एक यादृच्छिक चर X मान 0, 1, 2, 3, ldots लेता | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.चूँकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(

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$\frac{16}{25}$

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(C) दिया गया है,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.चूँकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:$\sum_{x=0}^{\infty} K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$$K \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = (1-r)^{-2}$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$.अतः,$K(1 - \frac{1}{5})^{-2} = 1$.$K(\frac{4}{5})^{-2} = 1 \Rightarrow K(\frac{5}{4})^2 = 1$.$K(\frac{25}{16}) = 1 \Rightarrow K = \frac{16}{25}$.अब,$P(X=0) = K(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = K(1)(1) = K$.इसलिए,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

$X = x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$\frac{1}{10}$	$k$	$\frac{1}{5}$	$2k$	$\frac{3}{10}$	$k$

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$X = x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X = x)$ $\frac{1}{10}$ $k$ $\frac{1}{5}$ $2k$ $\frac{3}{10}$ $k$

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