int frac{d x}{(x-1) sqrt{x^2-1}} का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$.$x-1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = 1 + \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।अतः,$dx = -\frac

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$-\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+C$

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(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$.$x-1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = 1 + \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।अतः,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(1+\frac{1}{t})^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{1 + \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t} - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1+2t}{t^2}}}$.चूंकि $t = \frac{1}{x-1}$,$x > 1$ के लिए $t > 0$,इसलिए $\sqrt{t^2} = t$.$I = -\int \frac{dt}{t \cdot \frac{\sqrt{1+2t}}{t}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1+2t}}$.$I = -\int (1+2t)^{-1/2} dt = -\frac{(1+2t)^{1/2}}{1/2 \cdot 2} + C = -\sqrt{1+2t} + C$.अब $t = \frac{1}{x-1}$ वापस रखने पर:$I = -\sqrt{1 + \frac{2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x-1+2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + C$.

$\int \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x^2-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right) \sqrt{x^2+2}} d x=$

$n \ge 2$ के लिए,यदि $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है,तो $nI_n - 2(n-1)I_{n-2} = $

$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx =$

$\int \frac{6x+5}{\sqrt{6+x-2x^2}} dx =$

$\int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx = $

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