यदि $1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=f(n) \left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)$,सभी $n \in N$ के लिए,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ के $n$ पदों के लिए,
कथन-$1$: श्रेणी का योग हमेशा $n$ के मान पर निर्भर करता है,अर्थात यह सम है या विषम।
कथन-$2$: जब $n$ का मान कोई सम पूर्णांक होता है,तो श्रेणी का योग $-\frac{n}{2}$ होता है।

श्रेणी $1 \cdot 2015 + 2 \cdot 2014 + 3 \cdot 2013 + \dots + 2015 \cdot 1$ का योग :-

मान लीजिए $a_{n}$ श्रेणी $5+8+14+23+35+50+\ldots$ का $n^{\text{th}}$ पद है और $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ है। तो $S_{30}-a_{40}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^5 \frac{1^3+2^3+\ldots+k^3}{1+3+5+\ldots+(2 k-1)}$ का मान ज्ञात कीजिए। ($.5$ में)

मान लीजिए $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है। यदि $\sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}}=4$ है,तो $4 a_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।