बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं
$(i)$ $2-\sqrt{5}$
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}$
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$
$(v)$ $2 \pi$
$(i)$ $2-\sqrt{5}$
Since it is a difference of a rational and irrational number,
$\therefore $ $2-\sqrt{5}$ is an irrational number.
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}$
We have : $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}=3+\sqrt{23}-\sqrt{23}=3,$ which is a rational number.
$\therefore(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}$ is a rational number.
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}$
since, $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}=\frac{2 \times \sqrt{7}}{7 \times \sqrt{7}}=\frac{2}{7},$ which is a rational number.
$\therefore \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}$ is a rational number.
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\because$ The quotient of rational and irrational is an irrational number.
$\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}$ is an irrational number.
$(v)$ $2 \pi$
$\therefore 2 \pi=2 \times \pi=$ Product of a rational and an irrational (which is an irrational number)
$\therefore 2 \pi$ is an irrational number.
सरल कीजिए :
$(i)$ $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$
$(ii)$ $\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}$
$(iii)$ $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$
$(iv)$ $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}$
क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं ? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।
दिखाइए कि $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
निम्नलिखित व्यंजकों को सरल कीजिए
$(i)$ $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5})$
$(ii)$ $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})$
$(iii)$ $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})$