$1$ और $2$ के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
$1$ और $2$ के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
We can approach this problem in at least two ways.
Recall that to find a rational number between $r$ and $s,$ you can add $r$ and $s$ and divide the sum by $2,$ that is $\frac{r+s}{2}$ lies between $r$ and $s .$ So, $\frac{3}{2}$ is a number between $1$ and $2 .$ You can proceed in this manner to find four more rational numbers between $1$ and $2 .$ These four numbers are $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ and $\frac{7}{4}$.
Or
The other option is to find all the five rational numbers in one step. since we want five numbers, we write $1$ and $2$ as rational numbers with denominator $5+1$, i.e., $1=\frac{6}{6}$ and $2=\frac{12}{6} .$ Then you can check that $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ and $\frac{11}{6}$ are all rational numbers between $1$ and $2 .$ So, the five numbers are $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ and $\frac{11}{6}$.
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बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं
$(i)$ $\sqrt{23}$
$(ii)$ $\sqrt{225}$
$(iii)$ $0.3796$
$(iv)$ $7.478478 \ldots$
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
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$\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच की एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
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दिखाइए कि $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ $p$ और $q$ पूणांक हैं और $q \neq 0$ है।
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सरल कीजिए
$(i)$ $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$
$(ii)$ $\left(\frac{1}{3^{5}}\right)^{4}$
$(iii)$ $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}}$
$(iv)$ $13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}}$
सरल कीजिए
$(i)$ $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$
$(ii)$ $\left(\frac{1}{3^{5}}\right)^{4}$
$(iii)$ $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}}$
$(iv)$ $13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}}$
आपको याद होगा कि $\pi$ को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए $c$ ) और उसके व्यास (मान लीजिए $d$ ) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात् $\pi=\frac{c}{d}$ है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि $\pi$ अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?
आपको याद होगा कि $\pi$ को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए $c$ ) और उसके व्यास (मान लीजिए $d$ ) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात् $\pi=\frac{c}{d}$ है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि $\pi$ अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?