Textbook - Number Systems Questions in Hindi

(N/A) $(i)$ असत्य,क्योंकि $0$ एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है।
$(ii)$ सत्य,क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक $m$ को $\frac{m}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है और $1$ एक शून्येतर पूर्णांक है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ असत्य,क्योंकि $\frac{3}{5}$ एक परिमेय संख्या है लेकिन यह एक पूर्णांक नहीं है।

(A) हम इस समस्या को हल करने के लिए कम से कम दो तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।
विधि $1$: $r$ और $s$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{r+s}{2}$ सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
पहली संख्या: $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$.
दूसरी संख्या: $\frac{1 + 3/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
तीसरी संख्या: $\frac{1 + 5/4}{2} = \frac{9/4}{2} = \frac{9}{8}$.
चौथी संख्या: $\frac{3/2 + 2}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.
पाँचवीं संख्या: $\frac{7/4 + 2}{2} = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$.
विधि $2$: दो संख्याओं के बीच $n$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें $n+1$ हर (denominator) के साथ लिख सकते हैं।
यहाँ $n=5$ है,इसलिए हम $5+1=6$ हर का उपयोग करेंगे।
$1 = \frac{6}{6}$ और $2 = \frac{12}{6}$.
पाँच परिमेय संख्याएँ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ और $\frac{11}{6}$ हैं।
इन्हें सरल करने पर,हमें $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ और $\frac{11}{6}$ प्राप्त होती हैं।

(A) हाँ,शून्य एक परिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है। चूँकि शून्य को $\frac{0}{1}$,$\frac{0}{2}$,$\frac{0}{3}$ आदि के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ अंश $p = 0$ (एक पूर्णांक है) और हर $q$ कोई भी शून्येतर पूर्णांक है,इसलिए यह परिमेय संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है।

(N/A) $3$ और $4$ के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
$n = 6$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $3$ और $4$ को $n + 1 = 7$ हर वाली भिन्न के रूप में लिख सकते हैं।
$3 = \frac{3 \times 7}{7} = \frac{21}{7}$
$4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}$
अतः,$\frac{21}{7}$ और $\frac{28}{7}$ के बीच छह परिमेय संख्याएँ $\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}$ और $\frac{27}{7}$ हैं।

(N/A) $\frac{3}{5}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
$5$ परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(5 + 1) = 6$ से गुणा कर सकते हैं।
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
अतः,$\frac{18}{30}$ और $\frac{24}{30}$ के बीच $5$ परिमेय संख्याएँ हैं:
$\frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30}, \frac{22}{30}, \frac{23}{30}$.

(N/A) $(i)$ सत्य; पूर्ण संख्याओं का संग्रह ${0, 1, 2, 3, ...}$ है और प्राकृत संख्याओं का संग्रह ${1, 2, 3, ...}$ है। चूंकि सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में मौजूद हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।
$(ii)$ असत्य; पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ,शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं,जबकि पूर्ण संख्याओं में केवल शून्य और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए,$-3$ एक पूर्णांक है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।
$(iii)$ असत्य; परिमेय संख्याओं में भिन्न और दशमलव शामिल होते हैं,जबकि पूर्ण संख्याएँ केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। उदाहरण के लिए,$\frac{1}{5}$ एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।

यह समझना आसान है कि यूनानियों ने $\sqrt{2}$ की खोज कैसे की होगी। एक वर्ग $OABC$ पर विचार करें,जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $1$ इकाई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ होता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को निरूपित करने के लिए,वर्ग $OABC$ को संख्या रेखा पर इस प्रकार रखें कि शीर्ष $O$ शून्य पर स्थित हो और भुजा $OA$ संख्या रेखा की धनात्मक दिशा में हो।
हमने अभी देखा कि $OB = \sqrt{2}$ है। एक परकार (compass) का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है। अतः,बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{3}$ को निर्धारित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सबसे पहले,$1$ इकाई आधार और $1$ इकाई ऊँचाई वाला एक समकोण त्रिभुज बनाकर संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को निर्धारित करें। इसका कर्ण $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होगा।
$2$. अब,कर्ण $OB$ (जहाँ $OB = \sqrt{2}$) पर लंबवत $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $BD$ खींचें।
$3$. $OD$ को मिलाएँ। समकोण त्रिभुज $\triangle OBD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OD^2 = OB^2 + BD^2$
$OD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$
$OD = \sqrt{3}$.
$4$. परकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $Q$ पर काटता है। बिंदु $Q$ संख्या रेखा पर $\sqrt{3}$ को दर्शाता है।
इसी प्रकार,$\sqrt{n-1}$ को निर्धारित करने के बाद,आप किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $\sqrt{n}$ को निर्धारित कर सकते हैं।

(N/A) $(i)$ सत्य; वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना है। इसलिए,प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
$(ii)$ असत्य; संख्या रेखा पर स्थित ऋणात्मक संख्याओं को किसी प्राकृत संख्या $m$ के वर्गमूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,क्योंकि किसी भी प्राकृत संख्या का वर्गमूल सदैव ऋणेतर (non-negative) होता है।
$(iii)$ असत्य; वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए,$2$ एक वास्तविक संख्या है लेकिन यह एक परिमेय संख्या है,अपरिमेय संख्या नहीं।

(B) नहीं,सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए,पूर्ण वर्ग संख्याओं जैसे $\sqrt{4}$ और $\sqrt{9}$ के वर्गमूल पर विचार करें।
हम जानते हैं कि $\sqrt{4} = 2$ और $\sqrt{9} = 3$ होता है।
चूंकि $2$ और $3$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$),इसलिए ये परिमेय संख्याएँ हैं।
अतः,सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2}$।
$1$. एक संख्या रेखा खींचिए और $0$ को दर्शाने वाला बिंदु $O$ और $O$ से $2$ इकाई की दूरी पर $2$ को दर्शाने वाला बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
$2$. बिंदु $A$ पर,$1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. अब,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है।
$5$. दूरी $OC$,$OB$ के बराबर है,जो $\sqrt{5}$ है। अतः,बिंदु $C$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।

(N/A) वर्गमूल सर्पिल का निर्माण पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है,जो बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है $(h^2 = a^2 + b^2)$।
$1$. बिंदु $O$ से शुरू करें और $OP_1 = 1$ इकाई खींचें।
$2$. $OP_1$ पर लंब $P_1P_2$ खींचें ताकि $P_1P_2 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_1P_2$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OP_2 = \sqrt{OP_1^2 + P_1P_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$3$. $OP_2$ पर लंब $P_2P_3$ खींचें ताकि $P_2P_3 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_2P_3$ में,$OP_3 = \sqrt{OP_2^2 + P_2P_3^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$।
$4$. इसी प्रकार,$OP_3$ पर लंब $P_3P_4$ खींचें ताकि $P_3P_4 = 1$ इकाई हो। $\triangle OP_3P_4$ में,$OP_4 = \sqrt{OP_3^2 + P_3P_4^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$।
$5$. इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,कर्ण $OP_n$ की लंबाई $\sqrt{n}$ होगी।

(N/A) $\frac{10}{3} = 3.333... = 3.\overline{3}$ के लिए,शेषफल हमेशा $1$ रहता है,जो पुनरावृत्त होता है। भाजक $3$ है।
$\frac{7}{8} = 0.875$ के लिए,निश्चित चरणों के बाद शेषफल $0$ हो जाता है। भाजक $8$ है।
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ के लिए,शेषफल $3, 2, 6, 4, 5, 1$ हैं जो पुनरावृत्त होते हैं। भाजक $7$ है।
अवलोकन:
$(i)$ शेषफल या तो एक निश्चित चरण के बाद $0$ हो जाते हैं,या स्वयं को दोहराने लगते हैं।
$(ii)$ शेषफल की पुनरावृत्त श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम होती है।
$(iii)$ यदि शेषफल पुनरावृत्त होते हैं,तो हमें भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्त खंड प्राप्त होता है।

(N/A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।
दी गई संख्या $3.142678$ में दशमलव बिंदु को हटाने के लिए हम इसे $10$ की उपयुक्त घात से विभाजित करेंगे।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $6$ अंक हैं,इसलिए हम इसे $1,000,000$ से गुणा और भाग करेंगे।
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
इस भिन्न को इसके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो कि $2$ है,से विभाजित करके सरल किया जा सकता है।
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
चूंकि $1571339$ और $500000$ पूर्णांक हैं और $500000 \ne 0$ है,इसलिए $3.142678$ एक परिमेय संख्या है।

(N/A) माना $x = 0.3333...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 3.3333...$ (समीकरण $2$)।
चूँकि $x = 0.3333...$,हम $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
अतः,$0.\overline{3}$ को $\frac{1}{3}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p = 1$ और $q = 3$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ है।

(C) माना $x = 1.272727 \ldots$
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 127.2727 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
चूँकि $x = 1.272727 \ldots$,इसलिए समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$100x = 126 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{14}{11}$
अतः,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,जहाँ $p = 14$ और $q = 11$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

(N/A) माना $x = 0.2 \overline{35}$ है।
यहाँ,अंक $2$ की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है,लेकिन $35$ ब्लॉक की पुनरावृत्ति हो रही है।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,हम $x$ को $100$ से गुणा करते हैं:
$100x = 23.53535 \ldots$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
चूँकि $x = 0.23535 \ldots$,हम समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$100x = 23.3 + x$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर:
$99x = 23.3$
दशमलव को भिन्न में बदलने पर:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ से भाग देने पर:
$x = \frac{233}{990}$
अतः,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.

(A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ और $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$ होता है।
इन दो मानों के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें एक ऐसी संख्या की आवश्यकता है जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हो।
$0.15015001500015...$ के रूप की कोई भी संख्या इस शर्त को पूरा करती है क्योंकि यह $0.142857...$ और $0.285714...$ के बीच स्थित है और इसमें अंकों का कोई निश्चित पैटर्न दोहराया नहीं जाता है।
अतः,ऐसी एक अपरिमेय संख्या $0.15015001500015...$ है।

(N/A) $(i)$ $\frac{36}{100} = 0.36$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$। यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$। यह एक सांत दशमलव प्रसार है।

(N/A) हमें दिया गया है कि $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ है।
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए दी गई भिन्नों के दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{7}$ के मान को संबंधित अंशों से गुणा करते हैं:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
इस प्रकार,$\frac{1}{7}$ के दशमलव प्रसार को संबंधित अंशों से गुणा करके,हम बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए इन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार निर्धारित कर सकते हैं।

(N/A) $(i)$ माना $x = 0.\overline{6} = 0.6666\ldots$
चूँकि एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है,दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ में से $x$ घटाने पर:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
अतः,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ माना $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ से गुणा करने पर:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
अतः,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ माना $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,$1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.

(A) माना $x = 0.9999 \ldots$ $(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
अतः,$0.9999 \ldots = 1$ है।
चूंकि $0.9999 \ldots$ अनंत तक चलता रहता है,इसलिए $1$ और $0.9999 \ldots$ के बीच कोई अंतर नहीं है। अतः,दोनों बराबर हैं।

(A) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के दशमलव प्रसार में,अंकों के पुनरावृत्ति खंड (repeating block) में प्रविष्टियों की संख्या हमेशा भाजक $q$ से कम होती है।
यहाँ भिन्न $\frac{1}{17}$ में,भाजक $17$ है।
इसलिए,पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या $17 - 1 = 16$ हो सकती है।
लंबी विभाजन प्रक्रिया द्वारा,हम पाते हैं:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
अतः,$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में $16$ अंक हैं।

(N/A) आइए निम्नलिखित शांत दशमलव परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार की जाँच करें:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [हर $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [हर $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [हर $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [हर $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [हर $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [हर $= 16 = 2^4$]
हम देखते हैं कि $q$ (अर्थात हर) के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ की घातें,$5$ की घातें,या दोनों की घातें होती हैं। अतः,$q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।

(N/A) वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है,एक अपरिमेय संख्या कहलाती है।
ऐसी तीन संख्याओं के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. $\sqrt{2} = 1.414213562 \ldots$
$2$. $\sqrt{3} = 1.732050808 \ldots$
$3$. $\sqrt{5} = 2.236067978 \ldots$

(N/A) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$
$\frac{9}{11} = 0.\overline{81}$
एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) होता है।
हमें $0.714285...$ और $0.818181...$ के बीच तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो अनवसानी अनावर्ती पैटर्न का पालन करती हों।
ऐसी तीन संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
$1) 0.73073007300073...$
$2) 0.75075007500075...$
$3) 0.79079007900079...$

(N/A) $(i)$ $\sqrt{23} \approx 4.79583152331 \ldots$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $\sqrt{225} = 15 = \frac{15}{1}$
चूँकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ $0.3796 = \frac{3796}{10000} = \frac{949}{2500}$
चूँकि दशमलव प्रसार सांत है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iv)$ $7.478478 \ldots = 7.\overline{478}$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
चूँकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) संख्या रेखा पर $5$ दशमलव स्थानों तक $5.3\overline{7}$ को देखने के लिए,हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:
$1$. हम जानते हैं कि $5.3\overline{7}$,$5$ और $6$ के बीच स्थित है। हम $5$ और $6$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $5.3$ तथा $5.4$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.3$ और $5.4$ के बीच स्थित है [चित्र $(i)$]।
$2$. इसके बाद,हम $5.3$ और $5.4$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.37$ और $5.38$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.37$ और $5.38$ के बीच स्थित है [चित्र $(ii)$]।
$3$. फिर हम $5.37$ और $5.38$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.377$ और $5.378$ को चिह्नित करते हैं। $5.3\overline{7}$,$5.377$ और $5.378$ के बीच स्थित है [चित्र $(iii)$]।
$4$. अंत में,हम $5.377$ और $5.378$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $5.3777$ और $5.3778$ को चिह्नित करते हैं। इस भाग को आवर्धित करके,हम संख्या रेखा पर $5.37777$ का निरूपण कर सकते हैं [चित्र $(iv)$] ।

(N/A) $3.765$ संख्या $3$ और $4$ के बीच स्थित है।
आइए अंतराल $(3, 4)$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
चूंकि $3.765$,$3.7$ और $3.8$ के बीच स्थित है,इसलिए हम अंतराल $[3.7, 3.8]$ को $10$ भागों में विभाजित करके आवर्धित करते हैं ताकि $3.76$ और $3.77$ के बीच की दूरी पर ध्यान केंद्रित किया जा सके।
संख्या $3.765$,$3.76$ और $3.77$ के बीच स्थित है। इसलिए,हम अंतराल $[3.76, 3.77]$ को और अधिक $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
अब,$3.765$ के संगत बिंदु को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है,जैसा कि आवर्धन प्रक्रिया के अंतिम चरण में दिखाया गया है।

(N/A) हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करके संख्या रेखा पर $4.\overline{26}$ या $4.2626\ldots$ को देख सकते हैं।
$I$. संख्या $4.2626\ldots$ $4$ और $5$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4, 5]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $4.2$ तथा $4.3$ को चिह्नित करते हैं।
$II$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.2$ और $4.3$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.2, 4.3]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.26$ और $4.27$ को चिह्नित करते हैं।
$III$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.26$ और $4.27$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.26, 4.27]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $4.262$ और $4.263$ को चिह्नित करते हैं।
$IV$. संख्या $4.2626\ldots$ $4.262$ और $4.263$ के बीच स्थित है। हम अंतराल $[4.262, 4.263]$ को आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं। अब हम संख्या रेखा पर $4.2626$ को देख सकते हैं।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या अपरिमेय है या नहीं,हम जांचते हैं कि क्या इसे अनवसानी अनावर्ती दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$1$. $7 \sqrt{5}$: चूंकि $\sqrt{5} \approx 2.236$ एक अपरिमेय संख्या है,एक गैर-शून्य परिमेय संख्या $(7)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{5})$ का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$7 \sqrt{5} \approx 15.652...$ अपरिमेय है।
$2$. $\frac{7}{\sqrt{5}}$: हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{7 \sqrt{5}}{5} \approx 3.1304...$ प्राप्त होता है। चूंकि एक गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का भागफल अपरिमेय होता है,इसलिए $\frac{7}{\sqrt{5}}$ अपरिमेय है।
$3$. $\sqrt{2}+21$: चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$ अपरिमेय है,एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या $(21)$ का योग हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$\sqrt{2}+21 \approx 22.414...$ अपरिमेय है।
$4$. $\pi-2$: चूंकि $\pi \approx 3.1415...$ एक अपरिमेय संख्या है,एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या $(2)$ का अंतर हमेशा अपरिमेय होता है। अतः,$\pi-2 \approx 1.1415...$ अपरिमेय है।
निष्कर्ष: दी गई सभी संख्याएँ अपरिमेय हैं।

(A) दी गई व्यंजकों को जोड़ने के लिए,समान पदों (जिनमें वर्गमूल का गुणनखंड समान हो) को एक साथ रखें:
$(2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 + 1) \sqrt{2} + (5 - 3) \sqrt{3}$
$= 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

(B) $6 \sqrt{5}$ को $2 \sqrt{5}$ से गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. परिमेय गुणांकों का गुणा करें: $6 \times 2 = 12$.
$2$. वर्गमूल वाले पदों का गुणा करें: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.
$3$. परिणामों का गुणा करें: $12 \times 5 = 60$.
अतः,$6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} = 60$.

(C) $8 \sqrt{15}$ को $2 \sqrt{3}$ से विभाजित करने के लिए,हम इसे एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}$
हम $\sqrt{15}$ को $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ में विभाजित करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$= \frac{8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}$
अंश और हर से समान पद $\sqrt{3}$ को काटने पर:
$= \frac{8}{2} \times \sqrt{5}$
$= 4 \sqrt{5}$

$(i)$ वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5}) = 5(2) + 5(\sqrt{5}) + \sqrt{7}(2) + \sqrt{7}(\sqrt{5}) = 10 + 5\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{35}$.
$(ii)$ सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए: $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$.
$(iii)$ सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करते हुए: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$(iv)$ सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए: $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$.

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
चूंकि $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
अतः,परिमेयकृत रूप $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है।

(B) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2-\sqrt{3})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2}$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) $(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
हर में बीजीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3 - 5}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2}$
$= -\frac{5}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

(A) $\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-3 \sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} = \frac{1}{7+3 \sqrt{2}} \times \frac{7-3 \sqrt{2}}{7-3 \sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{(7)^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - (9 \times 2)}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - 18}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}$

(N/A) $(i)$ $2-\sqrt{5}$: चूंकि यह एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का अंतर है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} = 3+\sqrt{23}-\sqrt{23} = 3$. चूंकि $3$ को $\frac{3}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} = \frac{2}{7}$. चूंकि यह $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$: एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का भागफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए,यह एक अपरिमेय संख्या है।
$(v)$ $2 \pi$: एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। इसलिए,$2 \pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) = 3(2+\sqrt{2}) + \sqrt{3}(2+\sqrt{2})$
$= 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$
$(ii)$ सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = (3)^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$
$(iii)$ सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$
$(iv)$ सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(N/A) जब हम एक पैमाने या किसी अन्य उपकरण से किसी रेखा की लंबाई मापते हैं,तो हमें केवल एक अनुमानित परिमेय मान प्राप्त होता है। इसका अर्थ यह है कि $c$ या $d$ में से कम से कम एक अपरिमेय है। इसलिए,अनुपात $\frac{c}{d}$ अपरिमेय है,जो $\pi$ को एक अपरिमेय संख्या बनाता है। अतः,यह कहने में कोई विरोधाभास नहीं है कि $\pi$ अपरिमेय है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. एक रेखा $l$ पर $AB = 9.3 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $C$ एक ऐसा बिंदु अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 9.3 + 1 = 10.3 \text{ इकाई}$ है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। $O$ को केंद्र मानकर और $OA$ त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$4$. बिंदु $B$ पर रेखा $l$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{9.3}$ है।
$5$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा $l$ पर एक चाप लगाइए जो इसे बिंदु $E$ पर काटता है। दूरी $BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को निरूपित करती है।

(N/A) $(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} = \sqrt{7}+\sqrt{6}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

इन व्यंजकों को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियमों का उपयोग करते हैं:
$(i)$ गुणन नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.
$(ii)$ घात की घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$\left(3^{\frac{1}{5}}\right)^4 = 3^{\left(\frac{1}{5} \cdot 4\right)} = 3^{\frac{4}{5}}$.
$(iii)$ भागफल नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right)} = 7^{\left(\frac{3-5}{15}\right)} = 7^{-\frac{2}{15}}$.
$(iv)$ समान घातांक वाले अलग-अलग आधारों के गुणन नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए:
$13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}} = (13 \times 17)^{\frac{1}{5}} = 221^{\frac{1}{5}}$.

$(i)$ $64^{\frac{1}{2}} = (8^2)^{\frac{1}{2}} = 8^{2 \times \frac{1}{2}} = 8^1 = 8$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \times \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$

$(i)$ $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \times \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
$(ii)$ $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$
$(iii)$ $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
$(iv)$ $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \times (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

(N/A) $(i)$ घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{2/3} \cdot 2^{1/5} = 2^{(2/3 + 1/5)} = 2^{(10+3)/15} = 2^{13/15}$
$(ii)$ घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$(1/3^3)^7 = (3^{-3})^7 = 3^{-3 \cdot 7} = 3^{-21}$
$(iii)$ घातांक के नियम $a^m / a^n = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$11^{1/2} / 11^{1/4} = 11^{(1/2 - 1/4)} = 11^{(2-1)/4} = 11^{1/4}$
$(iv)$ घातांक के नियम $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$ का उपयोग करते हुए:
$7^{1/2} \cdot 8^{1/2} = (7 \cdot 8)^{1/2} = 56^{1/2}$