निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:
$(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2}$

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(N/A) $(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} = \sqrt{7}+\sqrt{6}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

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कक्षा गतिविधि ('वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण): कागज की एक बड़ी शीट लें और निम्नलिखित तरीके से 'वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण करें। एक बिंदु $O$ से शुरू करें और $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $OP_1$ खींचें। $OP_1$ पर लंब $1$ इकाई लंबाई का एक रेखाखंड $P_1P_2$ खींचें (चित्र देखें)। अब $OP_2$ पर लंब एक रेखाखंड $P_2P_3$ खींचें। फिर $OP_3$ पर लंब एक रेखाखंड $P_3P_4$ खींचें। इस प्रकार आगे बढ़ते हुए,आप $OP_{n-1}$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब खींचकर रेखाखंड $P_{n-1}P_n$ प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह,आप बिंदु $P_2, P_3, ..., P_n, ...$ बनाएंगे और उन्हें जोड़कर $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, ...$ को दर्शाने वाला एक सुंदर सर्पिल तैयार करेंगे।

Difficult
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$2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}$ और $\sqrt{2} - 3 \sqrt{3}$ को जोड़िए।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
$(ii)$ प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
$(iii)$ प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

$0.99999 \ldots$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने शिक्षक और सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए कि यह उत्तर तर्कसंगत क्यों है।

संख्या रेखा पर $5$ दशमलव स्थानों तक,अर्थात $5.37777$ तक $5.3\overline{7}$ का निरूपण दर्शाइए।

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