જો a_n = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 nx}{s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) તફાવત $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો. નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)

Vedclass · Accepted Answer

હરાત્મક શ્રેણી

Vedclass · Answer

(C) તફાવત $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો. નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x)\sin((2n+1)x)$ મળે છે. આમ,$a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) dx$. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $a_{n+1} - a_n = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2n+1} (\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -\frac{1}{2n+1} (0 - 1) = \frac{1}{2n+1}$. $n=1$ માટે,$a_2 - a_1 = \frac{1}{3}$. $n=2$ માટે,$a_3 - a_2 = \frac{1}{5}$. $n=3$ માટે,$a_4 - a_3 = \frac{1}{7}$. શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ છે. કારણ કે તેમના વ્યસ્ત $3, 5, 7, \dots$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શ્રેણી હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

જો $a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin x} dx$ હોય,તો $a_2 - a_1, a_3 - a_2, a_4 - a_3$ એ શેમાં છે?

Similar Questions

$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) \right] dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ $(x \geq 0)$ છે. તો $f(3) - f(1)$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{9} [\sqrt{x} + 2] \, dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $(G.I.F.)$ દર્શાવે છે.

$\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\cos x-\sin x}{\sin 2 x} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module