बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं
$(i)$ $\sqrt{23}$
$(ii)$ $\sqrt{225}$
$(iii)$ $0.3796$
$(iv)$ $7.478478 \ldots$
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
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$(iii)$ $0.3796$
$(iv)$ $7.478478 \ldots$
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
$(i)$ $\sqrt{23}=4.79583152331 \ldots$
As the decimal expansion of this number is non-terminating non-recurring, therefore, it is an irrational number.
$(ii)$ $\sqrt{225}=15=\frac{15}{1}$
It is a rational number as it can be represented in $\frac {p}{q}$ form.
$(iii)$ $0.3796$
As the decimal expansion of this number is terminating, therefore, it is a rational number.
$(iv)$ $7.478478 \ldots$ $=7 . \overline{478}$
As the decimal expansion of this number is non-terminating recurring, therefore, it is a rational number.
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
As the decimal expansion of this number is non-terminating non-repeating, therefore, it is an irrational number.
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$(i)$ $64^{\frac{1}{2}}$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}}$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}}$
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$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
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नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
$(ii)$ संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु $\sqrt{m}$ के रूप का होता है, जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है।
$(iii)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
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$\frac{p}{q}(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णाक
हैं , जिनका $1$ के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण ( प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि $q$ को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए ?
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दिखाइए कि $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ $p$ और $q$ पूणांक हैं और $q \neq 0$ है।
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