય થાય અને કાર્યક્ષમતા વધુ રહે.

(D) ધારો કે બે કણોના વેગમાન $\vec{P}_1$ અને $\vec{P}_2$ છે. તેઓ કાટખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે તેમને $\vec{P}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ અને $\vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ કણનું વેગમાન $\vec{P}$ એ પ્રારંભિક વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{P} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$.
અંતિમ વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{P}| = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
અંતિમ કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{|\vec{P}|}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{h}{\lambda} = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $h^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda_1^2} + \frac{1}{\lambda_2^2}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 2\,m$,વ્યાસ $d = 20 \times 10^{-6}\,m$,આપાતકોણ $\theta_1 = 40^\circ$. ધારો કે ફાઈબર કોરનો વક્રીભવનાંક $n = 1.31$ છે.
પ્રવેશદ્વાર પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin(40^\circ) = n \cdot \sin(\theta_2)$
$\sin(\theta_2) = \frac{\sin(40^\circ)}{1.31} \approx \frac{0.6428}{1.31} \approx 0.4907$
હવે,$\cos(\theta_2) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)} = \sqrt{1 - (0.4907)^2} \approx \sqrt{1 - 0.2408} \approx \sqrt{0.7592} \approx 0.8713$
$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} \approx \frac{0.4907}{0.8713} \approx 0.5632$
બે ક્રમિક પરાવર્તનો વચ્ચે કિરણ દ્વારા કપાતું આડું અંતર $x$ એ $\tan(\theta_2) = \frac{d}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $x = \frac{d}{\tan(\theta_2)}$.
પરાવર્તનોની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{L}{x} = \frac{L \cdot \tan(\theta_2)}{d}$ દ્વારા મળે છે.
$N = \frac{2 \times 0.5632}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1.1264}{20 \times 10^{-6}} = 0.05632 \times 10^6 = 56320$.
આ મૂલ્ય $57000$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) $N$ આંટા,$A = \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = NIA \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ કોઈલના સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.
કોઈલ $XZ$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો લંબ સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{M} = NI(\pi r^2) \hat{j}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B \hat{i}$ છે.
કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{\tau} = (NI \pi r^2 \hat{j}) \times (B \hat{i})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમ $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{\tau} = -NI \pi r^2 B \hat{k}$ મળે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = NI \pi r^2 B$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
અહીં તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ છે, તેથી:
$\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{k}$, એટલે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે.
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $C = \frac{E}{B}$ છે, જ્યાં $C = 3 \times 10^8 \; ms^{-1}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી, $B = \frac{E}{C} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \; T$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટક $z$-દિશામાં $2 \times 10^{-8} \; T$ હશે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે $n=2$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જા $E = 13.6 \times 1^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ છે.
$He^+$ આયન $(Z=2)$ માટે,$n_i$ થી $n_f$ સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા $E = 13.6 \times 2^2 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) = 13.6 \times 4 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right) \text{ eV}$ છે.
આપણે ઉર્જાને સરખાવતા: $13.6 \times \frac{3}{4} = 13.6 \times 4 \times \left( \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2} \right)$.
આ સમીકરણ $\frac{3}{16} = \frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}$ માં પરિણમે છે.
જો આયન $n=2$ અવસ્થામાં હોય $(n_i=2)$,તો $\frac{1}{4} - \frac{1}{n_f^2} = \frac{3}{16}$.
$\frac{1}{n_f^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{4-3}{16} = \frac{1}{16}$.
આમ,$n_f^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $n_f = 4$.
તેથી,સંક્રમણ $n = 2 \to n = 4$ છે.

(A) $200\,\Omega$ ના અવરોધ માટેનો કલર કોડ લાલ-કાળો-કથ્થઈ છે (જ્યાં લાલ = $2$,કાળો = $0$,અને કથ્થઈ = $10^1$ છે).
જ્યારે લાલ રંગ (જે અંક $2$ દર્શાવે છે) ને લીલા રંગ (જે અંક $5$ દર્શાવે છે) દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધના મૂલ્યનો પ્રથમ અંક $2$ થી બદલાઈને $5$ થઈ જાય છે.
તેથી,નવો અવરોધ $500\,\Omega$ થશે.

(A) કુલ વોલ્ટેજ $V = 9\, V$ છે. ઝેનર ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_L = 800\, \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી લોડ પરનો વોલ્ટેજ $V_z = 5.6\, V$ છે.
શ્રેણી અવરોધ $R_s = 200\, \Omega$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R_s} = V - V_z = 9 - 5.6 = 3.4\, V$ છે.
શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{R_s}}{R_s} = \frac{3.4}{200} = 0.017\, A = 17\, mA$ છે.
લોડ અવરોધ $R_L$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{5.6}{800} = 0.007\, A = 7\, mA$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_z = I - I_L = 17\, mA - 7\, mA = 10\, mA$ છે.

(A) પરિપથમાં બિંદુઓ $a$ અને $b$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
શાખા $1$: તેમાં $E_1$ અને બે $R_1$ અવરોધ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq1} = R_1 + R_1 = 2.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq1} = E_1 = 2\,V$.
શાખા $2$: તેમાં $E_2$ અને $R_2$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq2} = R_2 = 2.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq2} = E_2 = 4\,V$.
શાખા $3$: તેમાં $E_3$ અને $R_1$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq3} = R_1 = 1.0\,\Omega$. સ્થિતિમાન $E_{eq3} = E_3 = 4\,V$.
સમાંતર શાખાઓ માટે મિલમેનનો પ્રમેય વાપરતા:
$V_{ab} = \frac{\frac{E_1}{R_{eq1}} + \frac{E_2}{R_{eq2}} + \frac{E_3}{R_{eq3}}}{\frac{1}{R_{eq1}} + \frac{1}{R_{eq2}} + \frac{1}{R_{eq3}}} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{4}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{1 + 2 + 4}{0.5 + 0.5 + 1} = \frac{7}{2} = 3.5\,V$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $3.5\,V$ એ $3.3\,V$ ની સૌથી નજીક હોવાથી,સાચો જવાબ $3.3\,V$ છે.

(D) ધારો કે નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને પોલા કવચની ત્રિજ્યા $r_2$ છે。
પ્રથમ સ્થિતિમાં, નક્કર ગોળા પર $Q$ વિદ્યુતભાર છે અને કવચ વિદ્યુતભારરહિત છે。
નક્કર ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1}$ છે。
પોલા કવચનું સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(0)}{r_2} = \frac{kQ}{r_2}$ છે。
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{in} - V_{out} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે。
બીજી સ્થિતિમાં, કવચને $-4Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે。
નક્કર ગોળાનું સ્થિતિમાન $V'_{in} = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2}$ છે。
પોલા કવચનું સ્થિતિમાન $V'_{out} = \frac{kQ}{r_2} + \frac{k(-4Q)}{r_2} = -\frac{3kQ}{r_2}$ છે。
નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = V'_{in} - V'_{out} = \left( \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} \right) - \left( -\frac{3kQ}{r_2} \right)$ છે。
$V' = \frac{kQ}{r_1} - \frac{4kQ}{r_2} + \frac{3kQ}{r_2} = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = kQ \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = V$ છે。
આમ, સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જ રહે છે。

(A) આપેલ છે કે કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
ધારો કે $a_1 = x$ અને $a_2 = 3x$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ એ $(a_1 + a_2)^2 = (x + 3x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}$ એ $(a_2 - a_1)^2 = (3x - x)^2 = (2x)^2 = 4x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{16x^2}{4x^2} = 4$ થાય.