वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब द्वारा $X$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के नाभिलंब के एक सिरे पर अभिलंब लघु अक्ष के एक सिरे से होकर गुजरता है,तो $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (यहाँ $e$ दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है)

रेखा $lx + my - n = 0$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होगी,यदि

मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं। $E_1$ और $E_2$ के मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए $S$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो सही व्यंजक है/हैं:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{50} + \frac{y^2}{20} = 1$ पर उन बिंदुओं की संख्या क्या है जहाँ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4b$ $(b > 4)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु वक्र $y^{2}=3x^{2}$ पर स्थित हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए: