यदि I=int_{-a}^a(x^4-2x^2)dx है,तो I का मान a | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I = \int_{-a}^a (x^4 - 2x^2) dx$. चूंकि फलन $f(x) = x^4 - 2x^2$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^a (x^4 - 2x^2) dx = 2 \

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$\sqrt{2}$

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(C) दिया गया है $I = \int_{-a}^a (x^4 - 2x^2) dx$. चूंकि फलन $f(x) = x^4 - 2x^2$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^a (x^4 - 2x^2) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^a = 2 \left( \frac{a^5}{5} - \frac{2a^3}{3} \right)$. न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dI}{da} = 2(a^4 - 2a^2) = 2a^2(a^2 - 2)$. $\frac{dI}{da} = 0$ रखने पर,हमें $a = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2I}{da^2} = 2(4a^3 - 4a) = 8a(a^2 - 1)$. $a = \sqrt{2}$ के लिए,$\frac{d^2I}{da^2} = 8(\sqrt{2})(2 - 1) = 8\sqrt{2} > 0$. चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $I$ का मान $a = \sqrt{2}$ पर न्यूनतम है।

यदि $I=\int_{-a}^a(x^4-2x^2)dx$ है,तो $I$ का मान $a=$ पर न्यूनतम है।

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माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin x \cdot \sin \sqrt{\theta}}{1 + \cos^2 \sqrt{\theta}} \, d\theta$ है,तो $f'(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin \sqrt{t}) dt }{x^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-2}^2 x^4(4-x^2)^{\frac{7}{2}} dx=$

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