AP EAMCET 2001 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ દળ $m_1 = 20 \ g$,$m_2 = 30 \ g$,$m_3 = 50 \ g$ છે.
વેગ $v_1 = 10 \hat{i} \ m/s$,$v_2 = 10 \hat{j} \ m/s$,$v_3 = 10 \hat{k} \ m/s$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ શોધવાનું સૂત્ર:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{cm} = \frac{20 \times 10 \hat{i} + 30 \times 10 \hat{j} + 50 \times 10 \hat{k}}{20 + 30 + 50}$
$v_{cm} = \frac{200 \hat{i} + 300 \hat{j} + 500 \hat{k}}{100}$
$v_{cm} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(A) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m_1 = xM$ અને $m_2 = (1-x)M$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \frac{G}{r^2} (xM)(1-x)M = \frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)$.
$F$ મહત્તમ થાય તે માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dF}{dx} = 0$.
$\frac{d}{dx} [\frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)] = 0$.
$\frac{GM^2}{r^2}$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$.
$1 - 2x = 0$.
તેથી,$x = 1/2$.

(D) ધારો કે નળાકારની કુલ લંબાઈ $L = 2l$ છે, જ્યાં $l$ એ દરેક બાજુની પ્રારંભિક લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં, બંને બાજુનું તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \,K$ છે.
એક બાજુને $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \,K$ સુધી ગરમ કર્યા પછી, પિસ્ટન $x = 5 \,cm$ જેટલું ખસે છે.
નવી લંબાઈઓ $l_1 = l + 5$ અને $l_2 = l - 5$ છે.
દબાણ અચળ રહેતું હોવાથી, ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોવાથી, $\frac{l+5}{l-5} = \frac{373}{273}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા: $\frac{(l+5) + (l-5)}{(l+5) - (l-5)} = \frac{373 + 273}{373 - 273}$.
$\frac{2l}{10} = \frac{646}{100}$.
$2l = \frac{646 \times 10}{100} = 64.6 \,cm$.
આમ, નળાકારની કુલ લંબાઈ $64.6 \,cm$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ કણને ઢાળવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંને ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
કણ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = -(mg \sin \theta + f_k)$ છે,જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -(mg \sin \theta + \mu_k mg \cos \theta)$.
મંદનનું મૂલ્ય $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ થાય.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે,તેથી:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) = g(\frac{2+1}{2 \sqrt{2}})$
$a = \frac{3g}{2 \sqrt{2}}$.

(D) આપેલ છે: વજન $W = 64 \,N$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.6$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.4$.
ગતિ શરૂ કરવા માટે લગાડવામાં આવતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F = f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s W$.
$W = mg$ હોવાથી, $F = 0.6 \times mg$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, ત્યારે તેના પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.4 \times mg$ થાય છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 0.6 mg - 0.4 mg = 0.2 mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$.
તેથી, $ma = 0.2 mg$, જેનો અર્થ છે કે $a = 0.2 g$.

(B) ભૌતિક રાશિ $X = \frac{L}{T^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,$X$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $L$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 \% = 3 \%$ અને $T$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 \% = 2 \%$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{L}{T^2}$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \% \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \% \right)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$.

(B) ધારો કે જમીનથી પાણીની સપાટીની કુલ ઊંચાઈ $Y = H + h$ છે.
પાણીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gx}$ છે.
જમીનથી કાણાની ઊંચાઈ $y = H + (h - x)$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = v \cdot t = \sqrt{2gx} \cdot \sqrt{\frac{2(H + h - x)}{g}} = 2\sqrt{x(H + h - x)}$ દ્વારા મળે છે.
$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે પદ $f(x) = x(H + h - x) = (H + h)x - x^2$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય લેતા: $f'(x) = (H + h) - 2x = 0$.
આમ,$x = \frac{H + h}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 8 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$.
લંબાઈ $l = 3140 \text{ m}$.
પ્રવાહનો દર $Q = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \text{ SI units}$.
પાઈપમાં લેમિનર પ્રવાહ માટે પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ:
$Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
દબાણ $P$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$P = \frac{Q(8 \eta l)}{\pi r^4}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^{-3} \times 3140}{3.14 \times (4 \times 10^{-2})^4}$
$P = \frac{16 \times 3140 \times 10^{-6}}{3.14 \times 256 \times 10^{-8}}$
$P = \frac{3140 \times 10^2}{3.14 \times 16}$
$P = \frac{1000 \times 10^2}{16} = \frac{10^5}{16} = 6.25 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) આપેલ છે: મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$, નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$, પૃષ્ઠતાણ $T = 460 \times 10^{-3} \,N/m$.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = R^3 \implies r = \frac{R}{10^2} = 10^{-4} \,m$.
ખર્ચાયેલી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$W = \Delta A \times T = (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) \times T$
$W = 4 \pi (n r^2 - R^2) T$
$r = R/100$ મૂકતા:
$W = 4 \pi R^2 (n \times \frac{1}{10^4} - 1) T$
$W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times (10^6 \times 10^{-4} - 1) \times 460 \times 10^{-3}$
$W = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 99 \times 0.46 = 0.057 \,J$.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. વાતાવરણનું દબાણ $P_0$ એ $10 \ m$ પાણીના સ્તંભ જેટલું છે,તેથી $P_0 = 10 \rho g$.
તળાવના તળિયે દબાણ $P_1$ એ વાતાવરણનું દબાણ અને $h$ ઊંડાઈના પાણીના સ્તંભના દબાણનો સરવાળો છે:
$P_1 = P_0 + h \rho g = 10 \rho g + h \rho g = \rho g(10 + h)$.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર દબાણ $P_2$ એ વાતાવરણના દબાણ જેટલું છે:
$P_2 = P_0 = 10 \rho g$.
સપાટી પર પરપોટાનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલનો નિયમ $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ લાગુ કરીએ છીએ:
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53125$.
$h = 19.53125 - 10 = 9.53125 \ m$.
આમ,તળાવની ઊંડાઈ આશરે $9.53 \ m$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થ માટે,$d$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E$ છે:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) આપેલ છે: $\lambda_m = 289.8 \, nm = 289.8 \times 10^{-9} \, m$, $b = 2898 \, \mu m K = 2898 \times 10^{-6} \, m K$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W m^{-2} K^{-4}$.
વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ વાપરતા: $\lambda_m T = b$.
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \, K$.
વિકિરણ તીવ્રતા (ઉત્સર્જન પાવર) $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$.

(B) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
આપેલ કિંમતો:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \,m$
$L = 1 \,m$
$\alpha = 10 \times 10^{-6} \,K^{-1}$
$\Delta T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta T = \frac{\Delta L}{L \alpha}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{1 \times 10 \times 10^{-6}}$
$\Delta T = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-5}} = 5^{\circ} C$
તેથી,માન્ય મહત્તમ તાપમાનનો ફેરફાર $5^{\circ} C$ છે.

(A) કણ $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે. પ્રથમ અથડામણનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = ev_0$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
કણ $h$ નીચે તરફ,પછી $h_1$ ઉપર તરફ અને $h_1$ નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = e^2h_1 = e^4h$ સુધી પહોંચે છે,જેમાં $h_2$ ઉપર અને $h_2$ નીચે ગતિ કરે છે.
કુલ અંતર $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$D = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + ...)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = e^2$ અને $r = e^2$:
$D = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક દોરીનું વિસ્તરણ લાગુ પડેલા તણાવના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે દોરીની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
તણાવ $T$ હેઠળ દોરીની લંબાઈ $L = l + \frac{T}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = 4 \ N$ માટે,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (સમીકરણ $1$).
$T_2 = 5 \ N$ માટે,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$.
સમીકરણ $1$ માં $\frac{1}{k}$ ની કિંમત મૂકતા: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$.
હવે,$T_3 = 9 \ N$ માટે,લંબાઈ $x = l + \frac{9}{k}$ છે.
$l = 5a - 4b$ અને $\frac{1}{k} = b - a$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $h = Ax - Bx^2$ સાથે સરખાવતા:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
હવે,$A:B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
તેથી,$A:B$ નો ગુણોત્તર $40:1$ છે.

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A$ છે. કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.
બંને $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ અને $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ છે.
જ્યારે તેઓ મળે છે,ત્યારે $x_1 = x_2$,તેથી $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$.
$t=0$ પછી પ્રથમ મુલાકાત માટે,$\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$,જે $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$ આપે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{A\omega_1 \cos(\omega_1 t)}{A\omega_2 \cos(\omega_2 t)} = \frac{(2\pi/3) \cos(2\pi/3 \cdot 1)}{(\pi/3) \cos(\pi/3 \cdot 1)} = \frac{2 \cos(120^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{2(-1/2)}{1/2} = -2$ થાય છે.
તેથી મૂલ્યનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) આપેલ છે: $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m$.
વિનનો અચળાંક $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$.
તેથી,તારાનું તાપમાન $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
વિકિરણ તીવ્રતા (ઉત્સર્જન પાવર) $E$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા મળે છે: $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16}$.
$E = 5.67 \times 10^8 \ W/m^2$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{7}{5}$ અને $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$.
આપણી પાસે સંબંધ છે: $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $2^7 = 128$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P^{\prime}}{P}$ એ $128$ છે.

(C) બે પદ્ધતિઓ વચ્ચે રૂપાંતર માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left[ \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c \right]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે,તેથી $a=1, b=1, c=-2$.
અહીં $n_1 = 100$,$M_1 = 1 \ g$,$L_1 = 1 \ cm$,$T_1 = 1 \ s$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં,$M_2 = 1 \ kg = 1000 \ g$,$L_2 = 1 \ m = 100 \ cm$,$T_2 = 1 \ min = 60 \ s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 100 \left[ \left( \frac{1 \ g}{1000 \ g} \right)^1 \left( \frac{1 \ cm}{100 \ cm} \right)^1 \left( \frac{1 \ s}{60 \ s} \right)^{-2} \right]$
$n_2 = 100 \left[ \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times (60)^2 \right]$
$n_2 = 100 \times \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times 3600$
$n_2 = 3.6$.

(A) આપેલ છે: $\lambda_1 = 5 \,m$,$\lambda_2 = 6 \,m$.
તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{v}{5}$.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{v}{6}$.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_1 - n_2 = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{30}{3} = 10 \,Hz$.
$n_1$ અને $n_2$ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
$v$ ને સામાન્ય લેતા: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$\frac{v}{30} = 10$.
તેથી,$v = 300 \,m/s$.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આના પરથી,આપણને સંબંધ $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 2n$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = \frac{3}{4}l$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2n} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{9}{16} \frac{T_1}{T_2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{9}{16} \times 4 = \frac{9}{4}$.
આમ,તણાવને $\frac{9}{4}$ ના અવયવ દ્વારા બદલવો જોઈએ.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,વેગ $v = 300 \ m/s$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 150 \ J/kg \cdot ^{\circ}C$.
ગોળીની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450 \ J$.
ગોળી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = 50\% \text{ of } KE = 0.5 \times 450 = 225 \ J$.
સૂત્ર $Q = ms\Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે:
$225 = 0.01 \times 150 \times \Delta T$
$225 = 1.5 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{225}{1.5} = 150^{\circ}C$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $150^{\circ}C$ છે.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 5 \ m/s$
અંતિમ વેગ $v_2 = 25 \ m/s$
સમય $t = 5 \ minutes = 5 \times 60 = 300 \ s$
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta KE}{t}$
$P = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$

(D) $\text{આપેલ છે: દળ } m = 6 \,kg$, $\text{સ્થાનાંતર } s = \frac{t^2}{4} \,m$.
$\text{વેગ } v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$\text{પ્રવેગ } a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \,m/s^2$.
$\text{બળ } F = m \times a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \,N$.
$t = 2 \,s$ $\text{સમયે, સ્થાનાંતર } s = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \,m$.
$\text{થયેલ કાર્ય } W = F \times s = 3 \,N \times 1 \,m = 3 \,J$.

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા, $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 J$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 V$.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા, $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 J$.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો, $\Delta U = U_i - U_f = 250 - 100 = 150 J$.

(C) $\text{આપેલ છે:}$ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$,$q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$,$v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$\text{કણ સમાન વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે કણ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.}$
$\text{ચુંબકીય બળ કણના વજન (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) ને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.}$
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$.
જ્યારે કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તિત થઈને પોતાના માર્ગે પાછું ફરે છે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે અથડાવું જોઈએ (એટલે કે $90^{\circ}$ ના ખૂણે).
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણ પરથી,વક્રીભૂતકોણ $r$ માટે: $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$.
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $L$ એ હવા અને શૂન્યાવકાશના સ્તંભોની જાડાઈ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ છે.
હવામાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ છે.
તરંગલંબાઈની સંખ્યામાં તફાવત $N_a - N_v = 1$ આપેલ છે.
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$.
$L \left( \frac{\mu_a - 1}{\lambda_0} \right) = 1$.
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$.
આપેલ છે કે $\lambda_0 = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ અને $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6000 \times 10^{-10}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(A) આપેલ છે: $C_1 = 4 \, \mu F$, $V_1 = 80 \, V$, $C_2 = 6 \, \mu F$, $V_2 = 30 \, V$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_{i} = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (80)^2 = 12.8 \, mJ$.
તંત્રની કુલ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} \times 10^{-6} \times (50)^2 = 3.0 \, mJ$.
$4 \, \mu F$ કેપેસિટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા $= 12.8 \, mJ - 3.0 \, mJ = 9.8 \, mJ$.

(B) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઊર્જા,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \text{ J}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ નીચે મુજબ મળે: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 \text{ V}$.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા,$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 \text{ J}$.
ઊર્જામાં ઘટાડો,$\Delta U = U_i - U_f = 250 \text{ J} - 100 \text{ J} = 150 \text{ J}$.

(C) વિદ્યુતચાલક બળ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડતા મળતો પ્રવાહ $i = \frac{E}{R + r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $R_1 = 11 \ \Omega$,ત્યારે પ્રવાહ $i_1 = 0.5 \ A$.
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \implies E = 0.5(11 + r) \quad \dots (i)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $R_2 = 5 \ \Omega$,ત્યારે પ્રવાહમાં $0.4 \ A$ નો વધારો થાય છે,તેથી $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \ A$.
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.9(5 + r) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$0.5(11 + r) = 0.9(5 + r)$
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \ \Omega$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 4 \text{ A}$,વોલ્ટેજ $V = 2 \text{ V}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{i} = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ } \Omega$.
અવરોધકતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = R \frac{A}{l}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = 0.5 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6} \text{ } \Omega \cdot \text{m}$.

(D) ગતિઊર્જા,$KE = 80 eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 128 \times 10^{-19} J$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 128 \times 10^{-19}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{256 \times 9 \times 10^{-50}}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{16 \times 3 \times 10^{-25}} = \frac{6.6}{48} \times 10^{-9} m$.
$\lambda = 0.1375 \times 10^{-9} m \approx 1.375 \times 10^{-10} m = 1.375 Å$.
નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda \approx 1.4 Å$ મળે છે.

(D) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે કોમ્પ્ટન અસરમાં $X$-રે ફોટોનનું પ્રકીર્ણન છૂટક રીતે બંધાયેલા (મુક્ત) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા થાય છે,ચુસ્ત રીતે બંધાયેલા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા નહીં.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં જ્યારે પૂરતી આવૃત્તિનો પ્રકાશ ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે,જેના માટે ઇલેક્ટ્રોન પદાર્થ સાથે બંધાયેલા હોવા જરૂરી છે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE)_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$(KE)_{\max} = h v - h v_0$,જ્યાં $v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આવૃત્તિ $v_1$ છે: $(KE_1)_{\max} = h(v_1 - v_0)$.
બીજા કિસ્સા માટે આવૃત્તિ $v_2$ છે: $(KE_2)_{\max} = h(v_2 - v_0)$.
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:k$ છે,તેથી:
$\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{1}{k} = \frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$v_2 - v_0 = k(v_1 - v_0)$.
$v_2 - v_0 = k v_1 - k v_0$.
$v_0$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$k v_0 - v_0 = k v_1 - v_2$.
$v_0(k - 1) = k v_1 - v_2$.
$v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.

(C) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $\Delta \phi = M \Delta i$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર છે અને $\Delta i$ એ પ્રવાહમાં ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
$\Delta i = 0.01 \,A = 10^{-2} \,A$
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \,Wb$
સૂત્ર $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{2 \times 10^{-2} \,Wb}{10^{-2} \,A} = 2 \,H$.
તેથી,બે કોઈલનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $2 \,H$ છે.

(B) વિદ્યુતભારિત પદાર્થમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે. તેથી,$E \propto q^2$ થાય.
ધારો કે મૂળ વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને મૂળ ઉર્જા $E_1 = E$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $2 \ C$ વધારવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_2 = q + 2$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $E_2$ માં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $E_2 = E + 0.21E = 1.21E$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.21E}{E} = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
$1.21 = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $1.1 = \frac{q+2}{q}$.
$1.1q = q + 2$.
$0.1q = 2$.
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^3 \ Vm^{-1}$ ($Y$-અક્ષની દિશામાં),દળ $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,વીજભાર $q = 10^{-6} \ C$,પ્રારંભિક વેગ $u_x = 10 \ ms^{-1}$ ($X$-અક્ષની દિશામાં).
વીજભાર પર લાગતું બળ $F = qE = 10^{-6} \times 10^3 = 10^{-3} \ N$ ($Y$-અક્ષની દિશામાં).
$Y$-અક્ષની દિશામાં પ્રવેગ $a_y = F/m = 10^{-3} / 10^{-3} = 1 \ ms^{-2}$.
$X$-અક્ષની દિશામાં કોઈ બળ લાગતું ન હોવાથી તેનો વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 10 \ ms^{-1}$.
$10 \ s$ પછી $Y$-અક્ષની દિશામાં વેગ $v_y = u_y + a_y t = 0 + 1 \times 10 = 10 \ ms^{-1}$.
અંતિમ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ ms^{-1}$.

(B) ધારો કે $q_1 = 9 \mu C$ અને $q_2 = -3 \mu C$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 0.16 \ m$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $q_1$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે. તો $q_2$ થી $P$ નું અંતર $(0.16 - x)$ થશે.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય છે:
$V = V_1 + V_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_2}{0.16 - x} = 0$
$\frac{9 \times 10^{-6}}{x} = - \frac{-3 \times 10^{-6}}{0.16 - x}$
$\frac{9}{x} = \frac{3}{0.16 - x}$
$3(0.16 - x) = x$
$0.48 - 3x = x$
$4x = 0.48$
$x = 0.12 \ m$
આમ,$9 \mu C$ વિદ્યુતભારથી $P$ નું અંતર $0.12 \ m$ છે.

(C) ચોરસની એક બાજુ (દા.ત.,બાજુ $AB$) દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર મર્યાદિત લંબાઈના તાર માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$.
અહીં,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = \frac{a}{2}$ છે,અને બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\phi_1 = 45^{\circ}$ અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$.
ચોરસમાં $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$ થશે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v} = 2 \times 10^5 \hat{i} \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}) \ T$ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -1.6 \times 10^{-19} \ C$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ ની ગણતરી:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 \times 10^5 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(-6 \times 10^5) + \hat{k}(8 \times 10^5) = (6 \times 10^5 \hat{j} + 8 \times 10^5 \hat{k}) \ m/s \cdot T$.
સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{(6 \times 10^5)^2 + (8 \times 10^5)^2} = \sqrt{36 \times 10^{10} + 64 \times 10^{10}} = \sqrt{100 \times 10^{10}} = 10 \times 10^5 = 10^6 \ m/s \cdot T$.
બળનું મૂલ્ય $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^6 \ m/s \cdot T) = 1.6 \times 10^{-13} \ N$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.6 \,g = 0.6 \times 10^{-3} \,kg$, વીજભાર $q = 25 \,nC = 25 \times 10^{-9} \,C$, વેગ $v = 1.2 \times 10^4 \,ms^{-1}$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
કણ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી, તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય બળ $F_m$ એ કણ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g$ ને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.
$F_m = F_g$
$Bqv = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^2}{30} = \frac{600}{30} = 20 \,T$
તેથી, ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય $20 \,T$ છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \sqrt{H}$,અથવા $H \propto f^2$.
અહીં $f_A = 40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_B = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ આપેલ છે.
સ્થાન $A$ પર $H_A = 36 \times 10^{-6} \ T$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$.
$\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} \ T$.

(D) ચુંબકને $AB$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. બિંદુ $C$ એ ચુંબકના કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં છે.
ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,તેથી $l = 0.05 \text{ m}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1 \text{ Am}^2$.
અંતર $OC$ એ $a = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$OC = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.01 - 0.0025} = \sqrt{0.0075} = \sqrt{75} \times 10^{-2} \text{ m} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m} \approx 0.0866 \text{ m}$.
વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ છે,જ્યાં $r = OC$.
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{((0.0866)^2 + (0.05)^2)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.0075 + 0.0025)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.01)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં સ્થિર રહેલા ન્યુક્લિયસ માટે,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1}$.
આપેલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{1}$ હોવાથી,આપણને $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ધારો કે ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તો દળ $m$ એ કદના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
દળના ગુણોત્તર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{1}{3})^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$ મળે છે.

(A) બે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી વિચલન વગરનું વિભાજન (achromatic combination) મળે,તો કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સરેરાશ વિચલન $d$ અને $d^{\prime}$ છે.
શૂન્ય કુલ વિચલન માટેની શરત $d + d^{\prime} = 0$ છે.
વિભાજન શક્તિ $\omega$ ને $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta_y$ એ સરેરાશ વિચલન $(d)$ છે.
આમ,કોણીય વિભાજન $\theta = \omega d$ છે.
કુલ વિચલન શૂન્ય હોય તે માટેની શરત $d + d^{\prime} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$,પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,ત્યારે તે સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}$,ચાંદીવાળી સપાટી પરનો ખૂણો $90^{\circ}$ અને પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભૂત કોણ $r$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $(90^{\circ} - r) + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$210^{\circ} - r = 180^{\circ} \implies r = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$.
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે: વક્રીભવન કોણ $A = 60^{\circ}$,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^{\circ}$.
પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
$\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$C = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે $L$ એ હવા અને શૂન્યાવકાશના સ્તંભોની જાડાઈ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઇની સંખ્યા $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ છે.
હવામાં તરંગલંબાઇની સંખ્યા $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ છે.
તરંગલંબાઇની સંખ્યામાં તફાવત $1$ આપેલ છે:
$N_a - N_v = 1$
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$
$\frac{L}{\lambda_0} (\mu_a - 1) = 1$
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$
આપેલ છે $\lambda_0 = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ અને $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$L = 2 \text{ mm}$.

(A) આપેલ છે:
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_c = 8.2 \,mA$
એમિટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_e = 8.3 \,mA$
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ બેઝ પ્રવાહ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો સરવાળો છે: $\Delta I_e = \Delta I_b + \Delta I_c$
તેથી,બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર: $\Delta I_b = \Delta I_e - \Delta I_c = 8.3 \,mA - 8.2 \,mA = 0.1 \,mA$
ફોરવર્ડ કરંટ રેશિયો (કરંટ ગેઇન $\beta$) એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{8.2 \,mA}{0.1 \,mA} = 82$

(D) થોમસન અસર દરમિયાન શોષાયેલી અથવા મુક્ત થયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \sigma q \Delta T$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ થોમસન અચળાંક છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
$\sigma = 10 \mu V/K = 10 \times 10^{-6} \text{ V/K}$
$q = 10 \text{ C}$
$\Delta T = 60^{\circ} C - 50^{\circ} C = 10 \text{ K}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = (10 \times 10^{-6} \text{ V/K}) \times (10 \text{ C}) \times (10 \text{ K})$
$H = 1000 \times 10^{-6} \text{ J}$
$H = 10^{-3} \text{ J} = 1 \text{ mJ}$

(C) આપેલ છે કે કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$ છે.
ધારો કે $a_1 = 3k$ અને $a_2 = 2k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3k + 2k)^2}{(3k - 2k)^2} = \frac{(5k)^2}{(k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = \frac{25}{1}$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $25: 1$ છે.