જો $P$ માંથી $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ અને $x^2+y^2-2x-8y+1=0$ વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:1$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને રેખા $x=3$ પર $4$ એકમ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપતા વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો.

જો બિંદુનો બિંદુપથ,જેનું બિંદુ $(2,1)$ અને $(1,3)$ થી અંતર $5:4$ ના ગુણોત્તરમાં હોય,તે $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+170=0$ હોય,તો $a^2+2b+3c+4d+e$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $C$ એ $(0,0)$ કેન્દ્ર અને $3$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. વર્તુળ $C$ ની જે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ $\frac{2\pi}{3}$ માપનો ખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુઓના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ છે અને $P$ માંથી પસાર થતી $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ ને $Q$ માં મળે છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ એ $X$-અક્ષની એક જ બાજુએ છે. જો $R$ એ $PQ$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $\frac{PR}{RQ}=\frac{1}{2}$ થાય,તો $R$ નો બિંદુપથ શોધો.

જો બિંદુ $(3, 2)$ થી વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = 1$ પરના કોઈ બિંદુ સુધીના રેખાખંડના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $r$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ હોય,તો $r$ ની કિંમત કેટલી થાય?