मान लीजिए कि समीकरण ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c= | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ यदि समीकरण $(i)$ एक वृत्त को दर्शाता है,तो $a=b$ और $h=0$ होगा। इन मानों को $(i)$ में रखने पर:

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$bc > 0$

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(A) दिया गया समीकरण: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ यदि समीकरण $(i)$ एक वृत्त को दर्शाता है,तो $a=b$ और $h=0$ होगा। इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $bx^2+by^2+2gx+2fy+c=0$। $b$ से भाग देने पर ($b 
eq 0$ होने के कारण): $x^2+y^2+2(\frac{g}{b})x+2(\frac{f}{b})y+\frac{c}{b}=0$। बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए। वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है। यहाँ,$g' = \frac{g}{b}$,$f' = \frac{f}{b}$,और $c' = \frac{c}{b}$ है। अतः,$r^2 = (\frac{g}{b})^2 + (\frac{f}{b})^2 - \frac{c}{b} = 0$। इसका अर्थ है $\frac{g^2+f^2}{b^2} = \frac{c}{b}$। $b^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2+f^2 = bc$ प्राप्त होता है। चूंकि $g^2+f^2 \geq 0$,इसलिए $bc \geq 0$ होगा। मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु वृत्त के लिए,$g^2+f^2 > 0$,इसलिए $bc > 0$।

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