$0.99999......$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
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Let $x=0.9999 \ldots$
Multiply both sides by $10,$ we have $[\because$ There is only one repeating digit.]
$10 \times x =10 \times(0.99999 \ldots)$
or $10 x=9.9999 \ldots$
Subtracting $(1)$ from $(2)$, we get
$10 x-x=(9.9999 \ldots)-(0.9999 \ldots)$
or $9 x=9$
or $x=\frac{9}{9}=1$
Thus, $\quad 0.9999 \ldots=1$
As $0.9999 \ldots$ goes on forever, there is no gap between $1$ and $0.9999 \ldots$
Hence both are equal.
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$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
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क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं ? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
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संख्या रेखा पर $5$ दशमलव स्थानों तक, अर्थात् $5.37777$ तक $5.3 \overline{7}$ का निरूपण देखिए।
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$\frac{p}{q}(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णाक
हैं , जिनका $1$ के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण ( प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि $q$ को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए ?
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निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए
$(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$
$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
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