પ્રથમ ચરણમાં આવેલા અને X-અક્ષ,રેખા x - sqrt{3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $x^2 + y^2 = 4$ છે.તેમને ઉકેલતા,આપણને પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $A$ મળે છે: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $x^2 + y^2 = 4$ છે.તેમને ઉકેલતા,આપણને પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $A$ મળે છે: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.તેથી $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. આમ,$A = (\sqrt{3}, 1)$.જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $OAB$ (જ્યાં $B$ એ $(\sqrt{3}, 0)$ છે) અને $x = \sqrt{3}$ થી $x = 2$ સુધી વર્તુળની નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes \sqrt{3} 	imes 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.વર્તુળની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.$= [2 	imes \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 	imes \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} 	ext{ ચોરસ એકમ}$.

Similar Questions

$x \in [0, 2\pi]$ માટે,વક્ર $y = x + \sin x$ અને $y = x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

પરવલયો ${y^2 = 4x}$ અને ${x^2 = 4y}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$X$-અક્ષની ઉપર આવેલ અને વર્તુળ $x^2+y^2=2ax$ તથા પરવલય $y^2=ax$ વચ્ચે ઘેરાયેલા નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

$X$-અક્ષની ઉપર આવેલ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2ax$ તથા પરવલય $y^{2}=ax$,$a>0$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module