कथन (A): int_0^{frac{pi}{2}} (sin^6 x + cos^6 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$.सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x

Vedclass · Accepted Answer

$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$.सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$.$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए $1 - \frac{3}{4} \leq 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x) \leq 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{4} \leq \sin^6 x + \cos^6 x \leq 1$.$[0, \pi/2]$ पर समाकलन करने पर,हमें $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4} dx कारण $(R)$ के लिए,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$. तब $f(x + \pi/2) = \sin^6(x + \pi/2) + \cos^6(x + \pi/2) = \cos^6 x + \sin^6 x = f(x)$. अतः,आवर्तकाल $\pi/2$ है। कारण $(R)$ सत्य है।हालाँकि,फलन की आवर्तिता इस बात का कारण नहीं है कि समाकलन दिए गए अंतराल में क्यों है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

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माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

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