AP EAMCET 2001 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $20^{2-3x^2} = (40\sqrt{5})^{3x^2-2}$.
અહીં $40\sqrt{5} = 20 \times 2\sqrt{5} = 20 \times \sqrt{20} = 20^{3/2}$ થાય છે.
તેથી,$20^{2-3x^2} = (20^{3/2})^{3x^2-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2-3x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$.
ધારો કે $y = 3x^2-2$,તો $-y = \frac{3}{2}y$ મળે.
આથી $y = 0$,એટલે કે $3x^2-2 = 0$.
તેથી $x^2 = \frac{2}{3}$,એટલે કે $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ $a = 1$ પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a \cdot r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$ માં પદ $(n = 10)$ માટે,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ થાય.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $n = 9$ મૂકતા:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(A) ધારો કે $a = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{a} = x - iy$.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણ $\bar{a} + a + b = 0$ માં મૂકતા:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
અહીં $x$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ સંકર સમતલમાં એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) $5$ અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં.
$5$ ભિન્ન અંકોની કુલ ગોઠવણી $^5P_5 = 5! = 120$ છે.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ બાકીના $4$ અંકોને છેલ્લા $4$ સ્થાનો પર ગોઠવીને મળે છે,જે $^4P_4 = 4! = 24$ છે.
તેથી,$5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $120 - 24 = 96$ છે.

(A) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $(5-1)! = 4!$ છે.
$5$ છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $4$ છોકરીઓ બેસી શકે છે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $4$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ છે.
તેથી,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$.
આપેલ પદ $h n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 2$ મળે છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2+4+6+\dots+2n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ થાય.
તેથી,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ જ્યાં $n \geq 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ છે.
ધારો કે $m = n-1$,તો $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots = e$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-4=0$,$L_2: x-y+2=0$ અને $L_3: y-2=0$ છે.
આ ત્રણ રેખાઓ એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતું વર્તુળ એ ત્રિકોણનું અંતઃવૃત્ત (incircle) અથવા બહિર્વૃત્ત (excircle) હોય છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,એક અંતઃવૃત્ત અને ત્રણ બહિર્વૃત્ત હોય છે.
તેથી,આપેલ ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા કુલ $1+3=4$ વર્તુળો મળે.

(A) આપેલ રેખાઓ $2x + 3y = 6$ અને $2x + 3y = 8$ છે.
$X$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$2x + 3y = 6$ માટે,$2x = 6 \Rightarrow x = 3$. તેથી,$A = (3, 0)$.
$2x + 3y = 8$ માટે,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$. તેથી,$B = (4, 0)$.
રેખા $L$ એ $(2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને $C(x_1, 0)$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ ના $x$-યામ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $3, 4, x_1$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આમ,$2(4) = 3 + x_1$ $\Rightarrow 8 = 3 + x_1$ $\Rightarrow x_1 = 5$.
તેથી,બિંદુ $C$ એ $(5, 0)$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{2 - 5}(x - 5)$
$y = \frac{2}{-3}(x - 5)$
$-3y = 2x - 10$
$2x + 3y = 10$

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=3$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -2)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ એ કેન્દ્ર $(-3, -2)$ અને બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન $(-2)$ હોવાથી,આ રેખા $y = -2$ છે.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y+2=0$ છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$ અને $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(x^2-x^2) + (y^2-y^2) + (5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$.
આમ,રેડિકલ અક્ષ $8x-y+1=0$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+x+x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}$.
તેથી,$\log(1+x+x^2) = \log(1-x^3) - \log(1-x)$.
$\log(1-t) = -(t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \dots)$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\log(1-x^3) = -(x^3 + \frac{x^6}{2} + \dots)$
$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,વિસ્તરણ $x + \frac{x^2}{2} + (\frac{1}{3} - 1)x^3 + \dots$ મળે છે.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ વિસ્તરણ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ છે.
આપણે $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) C_r$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$.
તેમજ,$\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) 2^{n-1}$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
બાજુ $a$ વાળા ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $d = a\sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બે બિંદુઓ $(1, -2, 3)$ અને $(2, -3, 5)$ વચ્ચેનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈ $d$ છે.
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
કારણ કે $d = a\sqrt{2}$,તેથી $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $P(C) = p$. તો $P(B) = 2p$ અને $P(A) = 2(2p) = 4p$ થાય.
તેમાંથી કોઈ એક જીતશે જ,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$4p + 2p + p = 1$
$7p = 1$
$p = \frac{1}{7}$
તેથી,$P(A) = 4p = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.
$A$ હારે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ થાય.

(A) ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 100$ છે.
કોઈ સંખ્યા પૂર્ણ ઘન હોય જો તેને કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $k^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ ગણમાં પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,અને $4^3 = 64$ છે. નોંધો કે $5^3 = 125$,જે $100$ કરતા મોટી છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $A = \{1, 8, 27, 64\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $S$ માટે શક્ય કિંમતો $2$ થી $12$ સુધીની છે.
$2$ થી $12$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટેના પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta = -b$
વળી,$\alpha+h$ અને $\beta+h$ એ સમીકરણ $x^2+qx+r=0$ ના બીજ છે.
તેથી,આ બીજનો સરવાળો:
$(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$
$(\alpha+\beta) + 2h = -q$
$\alpha+\beta = -b$ ની કિંમત મૂકતા:
$-b + 2h = -q$
$2h = b - q$
$h = \frac{1}{2}(b-q)$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k} = \frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{(x-2)(x+k)} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$.
બંને બાજુના છેદની સરખામણી કરતા,$x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$,જે દર્શાવે છે કે $k-2 = -5$,તેથી $k = -3$.
અંશની સરખામણી કરતા,$x-4 = x + 2k + 2$,જે દર્શાવે છે કે $-4 = 2k + 2$,તેથી $2k = -6$,જે $k = -3$ આપે છે.

(D) ધારો કે $y = (x-\alpha)(x-\beta)$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ:
$\frac{dy}{dx} = 2x - (\alpha+\beta) = 0$.
આનાથી $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે છે.
બીજું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$y_{min} = \left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \alpha\right)\left(\frac{\alpha+\beta}{2} - \beta\right)$
$y_{min} = \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
$y_{min} = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)(\alpha-\beta) = -\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $20^{2-3x^2} = (40\sqrt{5})^{3x^2-2}$.
અહીં $40\sqrt{5} = 20 \times 2 \times \sqrt{5} = 20 \times \sqrt{20} = 20^{3/2}$ થાય.
તેથી,$20^{2-3x^2} = (20^{3/2})^{3x^2-2} = 20^{\frac{3}{2}(3x^2-2)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2-3x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$
$2-3x^2 = -\frac{3}{2}(2-3x^2)$
$(2-3x^2)(1 + \frac{3}{2}) = 0$
$2-3x^2 = 0$
$3x^2 = 2$
$x^2 = \frac{2}{3}$
$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(A) ધારો કે સહગુણકો સંમેય છે,તેથી અનુબદ્ધ બીજ પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આમ,બીજ $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ છે.
બીજ $1+i$ અને $1-i$ માટે:
સરવાળો $= (1+i) + (1-i) = 2$
ગુણાકાર $= (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1+1 = 2$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - 2x + 2 = 0$ છે.
બીજ $1-\sqrt{2}$ અને $1+\sqrt{2}$ માટે:
સરવાળો $= (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) = 2$
ગુણાકાર $= (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1-2 = -1$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
ચતુર્થઘાત સમીકરણ $(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-2x^3+2x-1=0$ છે.
કારણ કે $1$ એ $3$ ક્રમનું બીજ છે,તેથી $(x-1)^3$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
આપણે બહુપદીને $(x-1)^3(x-k) = 0$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એ ચોથું બીજ છે.
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ નું વિસ્તરણ કરતા.
$(x-k)$ સાથે ગુણાકાર કરતા: $(x^3-3x^2+3x-1)(x-k) = x^4 - (k+3)x^3 + (3k+3)x^2 - (3k+1)x + k = 0$.
મૂળ સમીકરણ $x^4-2x^3+0x^2+2x-1=0$ સાથે સરખાવતા:
અચળ પદ પરથી,$k = -1$.
તેથી,બીજું બીજ $-1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
બીજ ચકાસતા,$x=2$ માટે: $2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2-12x+32=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-4)(x-8)=0$.
બીજ $2, 4, 8$ છે.
અહીં $\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{8}{4} = 2$ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.
તેથી,બીજ $GP$ માં છે.

(B) આપેલ ઘન સમીકરણ: $x^3-6x^2+6x-5=0$.
બીજમાં $h$ નો વધારો કરવા માટે,$x$ ને $(x+h)$ વડે બદલો.
નવું સમીકરણ: $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-6(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)-5=0$.
$x^2$ વાળા પદોને સાથે લેતા: $x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$.
નવા સમીકરણમાં $x^2$ વાળું પદ ન હોવાથી,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $3h-6=0$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $3h=6 \Rightarrow h=2$.

(A) ધારો કે $a = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{a} = x - iy$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $\bar{a} + a + b = 0$ માં મૂકતા:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
અહીં $b$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$-\frac{b}{2}$ એક અચળ છે. સમીકરણ $x = \text{constant}$ એ સંકર સમતલમાં એક શિરોલંબ સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $(5-1)! = 4! = 24$ છે.
$5$ છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $4$ છોકરીઓ બેસી શકે છે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $4$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 120 = 2880$ છે.
આ $4! \times 5!$ ને સમાન છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા.
$n = \frac{1}{2}$ લેતા,$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$ લેતા $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2+4+6+\ldots+2n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ જ્યાં $n \ge 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ છે.
ધારો કે $m = n-1$,તો $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots = e$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ છે.
તેથી,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$.
આને આપેલ પદ $h n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 2$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+x+x^2 = \frac{1-x^3}{1-x}$.
તેથી,$\log(1+x+x^2) = \log(1-x^3) - \log(1-x)$.
$\log(1-u) = -(u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\log(1-x^3) = -(x^3 + \frac{x^6}{2} + \dots)$
$-\log(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,વિસ્તરણ $x + \frac{x^2}{2} + (\frac{1}{3} - 1)x^3 + \dots$ મળે છે.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\frac{(1-3 x)^2}{(1-2 x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $(1 - 2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
તેથી,પદાવલિ $(1 - 6x + 9x^2)(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ છે.
$x^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે પદોનો ગુણાકાર કરીએ:
$1 \times (16x^4) = 16x^4$
$-6x \times (8x^3) = -48x^4$
$9x^2 \times (4x^2) = 36x^4$
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $16 - 48 + 36 = 4$.

(A) આપેલ વિસ્તરણ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ છે.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=0}^n (r+1) C_r$ શોધવો છે.
$S = \sum_{r=0}^n r C_r + \sum_{r=0}^n C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$.
તેમજ,$\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
તેથી,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$2^{n-1}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $S = 2^{n-1} (n + 2)$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$.
$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ મૂકતા:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^{\circ}$ અને $B + D = 180^{\circ}$.
આપણે $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આને $(\cos A + \cos C) + (\cos B + \cos D)$ તરીકે લખી શકાય.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A + \cos C = 2 \cos \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{A-C}{2} = 2(0) \cos \frac{A-C}{2} = 0$.
તે જ રીતે,$\cos B + \cos D = 2 \cos \frac{B+D}{2} \cos \frac{B-D}{2} = 2 \cos 90^{\circ} \cos \frac{B-D}{2} = 2(0) \cos \frac{B-D}{2} = 0$.
આમ,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે,$\tan \theta + \cot \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
લસાઅ લેતા,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,તેથી $\sin 2 \theta = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ અને $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
તેથી $A+B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{\pi}{3}$.
અને $A-B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = 2\theta$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી જવાબ $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
સૂત્ર $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$
$\tan(\pi/4) = 1$ હોવાથી,પદ આ મુજબ થશે:
$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{p}{q}}$
તેથી,$\cot\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ છે.
$a$ અને $b$ ના આધારે પદોને ગોઠવતા:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$.
$a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y + 1 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$2x - y + 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0 \implies x = -2$.
$x = -2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$-2 + y + 1 = 0 \implies y = 1$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$ ... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ ... (ii)
અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ ... (iii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ... (iv)
$(i)$ ને (iii) માં મૂકતા: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ... $(v)$
(iv) ને $(v)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
જો એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તેનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ થાય.
જો $m = 1$ હોય,તો રેખા $y = x$ થાય. સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2hx(x) + b(x)^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
તેથી $a + b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = 4h^2$ મળે.
જો $m = -1$ હોય,તો રેખા $y = -x$ થાય. સમીકરણમાં $y = -x$ મૂકતા:
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
તેથી $a + b = 2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = 4h^2$ મળે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+3y=10$ અને $6x^2+xy-y^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
ત્રિકોણ બનાવતી ત્રણ રેખાઓ $L_1: x+3y=10$,$L_2: 3x-y=0$,અને $L_3: 2x+y=0$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $x+3(3x)=10$ $\Rightarrow 10x=10$ $\Rightarrow x=1, y=3$. શિરોબિંદુ $B = (1,3)$.
$L_2$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $x=0, y=0$. શિરોબિંદુ $A = (0,0)$.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $x+3(-2x)=10$ $\Rightarrow -5x=10$ $\Rightarrow x=-2, y=4$. શિરોબિંદુ $C = (-2,4)$.
$A$ માંથી $BC$ $(x+3y=10)$ પરના વેધનો ઢાળ $3$ છે. સમીકરણ: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B$ માંથી $AC$ $(2x+y=0)$ પરના વેધનો ઢાળ $1/2$ છે. સમીકરણ: $y-3=\frac{1}{2}(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6=x-1$ $\Rightarrow x-2y=-5$.
વેધના સમીકરણો $3x-y=0$ અને $x-2y=-5$ ઉકેલતા: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)=-5$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1,3)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -2)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપણે કેન્દ્ર $(-3, -2)$ અને આપેલ બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -2$ થશે.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y+2=0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2=p^2$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
તેથી $x_1^2+y_1^2=p^2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=q^2$ ની સાપેક્ષ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $x x_1+y y_1=q^2$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ને સ્પર્શે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x x_1+y y_1-q^2=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$.
$|q^2| = r \sqrt{x_1^2+y_1^2}$.
કારણ કે $x_1^2+y_1^2=p^2$,તેથી $q^2 = r \sqrt{p^2} = rp$.
આમ,$q^2 = pr$,જે દર્શાવે છે કે $p, q, r$ એ $GP$ માં છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$
આપેલ $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ છે.
સહ-અક્ષીય પ્રણાલીના સીમિત બિંદુઓ એ બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ એ બિંદુ વર્તુળ છે જો $g^2+f^2-c=0$ હોય.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ છે.
પ્રણાલીનું કોઈપણ વર્તુળ $S_1 + \lambda(4x+2y-1) = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બિંદુ વર્તુળ માટે,$(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 - (2-\lambda) = 0$ ઉકેલતા,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{3}{5}$ મળે છે.
$\lambda = 0$ માટે કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને $\lambda = -\frac{3}{5}$ માટે કેન્દ્ર $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ મળે છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2+8x-2y+17=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(y^2-2y+1) + 8x + 17 - 1 = 0$
$(y-1)^2 + 8x + 16 = 0$
$(y-1)^2 = -8x - 16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે.
$P(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(2) = 2(x+1)$ એટલે કે $y = x+1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m' = -1$ થશે.
$P(1,2)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1)$ એટલે કે $x + y = 3$ અથવા $x = 3 - y$ છે.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(3 - y)$
$y^2 = 12 - 4y$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
$(y - 2)(y + 6) = 0$
આથી $y = 2$ ($P$ બિંદુ માટે) અને $y = -6$ ($Q$ બિંદુ માટે) મળે છે.
$y = -6$ માટે,$x = 3 - (-6) = 9$.
આમ,$Q$ બિંદુના યામ $(9, -6)$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$.
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
હવે,આપણે વિવેચક $D = a b-h^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (16)(1)-(4)^2 = 16-16 = 0$.
જેથી $a b-h^2=0$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \quad \dots(i)$
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} \quad \dots(ii)$
કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\vec{AD} = \vec{BC}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) - (-\vec{AB} + \vec{AD})$
$\vec{AC} - \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{AB} - \vec{BC}$
$\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$

(B) આપેલ વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,$(f \circ g)(\pi)$ ની કિંમત શોધીએ:
$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(\pi) = 0$ થાય.
$0$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(g(\pi)) = f(0) = 0$ થાય.
હવે,$(g \circ f)(e)$ ની કિંમત શોધીએ:
$e$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,$f(e) = 1$ થાય.
$1$ એ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$g(f(e)) = g(1) = -1$ થાય.
અંતે,સરવાળો કરીએ:
$(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e) = 0 + (-1) = -1$.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત હોય ત્યારે,$x$ ની કિંમત $a$ ની નજીક પહોંચે ત્યારે વિધેયનું લક્ષ એ $a$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું જ હોય છે,એટલે કે $f(a) = \lim_{x \rightarrow a} f(x)$.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$,તેથી $x \rightarrow 5$ માટે લક્ષ શોધતા:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x-2)}$
$x \neq 5$ માટે સામાન્ય અવયવ $(x-5)$ ને દૂર કરતા:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x-2}$
હવે $x=5$ મૂકતા:
$f(5) = \frac{5-5}{5-2} = \frac{0}{3} = 0$

(C) આપેલ છે કે $h(x) = x^{x^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log h(x) = x^x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$.
$x = 1$ આગળ,$h(1) = 1^{1^1} = 1$,તેથી $\log h(1) = \log 1 = 0$.
$x = 1$ ની કિંમત $\frac{h'(x)}{h(x)}$ ના પદમાં મૂકતા:
$\frac{h'(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1^0 = 0 + 1 = 1$.
ચૂકવણી મુજબ $\log h(1) = 0$ હોવાથી,$1 + \log h(1) = 1 + 0 = 1$.
આમ,$x = 1$ આગળ,$\frac{h'(x)}{h(x)} = 1 + \log h(x)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$u=e^{x^2-y^2}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(2x)$.
ત્યારબાદ,$u$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(-2y)$.
હવે,$u_x$ ને $y$ વડે ગુણો:
$y u_x = y \cdot e^{x^2-y^2}(2x) = 2xy e^{x^2-y^2}$.
$u_y$ ને $x$ વડે ગુણો:
$x u_y = x \cdot e^{x^2-y^2}(-2y) = -2xy e^{x^2-y^2}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$y u_x + x u_y = 2xy e^{x^2-y^2} - 2xy e^{x^2-y^2} = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$.
$x = \sin \theta$ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} x$.
તેથી,$y = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$.
$\theta = \sin^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $y = 3 \sin^{-1} x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) વિધેય $u(x, y) = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ એ $n = 3$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,કારણ કે $u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = t^3 u(x, y)$.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટેના આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $u$ એ $x$ અને $y$ માં $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n u$ થાય.
અહીં,$n = 3$ હોવાથી,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 u$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $y = \cos(\sin x)$.
પ્રથમ વિકલિત $y_1 = \frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$.
બીજું વિકલિત $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[-\sin(\sin x) \cdot \cos x]$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $y_2 = -[\cos(\sin x) \cdot \cos x \cdot \cos x + \sin(\sin x) \cdot (-\sin x)]$.
$y_2 = -\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x$.
હવે,$y_1 \sin x + y_2 \cos x$ માં $y_1$ અને $y_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$= [-\sin(\sin x) \cos x] \sin x + [-\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x] \cos x$.
$= -\sin(\sin x) \sin x \cos x - \cos(\sin x) \cos^3 x + \sin(\sin x) \sin x \cos x$.
$= -\cos(\sin x) \cos^3 x$.
કારણ કે $y = \cos(\sin x)$,તેથી આ પદ $-y \cos^3 x$ બને છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^2}{x+a}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{(x+a)(2x) - x^2(1)}{(x+a)^2} = \frac{2x^2 + 2ax - x^2}{(x+a)^2} = \frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2}$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2}$ નું વિકલન કરીને $f^{\prime \prime}(x)$ મેળવો:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)^2(2x + 2a) - (x^2 + 2ax)(2)(x+a)}{(x+a)^4}$.
$(x+a)$ ને સામાન્ય કાઢીને સાદું રૂપ આપતા:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)(2x + 2a) - 2(x^2 + 2ax)}{(x+a)^3} = \frac{2x^2 + 4ax + 2a^2 - 2x^2 - 4ax}{(x+a)^3} = \frac{2a^2}{(x+a)^3}$.
$x = a$ મુકતા:
$f^{\prime \prime}(a) = \frac{2a^2}{(a+a)^3} = \frac{2a^2}{(2a)^3} = \frac{2a^2}{8a^3} = \frac{1}{4a}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = A \cos n x + B \sin n x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -A n \sin n x + B n \cos n x$.
હવે,$y_2$ શોધવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = -A n^2 \cos n x - B n^2 \sin n x$.
પદમાંથી $-n^2$ સામાન્ય લેતા:
$y_2 = -n^2 (A \cos n x + B \sin n x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = A \cos n x + B \sin n x$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$y_2 = -n^2 y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y_2 + n^2 y = 0$.

(D) અહીં આપણે ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) ની રીતનો ઉપયોગ કરીશું: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = (x+1)^2$ અને $dv = e^x \, dx$.
તેથી $du = 2(x+1) \, dx$ અને $v = e^x$ મળે.
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - \int 2(x+1) e^x \, dx$.
હવે,$\int (x+1) e^x \, dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = (x+1)$ અને $dv = e^x \, dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = e^x$ મળે.
$\int (x+1) e^x \, dx = (x+1) e^x - \int e^x \, dx = (x+1) e^x - e^x = x e^x$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\int (x+1)^2 e^x \, dx = (x+1)^2 e^x - 2(x e^x) + C$
$= (x^2 + 2x + 1) e^x - 2x e^x + C$
$= (x^2 + 1) e^x + C$.

(A) સબ-ટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર $y \cdot \frac{dx}{dy}$ છે.
આપેલ છે કે સબ-ટેન્જન્ટ એ અબ્સિસા $(x)$ કરતા બમણું છે,તેથી વિકલ સમીકરણ:
$y \cdot \frac{dx}{dy} = 2x$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{dx}{x} = 2 \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{x} dx = 2 \int \frac{1}{y} dy$
$\log |x| = 2 \log |y| + \log |C|$
લઘુગણકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$\log |x| = \log |C y^2|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,આપણને મળે છે:
$x = C y^2$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$.
ચલને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y^2 dy = (4 - x^2) dx$.
હવે,બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$.
સંકલન કરતા:
$\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$.
ધારો કે $3C_1 = C$,તો:
$x^3 + y^3 = 12x + C$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ અને $d$ સમતલીય સદિશો છે.
કારણ કે $a$ અને $b$ સમતલીય છે,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ એ $a$ અને $b$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે.
તે જ રીતે,$c$ અને $d$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો સદિશ ગુણાકાર $c \times d$ એ $c$ અને $d$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે.
બધા ચાર સદિશો $a, b, c, d$ એક જ સમતલમાં હોવાથી,સદિશો $a \times b$ અને $c \times d$ બંને એક જ સમતલને લંબ છે.
તેથી,$a \times b$ અને $c \times d$ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,$(a \times b) \times (c \times d) = 0$ થાય.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે રેખા ધન $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ખૂણો ધન અક્ષ સાથે છે,તેથી $\cos \gamma > 0$).
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા $X, Y,$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સંબંધમાં મૂકતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
કારણ કે $\gamma$ એ $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{2\pi}{3}$).
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબપાદ $(1,2,2)$ સુધીનો સદિશ છે.
$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
અહીં,$(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 2)$ અને $(a, b, c) = (1, 2, 2)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\vec{AB} = \vec{DC}$ અને $\vec{AD} = \vec{BC}$ છે.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ મળે.
$\triangle ABD$ માં,$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$ મળે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
અહીં $\vec{BC} = \vec{AD}$ હોવાથી,$\vec{BC}$ ની જગ્યાએ $\vec{AD}$ મૂકતા:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2 \vec{AD}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્નમાં $\vec{AC} - \vec{BD}$ પૂછવામાં આવ્યું હોવું જોઈએ,જેનું મૂલ્ય $2 \vec{AB}$ થાય છે.

(C) આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-અક્ષ) (iii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને $y = \frac{x^2}{8}$ મળે છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x^2 = 8y$,રેખા $x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 4$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{4} y \, dx$
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$A = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) એક ચોરસ શ્રેણિકને અદિશ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય અને તેના તમામ વિકર્ણ ઘટકો એક અચળ $k$ સમાન હોય.
અહીં આપેલ છે કે $i \neq j$ માટે $a_{ij} = 0$ (બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય છે) અને $i = j$ માટે $a_{ij} = k$ (વિકર્ણ ઘટકો અચળ $k$ છે),તેથી આ શ્રેણિક અદિશ શ્રેણિકની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ ને અદિશ $h$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
આમ,$h, a, b$ ની કિંમતો $h = -6, a = -4, b = -9$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$ થાય.
પ્રથમ,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} 2$,તેથી $\tan \theta = 2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$.
તેથી,$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.
ધારો કે $\phi = \cot ^{-1} 3$,તેથી $\cot \phi = 3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^2 \phi = 1 + \cot ^2 \phi$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5 + 10 = 15$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \theta$.
તેથી,$\sinh \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1$,તેથી $\cosh^2 \theta = 1 + \sinh^2 \theta$.
$\sinh \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cosh^2 \theta = 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2+x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
આમ,$\cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
હવે,$\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{x/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = x$.
તેથી,$\theta = \tanh^{-1} x$.
આમ,$\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \tanh^{-1} x$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)$ માટે:
પગલું $1$: $f(-1.75)$ ની ગણતરી કરો. $-1.75 \leq -1$ હોવાથી,$f(x) = x + 2$ નો ઉપયોગ કરો.
$f(-1.75) = -1.75 + 2 = 0.25$.
પગલું $2$: $f(0.5)$ ની ગણતરી કરો. $-1 < 0.5 < 1$ હોવાથી,$f(x) = x^2$ નો ઉપયોગ કરો.
$f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.
પગલું $3$: $f(1.5)$ ની ગણતરી કરો. $1.5 \geq 1$ હોવાથી,$f(x) = 2 - x$ નો ઉપયોગ કરો.
$f(1.5) = 2 - 1.5 = 0.5$.
પગલું $4$: કિંમતોનો સરવાળો કરો:
$f(-1.75) + f(0.5) + f(1.5) = 0.25 + 0.25 + 0.5 = 1$.

(D) એક-એક ચકાસવા માટે: જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ હોય તો વિધેય એક-એક કહેવાય. $f(1) = 0$ અને $f(3) = 0$ લો. અહીં $f(1) = f(3)$ છે પરંતુ $1 \neq 3$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: જો દરેક $y \in Z$ માટે,$x \in Z$ એવું મળે કે જેથી $f(x) = y$ થાય,તો વિધેય વ્યાપ્ત કહેવાય. કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $y$ (જ્યાં $y \neq 0$) માટે,એવું કોઈ $x \in Z$ નથી કે જેથી $f(x) = y$ થાય,કારણ કે $f$ નો વિસ્તાર ફક્ત $0$ અને $2$ વડે ભાગેલી બેકી સંખ્યાઓ જ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$.
સૌ પ્રથમ,$f(1/2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$.
હવે,$f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ ની ગણતરી કરીએ:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$.
$= (20 - 319/16)^{1/4}$.
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$.
$= (1/16)^{1/4}$.
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$.

(C) આપેલ છે કે $h(x) = x^{x^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log h(x) = x^x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ હોવાથી,
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$
$x = 1$ મૂકતા:
$\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1 = 1$.
વિકલ્પ $C$ માં $x = 1$ મૂકતા $1 + \log h(1) = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $1 + \log h(x)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $6y = 7 - x^3$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m$ છે:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$

(C) ધારો કે $M = xy$.
આપેલ છે કે $x + y = 7$,તેથી $y = 7 - x$ લખી શકાય.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = x(7 - x) = 7x - x^2$ મળે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$M$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dM}{dx} = 0$ લેતા,$7 - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{7}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવતા: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$.
અહીં $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ હોવાથી,વિધેય $M$ ની કિંમત $x = \frac{7}{2}$ આગળ મહત્તમ છે.
તેથી મહત્તમ કિંમત $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}$ થાય.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
હવે,ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\sqrt{x}(x+9)}$.
$x = t^2$ આદેશ લેતા,$d x = 2t \, dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t \, dt}{t(t^2 + 9)} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 3^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
હવે $t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{\sqrt{x}}{3}) + C$.

(NONE) $\int_{-2}^1 f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સંકલનને $x=0$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ કારણ કે $f(x)$ ની વ્યાખ્યા આ બિંદુએ બદલાય છે.
$\int_{-2}^1 f(x) dx = \int_{-2}^0 (1-2x) dx + \int_0^1 (1+2x) dx$
હવે,દરેક ભાગનું અલગથી સંકલન કરો:
$\int_{-2}^0 (1-2x) dx = [x - x^2]_{-2}^0 = (0 - 0) - (-2 - (-2)^2) = 0 - (-2 - 4) = 0 - (-6) = 6$
$\int_0^1 (1+2x) dx = [x + x^2]_0^1 = (1 + 1^2) - (0 + 0^2) = 2 - 0 = 2$
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\int_{-2}^1 f(x) dx = 6 + 2 = 8$

(D) આપણે નિશ્ચિત સંકલન માટે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.
અહીં,$m = 8$ અને $n = 2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(6)} = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \cdot 120}$.
$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ અને $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ થાય.
તેથી,સંકલન $\frac{(\frac{105}{16} \sqrt{\pi}) \cdot (\frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{240} = \frac{105 \pi}{32 \cdot 240} = \frac{7 \pi}{512}$ થાય.

(A) ધારો કે $f(x) = a x^3 + b x$.
અહીં $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$
$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.
આ પરિણામ $a$ અને $b$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.

(C) $n$ અંતરાલો માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\int_{x_0}^{x_n} y \, dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) + y_n]$
અહીં,કિંમતો $x_0=1, x_1=2, x_2=3, x_3=4$ છે,તેથી સ્ટેપ સાઈઝ $h = x_1 - x_0 = 2 - 1 = 1$ છે.
અનુરૂપ $y$ કિંમતો $y_0 = 0.7111, y_1 = 0.7222, y_2 = 0.7333, y_3 = 0.7444$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(0.7222 + 0.7333) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(1.4555) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2.9110 + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [4.3665]$
$\int_1^4 y \, dx \approx 2.18325 \approx 2.1833$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = 4$.
ચલને અલગ કરતા: $y^2 dy = (4 - x^2) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y^2 dy = \int (4 - x^2) dx$.
તેથી: $\frac{y^3}{3} = 4x - \frac{x^3}{3} + C_1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $y^3 = 12x - x^3 + 3C_1$.
ધારો કે $3C_1 = C$,તો ઉકેલ: $x^3 + y^3 = 12x + C$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$.
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ મળે.
ધારો કે $2C = C_1$,તેથી $2ye^x = e^{2x} + C_1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$
પદોને ગોઠવતા:
$x dx + x y^2 dx = x^2 y dy - y dy$
$x(1 + y^2) dx = y(x^2 - 1) dy$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{y}{1 + y^2} dy$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{2x}{x^2 - 1} dx = \frac{2y}{1 + y^2} dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|1 + y^2| + \ln C$
ગુણધર્મ $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln|x^2 - 1| = \ln|C(1 + y^2)|$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$x^2 - 1 = C(1 + y^2)$

(A) આપેલ છે કે $a, b, c, d$ એ સમતલીય સદિશો છે.
સદિશ $a$ અને $b$ સમતલીય હોવાથી,સદિશ $a \times b$ એ $a$ અને $b$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
તે જ રીતે,$c$ અને $d$ સમતલીય હોવાથી,સદિશ $c \times d$ એ $c$ અને $d$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે.
$a, b, c, d$ બધા એક જ સમતલમાં હોવાથી,સદિશો $a \times b$ અને $c \times d$ બંને એક જ સમતલને લંબ છે.
તેથી,$a \times b$ અને $c \times d$ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ હોવાથી,$(a \times b) \times (c \times d) = 0$ થાય.

(B) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ અને $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$(a+b)$ ની ગણતરી કરો:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$(a-b)$ ની ગણતરી કરો:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
કારણ કે $(a+b)$ અને $(a-b)$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(C) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 2 \hat{j}$,અને $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ છે.
આપણે $3 a + b$ ની કિંમત ચકાસીએ:
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 \hat{i} + 12 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
બંને બાજુને $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\vec{a}, \vec{b} \neq 0$ અને $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$0 \leq \theta \leq \pi$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ખૂણો $\theta = \angle POQ$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે $N$ એ બિંદુ $P(0,2,3)$ માંથી આપેલી રેખા પરનો લંબપાદ છે.
ધારો કે $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=r$.
તેથી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ સ્વરૂપમાં મળે.
જો આ બિંદુ $N$ હોય,તો સદિશ $\vec{NP}$ ના દિકગુણોત્તર $(5r-3-0, 2r+1-2, 3r-4-3)$ એટલે કે $(5r-3, 2r-1, 3r-7)$ થાય.
આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે અને $\vec{NP}$ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5r-3) + 2(2r-1) + 3(3r-7) = 0$.
$25r - 15 + 4r - 2 + 9r - 21 = 0$.
$38r - 38 = 0$,જેનો અર્થ છે $r = 1$.
$r = 1$ ની કિંમત બિંદુ $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ માં મૂકતા,આપણને $(5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે. તે યામ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું અંતર $h$ આપેલું છે. અંતરનું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$.
ધારો કે $(x, y, z)$ એ $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ છે. તેથી $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{c}{3}$ થાય.
આના પરથી $a = 3x$,$b = 3y$,અને $c = 3z$ મળે છે.
આ કિંમતોને અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબપાદ $(1,2,2)$ ને જોડતો સદિશ છે.
તેથી,$\vec{n} = (1-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1,2,2)$ અને અભિલંબ સદિશ $(1,2,2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-2) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 2z - 4 = 0$
$x + 2y + 2z - 9 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=4$ આપેલ છે અને સમીકરણ $P(X=4) = 6 P(X=2)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: ${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^4 C_4 = 1$ અને ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$,તેથી:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$.
$p^4 = 36 p^2 q^2$.
બંને બાજુ $p^2$ વડે ભાગતા ($p \neq 0$ ધારીને):
$p^2 = 36 q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$p = 6q$ (કારણ કે $p$ અને $q$ સંભાવનાઓ છે,તેથી તે ધન હોવી જોઈએ).
$q = 1-p$ મૂકતા:
$p = 6(1-p)$.
$p = 6 - 6p$.
$7p = 6$.
$p = \frac{6}{7}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 3$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 3$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{3} = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ છે.