यदि int frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} dx = A cdot | vedclass

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Question

(A) माना समाकल्य $\frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} + \frac{d}{(x-1)^3}$ है।आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$3x+1

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$\frac{-5}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना समाकल्य $\frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} + \frac{d}{(x-1)^3}$ है।आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$3x+1 = a(x-1)^3 + b(x+1)(x-1)^2 + c(x+1)(x-1) + d(x+1)$।$x=1$ रखने पर,$3(1)+1 = d(1+1) \implies 4 = 2d \implies d=2$।$x=-1$ रखने पर,$3(-1)+1 = a(-1-1)^3 \implies -2 = -8a \implies a = \frac{1}{4}$।$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = a + b \implies b = -a = -\frac{1}{4}$।अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = a(-1) + b(1) + c(-1) + d(1) \implies 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - c + 2 \implies 1 = \frac{3}{2} - c \implies c = \frac{1}{2}$।दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = -1$।$A+B+C = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1-2-4}{4} = -\frac{5}{4}$।

यदि $\int \frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} dx = A \cdot \log \left|\frac{x+1}{x-1}\right| + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + D$ है,तो $A+B+C=$

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यदि $\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$ है,तो $\alpha=$

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