વિકલ સમીકરણ frac{dx}{dy} + frac{x}{y} = x^2 ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ છે. બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ મળે છે.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{x} = cy - y \log y$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ છે. બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ મળે છે. ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તો $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ થાય. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ થાય છે. આ $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -1$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ છે. ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે. $t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$. $\frac{t}{y} = -\log |y| + c$. $t = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ મળે,એટલે કે $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ નો ઉકેલ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f^{\prime}(x)+f(x)=\int \limits_0^2 f(t) dt$ થાય. જો $f(0)=e^{-2}$ હોય,તો $2f(0)-f(2)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે વિકલ સમીકરણ $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module