अवकल समीकरण frac{dx}{dy} + frac{x}{y} = x^2 क | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}

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$\frac{1}{x} = cy - y \log y$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ प्राप्त होता है। माना $t = \frac{1}{x}$,तो $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -1$ है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ है। हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है। $t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$. $\frac{t}{y} = -\log |y| + c$. $t = \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ प्राप्त होता है,अर्थात $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$।

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। तो,$f(\log_{e} 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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