$10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓના જૂથમાંથી,$8$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા જેમાં $5$ થી વધુ પુરુષો ન હોય અને $5$ થી ઓછી સ્ત્રીઓ ન હોય તે કેટલી છે?

$9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ હોય,તો આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

એક ગણમાં $11$ ઘટકો છે. આ ગણના એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધો જેમાં વધુમાં વધુ $5$ ઘટકો હોય.

વિધાન $I$: $10$ સમાન દડાઓને $4$ અલગ-અલગ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે,તે ${}^9C_3$ છે.
વિધાન $II$: $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^9C_3$ છે.

જો ${ }^{(n-1)} C_3+{ }^{(n-1)} C_4>{ }^n C_3$ હોય,તો $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

એક રૂમમાં દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે. કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા $45$ છે. તો રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?