यदि रेखाएँ $2x + y + 12 = 0$ और $kx - 3y - 10 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k =$

यदि सरल रेखा $ax + by = 2$ जहाँ $a, b \neq 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 3$ को स्पर्श करती है और वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 6$ के अभिलंब है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

यदि दो वृत्त,$x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y = 0$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो:

$3x - 4y + 1 = 0$ और $4x + 3y - 7 = 0$ रेखाओं को स्पर्श करने वाले और $(2, 3)$ बिंदु से गुजरने वाले वृत्तों के समीकरण हैं:

मान लीजिए $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,जहाँ $r > 0$ है। गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ पर विचार करें। मान लीजिए $S_0 = 0$ है और,$n \geq 1$ के लिए,$S_n$ इस श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग दर्शाता है। $n \geq 1$ के लिए,$C_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, 0)$ और त्रिज्या $a_n$ है,और $D_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n$ है।
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ के साथ $M$ पर विचार करें। मान लीजिए $k$ उन सभी वृत्तों $C_n$ की संख्या है जो $M$ के अंदर हैं। मान लीजिए $l$ इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभव संख्या है ताकि कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को न काटें। तब
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ के साथ $M$ पर विचार करें। $M$ के अंदर स्थित उन सभी वृत्तों $D_n$ की संख्या है
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

दो वक्रों $C_1 : y^2 = 2x$ और $C_2 : x^2 + y^2 - 3x + 2 = 0$ पर विचार करें। तो,