Textbook - Number Systems Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ અસત્ય,કારણ કે $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
$(ii)$ સત્ય,કારણ કે દરેક પૂર્ણાંક $m$ ને $\frac{m}{1}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક છે અને $1$ એ શૂન્યતર પૂર્ણાંક છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ અસત્ય,કારણ કે $\frac{3}{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે પરંતુ તે પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.

(A) આ પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે આપણે ઓછામાં ઓછી બે રીતોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
રીત $1$: $r$ અને $s$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\frac{r+s}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ સંખ્યા: $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$.
બીજી સંખ્યા: $\frac{1 + 3/2}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
ત્રીજી સંખ્યા: $\frac{1 + 5/4}{2} = \frac{9/4}{2} = \frac{9}{8}$.
ચોથી સંખ્યા: $\frac{3/2 + 2}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.
પાંચમી સંખ્યા: $\frac{7/4 + 2}{2} = \frac{15/4}{2} = \frac{15}{8}$.
રીત $2$: બે સંખ્યાઓ વચ્ચે $n$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને $n+1$ છેદ સાથે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અહીં $n=5$ છે,તેથી આપણે $5+1=6$ છેદનો ઉપયોગ કરીશું.
$1 = \frac{6}{6}$ અને $2 = \frac{12}{6}$.
પાંચ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ અને $\frac{11}{6}$ છે.
તેનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા,આપણને $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ અને $\frac{11}{6}$ મળે છે.

(A) હા,શૂન્ય એક સંમેય સંખ્યા છે. સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \ne 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે. શૂન્યને $\frac{0}{1}$,$\frac{0}{2}$,$\frac{0}{3}$ વગેરે સ્વરૂપે લખી શકાય છે,જ્યાં અંશ $p = 0$ (એક પૂર્ણાંક છે) અને છેદ $q$ એ શૂન્ય સિવાયનો કોઈપણ પૂર્ણાંક છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.

(N/A) $3$ અને $4$ ની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
$n = 6$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $3$ અને $4$ ને $n + 1 = 7$ છેદ વાળી અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દર્શાવી શકીએ.
$3 = \frac{3 \times 7}{7} = \frac{21}{7}$
$4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}$
આમ,$\frac{21}{7}$ અને $\frac{28}{7}$ ની વચ્ચેની છ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}$ અને $\frac{27}{7}$ છે.

(N/A) $\frac{3}{5}$ અને $\frac{4}{5}$ ની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
$5$ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(5 + 1) = 6$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
તેથી,$\frac{18}{30}$ અને $\frac{24}{30}$ ની વચ્ચેની $5$ સંમેય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$\frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30}, \frac{22}{30}, \frac{23}{30}$.

(N/A) $(i)$ સત્ય; પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ ${0, 1, 2, 3, ...}$ છે અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${1, 2, 3, ...}$ છે. કારણ કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પૂર્ણ સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ છે,તેથી આ વિધાન સત્ય છે.
$(ii)$ અસત્ય; પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં ઋણ સંખ્યાઓ,શૂન્ય અને ધન સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જ્યારે પૂર્ણ સંખ્યાઓમાં માત્ર શૂન્ય અને ધન સંખ્યાઓનો જ સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$-3$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
$(iii)$ અસત્ય; સંમેય સંખ્યાઓમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જ્યારે પૂર્ણ સંખ્યાઓ માત્ર અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે. ઉદાહરણ તરીકે,$\frac{1}{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે પરંતુ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.

ગ્રીકોએ $\sqrt{2}$ ની શોધ કેવી રીતે કરી હશે તે સમજવું સરળ છે. એક ચોરસ $OABC$ લો,જેની દરેક બાજુની લંબાઈ $1$ એકમ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.
સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ ને દર્શાવવા માટે,ચોરસ $OABC$ ને સંખ્યા રેખા પર એવી રીતે મૂકો કે જેથી શિરોબિંદુ $O$ શૂન્ય પર આવે અને બાજુ $OA$ સંખ્યા રેખાની ધન દિશામાં રહે.
આપણે જોયું કે $OB = \sqrt{2}$ છે. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. આમ,બિંદુ $P$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{3}$ નું નિરૂપણ કરવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સૌ પ્રથમ,$1$ એકમ પાયો અને $1$ એકમ ઊંચાઈ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીને સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ નું નિરૂપણ કરો. તેનો કર્ણ $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ થશે.
$2$. હવે,કર્ણ $OB$ (જ્યાં $OB = \sqrt{2}$) ને લંબ હોય તેવો $1$ એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ $BD$ દોરો.
$3$. $OD$ ને જોડો. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OD^2 = OB^2 + BD^2$
$OD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$
$OD = \sqrt{3}$.
$4$. પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. બિંદુ $Q$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{3}$ દર્શાવે છે.
આ જ રીતે,$\sqrt{n-1}$ નું નિરૂપણ કર્યા પછી,તમે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $\sqrt{n}$ નું નિરૂપણ કરી શકો છો.

(N/A) $(i)$ સત્ય; વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓનો બનેલો છે. તેથી,દરેક અસંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
$(ii)$ અસત્ય; સંખ્યા રેખા પરની ઋણ સંખ્યાઓને કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m$ ના વર્ગમૂળ તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,કારણ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા અઋણ હોય છે.
$(iii)$ અસત્ય; વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં સંમેય અને અસંમેય બંને પ્રકારની સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$2$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે પરંતુ તે સંમેય સંખ્યા છે,અસંમેય સંખ્યા નથી.

(B) ના,તમામ ધન પૂર્ણાંકોના વર્ગમૂળ અસંમેય હોતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ જેવી કે $\sqrt{4}$ અને $\sqrt{9}$ ના વર્ગમૂળને ધ્યાનમાં લો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{4} = 2$ અને $\sqrt{9} = 3$.
જેમ કે $2$ અને $3$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે (જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$),તેથી તે સંમેય સંખ્યાઓ છે.
આમ,તમામ ધન પૂર્ણાંકોના વર્ગમૂળ અસંમેય હોતા નથી.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2}$.
$1$. એક સંખ્યા રેખા દોરો અને $0$ દર્શાવતો બિંદુ $O$ અને $O$ થી $2$ એકમ દૂર $2$ દર્શાવતો બિંદુ $A$ અંકિત કરો.
$2$. બિંદુ $A$ પર,$1$ એકમ લંબાઈનો લંબ રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$3$. $O$ અને $B$ ને જોડો. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. હવે,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે.
$5$. અંતર $OC$ એ $OB$ જેટલું છે,જે $\sqrt{5}$ છે. આમ,બિંદુ $C$ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5}$ દર્શાવે છે.

(N/A) વર્ગમૂળ સર્પાકારની રચના પાયથાગોરસના પ્રમેય પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે $(h^2 = a^2 + b^2)$.
$1$. બિંદુ $O$ થી શરૂઆત કરો અને $OP_1 = 1$ એકમ દોરો.
$2$. $OP_1$ ને લંબ $P_1P_2$ દોરો જેથી $P_1P_2 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_1P_2$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OP_2 = \sqrt{OP_1^2 + P_1P_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$3$. $OP_2$ ને લંબ $P_2P_3$ દોરો જેથી $P_2P_3 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_2P_3$ માં,$OP_3 = \sqrt{OP_2^2 + P_2P_3^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.
$4$. તેવી જ રીતે,$OP_3$ ને લંબ $P_3P_4$ દોરો જેથી $P_3P_4 = 1$ એકમ થાય. $\triangle OP_3P_4$ માં,$OP_4 = \sqrt{OP_3^2 + P_3P_4^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$5$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,કર્ણ $OP_n$ ની લંબાઈ $\sqrt{n}$ થશે.

(N/A) $\frac{10}{3} = 3.333... = 3.\overline{3}$ માટે,શેષ હંમેશા $1$ રહે છે,જેનું પુનરાવર્તન થાય છે. ભાજક $3$ છે.
$\frac{7}{8} = 0.875$ માટે,નિશ્ચિત સંખ્યાના પગલાં પછી શેષ $0$ થઈ જાય છે. ભાજક $8$ છે.
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ માટે,શેષ $3, 2, 6, 4, 5, 1$ છે જેનું પુનરાવર્તન થાય છે. ભાજક $7$ છે.
અવલોકનો:
$(i)$ શેષ કાં તો અમુક તબક્કા પછી $0$ થઈ જાય છે,અથવા તેનું પુનરાવર્તન શરૂ થાય છે.
$(ii)$ શેષની પુનરાવર્તિત શ્રેણીમાં રહેલી સંખ્યાઓ ભાજક કરતાં ઓછી હોય છે.
$(iii)$ જો શેષનું પુનરાવર્તન થાય,તો ભાગફળમાં અંકોનો એક પુનરાવર્તિત બ્લોક મળે છે.

(N/A) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \ne 0$ હોય,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આપેલ સંખ્યા $3.142678$ માં દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે આપણે તેને $10$ ની યોગ્ય ઘાત વડે ભાગીશું.
દશાંશ ચિહ્ન પછી $6$ અંકો હોવાથી,આપણે તેને $1,000,000$ વડે ગુણી અને ભાગીશું.
$3.142678 = \frac{3142678}{1000000}$.
આ અપૂર્ણાંકને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $2$ છે,તેના વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપી શકાય છે.
$\frac{3142678 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{1571339}{500000}$.
અહીં $1571339$ અને $500000$ પૂર્ણાંકો છે અને $500000 \ne 0$ હોવાથી,$3.142678$ એ સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $x = 0.3333...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 3.3333...$ (સમીકરણ $2$).
કારણ કે $x = 0.3333...$,આપણે $10x = 3 + 0.3333... = 3 + x$ લખી શકીએ.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 3$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
આમ,$0.\overline{3}$ ને $\frac{1}{3}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p = 1$ અને $q = 3$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \ne 0$.

(C) ધારો કે $x = 1.272727 \ldots$
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ:
$100x = 127.2727 \ldots$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 126 + 1.272727 \ldots$
કારણ કે $x = 1.272727 \ldots$,તેથી સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$100x = 126 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$100x - x = 126$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{14}{11}$
આમ,$1.\overline{27} = \frac{14}{11}$,જ્યાં $p = 14$ અને $q = 11$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.

(N/A) ધારો કે $x = 0.2 \overline{35}$.
અહીં,અંક $2$ નું પુનરાવર્તન થતું નથી,પરંતુ $35$ બ્લોકનું પુનરાવર્તન થાય છે.
બે અંકોનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી,આપણે $x$ ને $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$100x = 23.53535 \ldots$
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$100x = 23.3 + 0.23535 \ldots$
કારણ કે $x = 0.23535 \ldots$,આપણે સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$100x = 23.3 + x$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$99x = 23.3$
દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$99x = \frac{233}{10}$
$99$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{233}{990}$
આમ,$0.2 \overline{35} = \frac{233}{990}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ અને $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$ થાય છે.
આ બે કિંમતોની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એવી સંખ્યાની જરૂર છે જે અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
$0.15015001500015...$ સ્વરૂપની કોઈપણ સંખ્યા આ શરતનું પાલન કરે છે કારણ કે તે $0.142857...$ અને $0.285714...$ ની વચ્ચે આવેલી છે અને તેમાં કોઈ નિશ્ચિત પેટર્નનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
આમ,આવી એક અસંમેય સંખ્યા $0.15015001500015...$ છે.

(N/A) $(i)$ $\frac{36}{100} = 0.36$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(ii)$ $\frac{1}{11} = 0.090909 \ldots = 0.\overline{09}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iii)$ $4 \frac{1}{8} = \frac{33}{8} = 4.125$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(iv)$ $\frac{3}{13} = 0.230769230769 \ldots = 0.\overline{230769}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(v)$ $\frac{2}{11} = 0.18181818 \ldots = 0.\overline{18}$. આ અનંત આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
$(vi)$ $\frac{329}{400} = 0.8225$. આ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ છે.
ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આપેલ અપૂર્ણાંકોની દશાંશ અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{7}$ ના મૂલ્યને તેના સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીશું:
$\frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$
$\frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$
$\frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$
$\frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$
$\frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$
આમ,$\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિને સંબંધિત અંશ સાથે ગુણીને,આપણે ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર આ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરી શકીએ છીએ.

(N/A) $(i)$ ધારો કે $x = 0.\overline{6} = 0.6666\ldots$
અહીં એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 6.6666\ldots$
$10x$ માંથી $x$ બાદ કરતા:
$10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
આમ,$0.\overline{6} = \frac{2}{3}$.
$(ii)$ ધારો કે $x = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$
$10$ વડે ગુણતા:
$10x = 4.777\ldots$ $(1)$
$100$ વડે ગુણતા:
$100x = 47.777\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 47.777\ldots - 4.777\ldots$
$90x = 43$
$x = \frac{43}{90}$
આમ,$0.4\overline{7} = \frac{43}{90}$.
$(iii)$ ધારો કે $x = 0.\overline{001} = 0.001001\ldots$ $(1)$
અહીં ત્રણ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 1.001001\ldots$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 1.001001\ldots - 0.001001\ldots$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
આમ,$0.\overline{001} = \frac{1}{999}$.

(A) ધારો કે $x = 0.9999 \ldots$ $(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$10x = 9.9999 \ldots$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = (9.9999 \ldots) - (0.9999 \ldots)$
$9x = 9$
$x = \frac{9}{9} = 1$
આમ,$0.9999 \ldots = 1$.
જેમ કે $0.9999 \ldots$ અનંત સુધી ચાલે છે,તેથી $1$ અને $0.9999 \ldots$ ની વચ્ચે કોઈ તફાવત નથી. તેથી,બંને સમાન છે.

(A) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં,પુનરાવર્તિત અંકોના બ્લોકમાં રહેલા અંકોની સંખ્યા હંમેશા ભાજક $q$ કરતા ઓછી હોય છે.
અહીં અપૂર્ણાંક $\frac{1}{17}$ માં,ભાજક $17$ છે.
તેથી,પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં અંકોની મહત્તમ સંખ્યા $17 - 1 = 16$ હોઈ શકે.
ભાગાકારની લાંબી રીત દ્વારા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$
આમ,$\frac{1}{17}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં પુનરાવર્તિત બ્લોકમાં $16$ અંકો છે.

(N/A) ચાલો નીચેની શાંત દશાંશ સંમેય સંખ્યાઓના દશાંશ નિરૂપણને તપાસીએ:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = 1.5$ [છેદ $= 2 = 2^1$]
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} = 0.2$ [છેદ $= 5 = 5^1$]
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0.875$ [છેદ $= 8 = 2^3$]
$\frac{8}{125} = \frac{8 \times 8}{125 \times 8} = \frac{64}{1000} = 0.064$ [છેદ $= 125 = 5^3$]
$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0.65$ [છેદ $= 20 = 2^2 \times 5^1$]
$\frac{17}{16} = \frac{17 \times 625}{16 \times 625} = \frac{10625}{10000} = 1.0625$ [છેદ $= 16 = 2^4$]
આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે $q$ (એટલે કે છેદ) ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ ની ઘાત,$5$ ની ઘાત અથવા બંનેની ઘાત હોય છે. આમ,$q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.

(N/A) જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\sqrt{2} = 1.414213562 \ldots$
$2$. $\sqrt{3} = 1.732050808 \ldots$
$3$. $\sqrt{5} = 2.236067978 \ldots$

(N/A) પ્રથમ,સંમેય સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$
$\frac{9}{11} = 0.\overline{81}$
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપ છે.
આપણે $0.714285...$ અને $0.818181...$ ની વચ્ચે ત્રણ એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે અનંત અને અનાવૃત હોય.
આવી ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$1) 0.73073007300073...$
$2) 0.75075007500075...$
$3) 0.79079007900079...$

(N/A) $(i)$ $\sqrt{23} \approx 4.79583152331 \ldots$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $\sqrt{225} = 15 = \frac{15}{1}$
તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ $0.3796 = \frac{3796}{10000} = \frac{949}{2500}$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ શાંત હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iv)$ $7.478478 \ldots = 7.\overline{478}$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(v)$ $1.101001000100001 \ldots$
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $5$ દશાંશ સ્થળ સુધી $5.3\overline{7}$ નું નિરૂપણ દર્શાવવા માટે,આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. આપણે જાણીએ છીએ કે $5.3\overline{7}$ એ $5$ અને $6$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે $5$ અને $6$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $5.3$ તથા $5.4$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.3$ અને $5.4$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(i)$].
$2$. ત્યારબાદ,આપણે $5.3$ અને $5.4$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.37$ અને $5.38$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.37$ અને $5.38$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(ii)$].
$3$. પછી આપણે $5.37$ અને $5.38$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.377$ અને $5.378$ ને શોધીએ છીએ. $5.3\overline{7}$ એ $5.377$ અને $5.378$ ની વચ્ચે આવે છે [આકૃતિ $(iii)$].
$4$. અંતે,આપણે $5.377$ અને $5.378$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $5.3777$ અને $5.3778$ ને શોધીએ છીએ. આ ભાગનું વિવર્ધન કરીને,આપણે સંખ્યા રેખા પર $5.37777$ નું નિરૂપણ કરી શકીએ છીએ [આકૃતિ $(iv)$].

(N/A) $3.765$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
ચાલો અંતરાલ $(3, 4)$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ.
જેમ કે,$3.765$ એ $3.7$ અને $3.8$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે ફરીથી અંતરાલ $[3.7, 3.8]$ ને $10$ ભાગોમાં વિભાજિત કરીને તેને મોટું કરીએ છીએ જેથી $3.76$ અને $3.77$ વચ્ચેનું અંતર સ્પષ્ટ થાય.
સંખ્યા $3.765$ એ $3.76$ અને $3.77$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,આપણે અંતરાલ $[3.76, 3.77]$ ને વધુ $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
હવે,$3.765$ ને અનુરૂપ બિંદુ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે,જે વિપુલદર્શિતાની પ્રક્રિયાના અંતિમ તબક્કામાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર $4.\overline{26}$ અથવા $4.2626\ldots$ સંખ્યાને જોઈ શકીએ છીએ.
$I$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4$ અને $5$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4, 5]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $4.2$ તથા $4.3$ ને શોધીએ છીએ.
$II$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.2$ અને $4.3$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.2, 4.3]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.26$ અને $4.27$ ને શોધીએ છીએ.
$III$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.26$ અને $4.27$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.26, 4.27]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $4.262$ અને $4.263$ ને શોધીએ છીએ.
$IV$. સંખ્યા $4.2626\ldots$ એ $4.262$ અને $4.263$ ની વચ્ચે આવેલી છે. આપણે અંતરાલ $[4.262, 4.263]$ ને વિવર્ધિત કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. હવે આપણે સંખ્યા રેખા પર $4.2626$ ને દર્શાવી શકીએ છીએ.

(N/A) કોઈ સંખ્યા અસંમેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું તેને અનંત અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
$1$. $7 \sqrt{5}$: કારણ કે $\sqrt{5} \approx 2.236$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા $(7)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{5})$ નો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$7 \sqrt{5} \approx 15.652...$ એ અસંમેય છે.
$2$. $\frac{7}{\sqrt{5}}$: છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{7 \sqrt{5}}{5} \approx 3.1304...$ મળે છે. શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર અસંમેય હોવાથી,$\frac{7}{\sqrt{5}}$ એ અસંમેય છે.
$3$. $\sqrt{2}+21$: કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$ એ અસંમેય છે,અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યા $(21)$ નો સરવાળો હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$\sqrt{2}+21 \approx 22.414...$ એ અસંમેય છે.
$4$. $\pi-2$: કારણ કે $\pi \approx 3.1415...$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યા $(2)$ ની બાદબાકી હંમેશા અસંમેય હોય છે. તેથી,$\pi-2 \approx 1.1415...$ એ અસંમેય છે.
નિષ્કર્ષ: આપેલી તમામ સંખ્યાઓ અસંમેય છે.

(A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,સમાન પદો (જેમાં વર્ગમૂળનો અવયવ સમાન હોય) ને સાથે લો:
$(2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 \sqrt{2} + \sqrt{2}) + (5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$
$= (2 + 1) \sqrt{2} + (5 - 3) \sqrt{3}$
$= 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

(B) $6 \sqrt{5}$ નો $2 \sqrt{5}$ સાથે ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. સંમેય સહગુણકોનો ગુણાકાર કરો: $6 \times 2 = 12$.
$2$. વર્ગમૂળ વાળા પદોનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.
$3$. પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $12 \times 5 = 60$.
આમ,$6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} = 60$.

(C) $8 \sqrt{15}$ ને $2 \sqrt{3}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ છીએ:
$\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}$
આપણે $\sqrt{15}$ ને $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ માં વિભાજિત કરીને પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$= \frac{8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}$
અંશ અને છેદમાંથી સામાન્ય પદ $\sqrt{3}$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{8}{2} \times \sqrt{5}$
$= 4 \sqrt{5}$

$(i)$ વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $(5+\sqrt{7})(2+\sqrt{5}) = 5(2) + 5(\sqrt{5}) + \sqrt{7}(2) + \sqrt{7}(\sqrt{5}) = 10 + 5\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + \sqrt{35}$.
$(ii)$ નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5}) = 5^2 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$.
$(iii)$ નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$(iv)$ નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$.

(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
કારણ કે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ થાય છે,તેથી આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
આમ,સંમેયીકરણ કરેલું સ્વરૂપ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ છે.

(B) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(2-\sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2}$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

(B) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
છેદમાં બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3 - 5}$
$= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2}$
$= -\frac{5}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

(A) $\frac{1}{7+3 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7-3 \sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} = \frac{1}{7+3 \sqrt{2}} \times \frac{7-3 \sqrt{2}}{7-3 \sqrt{2}}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{(7)^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - (9 \times 2)}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{49 - 18}$
$= \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}$

(N/A) $(i)$ $2-\sqrt{5}$: આ એક સંમેય અને એક અસંમેય સંખ્યાનો તફાવત હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} = 3+\sqrt{23}-\sqrt{23} = 3$. કારણ કે $3$ ને $\frac{3}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iii)$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} = \frac{2}{7}$. આ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$: સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય છે. તેથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$(v)$ $2 \pi$: શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય છે. તેથી,$2 \pi$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) = 3(2+\sqrt{2}) + \sqrt{3}(2+\sqrt{2})$
$= 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$
$(ii)$ નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = (3)^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$
$(iii)$ નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10}$
$(iv)$ નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(N/A) જ્યારે આપણે માપપટ્ટી અથવા અન્ય કોઈ સાધન વડે રેખાની લંબાઈ માપીએ છીએ,ત્યારે આપણને માત્ર અંદાજિત સંમેય મૂલ્ય જ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે $c$ અથવા $d$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસંમેય છે. તેથી,ગુણોત્તર $\frac{c}{d}$ અસંમેય છે,જે $\pi$ ને અસંમેય સંખ્યા બનાવે છે. આમ,$\pi$ અસંમેય છે તેવું કહેવામાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{9.3}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. રેખા $l$ પર $AB = 9.3 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ લો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 9.3 + 1 = 10.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $OA$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$4$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $l$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{9.3}$ છે.
$5$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને,સંખ્યા રેખા $l$ પર એક ચાપ દોરો જે તેને બિંદુ $E$ માં છેદે. અંતર $BE$ એ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{9.3}$ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
$(ii)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{6})}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} = \sqrt{7}+\sqrt{6}$
$(iii)$ $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$(iv)$ $\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

આ પદાવલિઓને સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીશું:
$(i)$ ગુણાકારના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.
$(ii)$ ઘાતની ઘાતના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(3^{\frac{1}{5}}\right)^4 = 3^{\left(\frac{1}{5} \cdot 4\right)} = 3^{\frac{4}{5}}$.
$(iii)$ ભાગાકારના નિયમ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\right)} = 7^{\left(\frac{3-5}{15}\right)} = 7^{-\frac{2}{15}}$.
$(iv)$ સમાન ઘાતાંક ધરાવતા અલગ આધારના ગુણાકારના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}} = (13 \times 17)^{\frac{1}{5}} = 221^{\frac{1}{5}}$.

$(i)$ $64^{\frac{1}{2}} = (8^2)^{\frac{1}{2}} = 8^{2 \times \frac{1}{2}} = 8^1 = 8$
$(ii)$ $32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \times \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$
$(iii)$ $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$

$(i)$ $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \times \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$
$(ii)$ $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$
$(iii)$ $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$
$(iv)$ $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \times (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

(N/A) $(i)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^{2/3} \cdot 2^{1/5} = 2^{(2/3 + 1/5)} = 2^{(10+3)/15} = 2^{13/15}$
$(ii)$ ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1/3^3)^7 = (3^{-3})^7 = 3^{-3 \cdot 7} = 3^{-21}$
$(iii)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m / a^n = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$11^{1/2} / 11^{1/4} = 11^{(1/2 - 1/4)} = 11^{(2-1)/4} = 11^{1/4}$
$(iv)$ ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7^{1/2} \cdot 8^{1/2} = (7 \cdot 8)^{1/2} = 56^{1/2}$