अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+2y-3}{2x+y- | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। $h$ और $k$ को इस प्रकार चुनें कि $h+2k-3=0$ और $2h

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$(x+y-2) = c(x-y)^3$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। $h$ और $k$ को इस प्रकार चुनें कि $h+2k-3=0$ और $2h+k-3=0$ हो,जिससे हमें $h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।$x=X+1$ और $y=Y+1$ प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+2Y}{2X+Y}$ बन जाता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ होगा।अतः,$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v}{2+v}$।$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v-2v-v^2}{2+v} = \frac{1-v^2}{2+v}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v+2}{1-v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$।$\int (\frac{v}{1-v^2} + \frac{2}{1-v^2}) dv = \ln|X| + C$।$-\frac{1}{2}\ln|1-v^2| + \ln|\frac{1+v}{1-v}| = \ln|X| + C$।गणना करने पर,हमें $(x+y-2) = c(x-y)^3$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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