$m$ के वे मान क्या हैं,जिनके लिए सरल रेखा $y=4x+m$ वक्र $x^2+4y^2=4$ को स्पर्श करती है?

माना $P \left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), Q, R$ और $S$ दीर्घवृत्त $9x^2 + 4y^2 = 36$ पर स्थित चार बिंदु हैं। माना $PQ$ और $RS$ मूल बिंदु से होकर जाने वाली परस्पर लंबवत जीवाएं हैं। यदि $\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{p}{q}$,जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं,तो $p+q$ का मान $.........$ है।

एक दीर्घवृत्त (ellipse) के दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः $10$ और $8$ है और इसका दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है। इसके केंद्र को मूलबिंदु मानते हुए,दीर्घवृत्त का समीकरण क्या होगा?

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नाभि और संगत नियता (directrix) के बीच की दूरी $8$ है और उत्केंद्रता (eccentricity) $1/2$ है,तो लघु अक्ष की लंबाई क्या है?

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $7x^2 + 16y^2 = 112$ पर कोई बिंदु है,$S$ एक नाभि है,$L$ संगत नियता है और $PM$,$P$ से नियता $L$ की लंबवत दूरी है। तो $\frac{SP}{PM} =$

उस दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है जिसका नाभिलंब $8$ है और जिसकी उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,जिसे निर्देशांकों के मुख्य अक्षों के संदर्भ में लिया गया है?