AP EAMCET 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 20 \ g$,$m_2 = 30 \ g$,$m_3 = 50 \ g$ हैं।
वेग $v_1 = 10 \hat{i} \ m/s$,$v_2 = 10 \hat{j} \ m/s$,$v_3 = 10 \hat{k} \ m/s$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ ज्ञात करने का सूत्र:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$v_{cm} = \frac{20 \times 10 \hat{i} + 30 \times 10 \hat{j} + 50 \times 10 \hat{k}}{20 + 30 + 50}$
$v_{cm} = \frac{200 \hat{i} + 300 \hat{j} + 500 \hat{k}}{100}$
$v_{cm} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m_1 = xM$ और $m_2 = (1-x)M$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{G}{r^2} (xM)(1-x)M = \frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)$।
$F$ को अधिकतम होने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dx} = 0$।
$\frac{d}{dx} [\frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)] = 0$।
चूंकि $\frac{GM^2}{r^2}$ स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$।
$1 - 2x = 0$।
अतः,$x = 1/2$।

(D) माना सिलेंडर की कुल लंबाई $L = 2l$ है, जहाँ $l$ प्रत्येक तरफ की प्रारंभिक लंबाई है।
प्रारंभ में, दोनों तरफ का तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \,K$ है।
एक तरफ को $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \,K$ तक गर्म करने के बाद, पिस्टन $x = 5 \,cm$ खिसक जाता है।
नई लंबाइयाँ $l_1 = l + 5$ और $l_2 = l - 5$ हैं।
चूँकि दबाव स्थिर रहता है, चार्ल्स के नियम के अनुसार, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल स्थिर होने के कारण, $\frac{l+5}{l-5} = \frac{373}{273}$.
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(l+5) + (l-5)}{(l+5) - (l-5)} = \frac{373 + 273}{373 - 273}$.
$\frac{2l}{10} = \frac{646}{100}$.
$2l = \frac{646 \times 10}{100} = 64.6 \,cm$.
अतः, सिलेंडर की कुल लंबाई $64.6 \,cm$ है।

(C) जब किसी कण को नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण का घटक और घर्षण बल दोनों गति की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = -(mg \sin \theta + f_k)$ है,जहाँ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -(mg \sin \theta + \mu_k mg \cos \theta)$।
मंदन (deceleration) का परिमाण $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ दिया गया है,इसलिए:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) = g(\frac{2+1}{2 \sqrt{2}})$
$a = \frac{3g}{2 \sqrt{2}}$।

(D) दिया गया है: भार $W = 64 \,N$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.6$, गतिक घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$।
गति शुरू करने के लिए लगाया गया बल सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F = f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s W$।
चूंकि $W = mg$, इसलिए $F = 0.6 \times mg$।
एक बार जब वस्तु गति करना शुरू कर देती है, तो उस पर कार्य करने वाला गतिक घर्षण $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.4 \times mg$ होता है।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 0.6 mg - 0.4 mg = 0.2 mg$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $F_{net} = ma$।
अतः, $ma = 0.2 mg$, जिससे $a = 0.2 g$ प्राप्त होता है।

(B) राशि $X = \frac{L}{T^2}$ द्वारा दी गई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार,$X$ में अधिकतम सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ होती है।
यहाँ $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 \% = 3 \%$ और $T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \% = 2 \%$ दी गई है।
अतः,$\frac{L}{T^2}$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \% \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \% \right)$ होगी।
मान रखने पर: $3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$.

(B) मान लीजिए कि जमीन से पानी की सतह की कुल ऊँचाई $Y = H + h$ है।
पानी की सतह से $x$ गहराई पर बहिःस्राव (efflux) का वेग $v = \sqrt{2gx}$ है।
जमीन से छेद की ऊँचाई $y = H + (h - x)$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2gx} \cdot \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}} = 2\sqrt{x(H + h - x)}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ को अधिकतम करने के लिए,हम पद $f(x) = x(H + h - x) = (H + h)x - x^2$ को अधिकतम करते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने और उसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(x) = (H + h) - 2x = 0$।
अतः,$x = \frac{H + h}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: व्यास $d = 8 \text{ cm}$,अतः त्रिज्या $r = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$.
लंबाई $l = 3140 \text{ m}$.
प्रवाह की दर $Q = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$.
श्यानता $\eta = 10^{-3} \text{ SI units}$.
पाइप में स्तरीय प्रवाह (laminar flow) के लिए पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार:
$Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
दबाव $P$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{Q(8 \eta l)}{\pi r^4}$
मान रखने पर:
$P = \frac{2 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^{-3} \times 3140}{3.14 \times (4 \times 10^{-2})^4}$
$P = \frac{16 \times 3140 \times 10^{-6}}{3.14 \times 256 \times 10^{-8}}$
$P = \frac{3140 \times 10^2}{3.14 \times 16}$
$P = \frac{1000 \times 10^2}{16} = \frac{10^5}{16} = 6.25 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) दिया गया है: बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$, छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$, पृष्ठ तनाव $T = 460 \times 10^{-3} \,N/m$.
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = R^3 \implies r = \frac{R}{10^2} = 10^{-4} \,m$.
व्यय की गई ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव के गुणनफल के बराबर होती है:
$W = \Delta A \times T = (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) \times T$
$W = 4 \pi (n r^2 - R^2) T$
$r = R/100$ रखने पर:
$W = 4 \pi R^2 (n \times \frac{1}{10^4} - 1) T$
$W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times (10^6 \times 10^{-4} - 1) \times 460 \times 10^{-3}$
$W = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 99 \times 0.46 = 0.057 \,J$.

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है। वायुमंडलीय दबाव $P_0$,$10 \ m$ पानी के स्तंभ के बराबर है,इसलिए $P_0 = 10 \rho g$।
झील की तली पर दबाव $P_1$,वायुमंडलीय दबाव और $h$ गहराई के पानी के स्तंभ के दबाव का योग है:
$P_1 = P_0 + h \rho g = 10 \rho g + h \rho g = \rho g(10 + h)$।
तली पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर दबाव $P_2$,वायुमंडलीय दबाव के बराबर है:
$P_2 = P_0 = 10 \rho g$।
सतह पर बुलबुले का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$ है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ का उपयोग करते हैं:
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$।
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$।
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53125$।
$h = 19.53125 - 10 = 9.53125 \ m$।
अतः,झील की गहराई लगभग $9.53 \ m$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक पिंड के लिए,$d$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 289.8 \, nm = 289.8 \times 10^{-9} \, m$, $b = 2898 \, \mu m K = 2898 \times 10^{-6} \, m K$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W m^{-2} K^{-4}$.
वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करने पर: $\lambda_m T = b$.
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \, K$.
विकिरण तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$.

(B) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है,$L$ मूल लंबाई है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिए गए मान हैं:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \,m$
$L = 1 \,m$
$\alpha = 10 \times 10^{-6} \,K^{-1}$
$\Delta T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta T = \frac{\Delta L}{L \alpha}$
मान रखने पर:
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{1 \times 10 \times 10^{-6}}$
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-5}} = 5^{\circ} C$
अतः,अनुमेय अधिकतम तापमान भिन्नता $5^{\circ} C$ है।

(A) कण $h$ ऊँचाई से गिरता है। प्रथम टक्कर का वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,उछाल का वेग $v_1 = ev_0$ है। प्राप्त ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ है।
कण $h$ नीचे की ओर,फिर $h_1$ ऊपर की ओर और $h_1$ नीचे की ओर गति करता है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = e^2h_1 = e^4h$ तक पहुँचता है,जिसमें $h_2$ ऊपर और $h_2$ नीचे की गति शामिल है।
कुल दूरी $D$ इस प्रकार है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$D = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी (geometric series) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = e^2$ और $r = e^2$:
$D = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(B) हुक के नियम के अनुसार,एक प्रत्यास्थ डोरी का विस्तार लगाए गए तनाव के समानुपाती होता है। मान लीजिए डोरी की प्राकृतिक लंबाई $l$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के तहत डोरी की लंबाई $L = l + \frac{T}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$T_1 = 4 \ N$ के लिए,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (समीकरण $1$)।
$T_2 = 5 \ N$ के लिए,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$।
समीकरण $1$ में $\frac{1}{k}$ का मान रखने पर: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$।
अब,$T_3 = 9 \ N$ के लिए,लंबाई $x = l + \frac{9}{k}$ है।
$l = 5a - 4b$ और $\frac{1}{k} = b - a$ का मान रखने पर:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$,और $g = 10 \ m/s^2$.
प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $h = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
अब,$A:B$ का अनुपात:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
अतः,$A:B$ का अनुपात $40:1$ है।

(B) माना आयाम $A$ है। कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ हैं।
चूँकि दोनों $t=0$ पर मूल बिंदु से शुरू करते हैं,उनका विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ और $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ है।
जब वे मिलते हैं,तो $x_1 = x_2$,इसलिए $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$।
$t=0$ के बाद पहली मुलाकात के लिए,$\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$,जिससे $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ होता है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{A\omega_1 \cos(\omega_1 t)}{A\omega_2 \cos(\omega_2 t)} = \frac{(2\pi/3) \cos(2\pi/3 \cdot 1)}{(\pi/3) \cos(\pi/3 \cdot 1)} = \frac{2 \cos(120^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{2(-1/2)}{1/2} = -2$ है।
अतः परिमाण का अनुपात $2:1$ है।

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m$.
वीन नियतांक $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$.
अतः,तारे का तापमान $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
विकिरण तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16}$.
$E = 5.67 \times 10^8 \ W/m^2$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और घनत्व $d$ के बीच का संबंध $P \propto d^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{7}{5}$ और $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ है।
हमारे पास संबंध है: $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
मान की गणना करने पर: $2^7 = 128$.
अतः,अनुपात $\frac{P^{\prime}}{P}$ का मान $128$ है।

(C) दो पद्धतियों के बीच रूपांतरण के लिए सूत्र $n_2 = n_1 \left[ \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c \right]$ है।
बल की विमा $[M L T^{-2}]$ है,इसलिए $a=1, b=1, c=-2$ है।
यहाँ $n_1 = 100$,$M_1 = 1 \ g$,$L_1 = 1 \ cm$,$T_1 = 1 \ s$ है।
नई पद्धति में,$M_2 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_2 = 1 \ m = 100 \ cm$,$T_2 = 1 \ min = 60 \ s$ है।
इन मानों को रखने पर:
$n_2 = 100 \left[ \left( \frac{1 \ g}{1000 \ g} \right)^1 \left( \frac{1 \ cm}{100 \ cm} \right)^1 \left( \frac{1 \ s}{60 \ s} \right)^{-2} \right]$
$n_2 = 100 \left[ \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times (60)^2 \right]$
$n_2 = 100 \times \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times 3600$
$n_2 = 3.6$.

(A) दिया गया है: $\lambda_1 = 5 \,m$,$\lambda_2 = 6 \,m$.
तरंग की आवृत्ति $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
पहली तरंग की आवृत्ति: $n_1 = \frac{v}{5}$.
दूसरी तरंग की आवृत्ति: $n_2 = \frac{v}{6}$.
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_1 - n_2 = \frac{\text{विस्पंदों की संख्या}}{\text{समय}} = \frac{30}{3} = 10 \,Hz$.
$n_1$ और $n_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
$v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$\frac{v}{30} = 10$.
अतः,$v = 300 \,m/s$.

(D) तनी हुई डोरी की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
इससे हमें संबंध $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = n$ और अंतिम आवृत्ति $n_2 = 2n$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ और अंतिम लंबाई $l_2 = \frac{3}{4}l$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2n} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{9}{16} \frac{T_1}{T_2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{9}{16} \times 4 = \frac{9}{4}$.
अतः,तनाव को $\frac{9}{4}$ के कारक से बदला जाना चाहिए।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,वेग $v = 300 \ m/s$,विशिष्ट ऊष्मा $s = 150 \ J/kg \cdot ^{\circ}C$.
गोली की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450 \ J$.
गोली द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = 50\% \text{ of } KE = 0.5 \times 450 = 225 \ J$.
सूत्र $Q = ms\Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है:
$225 = 0.01 \times 150 \times \Delta T$
$225 = 1.5 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{225}{1.5} = 150^{\circ}C$.
अतः,तापमान में वृद्धि $150^{\circ}C$ है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$
प्रारंभिक वेग $v_1 = 5 \ m/s$
अंतिम वेग $v_2 = 25 \ m/s$
समय $t = 5 \ minutes = 5 \times 60 = 300 \ s$
शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर होती है:
$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta KE}{t}$
$P = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
मान रखने पर:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$

(D) $\text{दिया है: द्रव्यमान } m = 6 \,kg$, $\text{विस्थापन } s = \frac{t^2}{4} \,m$.
$\text{वेग } v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$\text{त्वरण } a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \,m/s^2$.
$\text{बल } F = m \times a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \,N$.
$t = 2 \,s$ $\text{पर, विस्थापन } s = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \,m$.
$\text{किया गया कार्य } W = F \times s = 3 \,N \times 1 \,m = 3 \,J$.

(A) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा, $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 J$.
जब समानांतर में जोड़ा जाता है, तो उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 V$.
निकाय की अंतिम ऊर्जा, $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 J$.
ऊर्जा में कमी, $\Delta U = U_i - U_f = 250 - 100 = 150 J$.

(C) $\text{दिया गया है:}$ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$,$q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$,$v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$\text{चूंकि कण एकसमान वेग से गति कर रहा है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। इसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।}$
$\text{चुंबकीय बल को कण पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।}$
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
$\text{मान रखने पर:}$
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$.

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$।
चूंकि किरण चांदी वाले फलक से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे चांदी वाले फलक पर लंबवत ($90^{\circ}$ पर) टकराना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बनने वाले त्रिभुज से,अपवर्तन कोण $r$ के लिए: $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$।
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(B) माना $L$ वायु और निर्वात स्तंभों की मोटाई है।
निर्वात में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ है।
वायु में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ है।
तरंगदैर्ध्यों की संख्या में अंतर $N_a - N_v = 1$ दिया गया है।
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$.
$L \left( \frac{\mu_a - 1}{\lambda_0} \right) = 1$.
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$.
दिया गया है $\lambda_0 = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ और $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6000 \times 10^{-10}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(A) दिया गया है: $C_1 = 4 \, \mu F$, $V_1 = 80 \, V$, $C_2 = 6 \, \mu F$, $V_2 = 30 \, V$.
प्रारंभिक ऊर्जा $U_{i} = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (80)^2 = 12.8 \, mJ$.
निकाय की कुल ऊर्जा में हानि $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} \times 10^{-6} \times (50)^2 = 3.0 \, mJ$.
$4 \, \mu F$ संधारित्र द्वारा खोई गई ऊर्जा $= 12.8 \, mJ - 3.0 \, mJ = 9.8 \, mJ$.

(B) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \text{ J}$।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार होता है: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 \text{ V}$।
निकाय की अंतिम ऊर्जा,$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 \text{ J}$।
ऊर्जा में कमी,$\Delta U = U_i - U_f = 250 \text{ J} - 100 \text{ J} = 150 \text{ J}$।

(C) विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल को बाह्य प्रतिरोध $R$ से जोड़ने पर प्राप्त धारा $i = \frac{E}{R + r}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: जब $R_1 = 11 \ \Omega$,तब धारा $i_1 = 0.5 \ A$ है।
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \implies E = 0.5(11 + r) \quad \dots (i)$
स्थिति $2$: जब $R_2 = 5 \ \Omega$,तब धारा $0.4 \ A$ बढ़ जाती है,अतः $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \ A$ है।
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.9(5 + r) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$0.5(11 + r) = 0.9(5 + r)$
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \ \Omega$.

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$,धारा $i = 4 \text{ A}$,वोल्टेज $V = 2 \text{ V}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{i} = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ } \Omega$ है।
प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = R \frac{A}{l}$ है।
मान रखने पर: $\rho = 0.5 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6} \text{ } \Omega \cdot \text{m}$।

(D) गतिज ऊर्जा,$KE = 80 eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 128 \times 10^{-19} J$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 128 \times 10^{-19}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{256 \times 9 \times 10^{-50}}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{16 \times 3 \times 10^{-25}} = \frac{6.6}{48} \times 10^{-9} m$.
$\lambda = 0.1375 \times 10^{-9} m \approx 1.375 \times 10^{-10} m = 1.375 Å$.
निकटतम मान लेने पर,$\lambda \approx 1.4 Å$ प्राप्त होता है।

(D) कथन $A$ असत्य है क्योंकि कॉम्पटन प्रभाव में $X$-रे फोटॉन का प्रकीर्णन ढीले ढंग से बंधे (मुक्त) इलेक्ट्रॉनों द्वारा होता है,न कि कसकर बंधे इलेक्ट्रॉनों द्वारा।
कथन $B$ असत्य है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव में जब पर्याप्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की सतह पर आपतित होता है तो इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है,जिसके लिए इलेक्ट्रॉनों का सामग्री से बंधा होना आवश्यक है,न कि मुक्त इलेक्ट्रॉन।
अतः,दोनों कथन असत्य हैं।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ इस प्रकार है:
$(KE)_{\max} = h v - h v_0$,जहाँ $v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
पहली स्थिति के लिए आवृत्ति $v_1$ है: $(KE_1)_{\max} = h(v_1 - v_0)$.
दूसरी स्थिति के लिए आवृत्ति $v_2$ है: $(KE_2)_{\max} = h(v_2 - v_0)$.
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:k$ है,इसलिए:
$\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{1}{k} = \frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$v_2 - v_0 = k(v_1 - v_0)$.
$v_2 - v_0 = k v_1 - k v_0$.
$v_0$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$k v_0 - v_0 = k v_1 - v_2$.
$v_0(k - 1) = k v_1 - v_2$.
$v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.

(C) अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\Delta \phi = M \Delta i$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta \phi$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है और $\Delta i$ धारा में परिवर्तन है।
दिया गया है:
$\Delta i = 0.01 \,A = 10^{-2} \,A$
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \,Wb$
सूत्र $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta i}$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{2 \times 10^{-2} \,Wb}{10^{-2} \,A} = 2 \,H$.
अतः,दोनों कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरण $2 \,H$ है।

(B) एक आवेशित वस्तु में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{q^2}{2C}$ होता है,जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है। अतः,$E \propto q^2$ है।
माना मूल आवेश $q_1 = q$ है और मूल ऊर्जा $E_1 = E$ है।
जब आवेश को $2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $q_2 = q + 2$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $E_2$ में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $E_2 = E + 0.21E = 1.21E$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{1.21E}{E} = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
$1.21 = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $1.1 = \frac{q+2}{q}$.
$1.1q = q + 2$.
$0.1q = 2$.
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र $E = 10^3 \ Vm^{-1}$ ($Y$-अक्ष के अनुदिश),द्रव्यमान $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 10^{-6} \ C$,प्रारंभिक वेग $u_x = 10 \ ms^{-1}$ ($X$-अक्ष के अनुदिश)।
आवेश पर लगने वाला बल $F = qE = 10^{-6} \times 10^3 = 10^{-3} \ N$ ($Y$-अक्ष के अनुदिश)।
$Y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण $a_y = F/m = 10^{-3} / 10^{-3} = 1 \ ms^{-2}$ है।
$X$-अक्ष के अनुदिश वेग स्थिर रहता है क्योंकि उस दिशा में कोई बल नहीं है: $v_x = u_x = 10 \ ms^{-1}$।
$10 \ s$ के बाद $Y$-अक्ष के अनुदिश वेग $v_y = u_y + a_y t = 0 + 1 \times 10 = 10 \ ms^{-1}$ है।
अंतिम चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ है।

(B) माना $q_1 = 9 \mu C$ और $q_2 = -3 \mu C$ है। उनके बीच की दूरी $d = 0.16 \ m$ है।
माना बिंदु $P$,$q_1$ से $x$ दूरी पर स्थित है। तब $q_2$ से $P$ की दूरी $(0.16 - x)$ होगी।
बिंदु $P$ पर दोनों आवेशों के कारण कुल विद्युत विभव $V$ शून्य है:
$V = V_1 + V_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_2}{0.16 - x} = 0$
$\frac{9 \times 10^{-6}}{x} = - \frac{-3 \times 10^{-6}}{0.16 - x}$
$\frac{9}{x} = \frac{3}{0.16 - x}$
$3(0.16 - x) = x$
$0.48 - 3x = x$
$4x = 0.48$
$x = 0.12 \ m$
अतः,$9 \mu C$ आवेश से $P$ की दूरी $0.12 \ m$ है।

(C) वर्ग की एक भुजा (जैसे,भुजा $AB$) द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमित लंबाई के तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$.
यहाँ,केंद्र से भुजा की दूरी $r = \frac{a}{2}$ है,और भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बनने वाले कोण $\phi_1 = 45^{\circ}$ और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
इन मानों को रखने पर: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$.
चूंकि वर्ग में $4$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$ होगा।

(C) इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2} = \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = \sqrt{100 \times 10^{10}} = 10 \times 10^5 = 10^6 \ m/s \cdot T$.
बल का परिमाण $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^6 \ m/s \cdot T) = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$, आवेश $q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$, वेग $v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
चूंकि कण एकसमान वेग से गति कर रहा है, इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि चुंबकीय बल $F_m$ को कण पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $F_g$ को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
मान रखने पर:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$
अतः, चुंबकीय प्रेरण का मान $20 \,T$ है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूँकि दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{T}$ होती है,इसलिए $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$.
इसका अर्थ है कि $f \propto \sqrt{H}$,या $H \propto f^2$.
यहाँ $f_A = 40 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_B = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ दिया गया है।
स्थान $A$ पर $H_A = 36 \times 10^{-6} \ T$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$.
$\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} \ T$.

(D) चुंबक को $AB$ के अनुदिश रखा गया है। बिंदु $C$ चुंबक के केंद्र $O$ के सापेक्ष निरक्षीय (equatorial) स्थिति में है।
चुंबक की लंबाई $2l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,इसलिए $l = 0.05 \text{ m}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \text{ Am}^2$।
दूरी $OC$ भुजा $a = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$OC = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.01 - 0.0025} = \sqrt{0.0075} = \sqrt{75} \times 10^{-2} \text{ m} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m} \approx 0.0866 \text{ m}$।
निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ है,जहाँ $r = OC$ है।
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{((0.0866)^2 + (0.05)^2)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.0075 + 0.0025)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.01)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभ में विराम अवस्था में स्थित नाभिक के लिए,दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
इसका अर्थ है $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1}$.
दिया गया वेग अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{1}$ है,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि नाभिक का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन के समानुपाती होता है,अतः $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
इसलिए,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
द्रव्यमान अनुपात के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{1}{3})^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(A) दो प्रिज्मों को इस प्रकार संयोजित करने पर कि विचलन रहित विक्षेपण (achromatic combination) प्राप्त हो,कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न माध्य विचलन $d$ और $d^{\prime}$ हैं।
शून्य कुल विचलन के लिए शर्त $d + d^{\prime} = 0$ है।
विक्षेपण क्षमता $\omega$ को $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\delta_y$ माध्य विचलन $(d)$ है।
इस प्रकार,कोणीय विक्षेपण $\theta = \omega d$ है।
कुल विचलन शून्य होने के लिए आवश्यक शर्त $d + d^{\prime} = 0$ है।

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$।
चूंकि किरण चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बनने वाले त्रिभुज में,कोण $A = 30^{\circ}$ है,चांदी वाली सतह पर कोण $90^{\circ}$ है,और पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $(90^{\circ} - r) + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$210^{\circ} - r = 180^{\circ} \implies r = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$।
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(B) दिया गया है: अपवर्तक कोण $A = 60^{\circ}$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^{\circ}$।
तरल में डूबे प्रिज्म के अपवर्तनांक के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
$\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$C = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^{\circ}$।

(B) माना $L$ हवा और निर्वात के स्तंभों की मोटाई है।
निर्वात में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ है।
हवा में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ है।
तरंगदैर्ध्यों की संख्या में अंतर $1$ दिया गया है:
$N_a - N_v = 1$
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$
$\frac{L}{\lambda_0} (\mu_a - 1) = 1$
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$
दिया गया है $\lambda_0 = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ और $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$L = 2 \text{ mm}$.

(A) दिया गया है:
कलेक्टर धारा में परिवर्तन,$\Delta I_c = 8.2 \,mA$
एमिटर धारा में परिवर्तन,$\Delta I_e = 8.3 \,mA$
हम जानते हैं कि एमिटर धारा,बेस धारा और कलेक्टर धारा का योग होती है: $\Delta I_e = \Delta I_b + \Delta I_c$
इसलिए,बेस धारा में परिवर्तन: $\Delta I_b = \Delta I_e - \Delta I_c = 8.3 \,mA - 8.2 \,mA = 0.1 \,mA$
फॉरवर्ड करंट अनुपात (करंट गेन $\beta$) कलेक्टर धारा में परिवर्तन और बेस धारा में परिवर्तन का अनुपात है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{8.2 \,mA}{0.1 \,mA} = 82$

(D) थॉमसन प्रभाव में अवशोषित या उत्सर्जित ऊष्मा का सूत्र $H = \sigma q \Delta T$ है,जहाँ $\sigma$ थॉमसन गुणांक है,$q$ आवेश है और $\Delta T$ तापमान का अंतर है।
दिया गया है:
$\sigma = 10 \mu V/K = 10 \times 10^{-6} \text{ V/K}$
$q = 10 \text{ C}$
$\Delta T = 60^{\circ} C - 50^{\circ} C = 10 \text{ K}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = (10 \times 10^{-6} \text{ V/K}) \times (10 \text{ C}) \times (10 \text{ K})$
$H = 1000 \times 10^{-6} \text{ J}$
$H = 10^{-3} \text{ J} = 1 \text{ mJ}$

(C) दिया गया है कि आयामों का अनुपात,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$ है।
माना $a_1 = 3k$ और $a_2 = 2k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$।
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3k + 2k)^2}{(3k - 2k)^2} = \frac{(5k)^2}{(k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = \frac{25}{1}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $25: 1$ है।