Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{-\frac{1}{6}}$ है।
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5} \times (-\frac{1}{6})} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$.
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{6-5}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}$. यह $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$ के बराबर नहीं है।
$B$: $\frac{1}{\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
$C$: $\left(\frac{6}{5}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
$D$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. यह बराबर है।
अतः,विकल्प $A$ दिए गए व्यंजक के बराबर नहीं है।

(B) हम जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना होता है।
चूंकि प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल होती है,इसलिए प्रत्येक परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

(C) किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। इस गुण को परिमेय संख्याओं का घनत्व गुण (density property) कहा जाता है।

(D) एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा या तो सांत होता है या फिर अनंत आवर्ती होता है। एक अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार एक अपरिमेय संख्या का विशिष्ट गुण है। इसलिए,एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण अनंत अनावर्ती नहीं हो सकता है।

(A) दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
उदाहरण के लिए:
$1$. यदि हम $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ लेते हैं,जो एक परिमेय संख्या है।
$2$. यदि हम $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ लेते हैं,जो एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,गुणनफल कभी परिमेय और कभी अपरिमेय होता है।

(B) संख्या $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
परिभाषा के अनुसार,एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) होता है।
इसलिए,$\sqrt{2}$ का दशमलव प्रसार $1.41421356...$ है,जो न तो समाप्त होता है और न ही किसी पैटर्न को दोहराता है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी संख्या अपरिमेय है,हम प्रत्येक विकल्प को सरल करते हैं:
$(a)$ $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$,जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$(b)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
$(c)$ $\sqrt{7}$ को पूर्णांकों के भिन्न के रूप में सरल नहीं किया जा सकता है। चूँकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(d)$ $\sqrt{81} = 9$,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{7}$ अपरिमेय संख्या है। इसलिए,$(C)$ सही उत्तर है।

(D) एक संख्या अपरिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव निरूपण अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हो।
$(A)$ $0.14$ एक सांत दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(B)$ $0.14 \overline{16}$ एक अनवसानी-आवर्ती दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(C)$ $0. \overline{1416}$ एक अनवसानी-आवर्ती दशमलव है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(D)$ $0.4014001400014 \ldots$ एक अनवसानी-अनावर्ती दशमलव है,जो कि एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा है।
अतः,$(D)$ सही उत्तर है।

(A) हम जानते हैं कि $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ होता है।
परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,जो एक परिमेय संख्या है।
चूंकि $1.414 < 1.5 < 1.732$,इसलिए $1.5$ का मान $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ के बीच स्थित है।
विकल्प $B$ और $C$ में अपरिमेय संख्याएं शामिल हैं,इसलिए वे परिमेय संख्याएं नहीं हैं।
विकल्प $D$ $(1.8)$ का मान $\sqrt{3} \approx 1.732$ से अधिक है,इसलिए यह उनके बीच स्थित नहीं है।
अतः,$1.5$ सही परिमेय संख्या है।

(B) माना $x = 1.999... = 1.\overline{9} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ से भाग देने पर:
$x = \frac{18}{9} = 2$
चूंकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $p=2$ और $q=1$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0,$ अतः मान $2$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(C) दी गई व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम $\sqrt{3}$ को एक उभयनिष्ठ पद के रूप में मानते हैं।
दिया गया व्यंजक: $2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$।
इसे $(2 + 1) \sqrt{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर के पदों का योग करने पर: $3 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) करणी के गुणधर्म $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6}$
$= \sqrt{25} \times \sqrt{6}$
$= 5 \sqrt{6}$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) $\frac{1}{7-\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी $(7+\sqrt{2})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{1}{7-\sqrt{2}} = \frac{1}{7-\sqrt{2}} \times \frac{7+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}$
हर में सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{7+\sqrt{2}}{(7)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{49-2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{47}$
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$
चूंकि $\sqrt{9} = 3$ और $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ है,इसलिए व्यंजक होगा:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(3+2\sqrt{2})$ से गुणा करें:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$
हर को सरल करने पर:
$(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$
अतः,व्यंजक का सरल रूप है:
$\frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है.

(C) $\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})$ से गुणा करते हैं।
$\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} \times \frac{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3})^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(9 \times 3) - (4 \times 2)} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{27 - 8}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{19}$
अतः,हर $19$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}}$
अंश और हर में वर्गमूलों को सरल करने पर:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$\frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$
समान पद $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ को काटने पर:
$\frac{4}{2} = 2$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) व्यंजक $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$ को सरल बनाने के लिए,हम हर (denominator) का परिमेयकरण करेंगे:
$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1) \times (\sqrt{2}-1)}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
$= \sqrt{2}-1$
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.4142$,अतः:
$1.4142 - 1 = 0.4142$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम घातांक के नियमों का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,करणी (radicals) को भिन्नात्मक घातांक के रूप में लिखें: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}} = \sqrt[4]{(2^{2})^{\frac{1}{3}}}$.
घात के घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $(2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,बाहरी करणी को लागू करें: $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$.
घातांक को सरल करने पर: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
इस प्रकार,व्यंजक का सरल रूप $2^{\frac{1}{6}}$ है।
अतः,$(B)$ सही उत्तर है।

(C) हमारे पास है,
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^5)^{\frac{1}{12}}$
$= 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{12}}$
घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}}$
$= 2^{\frac{4+3+5}{12}}$
$= 2^{\frac{12}{12}}$
$= 2^1 = 2$
अतः,$(c)$ सही उत्तर है.

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt[4]{(81)^{-2}}$
हम जानते हैं कि $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,इसलिए $(81)^{-2} = \frac{1}{81^2}$.
अतः,$\sqrt[4]{(81)^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81^2}} = \left(\frac{1}{81^2}\right)^{1/4}$.
चूंकि $81 = 9^2$,इसलिए $81^2 = (9^2)^2 = 9^4$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left(\frac{1}{9^4}\right)^{1/4} = \left(\frac{1}{9}\right)^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{9}$.
अतः,$(d)$ सही उत्तर है।

(A) घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए।
दी गई अभिव्यक्ति: $(256)^{0.16} \times (256)^{0.09} = (256)^{0.16 + 0.09}$।
घातांकों को जोड़ने पर: $(256)^{0.25}$।
चूंकि $0.25 = \frac{1}{4}$,इसलिए $(256)^{\frac{1}{4}}$ प्राप्त होता है।
$256$ को $4$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर: $256 = 4^4$।
अतः,$(4^4)^{\frac{1}{4}} = 4^{4 \times \frac{1}{4}} = 4^1 = 4$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं कि कौन सा $x^1 = x$ में सरल होता है:
$(A)$ $x^{\frac{12}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ को $x$ के रूप में सरल नहीं किया जा सकता है।
$(B)$ $\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left((x^3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}} = x^1 = x$.
$(C)$ $\sqrt[12]{\left(x^{4}\right)^{\frac{1}{3}}} = \left(x^{4 \times \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{12}} = x^{\frac{1}{9}} \neq x$.
$(D)$ $x^{\frac{12}{7}} \times x^{\frac{7}{12}} = x^{\frac{12}{7} + \frac{7}{12}} = x^{\frac{144+49}{84}} = x^{\frac{193}{84}} \neq x$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(N/A) हाँ,ऐसी अपरिमेय संख्याएँ मौजूद हैं।
माना दो अपरिमेय संख्याएँ $a = 3 + \sqrt{2}$ और $b = 3 - \sqrt{2}$ हैं।
योग: $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$,जो एक परिमेय संख्या है।
गुणनफल: $(3 + \sqrt{2}) \times (3 - \sqrt{2}) = (3)^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$,जो भी एक परिमेय संख्या है।
अतः,$3 + \sqrt{2}$ और $3 - \sqrt{2}$ दो ऐसी अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनका योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
मान लीजिए $x = \sqrt[4]{2}$ है।
अब,$x^{2}$ की गणना करते हैं:
$x^{2} = (\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अब,$x^{4}$ की गणना करते हैं:
$x^{4} = (\sqrt[4]{2})^{4} = 2$। चूंकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
इस प्रकार,हमने एक ऐसी संख्या $x = \sqrt[4]{2}$ प्राप्त की है जिसके लिए $x^{2}$ अपरिमेय है और $x^{4}$ परिमेय है।

(A) हाँ,$x+y$ अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है।
विरोधोक्ति द्वारा प्रमाण (Proof by contradiction):
मान लीजिए कि $x+y = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
चूँकि $x$ एक परिमेय संख्या है,हम $y = r - x$ लिख सकते हैं।
चूँकि दो परिमेय संख्याओं ($r$ और $x$) का अंतर हमेशा एक परिमेय संख्या होता है,इसलिए $y$ को भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए।
हालाँकि,यह दी गई जानकारी का खंडन करता है कि $y$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी धारणा गलत है और $x+y$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।
उदाहरण:
मान लीजिए $x = 5$ (परिमेय) और $y = \sqrt{2}$ (अपरिमेय)।
तब,$x+y = 5 + \sqrt{2} = 6.4142...$,जो एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है।
अतः,$x+y$ एक अपरिमेय संख्या है।

(NO) मान लीजिए कि $x = 0$ (एक परिमेय संख्या) और $y = \sqrt{3}$ (एक अपरिमेय संख्या) है।
तब,उनका गुणनफल $xy = 0 \times \sqrt{3} = 0$ होता है।
चूंकि $0$ को $\frac{0}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह आवश्यक नहीं है कि $xy$ एक अपरिमेय संख्या ही हो।

(FALSE, FALSE) $(i)$ दिया गया कथन असत्य है। एक परिमेय संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। यहाँ,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ में $p = \sqrt{2}$ है,जो एक अपरिमेय संख्या है,पूर्णांक नहीं है। इसलिए,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ दिया गया कथन असत्य है। परिभाषा के अनुसार,पूर्णांक (...,$-2, -1, 0, 1, 2, ...$) होते हैं। किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों,जैसे $3$ और $4$ के बीच कोई अन्य पूर्णांक नहीं होता है।

(N/A) $(i)$ यह कथन असत्य है। किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। अतः,$15$ और $18$ के बीच परिमेय संख्याओं की संख्या अनंत है।
$(ii)$ यह कथन सत्य है। जिन संख्याओं को $\frac{p}{q}$ के रूप में (जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$) व्यक्त नहीं किया जा सकता,उन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,और $\pi$ ऐसी ही संख्याएँ हैं।

(N/A) $(i)$ यह कथन असत्य है। अपरिमेय संख्या $\sqrt[4]{2}$ पर विचार करें। इसका वर्ग $(\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$ है,जो एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ यह कथन असत्य है। हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$। चूँकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
यह निर्धारित करने के लिए कि संख्या परिमेय है या नहीं,हमें पहले व्यंजक को सरल करना होगा।
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$.
चूंकि $\sqrt{5}$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\frac{\sqrt{5}}{1}$ व्यंजक में,हालांकि यह $\frac{p}{q}$ के रूप में है,लेकिन अंश $p = \sqrt{5}$ एक पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $\sqrt{196} = 14$। चूँकि $14$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ (अर्थात $\frac{14}{1}$),इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(ii)$ $3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$। चूँकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है और एक शून्येतर परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है,इसलिए $9\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $\sqrt{\frac{9}{27}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. चूँकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए एक परिमेय संख्या $(1)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{3})$ का भागफल एक अपरिमेय संख्या होता है।
$(ii)$ $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}} = \sqrt{\frac{28}{343}} = \sqrt{\frac{4 \times 7}{49 \times 7}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. चूँकि $\frac{2}{7}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $-\sqrt{0.4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}}$. चूँकि $\sqrt{10}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए एक परिमेय संख्या $(2)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{10})$ का भागफल अपरिमेय होता है। अतः,$-\sqrt{0.4}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(ii)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$. चूँकि $\frac{2}{5}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $0.5918$ एक सांत दशमलव प्रसार है। कोई भी संख्या जिसे सांत दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,वह एक परिमेय संख्या होती है क्योंकि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। यहाँ,$0.5918 = \frac{5918}{10000}$,जो परिमेय है।
$(ii)$ व्यंजक को सरल करने पर: $(1+\sqrt{5})-(4+\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 4 - \sqrt{5} = 1 - 4 = -3$। चूँकि $-3$ को $\frac{-3}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $(i)$ $10.124124 \ldots$ एक दशमलव प्रसार है जो अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) है। चूँकि जिस संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती होता है,उसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ एक दशमलव प्रसार है जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) है। चूँकि इसे $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) हम $13$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$13 = 9 + 4 = 3^{2} + 2^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 3$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 2$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{OA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{13}$ को दर्शाता है।

(B) माना $x = 0.12333\ldots$ (समीकरण $1$)
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $10$ से गुणा करने पर: $10x = 1.2333\ldots$ (समीकरण $2$)
अनावर्ती भाग के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $1$ को $100$ से गुणा करने पर: $100x = 12.333\ldots$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
अतः,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.

(A) व्यंजक $(3 \sqrt{5}-5 \sqrt{2})(4 \sqrt{5}+3 \sqrt{2})$ को सरल करने के लिए,हम वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करेंगे:
$= (3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}) + (3 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{2}) - (5 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{5}) - (5 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2})$
$= (12 \times 5) + (9 \sqrt{10}) - (20 \sqrt{10}) - (15 \times 2)$
$= 60 + 9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10} - 30$
$= (60 - 30) + (9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10})$
$= 30 - 11 \sqrt{10}$

(B) $\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}$ को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे,जिसके लिए अंश और हर को $(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}$
सर्वसमिका $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करते हुए,हर $(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $\frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $3 \sqrt{2} - a \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = -2$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक: $\left[5\left(8^{\frac{1}{3}}+27^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left[5(2+3)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5(5)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^1 \cdot 5^3\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^{1+3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^4\right]^{\frac{1}{4}}$
$= 5^{4 \cdot \frac{1}{4}}$
$= 5^1 = 5$

(A) $(i)$ $x^{2}=5 \Rightarrow x=\sqrt{5},$ जो एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\sqrt{5}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$(ii)$ $y^{2}=9 \Rightarrow y=\sqrt{9}=3,$ जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{3}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(iii)$ $z^{2}=0.04 \Rightarrow z=\sqrt{0.04}=0.2,$ जो एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक सांत दशमलव है और इसे $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(iv)$ $u^{2}=\frac{17}{4} \Rightarrow u=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.$ चूँकि $\sqrt{17}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $u$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $-1$ और $-2$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें समान हर वाले भिन्नों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
मान लीजिए संख्याएँ $-1 = -10/10$ और $-2 = -20/10$ हैं।
$-20/10$ और $-10/10$ के बीच की कोई भी तीन संख्याएँ परिमेय संख्याएँ हैं।
उदाहरण के लिए,$-11/10, -12/10, -13/10$ वे तीन परिमेय संख्याएँ हैं जो $-1$ और $-2$ के बीच स्थित हैं।
वैकल्पिक रूप से,इन्हें $-1.1, -1.2, -1.3$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) $0.1$ और $0.11$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें अधिक अंकों वाले दशमलव के रूप में लिख सकते हैं।
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
अब,हम $0.100$ और $0.110$ के बीच की संख्याएँ आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
ऐसी तीन परिमेय संख्याएँ $0.101, 0.102$ और $0.103$ हैं।

(A) $\frac{5}{7}$ और $\frac{6}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3+1) = 4$ या $10$ जैसी किसी बड़ी संख्या से गुणा कर सकते हैं।
$10$ से गुणा करने पर:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 10}{7 \times 10} = \frac{50}{70}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 10}{7 \times 10} = \frac{60}{70}$
अब,हम $\frac{50}{70}$ और $\frac{60}{70}$ के बीच कोई भी तीन परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ और } \frac{53}{70}$।
अतः,$\frac{5}{7}$ और $\frac{6}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ और } \frac{53}{70}$ हैं।

(B) $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके हर (denominators) को समान बनाते हैं।
$4$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $20$ है।
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$
तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(3+1) = 4$ से गुणा करते हैं।
$\frac{5}{20} = \frac{5 \times 4}{20 \times 4} = \frac{20}{80}$
$\frac{4}{20} = \frac{4 \times 4}{20 \times 4} = \frac{16}{80}$
$\frac{16}{80}$ और $\frac{20}{80}$ के बीच की परिमेय संख्याएँ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ हैं।
अतः,$\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ (या $\frac{9}{40}$) हैं।

(A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। $2$ और $3$ का औसत $\frac{2+3}{2} = 2.5$ है,जो एक परिमेय संख्या है।
अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating,non-recurring) होता है।
$2$ और $3$ के बीच एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण $2.1010010001...$ (एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव) है।

(B) $0.04$ एक सांत दशमलव है और यह $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है। अतः,$0.04$ एक परिमेय संख्या है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है।
पुनः,$0.003000300003...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है। अतः,$0.003000300003...$ एक अपरिमेय संख्या है जो $0$ और $0.1$ के बीच स्थित है।

(N/A) $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें समान हर (denominator) के साथ लिख सकते हैं:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ और $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$.
चूंकि $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{5}{12}$,$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।
अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भिन्नों को दशमलव रूप में बदलते हैं:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$ और $\frac{1}{2} = 0.5$.
एक अपरिमेय संख्या अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव होती है। हम $0.414114111\ldots$ जैसी संख्या चुन सकते हैं,जो $0.3333\ldots$ से बड़ी और $0.5$ से छोटी है।

(N/A) सबसे पहले,भिन्नों को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{-2}{5} = -0.4$ और $\frac{1}{2} = 0.5$
$1$. परिमेय संख्या:
परिमेय संख्या वह है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। कोई भी सांत दशमलव एक परिमेय संख्या होती है। हम $0$ (या $0.1$,$0.2$ आदि) चुन सकते हैं क्योंकि यह $-0.4$ और $0.5$ के बीच स्थित है।
अतः,$0$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{-2}{5}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।
$2$. अपरिमेय संख्या:
अपरिमेय संख्या एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव होती है। हम एक ऐसी संख्या बना सकते हैं जो किसी पैटर्न का पालन न करे। उदाहरण के लिए,$0.1010010001...$ संख्या $-0.4$ और $0.5$ के बीच स्थित है।
अतः,$0.1010010001...$ एक अपरिमेय संख्या है जो $\frac{-2}{5}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच स्थित है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। कोई भी सांत दशमलव (terminating decimal) एक परिमेय संख्या होती है।
$1.$ $0.15$ और $0.16$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $0.151$ जैसी कोई भी सांत दशमलव संख्या चुन सकते हैं। चूँकि $0.15 < 0.151 < 0.16$,इसलिए $0.151$ एक परिमेय संख्या है।
$2.$ अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। $0.15$ और $0.16$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसी पैटर्न बना सकते हैं जो दोहराती नहीं है।
$0.15101101110...$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह अनवसानी अनावर्ती है,और यह $0.15$ तथा $0.16$ के बीच स्थित है।